考点06 中考常考题型-相似图形（提高）-2022届九年级《新题速递 数学》（人教版）

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考点06 中考常考题型——相似图形（提高）
一、单选题（共10小题）
1.（2021•香坊区一模）如图，△ABC中，G、E分别为AB、AC边上的点，GE∥BC，BD∥CE交EG延长线于D，BE与CD相交于点F，则下列结论一定正确的是（　　）

A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
【答案】D
【分析】如图，设AB交CD于点O．利用相似三角形的性质进行证明即可．
【解答】解：如图，设AB交CD于点O．

∵DG∥BC，
∴△DOG∽△COB，
∴＝，
∵BD∥AC，
∴△DOB∽△COA，
∴＝，
∵BD∥AC，DE∥BC，
∴四边形DECB是平行四边形，
∴BD＝EC，
∵GE∥BC，
∴＝，
∴＝，
故选：D．
【知识点】相似三角形的判定与性质
2.（2021•纳溪区模拟）如图，已知矩形ABCD，AB＝6，BC＝10，E，F分别是AB，BC的中点，AF与DE相交于I，与BD相交于H，则四边形BEIH的面积为（　　）

A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【分析】延长AF交DC于Q点，由矩形的性质得出CD＝AB＝6，AB∥CD，AD∥BC，得出＝1，△AEI∽△QDE，因此CQ＝AB＝CD＝6，△AEI的面积：△QDI的面积＝1：16，根据三角形的面积公式即可得出结果．
【解答】解：延长AF交DC于Q点，如图所示：
∵E，F分别是AB，BC的中点，
∴AE＝AB＝3，BF＝CF＝BC＝5，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝6，AB∥CD，AD∥BC，
∴＝1，△AEI∽△QDE，
∴CQ＝AB＝CD＝6，△AEI的面积：△QDI的面积＝（）2＝，
∵AD＝10，
∴△AEI中AE边上的高＝2，
∴△AEI的面积＝×3×2＝3，
∵△ABF的面积＝×5×6＝15，
∵AD∥BC，
∴△BFH∽△DAH，
∴＝＝，
∴△BFH的面积＝×2×5＝5，
∴四边形BEIH的面积＝△ABF的面积﹣△AEI的面积﹣△BFH的面积＝15﹣3﹣5＝7．
故选：B．

【知识点】相似三角形的判定与性质、矩形的性质
3.（2021•九江模拟）如图，正方形ABCD中，AB＝3，点E是对角线AC上的一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交AB于点F，连接DF交AC于点G，下列结论：
①DE＝EF；②∠ADF＝∠AEF；③DG2＝GE•GC；④若AF＝1，则EG＝，其中结论正确的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】证明△DCE≌△BCE，得DE＝BE，证出EF＝BE，则结论①正确；易证∠EDF＝∠DFE＝45°，又∠DAC＝45°，∠AGD＝∠EGF，则∠ADF＝∠AEF，故②正确；证出△DGE∽△CGD，由比例线段可得出结论DG2＝GE•GC，③正确；先求出CE长，将△DEC绕点A逆时针旋转90°得到△DMA，连接MG，易证△DMG≌△DEG，△AMG是直角三角形，得出EG2＝AG2+CE2，设EG＝x，则列出方程可求出EG＝，则④正确．
【解答】解：如图，连接BE，

∵四边形ABCD为正方形，
∴CB＝CD，∠BCE＝∠DCE＝45°，
在△BEC和△DEC中，
，
∴△DCE≌△BCE（SAS），
∴DE＝BE，∠CDE＝∠CBE，
∴∠ADE＝∠ABE，
∵∠DAB＝90°，∠DEF＝90°，
∴∠ADE+∠AFE＝180°，
∵∠AFE+∠EFB＝180°，
∴∠ADE＝∠EFB，
∴∠ABE＝∠EFB，
∴EF＝BE，
∴DE＝EF，故①正确；
∵∠DEF＝90°，DE＝EF，
∴∠EDF＝∠DFE＝45°，
∵∠DAC＝45°，∠AGD＝∠EGF，
∴∠ADF＝∠AEF，故②正确；
∵∠GDE＝∠DCG＝45°，∠DGE＝∠CGD，
∴△DGE∽△CGD，
∴，
即DG2＝GE•CG，故③正确；
如图，过点E作EN⊥AB于点N，
∵AF＝1，AB＝3，
∴BF＝2，AC＝＝3，
∵BE＝EF，
∴FN＝BN＝1，
∴AN＝2，
∴，
∴，
将△DEC绕点A逆时针旋转90°得到△DMA，连接MG，
易证△DMG≌△DEG（SAS），△AMG是直角三角形，
∴MG＝GE，
∴MG2＝EG2＝AM2+AG2＝CE2+AG2，
设EG＝x，则AG＝2﹣x，
∴，
解得：x＝，即EG＝，故④正确．
故选：D．
【知识点】全等三角形的判定与性质、正方形的性质、相似三角形的判定与性质
4.（2021•大邑县模拟）如图，在△ABC中，点E在BC边上，连接AE，点D在线段AE上，GD∥BA，且交BC于点G，DF∥BC，且交AC于点F，则下列结论一定正确的是（　　）

A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
【答案】C
【分析】根据相似三角形的判定推出△DGE∽△ABE，△ADF∽△AEC，再得出比例式，再判断即可．
【解答】解：∵DG∥AB，
∴＝，故本选项不符合题意；
B、∵DF∥CE，
∴△ADF∽△AEC，
∴＝≠，故本选项不符合题意；
C、∵DF∥CE，
∴△ADF∽△AEC，
∴＝，
∵DG∥AB，
∴＝，
∴＝，故本选项符合题意；
D、∵DF∥CE，
∴＝，
∵DG∥AB，
∴△DGE∽△ABE，
∴＝，
∴≠，故本选项不符合题意；
故选：C．
【知识点】相似三角形的判定与性质
5.（2021•潮南区模拟）如图，▱ABCD中，∠C＝120°，AB＝AE＝5，AE与BD交于点F，AF＝2EF．则BC的长为（　　）

A．12 B．10 C．8 D．6
【答案】B
【分析】根据平行四边形的性质得出AD＝BC，AD∥BC，根据相似三角形的判定得出△AFD∽△EFB，根据相似三角形的性质得出＝，即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴△AFD∽△EFB，
∴＝，
∵AF＝2EF，
∴AD＝BC＝2BE，
∵BE＝5，
∴BC＝10，
故选：B．
【知识点】平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质
6.（2021•岳麓区校级三模）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，P是AD边上一动点（不含端点A，D），连接PC，E是AB边上一点，设BE＝a，若存在唯一点P，使∠EPC＝90°，则a的值是（　　）

A． B． C．3 D．6
【答案】B
【分析】设AP＝x，AE＝y，证明△APE∽△DCP，根据相似三角形的性质得到比例式，转化为一元二次方程，利用判别式△＝0，构建方程解决问题．
【解答】解：∵PE⊥PC，
∴∠APE+∠DPC＝90°，
∵∠D＝90°，
∴∠DCP+∠DPC＝90°，
∴∠APE＝∠DCP，又∠A＝∠D＝90°，
∴△APE∽△DCP，
∴＝，
设AP＝x，AE＝y，
可得x（10﹣x）＝6y，
∴x2﹣10x+6y＝0，
由题意△＝0，
∴100﹣24y＝0，
∴y＝，
∵BE＝AB﹣AE＝6﹣＝，
故选：B．
【知识点】相似三角形的判定与性质、矩形的性质
7.（2021•武汉模拟）如图，A，B为圆O上的点，且D为弧AB的中点，∠ACB＝120°，DE⊥BC于E，若AC＝DE，则的值为（　　）

A．3 B．2 C．+1 D．+1
【答案】B
【分析】如图，连接AD，BD，CD，在EB上取点Q，使EQ＝CE，根据D为弧AB的中点，∠ACB＝120°，得到∠DCB＝30°，根据线段垂直平分线的性质得到CD＝DQ，求得∠CDQ＝120°，推出∠ACD＝∠DQB，得到△ACD≌△BQD，根据全等三角形的性质得到AC＝BQ，再证明AC＝EC＝EQ＝BQ即可解决问题．
【解答】解：如图，连接AD，BD，CD，OA，OD，OB，在⊙O上取一点K，连接AK，BK，在EB上取点Q，使EQ＝CE，连接DQ．

∵D为弧AB的中点，∠ACB＝120°，
∴∠K＝60°，∠AOB＝120°，∠AOD＝∠BOD＝60°
∴∠DCB＝∠DOB＝30°，
∵CE＝QE，DE⊥BC，
∴CD＝DQ，
∴∠CDQ＝120°，
∵∠CDB＝∠ACB＝120°，
∴∠CDA＝∠QDB，
∵∠DCE＝∠DQE＝30°，
∴∠DQB＝150°，
∵∠ACD＝120°+30°＝150°，
∴∠ACD＝∠DQB，
在△ACD与△BQD中，
，
∴△ACD≌△BQD（ASA），
∴AC＝BQ，
∵CE＝DE，AC＝DE，
∴AC＝CE＝EQ＝BQ，
∴BE：CE＝2：1，
故选：B．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系、相似三角形的判定与性质、圆周角定理
8.（2021•福田区一模）如图，在正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，连接AE，BF交于点G，将△BCF沿BF对折，得到△BPF，延长FP交BA延长于点Q，下列结论正确的有（　　）个．
①AE⊥BF；②QB＝QF；③FG＝AG；④sin∠BQP＝；⑤SECPG＝3S△BGE

A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【分析】①首先证明△ABE≌△BCF，再利用角的关系求得∠BGE＝90°，即可得到AE⊥BF；
②①△BCF沿BF对折，得到△BPF，利用角的关系求出QF＝QB；
③证明△BEG∽△ABG∽△AEB，得出＝＝＝，设GE＝x，则BG＝2x，AG＝4x，∴BF＝AE＝AG+GE＝5x，∴FG＝BF﹣BG＝3x，得出＝，即可得出结论；
④利用QF＝QB，解出BP，QB，根据正弦的定义即可求解；
⑤可证△BGE与△BMC相似，进一步得到相似比，再根据相似三角形的性质和三角形的面积关系即可求解．
【解答】解：①∵四边形BCD是正方形，
∴∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝CD，AB∥CD，
∵E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，
∴CF＝BE，
在△ABE和△BCF中，，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠BAE＝∠CBF，AE＝BF，
又∵∠BAE+∠BEA＝90°，
∴∠CBF+∠BEA＝90°，
∴∠BGE＝90°，
∴AE⊥BF，故①正确；
由折叠的性质得：FP＝FC，∠PFB＝∠BFC，∠FPB＝90°
∵CD∥AB，
∴∠CFB＝∠ABF，
∴∠ABF＝∠PFB，
∴QB＝QF，故②正确；
③∵AE⊥BF，∠ABE＝90°，
∴△BEG∽△ABG∽△AEB，
∴＝＝＝，
设GE＝x，则BG＝2x，AG＝4x，
∴BF＝AE＝AG+GE＝5x，
∴FG＝BF﹣BG＝3x，
∴＝，
∴FG＝AG，故③错误；
④由①知，QF＝QB，
令PF＝k（k＞0），则PB＝2k，
在Rt△BPQ中，设QB＝a，
∴a2＝（a﹣k）2+4k2，
∴a＝，
∴sin∠BQP＝＝，故④正确；
⑤如图所示：
∵PC⊥BF，AE⊥BF，
∴PC∥AE，△BGE∽△BMC，
∵E是BC的中点，
∴BE＝CE，
∴△BGE的面积：△BMC的面积＝1：4，
∴△BGE的面积：四边形ECMG的面积＝1：3，
连接CG，则△PGM的面积＝△CGM的面积＝2△CGE的面积＝2△BGE的面积，
∴四边形ECPG的面积：△BGE的面积＝5：1，
∴S四边形ECFG＝5S△BGE，故⑤错误．
综上所述，共有3个结论正确．
故选：C．

【知识点】全等三角形的判定与性质、正方形的性质、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、翻折变换（折叠问题）
9.（2021•铁西区三模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点D是线段AB上的一点，连结CD．过点B作BG⊥CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连结DF，给出以下四个结论：
①；
②若AF＝AB，则点D是AB的中点；
③若＝1，则S△ABC＝9S△BDF；
④当B、C、F、D四点在同一个圆上时，DF＝DB；
其中正确的结论序号是（　　）

A．①② B．①②④ C．①②③ D．①②③④
【答案】B
【分析】由△AFG∽△BFC，可确定结论①正确；由△AFG≌△AFD可得AG＝AB＝BC，进而由△AFG∽△BFC确定点F为AC的三等分点，可确定结论②正确；当B、C、F、D四点在同一个圆上时，由圆内接四边形的性质得到∠2＝∠ACB由于∠ABC＝90°，AB＝BC，得到∠ACB＝∠CAB＝45°，于是得到∠CFD＝∠AFD＝90°，根据垂径定理得到DF＝DB，故③正确；因为F为AC的三等分点，所以S△ABF＝S△ABC，又S△BDF＝S△ABF，所以S△ABC＝6S△BDF，由此确定结论④错误．
【解答】解：依题意可得BC∥AG，
∴△AFG∽△BFC，
∴＝，
又AB＝BC，
∴＝．
故结论①正确；

如右图，∵∠1+∠3＝90°，∠1+∠4＝90°，
∴∠3＝∠4．
在△ABG与△BCD中，，
∴△ABG≌△BCD（ASA），
∴AG＝BD，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AC＝AB，
∵AF＝AB，
∴AF＝AC，
∴AF＝FC，
∵＝，
∴AG＝BC＝AB，
∴BD＝AB，
∴点D是AB的中点，
故结论②正确；

∵＝，AG＝BD，＝，
∴＝，∴＝，AF＝AC，
∴S△ABF＝S△ABC，
∴S△BDF＝S△ABF，
∴S△BDF＝S△ABC，即S△ABC＝6S△BDF．
故结论③错误；

当B、C、F、D四点在同一个圆上时，
∴∠2＝∠ACB，
∵∠ABC＝90°，AB＝BC，
∴∠ACB＝∠CAB＝45°，
∴∠2＝45°，
∴∠CFD＝∠AFD＝90°，
∴CD是B、C、F、D四点所在圆的直径，
∵BG⊥CD，
∴＝，
∴DF＝DB，故④正确；

故选：B．

【知识点】等腰直角三角形、点与圆的位置关系、全等三角形的判定与性质、圆心角、弧、弦的关系、相似三角形的判定与性质
10.（2021•深圳模拟）如图，正方形ABCD中，以BC为边向正方形内部作等边△BCE．连接AE．DE，连接BD交CE于F，下列结论：①∠AED＝150°②△DEF～△BAE；③tan∠ECD＝④△BEC的面积：△BFC的面积（+1）：2，其中正确的结论有（　　）个．

A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【分析】①利用正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质及三角形的内角和，周角求得判定即可
②由①可得到∠ADE的度数，再利用正方形的性质即可得∠DEF＝∠ABE，即可判定
③可利用含30°的直角三角形的性质即可分别求出，再与tan∠ECD＝tan30°作比较即可
④两个三角形的底相同，由高的比进行判定即可
【解答】解：
∵△BEC为等边三角形
∴∠EBC＝∠BCE＝∠ECB＝60°，AB＝EB＝EC＝BC＝DC
∵四边形ABCD为正方形
∴∠ABE＝∠ECD＝90°﹣60°＝30°
∴在△ABE和△DCE中，
AB＝DC
∠ABE＝∠ECD
BE＝EC
∴△ABE≌△DCE（SAS）
∴∠AEB＝∠DEC＝＝75°
∴∠AED＝360°﹣60°﹣75°×2＝150°
故①正确
由①知AE＝ED
∴∠EAD＝∠EDA＝15°
∴∠EDF＝45°﹣15°＝30°
∴∠EDF＝∠ABE
由①知∠AEB＝∠DEC，
∴△DEF～△BAE
故②正确
过点F作FM⊥DC交于M，如图
设DM＝x，则FM＝x，DF＝x
∵∠FCD＝30°
∴MC＝x
则在Rt△DBC中，BD＝
∴BF＝BD﹣DF＝
则
∵tan∠ECD＝tan30°＝
∴tan∠ECD＝
故③正确
如图过点E作EH⊥BC交于H，过F作FG⊥BC交于G，得
由③知MC＝，MC＝FG
∴FG＝
∵BC＝DC＝x
∴BH＝
∵∠EBC＝60°
∴EH＝
∴＝＝＝＝
故④正确
故选：A．

【知识点】等边三角形的性质、解直角三角形、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质

二、填空题（共10小题）
11.（2021•碑林区校级二模）如图，平行四边形ABCD中，AB＝2AD＝2，且AD⊥BD，一动点P在AB上方，且∠APB＝60°，AP与BD交于点E，则的最大值为　　　　　　


【分析】由∠APB＝60°知点P在以O为圆心，OA为半径的圆上，作PF⊥BD于点F，由△PEF∽△AED得＝，据此知当PF最大时，最大，在⊙O上，当点F与点O重合时，PF取得最大值，即为圆的半径，再进一步求出圆的半径可得答案．
【解答】解：∵AB＝2AD＝2，AD⊥BD，
∴AD＝1，∠ABD＝30°，∠ADB＝90°，∠BAD＝60°，
如图所示，作∠BAD的平分线，交BD于点O，

∴∠BAO＝∠ABD＝30°，
∴∠AOB＝120°，
∵∠APB＝∠AOB＝60°，
∴点P在以O为圆心，OA为半径的圆上，
作PF⊥BD于点F，
则∠PFE＝∠ADE＝90°，∠PEF＝∠AED，
∴△PEF∽△AED，
∴＝，即＝PF，
∴当PF最大时，最大，
在⊙O上，当点F与点O重合时，PF取得最大值，即为圆的半径，
连接AO，
在Rt△ADO中，∠DAO＝30°，AD＝1，
∴AO＝＝＝，
∴的最大值为．
故答案为：．
【知识点】平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质
12.（2021•浦东新区一模）如图，已知△ABC和△ADE都是等边三角形，点D在边BC上，且BD＝4，CD＝2，那么AF＝　　　　　　．


【分析】依据∠B＝∠C，∠BAD＝∠CDF，即可判定△ABD∽△DCF，进而得出＝，求得CF＝，即可得到AF的长．
【解答】解：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，BD＝4，CD＝2，
∴AB＝AC＝6，∠B＝∠C＝∠ADF＝60°，
∴∠ADB+∠BAD＝∠ADB+∠CDF＝120°，
∴∠BAD＝∠CDF，
∴△ABD∽△DCF，
∴＝，即＝，
解得CF＝，
∴AF＝AC﹣CF＝6﹣＝，
故答案为：．

【知识点】相似三角形的判定与性质、等边三角形的性质
13.（2021•丹阳市一模）如图，在△ABC中，AC＞AB，点D在BC上，且BD＝BA，∠ABC的平分线BE交AD于点E，点F是AC的中点，连结EF．若四边形DCFE和△BDE的面积都为3，则△ABC的面积为　　　．

【答案】10
【分析】依据BD＝AB，BE是∠ABC的平分线，即可得到AE＝DE，进而得出△BDE的面积与△ABE的面积均为3，再根据EF是△ACD的中位线，即可得出△ACD的面积为4，即可得到△ABC的面积为3+3+4＝10．
【解答】解：∵BD＝AB，BE是∠ABC的平分线，
∴AE＝DE，
∴△BDE的面积与△ABE的面积均为3，
又∵点F是AC的中点，
∴EF是△ACD的中位线，
∴2EF＝CD，EF∥DC，
∴△AEF∽△ADC，
∴S△ACD＝4S△AEF，
∵四边形CDEF的面积为3，
∴△ACD的面积为4，
∴△ABC的面积为3+3+4＝10．
故答案为：10．
【知识点】相似三角形的性质、角平分线的性质
14.（2021•本溪模拟）在△ABC中，AB＝6，AC＝5，点D，E分别在边AB，AC上，若△ADE与△ABC相似，且S△ADE：S四边形BCED＝4：21，则AD＝　　　　　　　．

【分析】由于△ADE与△ABC相似，但其对应角不能确定，所以应分两种情况进行讨论．
【解答】解：∵S△ADE：S四边形BCED＝4：21，
∴S△ADE：S△ABC＝2：5，
∴△ADE与△ABC相似比为：2：5，
①若∠AED对应∠B时，
则＝，
∵AC＝5，
∴AD＝2；
②当∠ADE对应∠B时，则＝，
∵AB＝6，
∴AD＝；
故答案为：2或．

【知识点】相似三角形的性质
15.（2021•东阳市模拟）在△ABC中，AC＝4，BC＝2，点D在射线AB上，在构成的图形中，△ACD为等腰三角形，且存在两个互为相似的三角形，则CD的长是　　　　　　　　　．

【分析】分两种情形：①如图1中，当点D在线段AB上，DC＝AD，且△BCD∽△BAC时，设CD＝x，BD＝y．②如图2中，当点D在AB的延长线上时，AC＝AD＝4，△DCB∽DAC．设CD＝x，BD＝y，分别构建方程组求解．③当CA＝CD＝4时，△ACB∽△DCB，
【解答】解：①如图1中，当点D在线段AB上，DC＝AD，且△BCD∽△BAC时，设CD＝x，BD＝y，


则有：＝＝，
∴＝＝，
解得：x＝，y＝，
∴CD＝．
②如图2中，当点D在AB的延长线上时，AC＝AD＝4，△DCB∽DAC．设CD＝x，BD＝y，

则：＝＝，
∴＝＝，
解得x＝2，y＝1，
∴CD＝2，
③当CA＝CD＝4时，△ACB∽△DCB，
综上所述，满足条件的CD的值为或2或4．
【知识点】相似三角形的性质
16.（2021•合肥二模）矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足△PBE与△DBC相似，若△APD是以AD为底的等腰三角形，则PE的长为　　　　　　　　　　　　．

【分析】如图，由题意点P在线段AD的垂直平分线上，分四种情形分别求解即可解决问题．
【解答】解：如图，由题意点P在线段AD的垂直平分线上，

∵△PBE与△DBC相似，
∴当点P在对角线BD上时，存在两个点E满足条件，
①当∠PEB＝90°时，易知BE＝BC＝4，PE＝CD＝3，
②当∠BPE′＝90°时，∵△BPE′∽△BCD，
∴＝
∴＝，
∴PE′＝．
③当∠PBC＝∠BDC，∠PEB＝90°时，∵△PBE∽△BDC，
∴＝，
∴＝＝，
④当∠PBC＝∠BDC，∠BPE＝90°时，点E在BC的延长线上，不符合题意，
综上所述，满足条件的PE的值为3或或．
【知识点】勾股定理、矩形的性质、相似三角形的性质、等腰三角形的判定
17.（2021•温州二模）如图，正方形ABCD的边长是3，点E，F分别是AB，BC边上的点，且满足BE＝2AE，CF＝2BF，连结DE，AF交于点G，BD交AF于点H，则四边形GEBH的面积为　　　　　　．


【分析】根据正方形的性质得到AD＝BC＝AB＝3，∠DAE＝∠ABF＝90°，求得AE＝BF＝1，根据全等三角形的性质得到∠ADE＝∠BAF，推出AG⊥DE，连接AC交BD于O，根据相似三角形的性质得到＝＝，求得＝，得到S△ABH＝，根据相似三角形的性质得到EG＝＝，根据三角形的面积即可得到结论．
【解答】解：∵正方形ABCD的边长是3，
∴AD＝BC＝AB＝3，∠DAE＝∠ABF＝90°，
∵BE＝2AE，CF＝2BF，
∴AE＝BF＝1，
∴△ADE≌△BAF（SAS），
∴∠ADE＝∠BAF，
∵∠DAG+∠EAG＝90°，
∴∠ADG+∠DAG＝90°，
∴∠AGD＝90°，
∴AG⊥DE，
连接AC交BD于O，
∴AC⊥BC，
∵AD∥BF，
∴△AHD∽△FHB，
∴＝＝，
∴＝，
∵S△ABD＝×3×3＝，
∴S△ABH＝，
∵DE＝＝，
∴AG＝＝，
∵∠DAE＝90°，AG⊥DE，
∴△ADE∽GAE，
∴＝，
∴EG＝＝，
∴S△AGE＝××＝，
∴四边形GEBH的面积＝S△ABH﹣S△AGE＝﹣＝，
故答案为：．

【知识点】正方形的性质、相似三角形的判定与性质
18.（2021•游仙区模拟）如图，矩形ABCD的边长AD＝6，AB＝4，E为AB的中点，F在边BC上，且BF＝2FC，AF分别与DE、DB相交于点M、N，则MN的长为　　　　　　．


【分析】首先过F作FH⊥AD于H，交ED于O，于是得到FH＝AB＝4，根据勾股定理求得AF，根据平行线分线段成比例定理求得OH，由相似三角形的性质求得AM与AF的长，根据相似三角形的性质，求得AN的长，即可得到结论．
【解答】解：过F作FH⊥AD于H，交ED于O，则FH＝AB＝4，
∵BF＝2FC，BC＝AD＝6，
∴BF＝AH＝4，FC＝HD＝2，
∴AF＝＝＝4，
∵OH∥AE，
∴＝＝，
∴OH＝AE＝，
∴OF＝FH﹣OH＝4﹣＝，
∵AE∥FO，
∴△AME∽FMO，
∴＝＝，
∴AM＝AF＝，
∵AD∥BF，
∴△AND∽△FNB，
∴＝＝，
∴AN＝AF＝，
∴MN＝AN﹣AM＝＝．
故答案为．

【知识点】矩形的性质、相似三角形的判定与性质
19.（2021•道外区一模）如图，AD为△ABC的角平分线，AC＝BC，E在AC延长线上，且AD＝DE，若AB＝6，CE＝2，则BD的长为　﹣　　　　　　　．


【分析】遇角平分线作平行线可构造等腰三角形，得△ADE是等腰三角形，然后证明FD＝BD，可证明△ABD≌△EFD，EF＝AB，由已知可得CF＝CD＝4，进而由三角形相似可得，设BD＝y，即AF＝DF＝y．
解方程即可．
【解答】解：过D点作DF∥AB，

∴∠1＝∠4，
∵∠1＝∠3，
∴∠3＝∠4，
∴AF＝DF，
∵AC＝BC，
∴∠B＝∠BAC，
∴∠FDE＝∠2＝∠B
∴CD＝CF，
∴BD＝AF，
∵AD＝AF，
∴∠3＝∠E，
∴∠E＝∠1，
在△ABD和EFD中，
，
△ABD≌△EFD（AAS）
∴EF＝AB＝6，
∵CE＝2，
∴CF＝4，
∵DF∥AB，
∴△ABC∽FDC
∴，
∴，解得，（舍去）
故答案为：﹣2+2．
【知识点】全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质
20.（2021•长清区二模）如图，在边长为2的正方形BCD中，动点F、E分别以相同的速度从D、C两点同时出发向C和B运动（任何一个点到达即停止），过点P作PM∥CD交BC于M点，PN∥BC交CD于N点，连接MN，在运动过程中，下列结论：①△ABE≌△BCF；②AE⊥BF；③CF2＝PE•BF；④线段MN的最小值为﹣1．其中正确的结论有　　　　　　．

【答案】①②③④
【分析】由正方形的性质及条件可判断出①△ABE≌△BCF，得到∠BAE＝∠CBF，再根据∠BAE+∠BEA＝90°，可得∠CBF+∠BEA＝90°，可得出∠APB＝90°，即可判断②，由△BPE∽△BCF，利用相似三角形的性质，结合CF＝BE可判断③；然后根据点P在运动中保持∠APB＝90°，可得点P的路径是一段以AB为直径的弧，设AB的中点为G，连接CG交弧于点P，此时CP的长度最小，最后在Rt△BCG中，根据勾股定理，求出CG的长度，再求出PG的长度，即可求出线段CP的最小值，可判断④．
【解答】解：如图，
∵动点F，E的速度相同，
∴DF＝CE，
又∵CD＝BC，
∴CF＝BE，
在△ABE和△BCF中，
∴△ABE≌△BCF（SAS），故①正确；
∴∠BAE＝∠CBF，
∵∠BAE+∠BEA＝90°，
∴∠CBF+∠BEA＝90°，
∴∠APB＝90°，故②正确；
在△BPE和△BCF中，
∵∠BPE＝∠BCF，∠PBE＝∠CBF，
∴△BPE∽△BCF，
∴，
∴CF•BE＝PE•BF，
∵CF＝BE，
∴CF2＝PE•BF，故③正确；
∵点P在运动中保持∠APB＝90°，
∴点P的路径是一段以AB为直径的弧，
设AB的中点为G，连接CG交弧于点P，此时CP的长度最小，
在Rt△BCG中，CG＝＝＝，
∵PG＝AB＝1，
∴CP＝CG﹣PG＝﹣1，
即线段CP的最小值为﹣1，故④正确；
故答案为：①②③④．

【知识点】正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质

三、解答题（共9小题）
21.（2021•莆田模拟）如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E为AB中点，F为BC上一点，G为CD上一点，连接EF，FG，且∠BFE＝∠CFG．
（1）若G为CD中点时，求证：EF＝FG；
（2）设x＝，y＝，求y关于x的函数解析式．

【分析】（1）在BC上作点H，使BH＝BE，连接EH，易证△BEH是正三角形，再证△EHF≌△GCF，即可求证
（2）过点E作EM⊥BH交于点M，延长GC，过点H作HN⊥GC交于N，求证得△EHF∽△FGC，即可分别求出S△FCG与S菱形ABCD，即可求y与x的函数解析式
【解答】解：（1）如图．在BC上作点H，使BH＝BE，连接EH，易证△BEH是正三角形
∴∠BHE＝60°
∴∠EHF＝120°
EH＝BH＝AB＝CG
∵∠ABC＝60°，AB∥CD
∴∠C＝120°
∴∠EHF＝∠C
∵∠BFE＝∠CFE
∴△EHF≌△GCF
∴EF＝FG
（2）如图，在BC上作点H，使BH＝BE，并连接EH，过点E作EM⊥BH交于点M，延长GC，过点F作CN⊥GC交于N
易证△BEH为等边三角形，
∴∠EHF＝∠FCG＝120°
∵∠BFE＝∠CFG
∴△EHF∽△FGC
∴＝x
∴GC＝EH•x＝BH•x
∵EM⊥BH
∴EM＝BH，
∴FN＝
∴S△FCG＝•GC•FN＝
∵AB＝2BE＝2BH，
∴S菱形ABCD＝BH2
∴＝x2

【知识点】相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、菱形的性质
22.（2021•莲湖区模拟）如图，小华在晚上由路灯A走向路灯B．当他走到点P时，发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯A的底部；当他向前再步行12m到达点Q时，发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯B的底部．已知小华的身高是1.6m，两个路灯的高度都是9.6m，且AP＝QB．
（1）求两个路灯之间的距离．
（2）当小华走到路灯B的底部时，他在路灯A下的影长是多少？

【分析】（1）如图1，先证明△APM∽△ABD，利用相似比可得AP＝AB，再证明△BQN∽△BAC，利用相似比可得BQ＝AB，则AB+12+AB＝AB，解得AB＝18（m）；
（2）如图1，他在路灯A下的影子为BN，证明△NBM∽△NAC，利用相似三角形的性质得＝，然后利用比例性质求出BN即可．
【解答】解：（1）如图1，
∵PM∥BD，
∴△APM∽△ABD，
＝，即＝，
∴AP＝AB，
∵NQ∥AC，
∴△BNQ∽△BCA，
∴＝，即＝，
∴BQ＝AB，
而AP+PQ+BQ＝AB，
∴AB+12+AB＝AB，
∴AB＝18．
答：两路灯的距离为18m；
（2）如图1，他在路灯A下的影子为BN，
∵BM∥AC，
∴△NBM∽△NAC，
∴＝，即＝，解得BN＝3.6．
答：当他走到路灯B时，他在路灯A下的影长是3.6m．


【知识点】相似三角形的应用
23.（2021•莘县一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC边于点D，交AC边于点E．过点D作⊙O的切线，交AC于点F，交AB的延长线于点G，连接DE．
（1）求证：BD＝CD；
（2）若∠G＝40°，求∠AED的度数．
（3）若BG＝6，CF＝2，求⊙O的半径．

【分析】（1）连接AD，根据圆周角定理得出AD⊥BC，根据等腰三角形的性质得出即可；
（2）连接OD，根据切线的性质求出∠ODG＝90°，求出∠BOD、∠ABC，根据圆内接四边形求出即可；
（3）求出△ODG∽△AFG，得出比例式，即可求出圆的半径．
【解答】（1）证明：连接AD，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD；

（2）解：连接OD，
∵GF是切线，OD是半径，
∴OD⊥GF，
∴∠ODG＝90°，
∵∠G＝40°，
∴∠GOD＝50°，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝65°，
∵点A、B、D、E都在⊙O上，
∴∠ABD+∠AED＝180°，
∴∠AED＝115°；

（3）解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵OB＝OD，
∴∠ABC＝∠ODB，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
∴△GOD∽△GAF，
∴＝，
∴设⊙O的半径是r，则AB＝AC＝2r，
∴AF＝2r﹣2，
∴＝，
∴r＝3，
即⊙O的半径是3．
【知识点】切线的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质
24.（2021•潮南区一模）如图①，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝3，在BC边上取两点E、F（点E在点F的左边），以EF为边所作等边△PEF，顶点P恰好在AD上，直线PE、PF分别交直线AC于点G、H．
（1）求△PEF的边长；
（2）若△PEF的边EF在线段CB上移动，试猜想：PH与BE有何数量关系？并证明你猜想的结论；
（3）若△PEF的边EF在射线CB上移动（分别如图②和图③所示，CF＞1，P不与A重合），（2）中的结论还成立吗？若不成立，直接写出你发现的新结论．

【分析】（1）过P作PQ⊥BC，垂足为Q，由四边形ABCD为矩形，得到∠B为直角，且AD∥BC，得到PQ＝AB，又△PEF为等边三角形，根据“三线合一”得到∠FPQ为30°，在Rt△PQF中，设出QF为x，则PF＝2x，由PQ的长，根据勾股定理列出关于x的方程，求出x的值，即可得到PF的长，即为等边三角形的边长；
（2）PH﹣BE＝1，过E作ER垂直于AD，如图所示，首先证明△APH为等腰三角形，在根据矩形的对边平行得到一对内错角相等，可得∠APE＝60°，在Rt△PER中，∠REP＝30°，根据直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，由PE求出PR，由PA＝PH，则PH﹣BE＝PA﹣BE＝PA﹣AR＝PR，即可得到两线段的关系；
（3）当若△PEF的边EF在射线CB上移动时（2）中的结论不成立，由（2）的解题思路可知当1＜CF＜2时，PH＝1﹣BE，当CF＞2时，PH＝BE﹣1．
【解答】解：（1）过P作PQ⊥BC于Q（如图1），
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，即AB⊥BC，
又∵AD∥BC，
∴PQ＝AB＝，
∵△PEF是等边三角形，
∴∠PFQ＝60°，
在Rt△PQF中，∠FPQ＝30°，
设PF＝2x，QF＝x，PQ＝，根据勾股定理得：（2x）2＝x2+（）2，
解得：x＝1，故PF＝2，
∴△PEF的边长为2；

（2）PH﹣BE＝1，理由如下：
∵在Rt△ABC中，AB＝，BC＝3，
∴由勾股定理得AC＝2，
∴CD＝AC，
∴∠CAD＝30°
∵AD∥BC，∠PFE＝60°，
∴∠FPD＝60°，
∴∠PHA＝30°＝∠CAD，
∴PA＝PH，
∴△APH是等腰三角形，
作ER⊥AD于R（如图2）
Rt△PER中，∠RPE＝60°，
∴PR＝PE＝1，
∴PH﹣BE＝PA﹣BE＝PR＝1．

（3）结论不成立，
当1＜CF＜2时，如图2，（即点P在AD上时），PH＝1﹣BE．
当CF＞2时，如图3，（即点P在DA延长线上时），PH＝BE﹣1．


【知识点】相似形综合题
25.（2021•东西湖区模拟）如图，∠A＝∠DBE＝α，
（1）如图1，若C点在射线AB上，且∠C＝α，求证：；
（2）如图2，若C在射线AB上，α＝60°，∠ABD＝75°，EC∥AD，EC＝2AB＝4，求S四边形BCED；
（3）如图3，若α＝90°，BD平分∠ADE，EF⊥AD于F，线段BF、DE交于G，若，直接写出的值（用含m，n的式子表示）．

【分析】（1）如图1，证明△DAB∽△BCE，可解答；
（2）如图2，作辅助线，构建30°的直角三角形和等腰直角三角形，分别计算BE、DH、BC和EF的长，根据S四边形BCED＝S△BDE+S△BCE可解答；
（3）如图3，作辅助线，构建相似三角形，证明△EFD∽△HAD和△EFG∽△HBG，列比例式可解答．
【解答】（1）证明：如图1，∵∠A＝∠DBE＝α，
∴∠D+∠ABD＝∠ABD+∠EBC＝180°﹣α，
∴∠D＝∠EBC，
∵∠A＝∠C＝α，
∴△DAB∽△BCE，
∴；
（2）解：如图2，过B作BG⊥AD于G，过D作DH⊥BE于H，过E作EF⊥AC于F，

∵∠DAB＝60°，∠ABD＝75°，
∴∠ADB＝180°﹣60°﹣75°＝45°，
Rt△ABG中，∠ABG＝30°，AB＝2，
∴AG＝1，BG＝，
∵△BDG是等腰直角三角形，
∴BD＝BG＝，
∵∠DBE＝α＝60°，
Rt△DBH中，∠BDH＝30°，
∴BH＝，DH＝＝，
∵∠ABD＝75°，∠DBE＝60°，
∴∠EBF＝45°，
∴△EBF是等腰直角三角形，
∵EC∥AD，
∴∠ECF＝∠A＝60°，
Rt△ECF中，∠CEF＝30°，
∵EC＝4，
∴CF＝2，EF＝BF＝2，
∴BE＝EF＝2；
∴S四边形BCED＝S△BDE+S△BCE＝＝+＝+6；
（3）解：如图3，过B作BM⊥DE于M，过E作EC⊥AB于C，延长ED、BA交于H，

∵BD平分∠ADE，∠DAB＝90°，
∴AB＝BM，
∵∠DBE＝α＝90°，
∴∠CBE+∠ABD＝∠ABD+∠ADB＝90°，
∴∠CBE＝∠ADB＝∠BDE，
∵∠DBE＝∠C＝90°，
∴∠DEB＝∠CEB，
∴BM＝BC，
∴BC＝AB，
∵EF⊥AD，
∴∠EFA＝90°，
∵∠FAC＝∠C＝90°，
∴四边形FACE是矩形，
∴EF＝AC，
设AB＝x，则EF＝2x，
∵EF∥CH，
∴△EFD∽△HAD，
∴，
∵，
∴，AH＝，
∵EF∥BH，
∴△EFG∽△HBG，
∴＝＝．
【知识点】列代数式、相似三角形的判定与性质
26.（2021•郑州二模）已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，其中∠PCQ＝90°，探究并解决下列问题：

（1）如图①，若点P在线段AB上，且AC＝6，PA＝，则：
①线段PB＝　　　　　　，PC＝　　　　　　；
②直接写出PA2，PB2，PC2三者之间的数量关系；
（2）如图②，若点P在AB的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你利用图②给出证明过程；
（3）若动点P满足，直接写出的值：　　　　　　．

【分析】（1）①根据等腰直角三角形的性质出去AB，根据题意求出PB，作CH⊥AB于H，根据直角三角形的性质求出CH，根据勾股定理求出PC；
②证明△ACP≌△BCQ，根据全等三角形的性质得到PA＝BQ，∠CBQ＝∠CAP＝45°，得∠PBQ＝90°，根据勾股定理计算；
（2）连接BQ，仿照（1）②的方法证明；
（3）分点P在线段AB上、点P在线段AB上两种情况，根据等腰直角三角形的性质、勾股定理计算即可．
【解答】解：（1）①∵△ABC是等腰直角三角形，AC＝6，
∴AB＝AC＝6，
∴PB＝AB﹣PA＝6﹣2＝4，
作CH⊥AB于H，
∵CA＝CB，CH⊥AB，
∴AH＝HB＝AB＝3，CH＝AB＝3，
∴PH＝AH﹣AP＝，
∴PC＝＝2，
故答案为：4；2；
②PA2+PB2＝PQ2，
理由如下：如图①，连接QB，
∵∠ACB＝∠PCQ＝90°，
∴∠ACP＝∠BCQ，
在△ACP和△BCQ中，
，
∴△ACP≌△BCQ，
∴PA＝BQ，∠CBQ＝∠CAP＝45°，
∴∠PBQ＝90°，
∴BQ2+PB2＝PQ2，
∴PA2+PB2＝PQ2，
故答案为：PA2+PB2＝PQ2；
（2）如图②，连接BQ，
∵∠ACB＝∠PCQ＝90°，
∴∠ACP＝∠BCQ，
在△ACP和△BCQ中，
，
∴△ACP≌△BCQ，
∴PA＝BQ，∠CBQ＝∠CAP＝45°，
∴∠PBQ＝90°，
∴BQ2+PB2＝PQ2，
∴PA2+PB2＝PQ2；
（3）当点P在线段AB上时，由（1）①得，＝＝；
当点P在线段BA的延长线上时，
设BC＝2x，则AB＝2x，
∵△ABC是等腰直角三角形，CH⊥AB，
∴AH＝CH＝AB＝x，
∵，
∴AB＝4PA，
∴PA＝AB＝x
∴PH＝PA+AH＝x，
由勾股定理得，PC＝＝x，
∴＝＝．



【知识点】相似形综合题
27.（2021•瑶海区一模）如图，在△ABC中，分别以AB、AC为腰向外侧作等腰Rt△ADB与等腰Rt△AEC，∠DAB＝∠EAC＝90°，连接DC、EB相交于点O．
（1）求证：BE⊥DC；
（2）若BE＝BC．
①如图1，G、F分别是DB、EC中点，求的值．
②如图2，连接OA，若OA＝2，求△DOE的面积．

【分析】（1）证明△BAE≌△DAC，根据全等三角形的性质证明结论；
（2）①取DE的中点H，连接GH、FH，根据三角形中位线定理得到GH∥BE，GH＝BE，得到GH＝FH，GH⊥FH，根据勾股定理计算，得到答案；
②作AM⊥BE于M，AN⊥CD于N，证明△BAE≌△BAC，得到∠BAE＝∠BAC＝135°，证明△ODA∽△OAE，根据相似三角形的性质求出OD•OE，根据三角形的面积公式就是，得到答案．
【解答】（1）证明：∵∠DAB＝∠EAC＝90°，
∴∠EAB＝∠CAD，
在△BAE和△DAC中，
，
∴△BAE≌△DAC（SAS），
∴∠ABE＝∠ADC，
∵∠BAD＝90°，
∴∠DOB＝90°，即BE⊥DC；
（2）解：①取DE的中点H，连接GH、FH，
∵点G是BD的中点，
∴GH∥BE，GH＝BE，
同理，FH∥CD，FH＝CD，
∵BE＝CD．BE⊥DC，
∴GH＝FH，GH⊥FH，
∴△HGF为等腰直角三角形，
∴GF＝GH，
∵GH＝BE，
∴GF＝BE，
∵BE＝BC，
∴＝；
②作AM⊥BE于M，AN⊥CD于N，
在△BAE和△BAC中，
，
∴△BAE≌△BAC（SSS），
∴∠BAE＝∠BAC＝135°，
∴∠DAE＝135°﹣90°＝45°，即∠OAD+∠OAE＝45°，
∵△BAE≌△DAC，
∴AM＝AN，又AM⊥BE，AN⊥CD，
∴OA平分∠BOC，
∴∠BOA＝∠COA＝45°，
∴∠DOA＝∠EOA＝135°，
∴∠ODA+∠OAD＝45°，
∴∠OAE＝∠ODA，
∴△ODA∽△OAE，
∴＝，即OD•OE＝OA2＝4，
∴△DOE的面积＝×OD•OE＝2．


【知识点】相似形综合题
28.（2021•沈河区校级模拟）已知：如图，AB是⨀O的直径，AC切⨀O于A点，且AC＝AB，CO交⨀O于P、D两点，BP的延长线交AC于E点．
（1）求证：DA∥BE；
（2）求证：；
（3）求tan∠CPE的值．

【分析】（1）利用同弧所对的圆周角相等，即可得出结论；
（2）先判断出∠BAP+∠PAC＝90°，进而得出∠ABP＝∠PAC，判断出△DAC∽△APC，即可得出结论；
（3）设PC＝x，（x＞0），由切割线定理，得PC•CD＝AC2，即x2+dx﹣d2＝0，解得，进而表示出PC，CD，再表示出AE，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵OB＝OP，
∴∠OBP＝∠OPB，
∵∠D＝∠OBP，
∴∠OPB＝∠D，
∴AD∥BE；

（2）证明：∵AC是⊙O的切线，
∴∠CAB＝90°，
∴∠BAP+∠PAC＝90°．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠APB＝90°，
∴∠ABP+∠BAP＝90°，
∴∠ABP＝∠PAC，
∵∠ABP＝∠D，
∴∠D＝∠PAC，
∵∠C＝∠C，
∴△DAC∽△APC，
∴，
∵AB＝AC，
∴；

（3）解：设PC＝x，（x＞0），⨀O的直径为d，则DP＝AB＝AC＝d
由切割线定理，得PC•CD＝AC2，
即x（x+d）＝d2，整理，得x2+dx﹣d2＝0，
解得
∴，，
∵DE∥DA，
∴
即＝，
∵∠CPE＝∠DPB＝∠B，
∴tan∠CPE＝tanB＝＝＝．
【知识点】相似形综合题
29.（2021•河南模拟）若△ABC绕点A逆时针旋转α后，与△ADE构成位似图形，则我们称△ABC与△ADE互为“旋转位似图形”．

（1）知识理解：
如图1，△ABC与△ADE互为“旋转位似图形”．
①若α＝25°，∠D＝100°，∠C＝28°，则∠BAE＝　　　　；
②若AD＝6，DE＝7，AB＝4，则BC＝　　　　　　
（2）知识运用：
如图2，在四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AE⊥BD于点E，∠DAC＝∠DBC，求证：△ACD与△ABE互为“旋转位似图形”．
（3）拓展提高：
如图3，△ABG为等边三角形，点C为AG的中点，点F是AB边上的一点，点D为CF延长线上的一点，点E在线段CF上，且△ABD与△ACE互为“旋转位似图形”．若AB＝6，AD＝4，求的值．

【分析】（1）①依据△ABC和△ADE互为“旋转位似图形”，可得△ABC∽△ADE，依据相似三角形的对应角相等，即可得到∠BAE＝180°﹣100°﹣28°﹣25°＝27°；
②依据△ABC∽△ADE，可得，根据AD＝6，DE＝7，AB＝4，即可得出BC＝；
（2）依据△AOD∽△BOC，即可得到，进而得到△AOB∽△DOC，再根据∠7＝∠8，∠ADC＝∠AEB，即可得到△ABE∽△ACD，进而得出△ACD和△ABE互为“旋转位似图形”；
（3）利用三角函数和勾股定理解答即可．
【解答】解：（1）①∵△ABC和△ADE互为“旋转位似图形”，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠D＝∠B＝100°，
又∵α＝25°，∠E＝28°，
∴∠BAE＝180°﹣100°﹣25°﹣28°＝27°；
②∵△ABC∽△ADE，
∴，
∵AD＝6，DE＝7，AB＝4，
∴，
∴BC＝，
故答案为：27°；；
（2）∵∠DOA＝∠COB，∠DAC＝∠DBC，
∴△DOA∽△COB，
∴，即，
又∵∠DOC＝∠AOB，
∴△AOB∽△DOC，
∴∠DCA＝∠EBA，
又∵∠ADC＝90°，AE⊥BD，
∴∠ADC＝∠AEB＝90°，
∴△ABE∽△ACD，
∴∠DAC＝∠EAB，
∴△AEB绕点A逆时针旋转∠DAE的度数后与△ADC构成位似图形，
∴△ACD和△ABE互为“旋转位似图形”；
（3）∵AC＝AG＝AB＝3，
由题意得：，
∵AD＝4，
∴AE＝2，
∵∠DAE＝∠FAC＝60°，
∴cos∠DAE＝cos60°＝，
∴∠DEA＝90°，
∴由勾股定理可得CE＝，
∴DE＝AE•tan∠DAE＝2，
∴．
【知识点】相似形综合题