专训四十七、直线与圆的位置关系相关计算-2021-2022学年九年级数学上册计算力提升训练（人教版）

计算力专训四十七、直线与圆的位置关系相关计算

牛刀小试

1．（2021·河北石家庄·初三月考）如图，在以为直径的半圆上，是的内心，，的延长线分别交半圆于点，，，则的长为（    ）．

A．5 B． C． D．5

【答案】B

【解析】

【分析】

连结OD、OE．根据三角形内心的性质得出∠CAB=2∠DAB，∠ABC=2∠ABE．由圆周角定理得出∠C=90°，∠DOB=2∠DAB，∠AOE=2∠ABE，进而得出∠DOB+∠AOE=90°，利用平角的定义得出∠DOE=90°，又OD=OE=AB=5，然后根据勾股定理即可求出DE．

【详解】

如图，连结OD、OE.

∵I是△ABC的内心，

∴∠CAB=2∠DAB，∠ABC=2∠ABE.

∵C在以AB为直径的半圆O上，

∴∠C=90°，

∴∠CAB+∠ABC=90°，

∴2∠DAB+2∠ABE=90°，

∵∠DOB=2∠DAB，∠AOE=2∠ABE，

∴∠DOB+∠AOE=90°，

∴∠DOE=180°−(∠DOB+∠AOE)=90°，

∵OD=OE=AB=5，

∴DE==

故选B.

【点睛】

本题主要考查圆周角定理以及等腰直角三角形和勾股定理，添加合适的辅助线，构造等腰直角三角形，是解题的关键．

2．（2021·浙江温州·初三月考）已知点P在半径为5cm的圆内，则点P到圆心的距离可以是　　

A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm

【答案】A

【解析】

【分析】

直接根据点与圆的位置关系进行判断．

【详解】

点P在半径为5cm的圆内，

点P到圆心的距离小于5cm，

所以只有选项A符合，选项B、C、D都不符合；

故选A．

【点睛】

本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．

3．（2021·河北承德·初三二模）如图，中，，，，将半径是1的沿三角形的内部边缘无滑动的滚动一周，回到起始的位置，则点所经过的路线长是（  ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

构建直角三角形，利用三角函数的知识点计算即可得到结果；

【详解】

如图所示，

∵中，，，，

∴AC=5，

又∵的半径是1，

∴CQ=1，

∴，

在中，

，

∴，

∴点O经过的路线长为；

故选：A．

【点睛】

本题主要考查了直线与圆的位置关系，结合三角函数值计算是解题的关键．

4．（2021·宁波市惠贞书院初二期末）如图，圆弧形弯道两边的直道在连接点处与弯道相切。测得，则这段圆弧弯道的度数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

取圆弧弯道的圆心点，连接，，根据切线的性质可得，利用四边形内角和即可求解．

【详解】

取圆弧弯道的圆心点，连接，，

，与相切，

，，

在四边形中，

，

则这段圆弧弯道的度数．

故选C

【点睛】

此题主要考查切线性质、多边形的内角和定理，熟练进行逻辑推理是解题关键．

5．（2019·江苏东台市实验中学初三期中）如图，线段AB与⊙O相切于点B，线段AO与⊙O相交于点C，AB=12，AC=8，则⊙O半径长为 （　）

A． B．5 C．6 D．10

【答案】B

【解析】

【分析】

连接，根据切线的性质求出，在中，由勾股定理即可求出的半径长．

【详解】

解：连接，

切于，

，

，

设的半径长为，

由勾股定理得：

，

解得．

故选：B．

【点睛】

本题考查了切线的性质和勾股定理的应用，关键是连半径得出直角三角形．

熟能生巧

6．（2021·江苏南京·文昌初级中学月考）若△ABC的三边长分别为3cm、4cm、5cm，则△ABC的外接圆半径为_________．

【答案】cm．

【解析】

【分析】

根据勾股定理逆定理，得三角形是直角三角形，根据：直角三角形的外心在斜边的中点，可求半径．

【详解】

解：因为32+42=52，

所以，△ABC是直角三角形，

所以，△ABC的外接圆的圆心在斜边的中点，

所以，△ABC的外接圆的半径为cm，    

故答案为：cm．

【点睛】

本题考查的是求三角形的外接圆的半径，掌握勾股定理的逆定理和直角三角形的外心的位置是解题关键．

7．（2021·江苏南京·文昌初级中学月考）如图，直线AB与⊙O切于点A，⊙O的半径为2，若∠OBA=30°，则AB的长为_______．

【答案】

【解析】

【分析】

根据切线的性质可得∠OAB=90°，根据30°所对的直角边是斜边的一半即可求出OB，利用勾股定理即可求出结论．

【详解】

解：∵直线AB与⊙O切于点A，

∴∠OAB=90°

在Rt△OAB中，∠OBA=30°，半径OA=2

∴OB=2OA=4

∴AB=

故答案为：．

【点睛】

此题考查的是切线的性质和直角三角形的性质，掌握切线的性质、30°所对的直角边是斜边的一半和勾股定理是解题关键．

8．（2021·新疆初三三模）如图，半径为2的⊙O与含有30°角的直角三角板ABC的AC边切于点A，将直角三角板沿CA边所在的直线向左平移，当平移到AB与⊙O相切时，该直角三角板平移的距离为______.

【答案】

【解析】

试题解析：根据题意画出平移后的图形，如图所示：

设平移后的△A′B′C′与相切于点D，连接OD，OA，AD，

过O作OE⊥AD，可得E为AD的中点，

∵平移前与AC相切于A点，

∴OA⊥A′C,即

∵平移前与AC相切于A点,平移后与A′B′相切于D点，

即A′D与A′A为的两条切线，

∴A′D=A′A,又

∴△A′AD为等边三角形，

∴

∴

在Rt△AOE中, 

∴

∴

∴

则该直角三角板平移的距离为

故答案为

9．（2021·江苏江都·初三月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=4,BC=3,D是以点A为圆心2为半径的圆上一点，连接BD，M为BD的中点，则线段CM长度的最小值为__________．

【答案】

【解析】

【分析】

作AB的中点E,连接EM,CE,AD根据三角形中位线的性质和直角三角形斜边中线等于斜边一半求出EM和CE长，再根据三角形的三边关系确定CM长度的范围，从而确定CM的最小值.

【详解】

解：如图，取AB的中点E，连接CE,ME,AD,

∵E是AB的中点，M是BD的中点，AD=2，

∴EM为△BAD的中位线，

∴ ,

在Rt△ACB中，AC=4,BC=3，

由勾股定理得，AB=

∵CE为Rt△ACB斜边的中线，

∴,

在△CEM中， ,即，

∴CM的最大值为 .

故答案为：.

【点睛】

本题考查了圆的性质，直角三角形的性质及中位线的性质，利用三角形三边关系确定线段的最值问题，构造一个以CM为边，另两边为定值的的三角形是解答此题的关键和难点.

10．（2021·滨海县滨淮初级中学初三月考）在矩形中，，，以为圆心画圆，且点在⊙A内，点在⊙A外，则⊙A半径的取值范围是________．

【答案】

【解析】

【分析】

连接AC，根据矩形的性质及勾股定理先求出AC的长，然后根据点与圆的位置关系及题意直接列式求解即可．

【详解】

解：连接AC，如图，

四边形是矩形，

∠D=90°，AD=BC，

，，

，

由以为圆心画圆，且点在⊙A内，点在⊙A外，可得：

⊙A半径的取值范围是，

故答案为．

【点睛】

本题主要考查点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题的关键．

庖丁解牛

11．（2021·江苏江都·初三月考）木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径r．用角尺的较短边紧靠⊙O，角尺的顶点B（∠B＝90°），并使较长边与⊙O相切于点C．

（1）如图，AB＜r，较短边AB＝8cm，读得BC长为12cm，则该圆的半径r为多少？

（2）如果AB＝8cm，假设角尺的边BC足够长，若读得BC长为acm，则用含a的代数式表示r为　   　．

【答案】（1）13；（2）0＜r≤8时，r＝a；当r＞8时，r＝a 2+4

【解析】

【分析】

（1）利用在Rt△AOD中，r2＝（r﹣8）2+122，求出r即可．

（2）根据切线的性质，连接OC，则OC⊥BC，连接OA，过点A作AD⊥OC于点D，在Rt△OAD中用勾股定理计算求出圆的半径．

【详解】

解：（1）如图1，连接OC、OA，作AD⊥OC，垂足为D．则OD＝r﹣8

在Rt△AOD中，r2＝（r﹣8）2+122

解得：r＝13；

答：该圆的半径r为13；

（2）①如图2，易知，0＜r≤8时，r＝a；

②当r＞8时，

如图1：连接OC，连接OA，过点A作AD⊥OC于点D，

∵BC与⊙O相切于点C，

∴OC⊥BC，

则四边形ABCD是矩形，即AD＝BC，CD＝AB．

在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2，

即：r2＝（r﹣8）2+a2，

整理得：r＝a2+4．

故答案为：0＜r≤8时，r＝a；当r＞8时，r＝a 2+4．

【点睛】

本题考查切线的性质及勾股定理在实际中的运用，根据已知条件作出辅助线，熟知垂径定理的内容是解题的关键．