专训三十八：二次函数与几何综合：相似三角形存在性判定-2021-2022学年九年级数学上册计算力提升训练（人教版）

计算力专训三十八：二次函数与几何综合：相似三角形存在性判定

牛刀小试

1．（2019·四川初三月考）如图，二次函数的图象与轴相交于点、，与轴相交于点．

求该函数的表达式；

点为该函数在第一象限内的图象上一点，过点作，垂足为点，连接．

①求线段的最大值；

②若以点、、为顶点的三角形与相似，求点的坐标．

2．（2021·全国初三课时练习）如图，二次函数的图象经过，，三点．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）点是线段上的动点（点与线段的端点不重合），若与相似，求点的坐标．

3．（2021·四川初三月考）如图，已知二次函数的图象过点．，与轴交于另一点，且对称轴是直线．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）是轴上的点，过作轴与抛物线交于，过作轴于，当以为顶点的三角形与以为顶点的三角形相似时，求点的坐标．

4．（2018·湖南初三期中）如图，已知二次函数的图像过点,,与轴交于另一点,且对称轴是直线.

（1）求该二次函数的解析式；

（2）是轴上的点，过作轴，与抛物线交于,过作轴于.当以、、为顶点的三角形与、、为顶点的三角形相似时，求点的坐标.

5．（2016·湖南初三期末）如图,二次函数y=x2+2x+6的图像与x轴相交于A、B两点,与y轴交于点C,顶点为点D,该二次函数图像的对称轴与直线BC相交于点E,与x轴交于点F;

(1)求直线BC的解析式;

(2)试判断△BFE与△DCE是否相似?并说明理由.

(3)在坐标轴上是否存在这样的点P,使得以点P、B、C为顶点的三角形与△DCE相似?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由。

熟能生巧

6．（2017·天津初三）如图， 已知二次函数（，，为常数）的对称轴为，与轴的交点为，的最大值为5，顶点为，过点且平行于轴的直线与抛物线交于点，.

（1）求该二次函数的解析式和点，的坐标.

（2）点是直线上的动点，若点，点，点所构成的三角形与相似，求出所有点的坐标.

7．（2017·上海初三期末）如图，已知直线与二次函数的图像交于点A、O，(O是坐标原点)，点P为二次函数图像的顶点，OA=，AP的中点为B．

（1）求二次函数的解析式；

（2）求线段OB的长；

（3）若射线OB上存在点Q，使得△AOQ与△AOP相似，求点Q的坐标．

8．（2016·江苏初三月考）在平面直角坐标系中，一个二次函数的图象经过点A（1，0）、B（3，0）两点．

（1）这个二次函数的对称轴是直线           ；

（2）设这个二次函数的顶点为D，与y轴交于点C，它的对称轴与x轴交于点E，连接AD、DE和DB，当△AOC与△DEB相似时，求这个二次函数的表达式。

9．（2021·邹城市第八中学初三）如图，二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点．

求该二次函数的表达式；

过点A的直线且交抛物线于另一点D，求直线AD的函数表达式；

在的条件下，在x轴上是否存在一点P，使得以B、C、P为顶点的三角形与相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

10．（2019·内蒙古初三期末）已知：如图，二次函数图象的顶点坐标为C（1，﹣2），直线y=kx+m的图象与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点坐标为（3，0），B点在y轴上．点P为线段AB上的一个动点（点P与点A、B不重合），过点P且垂直于x轴的直线与这个二次函数的图象交于点E．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）设点P的横坐标为x，求线段PE的长（用含x 的代数式表示）；

（3）点D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，若以点P、E、D为顶点的三角形与△AOB相似，请求出P点的坐标．

庖丁解牛

11．（2021·东海晶都双语学校初三）在直角坐标系XOY中，二次函数图像的顶点坐标为，且与x轴的两个交点间的距离为6.

（1）求二次函数解析式；

（2）在x轴上方的抛物线上，是否存在点Q，使得以点Q、A、B为顶点的三角形与△ABC相似？如果存在，请求出Q点的坐标，如果不存在，请说明理由.