考点06 实际问题与二次函数-2020-2022学年九年级《新题速递·数学》（人教版）

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考点06 实际问题与二次函数1．（安徽省淮北市名校联考2019-2021学年九年级下学期数学试题（一））据省统计局公布的数据，安徽省2019年第二季度GDP总值约为7.9千亿元人民币，若我省第四季度GDP总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是A．y=7.9（1＋2x） B．y=7.9（1－x）2C．y=7.9（1＋x）2 D．y=7.9＋7.9（1＋x）＋7.9（1＋x）2【答案】C【解析】【分析】根据安徽省2019年第二季度GDP总值约为7.9千亿元人民币，第四季度GDP总值为7.9(1＋x)2千亿元人民币，则函数解析式即可求得．【详解】设平均每个季度GDP增长的百分率为x，根据题意可得：y与x之间的函数关系为：y=7.9(1＋x)2．故答案为：y=7.9(1＋x)2．【点睛】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，属于中考常考题型．2．（2021年浙江省温州市平阳县、苍南县、泰顺县九年级学业考试数学试题）某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙(墙足够长)，并在如图所示位置留宽的门．已知计划中的建筑材料可建围墙(不包括门)的总长度为．设饲养室长为，占地面积为，则关于的函数表达式是A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】根据题意表示出矩形的宽，再利用矩形面积求法得出答案．【详解】解：设饲养室长为x（m），占地面积为y（m2），则y关于x的函数表达式是：，故选：D．【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确表示出矩形的宽是解题关键．3．（北京市首都师范大学附属中学2019-2021学年九年级下学期综合练习（一）数学试题）某市某塑料玩具生产公司，为了减少空气污染，国家要求限制塑料玩具生产，这样有时企业会被迫停产，经过调研预测，它一年中每月获得的利润（万元）和月份之间满足函数关系式，则企业停产的月份为A．2月和12月 B．2月至12月 C．1月 D．1月、2月和12月【答案】D【解析】【分析】求出时n的所有的整数值即可得．【详解】由题意，，且n为整数企业停产时，利润令得解得或结合得，当或时，企业利润因n为整数则企业停产的月份为1月、2月和12月故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，理解题意，正确列出所求的式子是解题关键．4．（山东省威海市文登区八校联考2019-2021学年九年级下学期期中数学试题）某宾馆共有80间客房．宾馆负责人根据经验作出预测：今年7月份，每天的房间空闲数y（间）与定价x（元/间）之间满足y＝x﹣42（x≥168）．若宾馆每天的日常运营成本为5000元，有客人入住的房间，宾馆每天每间另外还需支出28元的各种费用，宾馆想要获得最大利润，同时也想让客人得到实惠，应将房间定价确定为A．252元/间 B．256元/间 C．258元/间 D．260元/间【答案】B【解析】【分析】根据：总利润=每个房间的利润×入住房间的数量-每日的运营成本，列出函数关系式，配方成顶点式后依据二次函数性质可得最值情况．【详解】设每天的利润为W元，根据题意，得： W=（x-28）（80-y）-5000，∵当x=258时，，不是整数，∴x=258舍去，∴当x=256或x=260时，函数取得最大值，最大值为8224元，又∵想让客人得到实惠，∴x=260（舍去）∴宾馆应将房间定价确定为256元时，才能获得最大利润，最大利润为8224元．故选：B．【点睛】本题考查二次函数的实际应用，利用数学知识解决实际问题，解题的关键是建立函数模型，利用配方法求最值．5．（重庆市2019-2021学年九年级上学期期末数学试题）丰都县某中学为培养学生综合实践能力，开展了一系列综合实践活动，有一次财商训练活动中，小明同学准备去集市批发两种商品用于活动中交易．预先了解到A、B两种商品的价格之和为27元，小明计划购买B商品的数量比A商品的数量多2件，但一共不超过25件，且每样不少于3件，但小明去购买时发现A商品正打九折销售，而B商品的价格提高了20%，小明决定将A、B产品的购买数量对调，这样实际花费只比计划多8元，已知价格和购买数量均为整数，则小明购买两种商品实际花费为_____元．【答案】312【解析】【分析】设A商品的单价为x元/件，则B商品的单价为（27﹣x）元/件，计划购买A商品a件，则B商品为（a+2）件，根据题中等量关系可列出关于x的方程，用含a的式子表示出x，由“一共不超过25件，且每样不少于3件”“ 价格和购买数量均为整数”可知a的值，易求x的值.【详解】设A商品的单价为x元/件，则B商品的单价为（27﹣x）元/件，计划购买A商品a件，则B商品为（a+2）件，根据题意可得：0.9x×（a+2）+1.2×（27﹣x）×a＝xa+（27﹣x）（a+2）+8，∴x＝，∵a≥3，a+2≥3，a+a+2≤25，x，a均为整数，∴a＝10，x＝10∴小明购买两种商品实际花费＝9×12+1.2×10×17＝312元，故答案为：312.【点睛】本题考查了方程的应用，正确理解题意，找准题中的等量关系是解题的关键.6．（北京市第二十五中学2019-2021学年九年级4月适应性数学试题）如图，在喷水池的中心处竖直安装一根水管，水管的顶端安有一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高点，高度为3m，水柱落地点离池中心处3m，以水平方向为轴，建立平面直角坐标系，若选取点为坐标原点时的抛物线的表达式为，则选取点为坐标原点时的抛物线表达式为______，其中自变量的取值范围是______，水管的长为______m．【答案】y＝−（x＋2）2＋3    −3≤x≤0    2.25    【解析】【分析】直接利用二次函数的平移规律进而得出答案，再由题意可得，x＝−3时得到的y值即为水管的长．【详解】以池中心A为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系．抛物线的解析式为，当选取点D为坐标原点时，相当于将原图象向左平移3个单位，故平移后的抛物线表达式为：（−3≤x≤0）；令x＝−3，则y＝−＋3＝2.25．故水管AB的长为2.25m．故答案为：y＝−（x＋2）2＋3；−3≤x≤0；2.25．【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，直接利用二次函数的平移性质是解题关键．7．（吉林省长春外国语学校2019-2021学年九年级上学期期中试数学试题）如图，一个横截面为抛物线形的隧道底部宽12米、高6米．车辆双向通行，若规定车辆必须在中心线两侧、距离道路边缘2米的范围内行使，并保持车辆顶部与隧道有不少于米的空隙，则通过隧道车辆的高度限制应为__________米．【答案】3【解析】【分析】首先建立适当的平面直角坐标系，根据图中数据求抛物线解析式再进行求解即可．【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系，根据题意得：A（0，6），B（6，0），设抛物线解析式为y=ax2+6，把B（6，0）代入，得，所以抛物线的解析式为，当x=4时，y=，∴．∴通过隧道车辆的高度限制应为3米．故答案为：3．【点睛】本题考查了二次函数的应用，以及二次函数的图像和性质，解决本题的关键是建立适当的平面直角坐标系，熟练利用二次函数的性质进行解题．8．（江西省鹰潭市贵溪市第二中学2019-2021学年九年级上学期期末数学试题）小明制作了一张如图所示的贺卡. 贺卡的宽为，长为，左侧图片的长比宽多. 若，则右侧留言部分的最大面积为_________. 【答案】320【解析】【分析】先求出右侧留言部分的长，再根据矩形的面积公式得出面积与x的函数解析式，利用二次函数的图像与性质判断即可得出答案.【详解】根据题意可得，右侧留言部分的长为(36-x)cm∴右侧留言部分的面积又14≤x≤16∴当x=16时，面积最大(故答案为320.【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，比较简单，解题关键是根据题意写出面积的函数表达式.9．（安徽合肥市瑶海三十八中2021-2021学年九年级上学期月考数学试题）有一座抛物线拱形桥，在正常水位时，水面BC的宽为8米，拱桥的最高点D到水面BC的距离DO为4米，点O是BC的中点，如图，以点O为原点，直线BC为x轴，建立直角坐标xOy．（1）求该抛物线的表达式；（2）如果水面BC上升3米（即OA=3）至水面EF，点E在点F的左侧，求水面宽度EF的长．
 【解析】【分析】（1）直接设出二次函数解析式进而得出答案；（2）根据题意得出y＝3进而求出x的值，即可得出答案．【详解】（1）设抛物线解析式为：y＝ax2＋c，由题意可得图象经过（4，0），（0，4），则，解得：a＝，故抛物线解析为：y＝x2＋4；（2）由题意可得：y＝3时，3＝x2＋4，解得：x＝±2，故EF＝4，答：水面宽度EF的长为4m．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，正确得出函数解析式是解题关键．10．（2021年湖北省荆门市九年级学业水平模拟数学试题）2021年是决战决胜扶贫攻坚和全面建成小康社会的收官之年，荆门市政府加大各部门和单位对口扶贫力度．某单位的帮扶对象种植的农产品在某月（按30天计）的第x天（x为正整数）的销售价格p（元/千克）关于x的函数关系式为，销售量y（千克）与x之间的关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）当月第几天，该农产品的销售额最大，最大销售额是多少？（销售额=销售量×销售价格）【解析】【分析】（1）分为和，用待定系数法确定解析式即可；（2）分别计算出和时的最大值，进行比较，最大的作为最大值即可．【详解】（1）当时，设，由图象得：解得：∴ 当时，设，由图象得：解得：∴ 综上，． （2）设当月该农产品的销售额为w元，则．当时，∵，由二次函数的性质可知：∴当时， 当时，∵，由二次函数的性质可知：当时， ∵∴当时，w取得最大值，该最大值为500．答：当月第15天，该产品的销售额最大，最大销售额是500元．【点睛】本题考查了一次函数，二次函数在实际问题中的应用，能根据实际问题提供的关系式快速列式并进行准确的计算是解题的关键．11．（2021年辽宁省鞍山市中考一模数学试题）某工艺品厂设计了一款每件成本为11元的工艺品投放市场进行试销，经过市场调查，得出每天销售量y（件）是每件售价x（元）（x为正整数）的一次函数，其部分对应数据如下表所示：每件售价x（元）…15161718…每天销售量y（件）…150140130120…（1）求y关于x的函数解析式；（2）若用w（元）表示工艺品厂试销该工艺品每天获得的利润，试求w关于x的函数解析式；（3）该工艺品每件售价为多少元时，工艺品厂试销该工艺品每天获得的利润最大，最大利润是多少元？【解析】【分析】（1）根据表格中数据利用待定系数法求解；（2）利用利润=销售量×（售价-成本）即可表示出w；（3）根据（2）中解析式求出当x为何值，二次函数取最大值即可．【详解】解：（1）设y=kx+b，由表可知：当x=15时，y=150，当x=16时，y=140，则，解得：，∴y关于x的函数解析式为：y=-10x+300；（2）由题意可得：w=（-10x+300）（x-11）=-10x2+410x-3300，∴w关于x的函数解析式为：w=-10x2+410x-3300；（3）∵=20.5，当x=20或21时，代入，可得：w=900，∴该工艺品每件售价为20元或21元时，工艺品厂试销该工艺品每天获得的利润最大，最大利润是900元．【点睛】本题考查了求一次函数表达式，二次函数的实际应用，解题的关键是弄清题中所含的数量关系，正确列出相应表达式．12．（湖北省十堰市竹溪县蒋家堰中心学校2019-2021学年九年级上学期期末数学试题）为倡导节能环保，降低能源消耗，提倡环保型新能源开发，造福社会．某公司研发生产一种新型智能环保节能灯，成本为每件40元．市场调查发现，该智能环保节能灯每件售价y（元）与每天的销售量为x（件）的关系如图，为推广新产品，公司要求每天的销售量不少于1000件，每件利润不低于5元．（1）求每件销售单价y（元）与每天的销售量为x（件）的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（2）设该公司日销售利润为P元，求每天的最大销售利润是多少元？（3）在试销售过程中，受国家政策扶持，毎销售一件该智能环保节能灯国家给予公司补贴m（m≤40）元．在获得国家每件m元补贴后，公司的日销售利润随日销售量的增大而增大，则m的取值范围是　   　（直接写出结果）．【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；（3）构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．【详解】解：（1）设每件销售单价y（元）与每天的销售量为x（件）的函数关系式为y＝kx+b，把与代入y＝kx+b得，，解得：，∴每件销售单价y（元）与每天的销售量为x（件）的函数关系式为y＝﹣x+70，当y≥45时，﹣x+70≥45，解得：x≤2500，∴自变量x的取值范围1000≤x≤2500；（2）根据题意得P＝，∵﹣＜0，P有最大值，当x＜1500时，P随x的增大而增大，∴当x＝1500时，P的最大值为22500元，答：每天的最大销售利润是22500元；（3）由题意得，P＝，∵对称轴为x＝，∵1000≤x≤2500，∴x的取值范围在对称轴的左侧时P随x的增大而增大，≥2500，解得：m≥20，∴m的取值范围是：20≤m≤40．故答案为：20≤m≤40．【点睛】本题主要考查的是一次函数与二次函数的综合应用，关键是根据题意得到一次函数表达式，然后根据条件得到关于利润与销量的二次函数表达式，进而利用二次函数的性质求最值．13．（河南省郑州市登封市2019-2021学年年九年级上学期期末数学试题）某蛋糕房推出一种新品蛋糕，每个成本为50元经过一段时间的售卖发现，当单价定为90元的时候，可卖100个，而单价每降低1元，就会多卖出10个（1）写出销售量 (个)与销售单价（元）之间的函数关系式；（2）若设销售这种蛋糕的利润为（元），请写出与销售单价 （元）之间的函数关系式，并计算当销售单价定为多少元时该蛋糕房可获得最大利润(不需要计算最大利润)；（3）若想尽可能地降低成本，并使该蛋糕房获利6000元，应将销售单价定为多少元?【解析】【分析】（1）单价每降低1元，就会多卖出10个，售价为元时，售价降低元，则多卖，据此可得关系式；（2）利用每个蛋糕利润乘以销售量即可得出w与x之间的关系式，再根据二次函数的性质得出最大利润时的售价；（3）w=6000时，解一元二次方程得出售价，再根据成本的函数关系式，确定成本最低时的售价．【详解】解：（1）（2）由题意，得当时， 取得最大值，即当销售单价定为75元时该蛋糕房可获得最大利润．（3）当时，有，解得．当销售量为时，设总成本为，则．∵，∴随的增大而减小，∴当时，有最小值．∴应将销售单价定为80元．【点睛】本题考查二次函数的应用，熟练掌握销售问题中的等量关系，建立二次函数模型是解题的关键．14．（安徽省合肥市瑶海区2019-2021学年九年级上学期期末数学试题）公司经销的一种产品，按要求必须在15天内完成销售任务．已知该产品的销售价为62元/件，推销员小李第x天的销售数量为y件，y与x满足如下关系：y＝（1）小李第几天销售的产品数量为70件？（2）设第x天销售的产品成本为m元/件，m与x的函数图象如图，小李第x天销售的利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出第几天时利润最大，最大利润是多少？【解析】【分析】（1）根据y和x的关系式，分别列出方程并求解，去掉不符合情况的解后，即可得到答案;（2）根据m与x的函数图象，列出m与x的关系式并求解系数；然后结合利润等于售价减去成本后再乘以销售数量的关系，利用一元一次函数和一元二次函数的性质，计算得到答案．【详解】（1）如果8x＝70得x＝ ＞5，不符合题意；如果5x+10＝70得x＝12．故小李第12天销售的产品数量为70件；（2）由函数图象可知：当0≤x≤5，m＝40当5＜x≤15时，设m＝kx+b将（5，40）（15，60）代入，得 ∴且b=30 ∴m＝2x+30①当0≤x≤5时w＝（62﹣40）•8x＝176x∵w随x的增大而增大∴当x＝5时，w最大为880；②当5＜x≤15时w＝（62﹣2x﹣30）（5x+10）＝﹣10x2+140x+320∴当x＝7时，w最大为810∵880＞810∴当x＝5时，w取得最大值为880元故第5天时利润最大，最大利润为880元．【点睛】本题考察了从图像获取信息、一元一次函数、一元二次函数的知识；求解本题的关键为熟练掌握一元一次和一元二次函数的性质，并结合图像计算得到答案．15．（湖北省武汉市外国语学校美加分校2019-2021学年九年级下学期期中数学试题）当今，越来越多的青少年在观看影片《流浪地球》后，更加喜欢同名科幻小说，该小说销量也急剧上升，书店为满足广大顾客需求，订购该科幻小说若干本，每本进价为20元．根据以往经验：当销售单价是25元时，每天的销售量是250本；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10本，书店要求每本书的利润不低于10元且不高于20元．（1）直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量y（本）与销售单价x（元）之间的函数关系式及自变量的取值范围；（2）书店决定每销售1本该科幻小说，就捐赠a（0＜a≤10）元给困难职工，每天扣除捐赠后可获得最大利润为1440元，求a的值．【解析】【分析】（1）根据题意列出函数关系式并写出自变量的取值范围即可．（2）设每天扣除捐赠后可获得利润为元，根据每天的销售量乘以（售价进价每本的捐赠额）等于，列出函数关系式，求出其对称轴，再根据自变量的取值范围及可获得最大利润为1440元，列出关于的一元二次方程，解得 的值，并根据问题的实际意义作出取舍即可．【详解】解：（1）由题意得：，∵每本进价为20元，书店要求每本书的利润不低于10元且不高于20元，∴，函数关系式及自变量的取值范围是．（2）设每天扣除捐赠后可获得利润为元，则：，对称轴为，又，，，时，，，整理得：，解得，（不合题意，舍去．．【点睛】本题考查了二次函数及一元二次方程在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并正确列式是解题的关键．