考点05 九年级下册综合测试-2022届九年级《新题速递·数学》（人教版）

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考点05 九年级下册综合测试
1．（2021·北京丰台区·九年级期末）点，，是反比例函数图象上的三个点，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
将三点坐标分别代入函数解析式中，求出y1、y2、y3的值，再比较大小即可．
【详解】
解：∵点，，是反比例函数图象上的三个点，
∴y1=﹣2，y2=2，y3=1，
∴y1＜y3＜y2，
故选：B．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟知函数图象上的点的坐标满足此函数的解析式是解答的关键．
2．（2021·上海市徐汇区教育学院九年级一模）在中，点D、E分别在边、上，下列条件中，能判定的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据对应线段成比例，两直线平行，可得出答案．
【详解】
A、,可证明DE∥BC,故本选项正确；
B、,不可证明DE∥BC,故本选项错误；
C、,不可证明DE∥BC,故本选项不正确；
D、不可证明DE∥BC,故本选项不正确．
故选A．
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例，对应线段成比例，两直线平行．
3．（2021·上海市徐汇区教育学院九年级一模）在中，如果，，那么这个三角形一定是（ ）
A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形
【答案】D
【分析】
根据特殊的三角函数值可知，∠A＝30°，∠B＝60°，即可判断三角形的形状．
【详解】
∵ ，，
∴∠A＝30°，∠B＝60°，
∴ ∠A＋∠B＝90°，
∴ 这个三角形一定是直角三角形，
故选：D．
【点睛】
本题考查特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，属于基础题型．
4．（2021·织金县第六中学九年级月考）如图，过反比例函数的图象上一点作轴于点，连接，若，则的值为（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】
根据点A在反比例函数图象上结合反比例函数系数k的几何意义，即可得出关于k的含绝对值符号的一元一次方程，解方程求出k值，再结合反比例函数在第一象限内有图象即可确定k值．
【详解】
解：∵点在反比例函数的图象上，且轴于点，
∴设点坐标为，即，
∵点在第一象限，
都是正数，
，
，
．
故选：C．
【点睛】
本题考查了反比例函数的性质以及反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是找出关于k的含绝对值符号的一元一次方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据反比例函数系数k的几何意义找出关于k的含绝对值符号的一元一次方程是关键．
5．（2021·辽宁沈阳市·九年级期末）反比例函数y＝的图象在每一象限内，y随x的增大而减小，则k的取值范围是（　　）
A．k1 B．k1 C．k＝1 D．k≠1
【答案】A
【分析】
根据反比例函数y＝的图象在每一象限内和y随x的增大而减小得出k﹣1＞0，再求出k的范围即可．
【详解】
解：∵反比例函数y＝的图象在每一象限内，y随x的增大而减小，
∴k﹣1＞0，
解得：k＞1，
故选：A．
【点睛】
本题考查了反比例函数的图象和性质，能熟记反比例函数的性质是解此题的关键．
6．（2021·广东揭阳市·九年级期末）如图，边长为4的正方形OABC的两边在坐标轴上，反比例函数的图象与正方形两边相交于点D、E，点D是 BC的中点，过点D作DF⊥OA于点F，交OE于点G，则（ ）

A．3 B．2 C．4 D．8
【答案】A
【分析】
根据题意可求得点D的坐标以及点E的坐标，接着求出直线OE的解析式，并求出G点的坐标，可知，计算后即可得出最终结果．
【详解】
解：正方形OABC的边长为4，
点D的纵坐标为4，点E的横坐标为4，
又点D是 BC的中点，
点D的坐标为（2，4），
点E在反比例图像上，
代入点E的横坐标，得E点的坐标为（4，2），
设直线OE的方程为，代入E（4，2），
4k=2，解得k=，，
点G在直线OE上，G（2，1），
=．
故选：A．
【点睛】
本题考查反比例函数和几何的综合问题，涉及坐标的求解，一次函数的求解，需要运用数形结合思想解题，熟练掌握反比例函数和一次函数的基础知识是解题的关键．
7．（2021·内蒙古包头市·九年级期末）如图，直线与双曲线交于，，直线AB交x轴于，下列命题：①；②当时，；③若为线段AB的中点，则，其中正确的命题有（ ）

A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】D
【分析】
根据反比例函数上的点横纵坐标之积相等，可得x1y1=x2y2，整理即可判断①；
结合函数图象一次函数在反比例函数上的的部分可对②进行判断；
根据线段的中点公式可得，联立反比例函数和一次函数整理后得一元二次方程，根据根与系数关系可得，由此可得，由一次函数与x轴的交点可得，由此可判断③．
【详解】
解：∵点A（x1，y1），B（x2，y2）在双曲线上，
∴x1y1=x2y2=m2+1，
∴，①正确；
∵当x1＜x＜x2时，直线y=kx+b在双曲线上方，
∴当时，，②正确；
∵M（t，s）为线段AB的中点，
∴，
当时，
即，
此时，，
∴，
把C（x0，0）代入y=kx+b得kx0+b=0，
解得，
∴x1+x2=x0，
∴，所以③正确．
故选：D．
【点睛】
本题考查判断命题的真假，一次函数与反比例函数综合．理解函数上点的坐标特征，能借助这些特征表示点的坐标是解题关键．③中用到了两个函数交点坐标即联立它们所成方程组的解．
8．（2021·郑州市·河南省实验中学九年级月考）已知一次函数y=kx+5，y随x的增大而减小．下列关于反比例函数y的描述，其中正确的是（　　　）
A．当x＞0时，y＞0 B．y随x的增大而增大
C．y随x的增大而减小 D．图象在第二、四象限
【答案】D
【分析】
根据题意，先判断出k的正负性，在判断k-2的正负性，即可确定反比例函数的大致图象，从而分析即可．
【详解】
∵一次函数y=kx+5，y随x的增大而减小，
∴k＜0，k﹣2＜0，
∴反比例函数y的图象在第二、四象限，故选项D正确；
当x＞0时，反比例函数y的函数值y＜0，故选项A错误；
在每个象限内，y随x的增大而增大，故选项B错误、选项C错误；
故选：D．
【点睛】
本题考查了一次函数的性质，以及反比例函数的性质，灵活根据一次函数的增减性推断出反比例函数的图象分布是解题关键．
9．（2021·如东县岔河中学九年级月考）如图，气球内气体的气压P（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，当气球内的气压大于120kPa时，气球将爆炸．为了安全，对气球体积的要求应是（　 　）

A．不超过0.8 m3 B．超过0.8 m3 C．小于0.8 m3 D．不小于0.8 m3
【答案】D
【分析】
根据题意可知温度不变时，气球内气体的气压P（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，且经过点，用待定系数法解出反比例函数的解析式即可求解．
【详解】
设球内气体的气压P（kPa）和气体体积V（m3）的关系式为
图象经过

即在第一象限内，P随V的增大而减小，
当时，

故选：D．
【点睛】
本题考查根据反比例的函数图象求解析式，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
10．（2021·上海青浦区·九年级期末）如图，已知与相交于点，，如果，，，那么等于（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据平行线分线段成比例即可得到结论．
【详解】
解：∵ED∥BC，
∴，
即，
∴AE=4，
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例的运用，注意：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
11．（2021·重庆九年级期末）如图，某测量工作人员站在地面点B处利用标杆FC测量一旗杆ED的高度．测量人员眼睛处点A与标杆顶端处点F，旗杆顶端处点E在同一直线上，点B，C，D也在同一条直线上．已知此人眼睛到地面距离米，标杆高米，且米，米，则旗杆的高度为（ ）

A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】C
【分析】
作AH⊥ED交FC于点G，把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的对应边成比例列出方程，解方程即可．
【详解】
解：作交FC于点G，如图所示：

，，交FC于点G，
，
，，，，
∴四边形ABDH、ABCG是矩形，
，，
，，，，
，，
，
，
解得：，

答：旗杆的高ED是米，
故选：C．
【点睛】
本题考查了相似三角形的应用；通过构造相似三角形．利用相似三角形对应边成比例是解决问题的关键．
12．（2021·河北邯郸市·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知与是位似图形，原点是位似中心，位似比，若，则的长为（ ）．


A．5 B．6 C．9 D．12
【答案】C
【分析】
根据位似图形的概念得到AB∥DE，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可．
【详解】
解：∵△ABC与△DEF是位似图形，
∴AB∥DE，
∴△OAB∽△ODE，
∴，即，
解得：DE＝9，
故选：C．
【点睛】
本题考查位似图形的概念和性质，掌握位似图形的对应边平行和相似三角形的性质是解题的关键．
13．（2021·北京门头沟区·九年级期末）在中，，，，则的长为（ ）

A．2 B．3 C． D．
【答案】C
【分析】
利用相似三角形的判定和性质，先求出△ADB∽△ADC，再根据对应边成比例，可求出CD的值．
【详解】
解：根据已知条件，可知
因为∠CAD+∠BAD=90°,
因为∠ABD+∠BAD=90°,
所以∠CAD=∠ABD,
而∠ADC=∠CDB=90°,
所以△ABD∽△CAD,则
把AD=3,DB=2代入得,

CD=．
故选：C．
【点睛】
此题运用了相似三角形的判定和性质，两个角对应相等,则两三角形相似．
14．（2021·辽宁盘锦市·九年级期末）如图AB、BC、CD分别与⊙O 相切于E、 F、G 三点且ABDC，则下列结论：①CG=CF；②BE=BF；③∠BOC=90°；④△BEO～△BOC～△OGC中正确的个数是（ ）

A．4 B．3
C．2 D．1
【答案】A
【分析】
连结OF，①②利用切线长定理即可判断正确性，③先推导∠OEB=∠OFB=∠OFC=∠OGC=90º，再证∠EBO=∠FBO,∠FCO=∠GCO，可证△BEO≌△BFO（AAS），△FCO≌△GCO（AAS），可推出∠FOB+∠FOC=90º，即∠BOC=90°③正确；④由△OBC、△BEO、△CGO都是直角三角形，再证∠GOC=∠EBO=∠OBC，可得△BEO∽△BOC∽△OGC④正确．
【详解】
连结OF，
∵AB、BC、CD分别与⊙O 相切于E、 F、G，
又因为CG与CF为切线长，BE与BF也为切线长，
∴CG=CF，BE=BF，
∴①CG=CF，②BE=BF正确；
∵AB、BC、CD分别与⊙O 相切于E、 F、G，
∴OE⊥AB，OF⊥BC，OG⊥CD，
∴∠OEB=∠OFB=∠OFC=∠OGC=90º，
∴OB平分∠EBF，OC平分∠FCG，
∴∠EBO=∠FBO,∠FCO=∠GCO，
∴△BEO≌△BFO（AAS），△FCO≌△GCO（AAS），
∴∠EOB=∠FOB，∠FOC=∠GOC，
∵∠EOB+∠FOB+∠FOC+∠GOC=180º，
∴2∠FOB+2∠FOC=180º，
∴∠FOB+∠FOC=90º，
∴∠BOC=∠FOB+∠FOC=90º，
∴③∠BOC=90°正确；；
由△OBC、△BEO、△CGO都是直角三角形，
∵∠EOB+∠EBO=90º，∠EOB+∠EBO=90º，
∴∠GOC=∠EBO=∠OBC，
△BEO∽△BOC∽△OGC，
∴④△BEO～△BOC～△OGC正确，
①CG=CF；②BE=BF；③∠BOC=90°；④△BEO～△BOC～△OGC中正确的个数有4个，
故选择：A．

【点睛】
本题考查切线的性质，三角形全等，三角形相似，掌握切线的性质，三角形全等的证明方法与性质，三角形相似的判定定理与判定方法的选择是解题关键．
15．（2021·四川乐山市·九年级期中）“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为（ ）

A．尺 B．尺 C．尺 D．尺
【答案】B
【分析】
根据题意可知△ABF∽△ADE，根据相似三角形的性质可求AD，进一步得到井深．
【详解】
解：依题意可得：△ABF∽△ADE，

∴，
即，
解得：AD＝62.5，
BD＝AD−AB＝62.5−5＝57.5尺．
故选：B．
【点睛】
此题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是得到△ABF∽△ADE．
16．（2021·东华学校生态园校区九年级期末）如图，△ABC的三个顶点均在格点上，则sinC的值为（ ）


A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据网格特征，可推出∠C=45°，进而即可求解．
【详解】
∵△ABC的三个顶点均在格点上，
∴∠C=45°，
∴sinC=，
故选A
【点睛】
本题主要考查特殊角三角函数，根据网格特征得到角的度数，是解题的关键．
17．（2021·安徽九年级月考）如图，某校教学楼与的水平间距，在教学楼的顶部点测得教学楼的顶部点的仰角为，测得教学楼的底部点的俯角为，则教学楼的高度是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
过C点作CE⊥AB，根据解Rt△BCE求出BE，再利用Rt△ACE求出AE，故可求解．
【详解】
过C点作CE⊥AB，
∵
∴CE=BD=am,
在Rt△BCE中，BE=CEtan=
在Rt△ACE中，AE=CEtan=
∴=+
故选A．

【点睛】
此题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟知正切的定义．
18．（2021·河南平顶山市·九年级期末）已知∠A是锐角，且tanA＝，则sinA的值是（　　）
A．
B．
C．
D．根据此条件无法计算出sinA的值
【答案】A
【分析】
根据题意构造直角三角形：把tanA＝，转化为两边之比，运用勾股定理求出第三边，即可求解．
【详解】
如图：，
设，，
则，
，
故选：A．

【点睛】
本题主要考查的是勾股定理及三角函数，熟练掌握三角函数的性质是解答本题的关键．
19．（2021·山东省济南兴济中学九年级期末）如图，点O为坐标原点，点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，4），圆D过A，B，O三点，点C为弧OBA上的一点（不与O、A两点重合），连接OC，AC，则tanC的值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
连接AB，根据得到AB是直径，则，求出即可．
【详解】
解：如图，连接AB，

∵，
∴是直径，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
【点睛】
本题考查圆周角定理和正切值的求解，解题的关键是利用圆周角定理将不在直角三角形中的角转换成在直角三角形中的角，求出它的三角函数值．
20．（2021·上海松江区·九年级期末）如图，一艘船从A处向北偏东30°的方向行驶10千米到B处，再从B处向正西方向行驶20千米到C处，这时这艘船与A的距离（ ）

A．15千米 B．10千米 C．千米 D．千米
【答案】C
【分析】
根据题意，利用，根据锐角三角函数求出AD和BD的长，从而得到CD的长，再用勾股定理求出AC的长．
【详解】
解：如图，

根据题意，，，
∴，
，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】
本题考查解直角三角形，解题的关键是掌握利用锐角三角函数解直角三角形的方法．
21．（2021·渝中区·重庆巴蜀中学九年级期中）由世界知名建筑大师摩西·萨夫迪设计的重庆新地标“来福士广场”，广场上八幢塔楼临水北向，错落有致，宛若巨轮扬帆起航，成为我市新的地标性建筑—“朝天扬帆”．来福士广场T3N塔楼核芯简于2017年12月11日完成结构封顶，高度刷新了重庆的天际线．小李为了测量T3N塔楼的高度，他从塔楼底部出发，沿广场前进185米至点．继而沿坡度为的斜坡向下走65米到达码头，然后在浮桥上继续前行110米至趸船，在处小李操作一架无人勘测机，当无人勘测机飞行至点的正上方点时，测得码头的俯角为58°，楼项的仰角为30°，点、、、、、、在同一平面内．则T3N塔楼的高度约为（ ）（结果精确到1米，参考数据：，，，）

A．319米 B．335米 C．342米 D．356米
【答案】D
【分析】
根据题意可知CD的垂直高度和水平宽度，即知道了BO和OD的长，从而得出OE的长度，再根据正切函数和DE长度可求出EF长度， 正切函数和OE长度可求出A到F的垂直高度，即可求出AB的长度，即：．
【详解】
由题意得：，，，
根据斜坡的坡度得的垂直高度为，水平宽度为，
∴，．
根据，
所以
故选D
【点睛】
本题考查解直角三角形，根据题意结合正切函数是解答本题的关键．
22．（2021·重庆江北区·字水中学九年级月考）我校的旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面如图所示，它们在同一平面内，旗杆与地面垂直，且处于升旗台正中央，在教学楼底部点处测得旗杆顶端的仰角，升旗台底部到教学楼底部的距离米，升旗台坡面的坡度是，坡长米，米，则旗杆的高度约为（　　）
（参考数据：，，）

A．16.5米 B．14.2米
C．14.8米 D．14.5米
【答案】D
【分析】
如图延长AB交ED的延长线于M，作CJ⊥DM于J．则四边形BMJC是矩形．在Rt△CDJ中求出CJ、DJ，再根据，tan∠AEM=构建方程即可解决问题；
【详解】
解：如图延长AB交ED的延长线于M，作CJ⊥DM于J．则四边形BMJC是矩形，

∵坡面的坡度是，
∴在Rt△CJD中，，
设CJ=4k，DJ=3k，由于
则有，
∴
∴BM=CJ=2，DJ=1.5，
∵BC=MJ=1.5，
EM=MJ+DJ+DE=1.5+1.5+8=11，
在Rt△AEM中，tan∠AEM=，，
∴，
解得AB≈14.5（米），
故选：D．
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键．
23．（2021·广东深圳市·深圳实验学校九年级期中）如图，这是某市政道路的交通指示牌，的距离为，从点测得指示牌顶端点和底端点的仰角分别是60°和45°，则指示牌的高度，即的长度是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由题意可得到BD=BC=5，根据锐角三角函数关系得出方程，然后解方程即可．
【详解】
解：由题意可得：∠CDB=∠DCB=45°，
∴BD=BC=5，
设AC=x m，则AB=（x+5）m，
在Rt△ABD中，tan60°=，
则，
解得：，
即AC的长度是；
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了解直角三角形的应用，正确应用锐角三角函数关系是解题关键．
24．（2021·沙坪坝区·重庆八中九年级期中）如图，旗杆竖立在斜坡的顶端，斜坡长为65米，坡度为小明从与点相距115米的点处向上爬12米到达建筑物的顶端点，在此测得放杆顶端点的仰角为39°，则旗杆的高度约为（ ）米．（参考数据：，，）

A．12.9 B．22.2 C．24.9 D．63.1
【答案】C
【分析】
通过作高，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系和坡度即可求出答案．
【详解】
解：过点B作BF⊥CD，垂足为F，过点E作EG⊥BF，垂足为G，

在Rt△BCF中，
由斜坡BC的坡度i=，得，=，
又BC=65，
设BF=12x，FC=5x，由勾股定理得，（12x）2+（5x）2=652，
∴x=5，
∴BF=60，FC=25，
又∵DC=115，
∴DF=DC-FC=115-25=90=EG，
在Rt△AEG中，AG=EG•tan39°≈90×0.81=72.9，
∴AB=AG+FG-BF=72.9+12-60=24.9（米），
故选：C．
【点睛】
本题考查坡度、仰角以及直角三角形的边角关系，理解坡度、仰角和直角三角形的边角关系式解决问题的关键．
25．（2021·陕西渭南市·九年级期末）将一个圆柱和一个正三棱柱如图放置，则所构成的几何体的主视图是（　　　）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据主视图是从物体正面看所得到的图形即可解答．
【详解】
解：根据主视图的概念可知，主视图是从前向后观察物体所得到的图形，上半部分是一个长方形且中间有一条竖实线，下半部分是一个长方形．
∴从物体的正面看得到的视图是选项A．
故选：A．
【点睛】
本题考查了简单几何体的主视图，注意主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形．
26．（2021·湖北省武汉市外国语学校美加分校九年级期末）下面四个几何体中，主视图为三角形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
分别确定各选项的主视图即可解答．
【详解】
解：A、主视图是圆，故A不符合题意；
B、主视图是三角形，故B符合题意；
C、主视图是矩形，故C不符合题意；
D、主视图是正方形，故D不符合题意．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了简单几何体的三视图，掌握主视图的定义是解答本题的关键．
27．（2021·广东揭阳市·九年级期末）如图是某几何体的三视图，这个几何体是（ ）

A．三棱柱 B．三棱锥 C．长方体 D．正方体
【答案】A
【分析】
由俯视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由主视图确定具体形状．
【详解】
解：根据俯视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据主视图是三角形可判断出这个几何体应该是三棱柱，
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了由三视图判断几何体，俯视图和左视图的大致轮廓为长方形的几何体为柱体，主视图为几边形就是几棱柱．
28．（2021·黑龙江齐齐哈尔市·九年级期末）一个几何体是由一些大小相同的小正方体摆成其主视图和左视图如图所示则组成这个几何体的小正方体最少有个，最多有个，（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】
由主视图、俯视图可知，俯视图最多可能为2×3的长方形，再在俯视图上各个位置，摆放小立方体，即可得到a和b的值．
【详解】
由主视图、左视图可知，俯视图最多可能为2×3的长方形，
在相应位置摆放小立方体，直至最少，如图所示：

∴，
在相应位置摆放小立方体，直至最多，如图所示：

∴，
∴．
故选：C．
【点睛】
本题考查了简单几何体的三视图的意义和画法，主视图反映的是几何体长与高的关系、左视图反映宽与高的关系，画三视图时还要注意“长对正、宽相等、高平齐”．
29．（2021·聊城市实验中学九年级期末）过反比例函数图象上一点，分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，如果的面积为，则的值为______．

【答案】6
【分析】
根据△ABC的面积为反比例函数比例系数的绝对值的一半可得k的值．
【详解】
解：∵△ABC的面积为反比例函数比例系数的绝对值的一半，
∴|k|＝3，
解得k＝6或−6，
∵k＞0，
∴k＝6．
故答案为：6．
【点睛】
考查反比例函数系数k的几何意义，掌握△ABC的面积与反比例函数比例系数的关系是解决本题的关键．
30．（2021·聊城市实验中学九年级期末）如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点，且正方形的一组对边与轴平行，点是反比例函数的图象上与正方形的一个交点．若图中阴影部分的面积等于，则这个反比例函数的解析式为______．

【答案】
【分析】
根据已知可得四边形AEOF为正方形，则由点P（3a，a）可得点A的坐标为（3a，3a），根据反比例函数的图象关于原点中心对称可得正方形AEOF的面积＝阴影部分的面积＝36，则3a•3a＝36，解得a＝2或a＝−2（舍去），所以P（6，2），然后根据反比例函数图象的坐标特点可求出k的值．
【详解】
解：如图，

∵正方形ABCD的中心在原点O，且AD∥x轴，
∴四边形AEOF为正方形，
∵点P（3a，a），
∴点A的坐标为（3a，3a），
∵正方形AEOF的面积＝阴影部分的面积＝36，
∴3a•3a＝36，
解得a＝2或a＝−2（舍去），
∴P（6，2），
∴k＝6×2＝12．
∴这个反比例函数的解析式为：．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了求反比例函数的关系式，解题的关键是根据反比例函数图象的对称性与正方形的性质求出反比例函数比例系数k．
31．（2021·达州市第一中学校九年级月考）如图，，，，…，均为等边三角形，其中点，，，…都在轴上，点，，，…，都在反比例函数的图象上，则的坐标为___________．

【答案】
【分析】
过点B1作B1C⊥x轴于点C，过点B2作B2D⊥x轴于点D，过点B3作B3E⊥x轴于点E，先在△OCB1中，表示出OC和B1C的长度，表示出B1的坐标，代入反比例函数解析式，求出OC的长度和OA1的长度，表示出A1的坐标，同理可求得A2、A3的坐标，即可发现一般规律．
【详解】
解：如图，过点B1作B1C⊥x轴于点C，过点B2作B2D⊥x轴于点D，过点B3作B3E⊥x轴于点E，

∵△OA1B1为等边三角形，
∴∠B1OC=60°，OC=A1C，
∴，
设OC的长度为t，则B1的坐标为，
把代入得 ，
解得或（舍去），
∴OA1=2OC=4
∴A1（4，0），
设A1D的长度为m，同理得到，，则B2的坐标表示为，
把代入得 ，解得（舍），，
∴，
∴
设A2E的长度为n，同理，B3的坐标表示为
把代入 得，解得 （舍），，
∴，
∴．
综上所述：，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．反比例函数图象上点的坐标满足其解析式．灵活运用各类知识求出A1、A2、A3的坐标是解题的关键．
32．（2021·四川成都市·中和中学九年级期中）如图，设点P在函数的图象上，PC⊥x轴于点C，交函数y＝的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交函数y＝的图象于点B，则四边形PAOB的面积为_____．

【答案】3．
【分析】
根据反比例函数系数k的几何意义求出四边形PCOD的面积，△OBD和△OAC的面积，然后求解即可．
【详解】
解：根据题意，S四边形PCOD＝PC•PD＝5，
S△OBD＝S△OAC＝×2＝1，
所以，四边形PAOB的面积＝S四边形PCOD﹣S△OBD﹣S△OAC＝5﹣1﹣1＝3．
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，一般的，从反比例函数（k为常数，k≠0）图象上任一点P，向x轴和y轴作垂线你，以点P及点P的两个垂足和坐标原点为顶点的矩形的面积等于常数，以点P及点P的一个垂足和坐标原点为顶点的三角形的面积等于．
33．（2021·西安益新中学九年级月考）如图，菱形的边轴，垂足为点，顶点在第二象限，顶点在轴的正半轴上，反比例函数的图象同时经过顶点、，若点的横坐标为1，．则的值为________．

【答案】
【分析】
过点D作DF⊥BC于F，推出四边形BEDF是矩形，得到DF=BE，BF=DE=1，求得DF=BE=3，根据勾股定理得到BC=CD=5，于是得到结论．
【详解】
过点D作DF⊥BC于F，

∵AD⊥y轴，四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，DC=BC，
∴四边形BEDF是矩形，
∴DF=BE，BF=DE=1，
∵BE=3DE，
∴DF=BE=3，
设CD=CB=，
∴CF=，
∵，
∴，
∴，
设点C（5，m），点D（1，m+3），
∵反比例函数图象过点C，D，
∴，
∴，
∴点C（5，），
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题是反比例函数与几何综合题，考查了反比例函数图象点的坐标特征，菱形的性质，求出DE的长度是本题的关键．
34．（2021·北京丰台区·九年级期末）如图，为了测量操场上一棵大树的高度，小英拿来一面镜子，平放在离树根部5m的地面上，然后她沿着树根和镜子所在的直线后退，当她后退1m时，正好在镜中看见树的顶端．小英估计自己的眼睛到地面的距离为1.6m，则大树的高度是________m．

【答案】8
【分析】
入射角等于反射角，两个直角相等，那么图中的两个三角形相似，利用对应边成比例可求得树高．
【详解】
如图：

∵∠ABC=∠DBE，∠ACB=∠DEB=90°，
∴△ABC∽△DBE，
∴BC：BE=AC：DE，
即1：5=1.6：DE，
∴DE=8m，
故答案为：8．
【点睛】
本题考查了相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
35．（2021·北京丰台区·九年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，点在边上，交于点，若，则=_______．

【答案】1:9
【分析】
根据平行四边形的性质得出AD=BC，AD∥BC，从而得到△AOE∽△COB，再根据相似三角形的性质定理即可得到结论．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴△AOE∽△COB，

∵，
∴，
∴，
∴
故答案为：
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
36．（2021·上海市徐汇区教育学院九年级一模）如图，已知在中，，，，正方形的顶点G、F分别在边、上，点D、E在斜边上，那么正方形的边长为_____．

【答案】
【分析】
作CM⊥AB于M，交GF于N，由勾股定理可得出AB，由面积法求出CM，证明△CGF∽△CAB，再根据对应边成比例，即可得出答案．
【详解】
作CM⊥AB于M，交GF于N，如图所示：
∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，，
∴设BC＝k，则AC＝2k，AB2＝AC2＋BC2，即：102＝（2k）2＋k2，解得：k＝2，
∴BC＝2，AC＝4，
∴CM＝＝＝4，
∵正方形DEFG内接于△ABC，
∴GF＝EF＝MN，GF∥AB，
∴△CGF∽△CAB，
∴，即，
解得：EF＝；
故答案为：．

【点睛】
本题考查的是相似三角形的判定和性质、正方形的性质、勾股定理等知识；正确作出辅助线、灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
37．（2021·上海市徐汇区教育学院九年级一模）如图，已知在平行四边形中，点E在边上，，联结交对角线于点O，那么的值为_____．

【答案】
【分析】
由题意可以得到△AOE∽△COD，再根据三角形相似的性质和已知条件可以求得AO：OC的值．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠OAE=∠DCO，∠OEA=∠ODC，
∴△AOE∽△COD，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为．
【点睛】
本题考查平行四边形与相似三角形的综合运用，熟练掌握平行四边形的性质、三角形相似的判定和性质是解题关键．
38．（2021·上海市徐汇区教育学院九年级一模）已知线段的长为4厘米，点P是线段AB的黄金分割点（），那么线段的长是______厘米．
【答案】
【分析】
根据黄金比值可知，计算得出结果即可．
【详解】
解：点P是线段AB的黄金分割点（），
，
可知（厘米），
（厘米）
故答案为：．
【点睛】
本题考查的是黄金分割比，属于基础题，掌握黄金比值是解题的关键．
39．（2021·上海市徐汇区教育学院九年级一模）新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形.如图，已知在对余四边形中，，，，，那么边的长为______．

【答案】9
【分析】
连接AC，作交BC于E点，由，，可得AE=6，BE=8，并求出AC的长，作交AD于F点，可证，最后求得AF和DF的长，可解出最终结果．
【详解】
解：如图，连接AC，作交BC于E点，
，，
，设AE=3x，BE=4x，
，则，
解得x=2，则AE=6，BE=8，
又，CE=BC-BE=4，
，
作交AD于F点，
，，
，==，
又，同理可得DF=3，CF=4，
，
AD=AF+DF=9．
故答案为：9．

【点睛】
本题考查四边形综合问题，涉及解直角三角形，勾股定理，有一定难度，熟练掌握直角三角形和勾股定理知识点，根据题意做出正确的辅助线是解决本题的关键．
40．（2021·上海青浦区·九年级期末）如图，、、是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长相同，那么的正弦值为_________________．

【答案】
【分析】
连接BC，根据网格求出AB,BC,AC，得到△ABC是直角三角形，再进行求解.
【详解】
∵每个小正方形的边长均为1，
∴AB＝，BC＝，AC＝，
∴AB2＝BC2＋AC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴sin∠BAC＝，
故答案为．
【点睛】
此题主要考查正弦的求解，解题的关键熟知勾股定理的运用.
41．（2021·吉林长春市·九年级期末）如图，在一次数学课外实践活动中，小亮在距离旗杆10m的A处测得旗杆顶端B的仰角为60°，测角仪高AD为1.5m，则旗杆高BC为_____m（结果保留根号）．

【答案】(1.5+)
【分析】
首先过点A作AE∥DC，交BC于点E，则AE=CD=10m，CE=AD=1.5m，然后在Rt△BAE中，∠BAE=60°，然后由三角形函数的知识求得BE的长，继而求得答案．
【详解】
如图，过点A作AE∥DC，交BC于点E，

则AE=CD=10m，CE=AD=1.5m，
∵在Rt△BAE中，∠BAE=60°，
∴BE=AE•tan60°=（m），
∴BC=CE+BE=1.5+（m），
∴旗杆高BC为(1.5+) m，
故答案为：(1.5+)．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用－仰角俯角问题，解题的关键是想添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
42．（2021·上海宝山区·九年级一模）如图，某堤坝的坝高为12米，如果迎水坡的坡度为，那么该大坝迎水坡的长度为______米．

【答案】15
【分析】
过点B作BC⊥AC于C，由迎水坡的坡度为，得到tan∠BAC=，求出AC=9米，再利用勾股定理求出答案．
【详解】
过点B作BC⊥AC于C，
∵迎水坡的坡度为，
∴tan∠BAC=，
∵BC=12米，
∴AC=9米，
∴AB===15(米)，
故答案为：15．
．
【点睛】
此题考查坡度的定义，解直角三角形的实际应用，勾股定理，正确理解迎水坡的坡度为得到tan∠BAC=是解题的关键．
43．（2021·深圳市南山区第二外国语学校（集团）九年级期末）若，那么的形状是_____．
【答案】锐角三角形
【分析】
根据二次根式和绝对值的非负数性质及特殊角的三角函数值可求出∠A和∠B的度数，然后根据三角形内角和求出∠C的度数，即可得到答案．
【详解】
∵，
∴cos2A-=0，tan-=0，
∴cosA=（负值舍去），tanB=，
∴∠A=45°，∠B=60°，
∴∠C=180°-45°-60°=75°，
∴△ABC是锐角三角形，
故答案为：锐角三角形
【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数值及非负数性质的应用，熟练掌握非负数的性质，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．
44．（2021·全国九年级）如图是一个组合几何体，右边是它的两种视图，根据图中的尺寸，这个几何体的表面积是__（结果保留．

【答案】
【分析】
根据视图可知两个视图分别为主视图、俯视图，根据视图中的数据即可得到答案．
【详解】
解：两个视图分别为主视图、俯视图，由主视图和俯视图中的数据可得：
这个几何体的表面积是


．
故答案为：．
【点睛】
此题考查由三视图求表面积，由几何体的三视图得到相应的数据是解题的关键．
45．（2021·成都市第二十中学校九年级期中）由若干个相同的小立方体搭成的几何体三视图如图所示，则搭成这个几何体的小立方体的个数是_____．

【答案】5
【分析】
根据几何体的三视图，可以知道这个几何体有3行2列2层，得出底层和第二层的个数相加即可．
【详解】
解：综合三视图，我们可得出，这个几何体有3行2列2层，
底层应该有4个小正方体；
第二层应该有1个小正方体；
因此搭成这个几何体的小正方体的个数是4+1＝5．
故答案为：5．
【点睛】
本题考查了由三视图还原实物图形，三视图还原实物是解题的关键．
46．（2021·北京丰台区·九年级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，A(4，0)，C(0，2)．点D是矩形OABC对角线的交点．已知反比例函数（）在第一象限的图象经过点D，交BC于点M，交AB于点N．
（1）求点D的坐标和k的值；
（2）反比例函数图象在点M到点N之间的部分（包含M， N两点）记为图形Ｇ，求图形Ｇ上点的横坐标x的取值范围．

【答案】（1）D(2，1)；k=2；（2）
【分析】
（1）根据矩形的性质即可求解D的坐标，从而求解k；
（2）结合矩形的性质可得到M的纵坐标，以及N的横坐标，从而得出结论．
【详解】
（1）∵点D是矩形OABC的对角线交点，
∴点D是矩形OABC的对角线AC的中点，
又∵A(4，0)，C(0，2)，
∴点D的坐标为(2，1)，
∵反比例函数的图象经过点D，
∴，解得：k=2；
（2）由题意可得：点M的纵坐标为2，点N的横坐标为4.
∵点M在反比例函数的图象上，
∴点M的坐标为(1，2)，
∴．
【点睛】
本题考查矩形的性质，求反比例函数的解析式以及反比例函数图像上点的特征，熟练掌握矩形的性质，理解反比例函数图象上点的特征是解题关键．
47．（2021·陕西渭南市·九年级期末）如图，平行四边形的顶点在原点上，顶点分别在反比例函数，的图象上，对角线轴于，已知点的坐标为．

（1）求点的坐标；
（2）若平行四边形的面积是55，求的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）由题意，C、D纵坐标相等，所以把D点纵坐标代入C所在函数的解析式即可得到C点横坐标，从而得到问题解答；
（2）与（1）类似可以用k表示出A点横坐标，进一步用k表示出平行四边形 OABC 的面积，结合已知得到关于k的方程，解方程即得k的值．　
【详解】
解：（1）当时，代入得，，
．
（2）由题意可知：．
．
即．
解得：．
【点睛】
本题考查反比例函数的应用，熟练掌握函数的基础知识、直线和坐标轴所围图形面积的计算方法及方程思想的渗透是解题关键．
48．（2021·辽宁沈阳市·九年级期末）如图，一次函数的图象y＝ax+b（a≠0）与反比例函数（k≠0）的图象交于点A（，4），点B（m，1）．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）若一次函数图象与y轴交于点C，点D为点C关于原点O的对称点，点P是反比例函数图象上的一点，当S△OCP：S△BCD＝1：3时，请直接写出点P的坐标．

【答案】（1）；（2）或
【分析】
（1）把点A（，4）代入y＝（k≠0）得：k＝2，得反比例函数的表达式为：y＝，再求m＝2，则B（2，1），然后把点A和点B的坐标代入求出a和b即可；
（2）先求出C（0，5），则OC＝5，再求出D（0，﹣5），则CD＝10，然后由三角形面积关系求出P的横坐标为或﹣，即可解决问题．
【详解】
（1）把点A（，4）代入y＝（k≠0）得：k＝×4＝2，
∴反比例函数的表达式为：y＝，
∵点B（m，1）在y＝上，
∴m＝2，
∴B（2，1），
∵点A（，4）、点B（2，1）都在y＝ax+b（a≠0）上，
∴，
解得：，
∴一次函数的表达式为：y＝﹣2x+5；
（2）∵一次函数图象与y轴交于点C，
∴y＝﹣2×0+5＝0，
∴C（0，5），
∴OC＝5，
∵点D为点C关于原点O的对称点，
∴D（0，﹣5），
∴OD＝5，
∴CD＝10，
∴S△BCD＝×10×2＝10，
设P（x，），
∴S△OCP＝×5×x＝x，
∵S△OCP：S△BCD＝1：3，
∴x＝×10，
∴x＝，
∴P的横坐标为或﹣，
∴P（，）或（﹣，﹣）．
【点睛】
本题考查的是反比例函数图象与一次函数图象的交点问题、对称的性质以及三角形面积等知识，求出两个函数的解析式是解题的关键．
49．（2021·山东济南市·济南外国语学校九年级月考）如图，直线与双曲线的图象相交于点A和点C，点A的坐标为(-1， a)，点C的坐标为(b，-1)．
(1)求a的值和反比例函数的解析式；
(2)求b的值，并直接写出使得反比例函数大于一次函数的值的x的取值范围；
(3)如图，直线与x轴相交于点B，在x轴上存在点D，使得△BCD是以BC为腰的等腰三角形，求点D的坐标．

【答案】(1)，； (2)，或； (3) 点D的坐标为(，0)或(，0)或(5，0)．
【分析】
(1)把(-1，a)代入得a=4，于是得到A(-1，4)，把A(-1，4)代入即可得到结论；
(2)把(b，-1)代入得到C(4，-1)；于是得到结论；
(3)把y=0代入得到B(3，0)，求得CH、BH的长，根据勾股定理得到BC的长，分BC=BD和BC=DC时两种情况讨论，即可得到结论．
【详解】
(1)把(-1，a)代入得，
∴A(-1，4)，
把A(-1，4)代入得：，
∴反比例函数的解析式为；
(2)把(b，-1)代入得：，
解得：，
∴C(4，-1)；
观察图象，当或时，反比例函数的图象在直线的上方，
∴使得反比例函数大于一次函数的值的的取值范围为：或；
(3)把代入得，
∴B(3，0)，
∵C(4，-1)，
∴BC=，
当BC=BD时，D(，0)或D(，0)，
当BC=DC时，过点C作CH⊥x轴于点H，如图：

∵CH⊥BD，
∴BH=HD，
∴OD=OH+HD，
∴D(5，0)，
综上所述，点D的坐标为(，0)或(，0)或(5，0)．
【点睛】
本题考查了反比例函数的综合题，待定系数法求函数的解析式，勾股定理，等腰三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键．
50．（2021·揭西县石内中学九年级期末）如图1，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的一个顶点与坐标原点重合，OA边落在x轴上，且OA＝4，OC＝2，∠COA＝45°．反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点C，与AB交于点D，连接CD．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求点D的坐标；
（3）如图2，连接OD，在反比例函数图象上是否存在一点P，使得S△POC＝S△COD？如果存在，请直接写出点P的坐标．如果不存在，请说明理由．

【答案】（1）y＝；（2）点D（2+2，2﹣2）；（3）点P的坐标为（﹣1，+1）或P（+1，﹣1）．
【分析】
（1）过点C作CE⊥x轴于E，已知OC=2，∠COA=45°，根据勾股定理求得OE=CE=2，即可得点C的坐标，代入y=求得k值，即可得反比例函数的解析式；
（2）先求OC解析式为：y＝x，由四边形OABC是平行四边形，BC＝OA＝4，点B（6，2），求AB解析式为：y＝x﹣4，联立方程组可得：，即可求交点；
（3）存在，分点P在点C右侧时和点P在点C左侧时两种情况求点P的坐标即可．
【详解】
解：（1）如图1，过点C作CE⊥x轴于E，
∴∠CEO＝90°，
∵∠COA＝45°，
∴∠OCE＝45°，OE=DE，
∵OC＝2，由勾股定理得，
∴OE＝CE＝2，
∴C（2，2），
∵点C在反比例函数图象上，
∴k＝2×2＝4，
∴反比例函数解析式为y＝；
（2）∵点C（2，2），点O（0，0），
∴OC解析式为：y＝x，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴BC＝OA＝4，BC∥OA，AB∥OC，
∴点B（6，2），
∴设AB解析式为：y＝x+b，
∴2＝6+b，
∴b＝﹣4，
∴AB解析式为：y＝x﹣4，
联立方程组可得：，
∴或（舍去），
∴点D（2+2，2﹣2）；
（3）存在，
∵S△POC＝S△COD，
∴点P到OC的距离等于CD的一半，
Ⅰ、如图2，当点P在点C右侧时，即：点P的横坐标大于2，

∵S△POC＝S△COD，
∴设CD的中点为M，
∴M（+2，），
过点M作MP∥OC交双曲线于P，
∴直线PM的解析式为y＝x﹣2③，
∵反比例函数解析式为y＝④，
联立③④解得，
或（舍去），
∴P（+1，﹣1）；
Ⅱ、当点P'在点C左侧时，即：点P'的横坐标大于0而小于2，
设点M关于OC的对称点为M'，M'（m，n），
∴＝2，＝2，
∴m＝2﹣，n＝4﹣，
∴M'（2﹣，4﹣），
∵P'M'∥OC，
∴直线P'M'的解析式为y＝x+2⑤，
∵反比例函数解析式为y＝④，
联立④⑤解得，或（舍去），
∴P'（﹣1，+1）．
即：点P的坐标为（﹣1，+1）或P（+1，﹣1）．
【点睛】
本题考查引辅助线，勾股定理，平行四边形的性质，求一次函数与反比例函数的解析式，利用函数求交点坐标等问题，掌握引辅助线的方法，勾股定理的应用，平行四边形的性质，求一次函数与反比例函数的解析式的方法，利用函数求交点坐标的方法是解题关键．
51．（2021·北京丰台区·九年级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，△AOB的顶点坐标分别是A(1，0)，O(0，0)，B(2，2)．
（1）画出A1OB1，使A1OB1与AOB关于点O中心对称；
（2）以点O为位似中心，将AOB放大为原来的2倍，得到A2OB2，画出一个满足条件的A2OB2．

【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【分析】
（1）分别找到A(1，0)，B(2，2)关于原点中心对称的点A1，B1，再连接O、A1，B1即可；
（2）以点O为位似中心，根据相似比为1：2找到点A2，B2再连接A2，B2，O即可．
【详解】
解：（1）如图：A1OB1即为所求作的图形．

（2）如图：A2OB2即为所求作的图形．

【点睛】
本题考查作位似图形、中心对称图形等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
52．（2021·上海市徐汇区教育学院九年级一模）如图，已知在中，，，点D为边上一动点（与点B、C不重合），点E为边上一点，，过点E作，垂足为点G，交射线于点F．

（1）如果点D为边的中点，求的正切值；
（2）当点F在边上时，设，，求y关于x的函数解析式及定义域；
（3）联结如果与相似，求线段的长．
【答案】（1）；（2）；（3）4-4、或．
【分析】
（1））过点D作于H，在中，利用勾股定理解得AD、AB的长，再结合等积法，解得DH、AH的长即可解题；
（2）根据相似三角形对应边成比例的性质，表示， 再证明
由即得到与x的关系；
（3）根据相似三角形对应边成比例的性质，结合（2）中y关于x的函数解析式联立方程组，继而解得x、y的值即可解题．
【详解】
（1）过点D作于H，

在中，





；
（2）过E作EH⊥CB于H

∵，
∴．
∴ 即．
∴ ．
∵EH⊥CB，，
∴ ，．
∴
∵，
∴ ．
∵
∴．
∵
∴．
∴即．
整理得，；
（3）在Rt△MDB中，DB=4-x,
所以MD=MB=
在Rt△ADM中，AM=AB一MB=
所以tan∠DAB=
按照点F的位置，分两种情况讨论△CDF与△AGE相似:
①点F在线段AC上，此时y=4-2x.
如图，

如果∠FDC=∠DAB，由tan∠FDC=tan∠DAB,得
结合y=4-2x，整理，得x2+8x+16=0.
解得x=4-4 或-4-4 （舍去）,
如果∠CFD=∠DAB，由tan∠CFD=tan∠DAB，得
结合y=4- -2x,整理，得x2-16x+16=0.
解得或（舍去）
②点F在线段AC的延长线上，此时y=2x-4
如图

如果∠FDC=∠DAB,由结合y=2x-4，整理，得
解得x=或（舍去）
如果∠CFD=∠DAB, 与y=2x-4
整理，得
此方程无解.
综上，CD的值为4-4、或．
【点睛】
本题考查勾股定理、相似三角形的性质，涉及解二元一次方程组等知识，解题关键是根据题意利用相似三角形性质构造方程．
53．（2021·上海市徐汇区教育学院九年级一模）已知：如图，在梯形中，，对角线、相交于点E，过点A作，交对角线于点F．

（1）求证：；
（2）如果，求证：线段是线段、的比例中项．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）延长AF交BC于点G，可证AD=GC，由，可证，由，可证，进而可证结论成立；
（2）证明，可证，由（1）得，即，进而可证线段是线段、的比例中项．
【详解】
证明：（1）如图，延长AF交BC于点G，
∵，，
∴四边形AGCD是平行四边形，
∴AD=GC．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；

（2）∵，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，以及平行线分线段成比例定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．
54．（2021·北京昌平区·九年级期末）某校九年级数学兴趣小组的同学进行社会实践活动时，想利用所学的解直角三角形的知识测昌平中心公园的仿古建筑“弘文阁”AB的高度．他们先在点C处用高1.5米的测角仪CE测得“弘文阁”顶A的仰角为30°，然后向“弘文阁”的方向前进18m到达D处，在点D处测得“弘文阁”顶A的仰角为50°．求“弘文阁”AB的高（结果精确到0.1m，参考数据：，tan50°≈1.19，tan40°≈0.84，）．

【答案】21.7m
【分析】
根据题意得到GB=DF=CE=1.5m，∠AEG =30°，FE=18m ，由三角形内角和得出∠GAE＝60°，∠GAF=40°，在Rt△AGE中，GE=tan60°AG，在Rt△AFG中，GF=tan40°AG，由 EF=EG-GF=18，代入求出AG的值，由AB=AG+GB即可求出AB的值．
【详解】
解：由题可知：GB=DF=CE=1.5，∠AEG =30°，FE=18m，∠AFG=50°．
∴∠GAE＝60°，∠GAF=40°
∵在Rt△AGE中，∠GAE＝60°
∴ tan∠GAE=
GE=tan60°AG
∵在Rt△AFG中，∠GAF＝40°
∴ tan∠GAF=
GF=tan40°AG
∵ EF=EG－GF，EF=18m
∴ tan60°AG－tan40°AG=18，
1.73AG－0.84AG=18，
0.98AG=18，
∴ AG≈20.2m．
∴ AB=AG+GB≈20.2+1.5=21.7m．
答：“弘文阁”AB高约21.7m．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用−仰角俯角问题，解题的关键是借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
55．（2021·安徽九年级月考）2021年汛期过后，省防汛指挥部决定对一段重点堤段的背水坡面进行加固加宽．具体的方案是：将原背水坡的坡度变为加固后背水坡的坡度，如图，若，米，原背水坡米．求需要加固的堤坝底部的长（精确到0.1米）？（参考数据：，，）

【答案】2.9m．
【分析】
如图：分别过E、A作EM⊥FC, AN⊥FC，先根据题意求得BM=BN-MN=9，再在Rt△EFM中求得FM，最后根据线段的和差即可解答．
【详解】
分别过E、A作EM⊥FC, AN⊥FC，
∵ED//BC，
∴四边形EMNA为矩形，
∴MN=EA=1,EM=AN，
∵背水坡的坡度，
∴AN=EM=BN，
∵，
∴AN=AB·sin45°=×=10，即AN=EM=BN=10，
∴BM=BN-MN=9，
在Rt△EFM中，EM=10，
∴tan=tan40°=0.84=，即FM=≈11.9米，
∴FB=FM-BM=11.9-9=2.9m．
答：需要加固的堤坝底部的长为2.9m．

【点睛】
本题主要考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线、构造直角三角形并正确解直角三角形成为解答本题的关键．