2021-2022学年苏教版初二数学下册专项练习第5讲.典型中点构造（含答案）

这是一份2021-2022学年苏教版初二数学下册专项练习第5讲.典型中点构造（含答案），共19页。


5
典型中点构造

四边形4级
四边形综合

四边形5级
典型中点构造

四边形6级
平移和几何最值问题
春季班
第六讲
春季班
第五讲
春季班
第四讲
满分晋级阶梯









漫画释义
空欢喜

知识互联网


题型切片


题型切片（三个）
对应题目
题型目标
三角形中位线
例1，例2，例7，练习1，练习2，练习3；
中点四边形
例3，练习4；
直角三角形斜边中线
例4，例5，例6，练习5．
编写思路

本讲内容主要分为三个题型，题型一——三角形中位线是前面已学过的平行线、全等三角形、平行四边形性质等知识内容的应用和深化，尤其是在判定两直线平行和论证线段倍分关系时常常用到，难点在于构造中点连接成中位线达到转移线段所处位置的效果；题型二——中点四边形内容难度不大，主要在于利用三角形中位线的内容将四边形对角线进行位置上的转移进而形成新的特殊四边形，知识导航部分进行了归纳总结，老师在此部分应注重引导，让学生能够在充分理解的基础上独自进行归纳；题型三——直角三角形斜边中线是中点模型中的重要组成部分，难度较去年秋季学习时略有增加．
本讲的最后一部分是2013年北师大附中期中考试真题，本题为阅读材料题，需要学生有快速学习新知识能力，考查形式贴近中考，题目难易设计梯度性明显，引导性强，能够引导学生逐步进行思考，最终利用三角形中位线知识进行求解．


题型一：三角形中位线



思路导航

三角形中位线
定义：连接三角形两边中点的线段；

定理：三角形中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半．
如图：若为的中位线,则，且
三角形中位线中隐含的重要性质：
①一个三角形有三条中位线．
②三角形的三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形．
③三角形的三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形．
④三角形的三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半，其面积为原三角形面积的四分之一．

如图：、、是的三条中位线，则有
①
②
③，
例题精讲

【引例】 如图，已知，分别是的中点，求证：且．






【解析】 延长DE到点F，使EF=DE，连接FC，DC，AF．
∵AE=EC
∴四边形ADCF是平行四边形
∴CF//DA且CF=DA，
CF//BD且CF=BD
∴四边形DBCF是平行四边形
∴DF//BC且DF=BC
又
∴DE//BC，且

【点评】 教师可以让学生尝试不同方法证明三角形中位线，并复习了平行四边形的判定与性质．
下面方法请做参考．

方法一：如图1，过点作的平行线交延长线于点，证明，再证四边形为平行四边形．
方法二：如图2，分别过点作平行线交于点，证明，再证
与均为平行四边形即可．
典题精练

【例1】 已知四边形是梯形，．
⑴ 如图1，、是、的中点．求证：且．
⑵ 如图2，、是、的中点．试写出与、之间的关系．
⑶ 如图3，若梯形满足．、是、的中点．试写出与、 之间的数量关系

【分析】 此题设计目的是突显这一讲中的经典辅助线，总结梯形中的几个经典几何模型．同时告诉学生梯形中位线可以转化为三角形中位线来研究．证明不难，记住结论对解答填空选择有帮助，在解答题中最好通过添加辅助线转化为三角形中位线来解答．⑴⑵可以转化为三角形中位线；⑶可以转化为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一重要结论．
【解析】 ⑴ 方法一：连接并延长交的延长线于．
∵，是的中点
易证
∴，
∴
∵是的中点
∴是的中位线
∴且
∴且
方法二：过F作，交于，交的延长线于．
∵
∴四边形是平行四边形
∴，
∵是的中点
∴
易证
∴，
∵是的中点 ∴
∴，
∴四边形是平行四边形
∴，
∴且
⑵ ，．
证明：连接并延长交于．
∵
∴，
∵是的中点 ∴
易证
∴，
∴是的中位线
∴且
∴，
⑶ ．
证明：过作交于，交于．
∵
∴四边形、是平行四边形
∴，，，
∵
∴
∴
∵、分别是、的中点
∴，
∴
在中，，
∴ ∴
【点评】 此题主要是借助梯形，将三角形中的两个重要结论放在一起，让学生灵活运用．

【例2】 ⑴四边形ABCD中， E、F分别为AB、CD的中点，求证：
①；②
⑵四边形ABCD中，AC⊥BD，E、F分别为AB、CD的中点，求证：．

【解析】 ⑴①取AD中点M，连接EM、FM
则EM、FM分别为△ABD和△DAC中位线
即，
在△MEF中，
故
②取AC中点N，连接EN、FN
则EN、FN分别为△ABC和△ACD中位线
即，
在△NEF中，
故
当EF恰好过四边形ABCD对角线AC中点时取等号（如矩形、正方形均为此种情况）
⑵取AD中点P，连接EP、FP
则EP、FP分别为△ABD和△DAC中位线
即，，且EP∥BD，FP∥AC
∵AC⊥BD，∴△PEF为直角三角形，

故
题型二：中点四边形



思路导航

定义：顺次连接一个四边形四边中点所得四边形称为中点四边形．
中点四边形题型的思路是将四边形转化为三角形，构造三角形中位线进行证明．而探索中点四边形为特殊的平行四边形取决于原四边形的两条对角线是否相等或垂直．
中点四边形：对角线+中位线
⑴顺次连结平行四边形各边中点所构成的四边形是 平行四边形 ；
顺次连结矩形各边中点所构成的四边形是 菱形 ；
顺次连结菱形各边中点所构成的四边形是 矩形 ；
顺次连结直角梯形各边中点所构成的四边形是 平行四边形 ；
顺次连结等腰梯形各边中点所构成的四边形是 菱形 ；
⑵顺次连结任意四边形各边中点所构成的四边形是 平行四边形 ；
⑶顺次连结对角线相等的四边形的各边中点所构成的四边形是 菱形 ；
⑷顺次连结对角线互相垂直的四边形的各边中点所构成的四边形是 矩形 ．
例题精讲

【引例】 如图，四边形中，分别是的中点．
求证：四边形为平行四边形．

【解析】 如图，连接
∵分别是的中点．
∴HG、EF是△DAC和△BCA的中位线
∴，
∴可得HG//EF且HG=EF，
∴四边形为平行四边形．

【点评】 教师可以让学生尝试不同方法去证明中点四边形，下面方法请参考．
方法一：连接，由中位线定理可知
∴四边形为平行四边形．
方法二：连接，由，可得四边形为平行四边形．
典题精练

【例3】 已知：如图1， 在正方形中，点、分别是边、上的点，且，、交于点，则可得结论：① ；②．（不需要证明）
⑴如图2，若点、分别在正方形的边、的延长线上，且，此时上面的结论①、②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
⑵如图3，在⑴的基础上，连接和，若点、、、分别为、、、 的中点，试判断四边形的形状，并证明你的结论．

【解析】 ⑴ ∵四边形是正方形
∴，
在和中

∴
∴，
∵
∴
∴
⑵ ∵点、、、分别为、、、的中点
∴，，同理：，
∴，
∴四边形是平行四边形
∵，，
∴
∴平行四边形是菱形
∵，
∴
又∵
∴ ∴ ∴菱形是正方形．

【探究一】中点四边形的周长等于原四边形对角线之和，面积为原四边形面积的一半；
【变式1】如图，四边形ABCD中，AC=6，BD=8且AC⊥BD顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1；再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2……如此进行下去得到四边形AnBnCnDn .
⑴写出四边形AnBnCnDn的面积；
⑵求四边形A5B5C5D5的周长.
【解析】 ⑴由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四
边形，它的面积变为原来的一半，四边形
的面积为；
⑵根据中位线的性质易知，A5B5=A3B3=×A1B1=××AB，
B5C5=B3C3=×B1C1=××BC，=.

【探究二】关于凹四边形或折四边形，课本中没有编写相关方面的知识，但我们应该给学生一
个较为完整的认识体系.这样一方面提高了学生的认识，培养了学生由特殊到一般
的认识事物的能力；另一方面巩固学生对刚学习的三角形中位线定理的认识．

【变式2】O是△ABC所在平面内一动点，连接OB，OC，并将AB，OB，OC，AC的中点D，E，F，G依次连接，如果DEFG能构成四边形：
⑴如图，当O点在△ABC内部时，证明四边形DEFG是平行四边形，
⑵当O点移动到△ABC外部时，（1）的结论是否还成立？画出
图形并说明理由，
⑶若四边形DEFG为矩形，O点所在位置应满足什么条件？试说明理由.
【解析】⑴如图，由三角形中位线定理得DG∥BC且DG=BC，EF∥BC且EF=BC，
故DG平行且等于EF，四边形DEFG是平行四边形；
⑵当点O移动到△ABC外时，我们可画出下图，理由同（1），（1）中的结论
仍然成立；




⑶易知四边形DEFG的形状是由线段BC和AO的数量关系和位置关系确定的，所以要使四边形DEFG是矩形，只需BC⊥AO，故O点所在位置满足的条件应是：O点在过点A的BC的垂线上（点A除外）.

【探究三】易得四边形中一组对边的中点和两条对角线的中点构成的四边形是平行四边形；我们通常利用对角线将四边形分成两个三角形，从而过对角线的中点将三角形的一组对边缩小平移；

【变式3】在四边形中，，，分别是、的中点，，分别是对角线，中点，证明：与互相垂直．

【解析】 连接，，，．证明为菱形．

【变式4】如图，已知为的角平分线，，在上截取，分别为边的中点．求证：．







【解析】 提示：如图，联结，取的中点，联结．
易知，．
易证．
题型三：直角三角形斜边中线



思路导航

直角三角形斜边中线
定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
若为斜边上的中线，则
相关结论
如上图，⑴；
⑵为等腰三角形
⑶
相关模型
在由两个直角三角形组成的图中，为公共边的中点，总有结论：

例题精讲

【引例】 在△ABC中，CD⊥AB交AB于D，BE⊥AC交AC于E， F为BC的中点，连DF、EF、 DE ，请判定△DEF的形状
【解析】 ∵CD⊥AB，BE⊥AC
∴△DBC和△EBC是直角三角形
∵F是斜边BC的中点
∴
∴△DEF是等腰三角形．
典题精练

【例4】 ⑴ 锐角中，，若于，于，
、分别为、的中点，若，则的长为 ．

⑵ 如图，四边形ABCD中，，取AC中点O，BC中
点E，连接OD、OE、DE，，则=
【解析】 ⑴ ，提示：连接 ⑵ 60°


【例5】 已知：在中，，点在直线上，与直线垂直，垂足为，且点为中点，连接、．
⑴ 如图1，若点在线段上，探究线段与及与所满足的数量关系，并直接写出你得到的结论；
⑵ 如图2，若点在延长线上，你⑴中的结论是否发生变化？写出你的猜想并证明；






【解析】 ⑴
⑵ 结论不变，由题意知，∴
两式相减，得

【例6】 在△ABC中，D为AB的中点，分别延长CA，CB到点E，F，使DE=DF；过E，F分别作CA，CB的垂线，相交于P．M、N是AP、BP的中点，分别连接EM、DM和DN、FN，求证：⑴△DEM≌△FDN; ⑵∠PAE=∠PBF．
【解析】 ⑴∵D为AB的中点，M是PA的中点
∴
∵
∴
同理
又∵
∴△DEM≌△FDN
⑵由⑴，∵△DEM≌△FDN
∴
∵
∴
∵EM=AM,FN=BN
∴
【点评】 本题运用了直角三角形斜边上中点的性质以及三角形中位线的相关性质．
真题赏析


【例7】 我们给出如下定义：有一组相邻内角相等的四边形叫做等邻角四边形．请解答下列问题：
⑴写出一个你所学过的特殊四边形中是等邻角四边形的图形的名称；
⑵如图1，△ABC中，AB=AC，点D在BC上，且CD=CA，点E、F分别为BC、AD的中点，连接EF并延长交AB于点G．求证：四边形AGEC是等邻角四边形．
⑶如图2，若点D在△ABC的内部，其他条件不变，EF与CD交于点H，图中是否存在等邻角四边形? （2013北师大附期中）

【解析】 ⑴直角梯形，等腰梯形，矩形，正方形（写出一个即可）
⑵取AC中点H连接FH、EH
∴

∵AB=AC、DC=AC
∴AB=CD、EH=FH
∴∠HFE=∠FEH
∵EH∥AB、FH∥CD
∴∠BGE=∠GEH，∠HFE=∠GEB
∴∠BGE=∠BEG
∴∠AGE=∠GEC
∴四边形AGEC是等邻角四边形

⑶存在，如图连接辅助线，同理可证，四边形AGHC为等邻角四边形

思维拓展训练(选讲)




训练1. 请用中位线定理证明：三角形的重心分中线所成的两线段之比为．







【解析】 如图，已知，中，中线交于点，求证：
证明思路如下：如图，取中点，连接，
由中位线定理可得，∴
∴ 为平行四边形，
∴
∴
【点评】 此结论还可以用面积法、相似证明，这里综合中位线定理及平行四边形判定，也很精彩！

训练2. 已知如图，是锐角的两条高，过顶点分别作的垂线，垂足分别为点，求证：．

【解析】 取中点，中点，连接，，，
可知，又为梯形中位线，∴
∴ ∴

训练3. 如图，已知：和都是直角三角形，且．,连接，设为的中点．求证：；






【解析】 如图，分别取的中点，连接，
由分别是的中点，
∴，，
∵是直角三角形，∴，
∴，
∵，∴，∴，
由，可得是平行四边形，∴，
∴，∴，∴．

训练4. 在图1至图3中，点是线段的中点，点是线段的中点．四边形和都是正方形．的中点是．
⑴ 如图1，点在的延长线上，点与点重合时，点与点重合，
求证：，；
⑵ 将图1中的绕点顺时针旋转一个锐角，得到图2，请判断的形状．（直接写出结论）
⑶ 将图2中的缩短到图3的情况，还是等腰直角三角形吗？证明你的结论．

【解析】 ⑴ ∵四边形和都是正方形，又∵点与点重合，点与点重合，
∴，．
∴，∴．
∵，∴，∴．
⑵ 等腰直角三角形．
⑶ 方法一：连接，如图，设与交于点．
∵分别是的中点，
∴，且；
，且．
∴四边形是平行四边形．∴．
又∵，∴．
∴，∴，．
∴
∴是等腰直角三角形．

方法二：连接、，可证
可推出
又，
可得，均为平行四边形，
可推出


复习巩固




题型一 三角形中位线 巩固练习

【练习1】 已知：如图，平行四边形ABCD中，∠BDC的平分线DE交直线AB于E．
取DE中点M并连接CM、BM．
⑴直接写出线段BM和DE的位置关系．
⑵若BD=2DC，则△DCM的形状是_____________．证明你的结论．
【解析】 ⑴ 互相垂直
⑵ 等腰三角形，证明思路如下：
取中点，连接
可知，再证即可

【练习2】 已知：如图所示，在中，、分别为、上的点，
且，、分别是、的中点，过的直线交
于点，交于点，求证：．
【解析】 连，取的中点，连、，
∵、分别是与的中点．
∴，，
，．
∴，．
∵， ∴，
∴，
∴， ∴．
【点评】 还可以取的中点．方法总结：已知四边形对角线中点，则取一边中点，可出两条中位线．

【练习3】 如图l，在四边形中，，分别是的中点，连接并延长，分别与的延长线交于点，则（不需证明）．
（温馨提示：在图1中，连接，取的中点，连接，根据三角形中位线定理，可证得，从而，再利用平行线的性质，可证得）问题：如图2，在四边形中，与相交于点，，分别是、的中点，连接，分别交于点，判断的形状，并证明．

【解析】 等腰三角形
提示：如图，取中点，连接
∵F、H、E分别是AD、DB、BC中点
∴FH//AB且
HE//DC且
∵AB=CD
∴FH=HE
∴
∵，
∴
∴OM=ON
∴△OMN是等腰三角形


题型二 中点四边形 巩固练习

【练习4】 △ABC的周长为64，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，、、分别
为EF、EG、GF的中点，的周长为 ．如果△ABC、△EFG、分别为第1个、第2个、第3个三角形，按照上述方法继续作三角形，那么第个三角形的周长是 ．
【解析】 16；

题型三 直角三角形斜边中线 巩固练习

【练习5】 如图，在五边形中，，
，为的中点．
求证：．

【解析】 方法一：如图1，取AC中点M，取AD中点N，连BM、MF、NF、EN，
得
∴
同理
∴
∵

∵
又∵
∴
又∵
∴
∴
∴，
方法二： 如图2，延长CB到M，使得MB=BC，
延长DE到N，使得NE=DE
连接AM、AN、MD、CN．由

∴是等腰三角形
∵F是CD中点，
∴
∴
∴
∴
【点评】 此题的两种解法中综合了中点的三个基本用法：等腰三角形三线合一；直角三角形斜边中线；中位线，即以下三个模型：




朱德著文忆母亲


1944年2月15日，朱德的母亲钟太夫人在家乡四川仪陇病逝。朱德万分悲痛，4月5日著《回忆我的母亲》一文，以无限的深情赞颂母亲的优秀品质，寄托哀思。
朱德开篇写道：得到母亲去世的消息，我很悲痛。我爱我母亲，特别是她勤劳一生，很多事情是值得我永远回忆的。
他在一封写给外甥的家信中说：“外祖母大人因人老关系，今年不比往年健康，但仍不辍劳作，尤喜纺棉。”
我应该感谢母亲，她教给我生产的知识和革命的意识，鼓励我以后走上革命的道路。在这条道路上，我一天比一天更加认识：只有这种知识、这种意识，才是世界上最可宝贵的财产。
最后，朱德满怀深情地写到：母亲现在离开我而去，我将永远不能再见她一面了，这个哀痛是无法补救的。母亲是一个平凡的人，她只是中国千百万劳动人民中的一员，但是，正是这千百万人创造了和创造着中国的历史。我用什么方法来报答母亲的深恩呢？我将继续尽忠于我们的民族和人民，尽忠于我们的民族和人民的希望---中国共产党，使和母亲同样生活着的人能够快乐的生活。这是我能做到的，一定能做到的。

今天我学到了


第十六种品格：感恩