专训二十九、二次函数实际应用：利润最值-2021-2022学年九年级数学上册计算力提升训练（人教版）

计算力专训二十九、二次函数实际应用：利润最值

牛刀小试

1．（2021·浙江余杭·月考）我市某工艺厂为迎接亚运会，设计了一款成本为20元/件的工艺品投放某工艺品店进行试销．据市场调查，若每件30元销售，一个月能售出500件，销售单价每上涨10元，月销售量就减少100件，问：

（1）当销售单价定为每件60元时，计算销售量和月销售利润．

（2）设销售单价为每件元，月销售利润为元，求与的函数关系式，并求出最大利润。

【答案】（1）200，8000；（2）w＝－10（x－50）2＋9000，最大利润为9000．

【解析】

【分析】

（1）根据题意即可列式求解；

（2）根据“总利润＝单件利润×销售量”列出函数关系式，将解析式配方成顶点式，结合x的取值范围利用二次函数的性质求解可得．

【详解】

解：（1）当销售单价定为每件60元时，销售量为500-10（60-30）=200（件）

∴月销售利润=（60-20）×200=8000（元）

（2）依题意得w＝（x－20）[500－10（x－30）]

＝－10（x－50）2＋9000

∴当x＝50时，w的最大值为9000，即最大利润为9000．

【点睛】

此题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式及利用销量×单件利润＝总利润得出函数解析式是解题关键．

2．（2021·辽宁台安·月考）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件可盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，若每件降价1元，商场平均每天可多销售2件．

（1）若现在设每件衬衫降价元，平均每天盈利为元．求出与之间的函数关系式．

（2）当每件降价多少元时，商场平均每天盈利最多？此时，与降价前比较，每天销售这种商品可多获利多少元？

（3）若商场每天平均需盈利1200元，每件衬衫应降价多少元．

【答案】（1）；（2）即当每件降价15元时，商场平均每天盈利最多，此时，与降价前比较，每天销售这种商品可多获利450元；（3）降价10元或20元．

【解析】

【分析】

（1）设每套降价x元，表示出降价后的盈利与销售的套数，然后根据每天的盈利等于每套的盈利乘以套数，得出y与x的函数关系即可，

（2）根据配方法求出二次函数的最值，进而得出答案；

（3）令y＝1200，根据（1）的函数关系求出自变量的取值即可．

【详解】

解：（1）；

（2），

∵，

∴当时，有最大值1250，

即当每件降价15元时，商场平均每天盈利最多，此时，与降价前比较，每天销售这种商品可多获利元；

（3）当时，则，解得，，所以商场每天平均需盈利1200元，每件衬衫应降价10元或20元．

【点睛】

本题考查了二次函数的应用以及二次函数的最值问题，表示出降价后的盈利与销售的套数，然后得到平均每天的盈利与降价之间的函数关系式是解题的关键．

3．（2021·沧州市第十四中学月考）某商店购进一批单价为8元的商品，如果每件10元出售，那么每天可销售100件，经调查发现，这种商品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少10件．

（1）求销售量y件与销售单价x（元）之间的解析式．（不用标出自变量的取值范围）

（2）当销售单价定为多少时？才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少？

【答案】（1）；（2）销售定价定为14元时，销售利润最大，最大利润为360元

【解析】

【分析】

（1）设售价为元，销售量为件，则销量为件；
（2）根据“利润=数量×每件的利润”建立W与的关系式，由二次函数的性质就可以求出结论．

【详解】

（1）
；
（2）设商店每天获得的利润为W元，则
 

，
∴当时，，
所以当销售单价定为14元时，销售利润最大，最大利润为360元．

【点睛】

本题考查了二次函数的应用，解题的关键是能从实际问题中抽象出二次函数模型，利用二次函数的性质解答．

4．（2021·东莞市石碣中学月考）“互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售5条．设每条裤子的售价为元(为正整数)，每月的销售量为条．

(1)直接写出与的函数关系式；

(2)设该网店每月获得的利润为元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？

(3)该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生．为了保证捐款后每月利润不低于4220元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？

【答案】(1)；(2)当降价10元时，每月获得最大利润为4500元；(3)当销售单价定为66元时，即符合网店要求，又能让顾客得到最大实惠．

【解析】

【分析】

(1)直接利用销售单价每降1元，则每月可多销售5条得出与的函数关系式；

(2)利用销量×每件利润＝总利润进而得出函数关系式求出最值；

(3)利用总利润，求出的值，进而得出答案．

【详解】

解：(1)由题意可得：整理得；

(2)由题意，得：

∵，

∴有最大值，

即当时，，

∴应降价(元)

答：当降价10元时，每月获得最大利润为4500元；

(3)由题意，得：

解之，得：，，

∵抛物线开口向下，对称轴为直线，

∴当时，符合该网店要求

而为了让顾客得到最大实惠，故，

∴当销售单价定为66元时，即符合网店要求，又能让顾客得到最大实惠．

【点睛】

此题主要考查了二次函数的应用，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案，正确得出与之间的函数关系式是解题关键．

5．（2021·无锡市东北塘中学月考）商场销售服装，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为扩大销售量，减少库存，该商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，一件衣服降价1元，每天可多售出2件．

（1）设每件降价x元，可以销售出             件．（用x的的代数式表示）

（2）若商场每天要盈利1200元，同时尽量减少库存，每件应降价多少元？

（3）每件降价多少元时，商场每天盈利达到最大？最大盈利是多少元？

【答案】（1）；（2）20；（3）15，1250．

【解析】

【分析】

（1）根据“一件衣服降价1元，每天可多售出2件”列出式子即可得；

（2）结合（1）的结论，根据“盈利销售件数每件盈利”建立方程，然后求解即可得；

（3）设商场每天盈利为，参照（2），建立与x的函数关系式，再利用二次函数的性质即可得．

【详解】

（1）一件衣服降价1元，每天可多售出2件，

每件降价元，每天可多售出件，

则可以销售出件，

故答案为：；

（2）当每件降价元时，每天可以销售出件，每件盈利为元，

则，

解得或，

商场要求尽量减少库存，

每件应降价20元，增加销售量，

答：每件应降价20元；

（3）设商场每天盈利为，

则，

整理得：，

，

，

由二次函数的性质可知，在内，当时，取得最大值，最大值为1250，

答：每件降价15元时，商场每天盈利达到最大，最大盈利是1250元．

【点睛】

本题考查了列代数式、一元二次方程的应用、二次函数的应用等知识点，依据题意，正确建立方程和函数关系式是解题关键．

熟能生巧

6．（2021·河南其他）一个批发商销售成本为20元/千克的某产品，根据物价部门规定：该产品每千克售价不得超过90元，在销售过程中发现的售量y（千克）与售价x（元/千克）满足一次函数关系，对应关系如下表：

（1）求y与x的函数关系式；

（2）该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为多少元？

（3）该产品每千克售价为多少元时，批发商获得的利润w（元）最大？此时的最大利润为多少元？

【答案】（1）；（2）70；（3）该产品每千克售价为85元时，批发商获得的利润w（元）最大，此时的最大利润为4225元．

【解析】

【分析】

（1）根据图表中的各数可得出y与x成一次函数关系，从而结合图表的数可得出y与x的关系式；

（2）根据想获得4000元的利润，列出方程求解即可；

（3）根据批发商获得的总利润w（元）=售量×每件利润可表示出w与x之间的函数表达式，再利用二次函数的最值可得出利润最大值．

【详解】

（1）设y与x的函数关系式为（），根据题意得：，解得：，

故y与x的函数关系式为；

（2）根据题意得：（﹣x+150）（x﹣20）=4000，解得，（不合题意，舍去），

故该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为70元；

（3）w与x的函数关系式为：==，

∵﹣1＜0，

∴当x=85时，w值最大，w最大值是4225，

∴该产品每千克售价为85元时，批发商获得的利润w（元）最大，此时的最大利润为4225元．

7．（2021·武汉市七一中学月考）某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，图中的线段表示该产品 每千克生产成本单位：元)与产量(单位：)之间的函数关系；线段表示该产品销售价(单 位：元)与产量(单位：)之间的函数关系，已知．

（1）求线段所表示的与之间的函数表达式；

（2）若，该产品产量为多少时，获得的利润最大？ 最大利润是多少？

（3）若，该产品产量为多少时，获得的利润最大？ 最大利润是多少？

【答案】（1）；（2）90，1350元；（3）120，1200元

【解析】

【分析】

（1）待定系数法求解可得；
（2）先求出m=90时，y2与x之间的函数关系式，再根据：总利润=销售量×（售价-成本）列出函数关系式，配方后根据二次函数性质可得其最值情况；
（3）用含m的式子表示出y2与x之间的函数关系式，根据：总利润=销售量×（售价-成本）列出函数关系式，再结合60＜m＜70判断其最值情况．

【详解】

解：（1）设线段AB所表示的y1与x之间的函数关系式为y1=k1x+b1，
根据题意，得：

解得：

∴y1与x之间的函数关系式为；

（2）若m=90，设y2与x之间的函数关系式为y2=k2x+90，

根据题意，得：，

解得：

这个函数的表达式为：

设产量为xkg时，获得的利润为W元，

根据题意，得：

时，元   

（3）设，由题意得，解得：，

这个函数表达式为：，

，即该抛物线对称轴在y轴左侧，

对称轴为

当时，W随x的增大而增大，

当=时，的值最大，

故时，该产品产量为120kg时，获得的利润最大．

【点评】

本题主要考查待定系数求一次函数解析式及二次函数的实际应用能力，根据相等关系列出函数关系式，熟练根据二次函数的性质判断函数的最值情况是解题的关键．

8．（2021·黔西南州勤智学校三模）随着技术的发展，人们对各类产品的使用充满期待.某公司计划在某地区销售第一款产品，根据市场分析，该产品的销售价格将随销售周期的变化而变化.设该产品在第（为正整数）个销售周期每台的销售价格为元，与之间满足如图所示的一次函数关系.

（1）求与之间的关系式；

（2）设该产品在第个销售周期的销售数量为（万台），与的关系可用来描述．根据以上信息，试问：哪个销售周期的销售收入最大？此时该产品每台的销售价格是多少元？

【答案】（1）与之间的关系式为；（2）第个销售周期的销售收入最大，此时该产品每台的销售价格是元.

【解析】

【分析】

（1）根据两点坐标即可求出一次函数的解析式；

（2）根据题意令销售收入W=py，再根据二次函数的性质即可求解.

【详解】

（1）设与之间的关系式为y=kx+b，

把（1，7000），（5,5000）代入y=kx+b，

得，解得

∴与之间的关系式为；

（2）令销售收入W=py==

∴当x=7时，W有最大值为16000，

此时y=-500×7+7500=4000

故第个销售周期的销售收入最大，此时该产品每台的销售价格是元.

【点睛】

此题主要考查一次函数与二次函数的应用，解题的关键是熟知待定系数法确定函数关系式与二次函数的图像与性质.

9．（2021·湖南天心·长郡中学期中）某水产养殖户，一次性收购了小龙虾，计划养殖一段时间后再出售．已知每天放养的费用相同，放养天的总成本为万元；放养天的总成本为万元（总成本=放养总费用+收购成本）．

（1）设每天的放养费用是万元，收购成本为万元，求和的值；

（2）设这批小龙虾放养天后的质量为（），销售单价为元/．根据以往经验可知：m与t的函数关系式为，y与t的函数关系如图所示

 ①求y与t的函数关系式；

 ②设将这批小龙虾放养t天后一次性出售所得利润为W元，求当为何值时，W最大？并求出W的最大值．（利润=销售总额－总成本）

【答案】（1）a的值为0．04，b的值为30；（2）①；②当t为55天时，w最大，最大值为180250元

【解析】

【分析】

（1）由放养10天的总成本为30.4万元；放养20天的总成本为30.8万元可得答案；
（2）①分0≤t≤50、50<t≤100两种情况，结合函数图象利用待定系数法求解可得；
②就以上两种情况，根据“利润=销售总额-总成本”列出函数解析式，依据一次函数性质和二次函数性质求得最大值即可得．

【详解】

解：（1）由题意，得

解得 

∴的值为0．04,的值为30

  (2)①当≤≤时, 设与的函数关系式为,

∵过点(0,15)和(50,25)，

∴

解得 

∴与的函数关系式为

当＜≤时, 设与的函数关系式为,

∵过点(50,25)和(100,20)，

∴

解得 

∴与的函数关系式为

∴与的函数关系式为

②当≤≤时,．

∵3600＞0,

∴当时,最大值=180000；

当＜≤时,

∵-10＜0,

∴当时,最大值=180250．

综上所述，当为天时,最大，最大值为180250元．

【点睛】

本题考查二元一次方程组和二次函数的应用，解题的关键是二元一次方程组和待定系数法．

10．（2021·湖北武汉·月考）2016年3月国际风筝节在铜仁市万山区举办，王大伯决定销售一批风筝，经市场调研：蝙蝠形风筝进价每个为10元，当售价为每个12元时，销售量为180个，若售价每提高1元，销售量就会减少10个，请解答以下问题：

(1)用表达式表示蝙蝠形风筝销售量y(个)与售价x(元)之间的函数关系(12≤x≤30)；

(2)王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为多少？

(3)当售价定为多少时，王大伯获得利润最大，最大利润是多少？

【答案】（1）y=－10x＋300（12≤x≤30）；(2) 王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为16元；(3) 当售价定为20元时，王大伯获得利润最大，最大利润是1000元.

【解析】

试题分析：（1）设蝙蝠型风筝售价为x元时，销售量为y个，根据“当售价每个为12元时，销售量为180个，若售价每提高1元，销售量就会减少10个”，即可得出y关于x的函数关系式；

（2）设王大伯获得的利润为W，根据“总利润=单个利润×销售量”，即可得出W关于x的函数关系式，代入W=840求出x的值，由此即可得出结论；

（3）利用配方法将W关于x的函数关系式变形为W=，根据二次函数的性质即可解决最值问题．

试题解析：（1）设蝙蝠型风筝售价为x元时，销售量为y个，根据题意可知：y=180﹣10（x﹣12）=﹣10x+300（12≤x≤30）．

（2）设王大伯获得的利润为W，则W=（x﹣10）y=，令W=840，则=840，解得：=16，=24．

答：王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为16元．

（3）∵W=﹣10x2+400x﹣3000=，∵a=﹣10＜0，∴当x=20时，W取最大值，最大值为1000．

答：当售价定为20元时，王大伯获得利润最大，最大利润是1000元．

考点：二次函数的应用；一元二次方程的应用；二次函数的最值；最值问题．

庖丁解牛

11．（2021·巩义市回郭镇第一初级中学月考）某体育用品商店试销一款成本为50元的排球，规定试销期间单价不低于成本价，且获利不得高于40%．经试销发现，销售量y(个)与销售单价x(元)之间满足如图所示的一次函数关系．

（1）试确定y与x之间的函数关系式；

（2）若该体育用品商店试销的这款排球所获得的利润Q元，试写出利润Q（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；

（3）若该商店试销这款排球所获得的利润等于600元，请你求出销售单价是多少？

【答案】（1）y=-x+120；（2）Q= -（x-85）2+1225；（3）60元

【解析】

【分析】

（1）利用待定系数法将图中点的坐标求出一次函数解析式即可；
（2）根据利润=（售价-成本）×销售量列出函数关系式；
（3）令函数关系式Q=600，解得x的知，利用“获利不得高于40%”求得x的最大值，得出销售单价x．

【详解】

解：（1）设y=kx+b，根据题意得解得：

，

解得：，

所求一次函数的表达式为y=-x+120．
（2）利润Q与销售单价x之间的函数关系式为：

Q=（x-50）（-x+120）=-x2+170x-6000=-（x-85）2+1225；

（3）当600=-x2+170x-6000，
解得：x1=60，x2=90，
∵获利不得高于40%，
∴最高价格为50（1+40%）=70，
故x=60元．
所以销售单价应定为为60元．

【点睛】

本题主要考查二次函数的应用，根据利润=（售价-成本）×销售量列出函数关系式，运用二次函数解决实际问题，比较简单．