考点04 二次函数的图象和性质-2020-2022学年九年级《新题速递·数学》（人教版）

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考点04 二次函数的图象和性质
1．（四川省阿坝州汶川县2019-2021学年九年级上学期期末考试数学试题）下列函数中，一定是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据二次函数的定义逐个判断即可．
【详解】
A、是二次函数，故本选项符合题意；
B、当a=0时，函数不是二次函数，故本选项不符合题意；
C、不是二次函数，故本选项不符合题意；
D、不是二次函数，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题考查二次函数的定义，能熟记二次函数的定义的内容是解题的关键．
2．（四川省阿坝州汶川县2019-2021学年九年级上学期期末考试数学试题）抛物线，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下，顶点坐标 B．开口向上，顶点坐标
C．开口向下，顶点坐标 D．开口向上，顶点坐标
【答案】C
【解析】
【分析】
直接根据顶点式即可得出顶点坐标，根据a的正负即可判断开口方向．
【详解】
∵，
∴抛物线开口向下，
由顶点式的表达式可知抛物线的顶点坐标为，
∴抛物线开口向下，顶点坐标
故选：C．
【点睛】本题主要考查顶点式的抛物线的表达式，掌握a对开口方向的影响和顶点坐标的确定方法是解题的关键．
3．（湖北省巴东县2019-2021学年九年级下学期6月检测数学试题）已知抛物线的图象经过点(﹣1，10)、(2，3)、(5，10)，则这个抛物线的对称轴是（ ）
A．x＝6 B．x＝2 C．x＝4 D．x＝8
【答案】B
【解析】
【分析】
根据二次函数是轴对称图形，其图像上关于对称轴的两点的纵坐标相等即可求解．
【详解】
解：∵二次函数是轴对称图形，且其图像上关于对称轴的两点的纵坐标相等，
∴点(-1,10)和点(5,10)关于对称轴对称，
∴抛物线的对称轴为直线，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数是轴对称图形，其图像上关于对称轴的两点的纵坐标相等即可解答本题．
4．（河南省焦作市2019-2021学年九年级第一次质量抽测数学试题）在抛物线经过（m，n）和（m+3，n）两点，则n的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
将点m，n）和（m+3，n）代入得到，解一元二次方程得出m的值，从而得出n的值．
【详解】
解：将点m，n）和（m+3，n）代入得到：
整理得：
解得：
把点代入可得：

解得：
故选：A．
【点睛】本题考查的知识点是抛物线上点的坐标特征，根据点在抛物线上代入求出m的值是解此题的关键．
5．（湖北省武汉市外国语学校美加分校2019-2021学年九年级下学期期中数学试题）已知关于x的二次函数y＝x2＋(2－a)x＋5，当1≤x≤3时，y在x＝1时取得最大值，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≥2 B．a≤－2 C．a≥6 D．a＜0
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二次函数的增减性利用对称轴列出不等式求解即可．
【详解】
∵1≤x≤3时，y在x=1时取得最大值，即：
x=≥，即a≥6
综合上所述a≥6．
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的增减性和对称轴公式是解题的关键．
6．（辽宁省丹东市第七中学2019-2021学年九年级下学期复学摸底数学试题）对于抛物线的说法错误的是 （ ）
A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标是（1，-3）
C．抛物线的对称轴是直线 D．当时，随的增大而增大
【答案】D
【解析】
【分析】
找到题目中函数的开口方向、对称轴、顶点坐标以及增减性后即可得出答案．
【详解】
解：中，抛物线开口向下，顶点坐标为（1，-3），对称轴为直线，当时，随的增大而减小．
故选：D．
【点睛】本题考查的知识点是抛物线的性质，能正确的说出函数的开口方向、对称轴、顶点坐标是解此题的关键．
7．（河南省驻马店市汝南县2019--2021学年九年级下学期期中数学试题）将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位后得到抛物线，则原抛物线是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
抛物线平移．不改变二次项系数，平移后抛物线的顶点坐标为（0，0），根据平移规律可推出原抛物线顶点坐标为（2，2），根据顶点式可求抛物线解析式．
【详解】
平移后抛物线的顶点坐标为（0，0），
根据平移规律，得原抛物线顶点坐标为（2，2），
又平移不改变二次项系数，
∴原抛物线解析式为，
即．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
8．（2021年湖北省应城市、安陆市、云梦县、孝昌县四县市九年级联合调研考试数学试题）抛物线上有两点和， 若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出抛物线的对称轴，再根据抛物线的图象和性质求解即可．
【详解】
解：抛物线的对称轴为直线x= ，
当y1=y2时，，即m=3，
∵抛物线的开口向下，
∴当，m>3，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
9．（黑龙江省哈尔滨市虹桥初级中学校2019-2021学年九年级6月阶段测试数学试题）将抛物线向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据二次函数图象的平移规律即可得．
【详解】
先将抛物线向右平移2个单位得到抛物线的解析式为，即，
再将抛物线向下平移1个单位得到抛物线的解析式为，即，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移规律，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题关键．
10．（山西省太原市2019-2021学年九年级初中毕业班综合测试（三）数学试题）在平面直角坐标系内，将抛物线经过两次平移后，得到的新抛物线的顶点坐标为．下列对这一平移过程描述正确的是（ ）
A．先向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
B．先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
C．先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
D．先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出抛物线的顶点坐标，再通过顶点的平移，即可得到平移的规则．
【详解】
解：根据题意，
∵抛物线，
∴顶点坐标为（，），
∴顶点坐标（，）通过平移得到顶点坐标为．
∴平移的规则为：先向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度；
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的平移，解题的关键是熟练掌握二次函数的平移规则进行解题．
11．（陕西省安康市旬阳县2019-2021学年九年级上学期期末数学试题）已知二次函数（为常数），当时，函数值的最小值为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
函数配方后得，抛物线开口向上，在时，取最小值为-3，列方程求解可得．
【详解】
∵，
∴ 抛物线开口向上，且对称轴为，
∴在时，有最小值-3，
即：，解得，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象及增减性是解题的关键．
12．（陕西省西北工业大学附属中学2019-2021学年九年级下学期第三次适应性训练数学试题）已知二次函数，当时，则下列结论正确的是（ ）
A．二次函数的图象与轴无交点
B．二次函数的图象与轴的交点都在轴左侧
C．二次函数的图象与轴的交点都在轴右侧
D．二次函数的图象与轴的交点都在轴两侧
【答案】D
【解析】
【分析】
首先令，利用根的判别式可以得到，而二次函数，所以二次函数与轴的两个交点分别是，再结合已知条件对的范围进行讨论，即可求解；
【详解】
当时，
此时，
二次函数的图象与轴必定有两个交点
故A选项错误；

二次函数与轴的两个交点分别是

，
即，
二次函数的图象与轴的交点都在轴两侧.
故选：D.
【点睛】本题主要考查二次函数与一元二次方程的关系，准确的将二次函数的一般式化为两点式，并求出二次函数与轴的交点是求解本题的关键.
13．（2021年湖北省黄石市九年级中考5月调研数学试题）二次函数的图象的顶点在第一象限，且过点（-1,0），设，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由二次函数的解析式可知，当x=1时，所对应的函数值y=t=a+b+1．把点(-1，0)代入y=ax2+bx+1，a-b+1=0，然后根据顶点在第一象限，可以画出草图并判断出a与b的符号，进而求出t=a+b+1的变化范围．
【详解】
解：∵二次函数y=ax2+bx+1的顶点在第一象限，且经过点(-1，0)，
∴函数图像如图所示，且a-b+1=0，a＜0，b＞0，
由a=b-1＜0得到b＜1，
∵b＞0，
∴0＜b＜1①．
由b=a+1＞0得到a＞-1，
∵a＜0，
∴-1＜a＜0②，
∴由①+②得：-1＜a+b＜1，
在不等式两边同时加1得0＜a+b+1＜2，
∵，
∴0＜t＜2．
故选：A．

【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的图像与性质，在解题时要结合二次函数的图象和系数的关系求解，难度一般．
14．（浙江省杭州拱墅区拱宸中学2019-2021学年九年级下期中考试数学试题）已知二次函数图像与反比例函数的图像有一个交点，则下列选项正确的是( )
A．时 B．时
C．时 D．时，
【答案】A
【解析】
【分析】
由点（-1，-2）在反比例函数图象上可求出k=2的值，联立方程组 ，求出抛物线与双曲线的交点坐标，再进行判断即可．
【详解】
∵二次函数图像与反比例函数的图像有一个交点，
∴k=(-1)×(-2)=2
∴
联立方程组 ，
解得，，，，
即抛物线与反比例函数的图像交点坐标为：（-1，-2），（-，- ），（，）
如图，

∵>
∴当时，，
结合图象可以得出选项B、C、D均不正确．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了抛物线和双曲线的性质，求出两函数的交点坐标是解答此题的关键．
15．（福建省厦门市海沧区2019-2021学年九年级初中毕业班教学质量检测数学试题）已知点A( b－m，y1 )，B( b－n，y2 )，C( b+，y3 )都在二次函数y=－x2+2bx +c的图象上，若01）个单位，
∴平移后的对称轴是直线x＞0，
又∵在-3