专训五十二：圆中计算综合（三）-2021-2022学年九年级数学上册计算力提升训练（人教版）

计算力专训五十二、圆中计算综合（三）

牛刀小试

1．（2019·辽宁双台子·初三月考）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，OF⊥AB，交AC于点F，点E在AB的延长线上，射线EM经过点C，且∠ACE+∠AFO=180°.

（1）求证：EM是⊙O的切线；

（2）若∠A=∠E,BC=，求阴影部分的面积.（结果保留和根号）.

【答案】（1）详见解析；（2）；

【解析】

【分析】

（1）连接OC，根据垂直的定义得到∠AOF=90°，根据三角形的内角和得到∠ACE=90°+∠A，根据等腰三角形的性质得到∠OCE=90°，得到OC⊥CE，于是得到结论；
（2）根据圆周角定理得到∠ACB=90°，推出∠ACO=∠BCE，得到△BOC是等边三角形，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．

【详解】

：（1）连接OC，
∵OF⊥AB，
∴∠AOF=90°，
∴∠A+∠AFO+90°=180°，
∵∠ACE+∠AFO=180°，
∴∠ACE=90°+∠A，
∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∴∠ACE=90°+∠ACO=∠ACO+∠OCE，
∴∠OCE=90°，
∴OC⊥CE，
∴EM是⊙O的切线；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACO+∠BCO=∠BCE+∠BCO=90°，
∴∠ACO=∠BCE，
∵∠A=∠E，
∴∠A=∠ACO=∠BCE=∠E，
∴∠ABC=∠BCO+∠E=2∠A，
∴∠A=30°，
∴∠BOC=60°，
∴△BOC是等边三角形，
∴OB=BC=，
∴阴影部分的面积=，

【点睛】

本题考查了切线的判定，等腰三角形的判定和性质，扇形的面积计算，连接OC 是解题的关键．

2．（2018·江苏相城·初三期中）如图，AM为⊙O的切线，A为切点，过⊙O上一点B作BD⊥AM于点D，BD交⊙O于C，OC平分∠AOB．

（1）求∠AOB的度数；

（2）若线段CD的长为2cm，求的长度．

【答案】（1）120°；（2）.

【解析】

【分析】

（1）由AM为圆O的切线，利用切线的性质得到OA与AM垂直，再由BD与AM垂直，得到OA与BD平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再由OC为角平分线得到一对角相等，以及OB=OC，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到∠BOC=∠OBC=∠OCB=60°，即可得出答案；
（2）过点O作OE⊥BD，垂足为E，由题意可证四边形ADEO是矩形，可得OA=DE，即可求CD=CE=2cm，可得OA=4cm，根据弧长公式可求弧AB的长度．

【详解】

解：（1）∵AM为圆O的切线，

∴OA⊥AM，

∵BD⊥AM，

∴∠OAD＝∠BDM＝90°，

∴OA∥BD，

∴∠AOC＝∠OCB，

∵OB＝OC，

∴∠OBC＝∠OCB，

∵OC平分∠AOB，

∴∠AOC＝∠BOC，

∴∠BOC＝∠OCB＝∠OBC＝60°，

∴∠AOB＝120°；

（2）如图：过点O作OE⊥BD，垂足为E

∵∠BOC＝∠OCB＝∠OBC＝60°，

∴OB＝OC＝BC

∵OE⊥BD，

∴BE＝CE＝BC＝OA

∵OE⊥BD，且OA⊥AD，BD⊥AD

∴四边形ADEO是矩形

∴OA＝DE

∴CD+CE＝OA＝2CE，且CD＝2cm

∴CE＝2cm

∴OA＝4cm

∴弧AB的长度＝ ＝π

【点睛】

本题考查切线的性质，平行线的判定与性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质是解题关键．

3．（2018·全国初三单元测试）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝2AC，半径为2的⊙C，分别交AC、BC于点D、E，得到．

（1）求证：AB为⊙C的切线；

（2）求图中阴影部分的面积．

【答案】（1）证明见解析；（2）5-.

【解析】

【分析】

（1）解直角三角形求出BC，根据勾股定理求出AB，根据三角形面积公式求出CF，根据切线的判定得出即可；
（2）分别求出△ACB的面积和扇形DCE的面积，即可得出答案．

【详解】

（1）证明：过C作CF⊥AB于F，

∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝2AC，

∴BC＝2，

由勾股定理得：AB＝ ＝5，

∵△ACB的面积S＝×AB×CF＝×AC×BC，

∴CF＝ ＝2，

∴CF为⊙C的半径，

∵CF⊥AB，

∴AB为⊙C的切线；

（2）解：图中阴影部分的面积＝S△ACB﹣S扇形DCE＝××2﹣ ＝5﹣π．

【点睛】

本题考查勾股定理，扇形的面积，解直角三角形，切线的性质和判定等知识点，能求出CF的长是解题关键．

4．（2021·广西河池·初三三模）如图，已知△ABC内接于⊙O，BC为⊙O直径，延长AC至D，过D作⊙O切线，切点为E，且∠D＝90°，连接BE．DE＝12，

（1）若CD＝4，求⊙O的半径；

（2）若AD+CD＝30，求AC的长．

【答案】（1）20；（2）18.

【解析】

【分析】

(1) （2） 连接OE，作OH⊥AD于H，利用切线性质和垂径定理、矩形的判定和性质、勾股定理即可解答；

【详解】

（1）解：连接OE，作OH⊥AD于H，

∵DE是⊙O的切线，

∴OE⊥DE．

又∵∠D＝90°，

∴四边形OHDE是矩形，

设⊙O的半径为r，

在Rt△OCH中，

OC2＝CH2+OH2，

∴r2＝（r﹣4）2+144，

∴半径r＝20．

（2）解：∵OH⊥AD，

∴AH＝CH．

又∵AD+CD＝30，即：（AH+HD）+（HD﹣CH）＝30．

∴2HD＝30，HD＝15，即OE＝HD＝OC＝15，

∴在Rt△OCH中，CH＝ ＝＝9．

∴AC＝2CH＝18．

【点睛】

本题考查圆的切线的性质，矩形的判定和性质及垂径定理．解答此类题目的关键是通过作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求得相关线段的长度．

5．（2019·延津县清华园学校初三期中）如图，圆锥的母线长为，其侧面展开图是半圆，求：

（1）圆锥的底面半径；

（2）的度数；

（3）圆锥的侧面积（结果保留）．

【答案】（1）圆锥的底面半径为；（2）；（3）圆锥的侧面积为．

【解析】

【分析】

（1）根据圆锥的母线长等于半圆的半径，求得圆锥的侧面展开扇形的弧长，再根据圆的周长公式即可求得答案；

（2）根据30度角所对的直角边为斜边的一半，即可得解；

（3）根据圆锥的侧面积公式求解即可.

【详解】

解：（1）∵圆锥的母线长等于半圆的半径，

∴圆锥的侧面展开扇形的弧长，

设圆锥底面的半径为，

则

解得，

∴圆锥的底面半径为；

（2）∵，

∴圆锥高与母线的夹角为，

则；

（3）∵

∴，

∴圆锥的侧面积为．

【点睛】

本题主要考查圆锥与其展开图.解此题的关键在于熟练掌握其基础知识点.

熟能生巧

6．（2019·江苏东台·初三月考）如图，在正方形网格图中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格中进行下列操作：

（1）请在图中确定该圆弧所在圆心D点的位置，D点坐标为　   　；

（2）连接AD、CD，则⊙D的半径为　   　；扇形DAC的圆心角度数为　   　；

（3）若扇形DAC是某一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的底面半径．

【答案】（1）(2,0)；（2）2,90；（3）

【解析】

【分析】

（1）作AB、BC的垂直平分线，两垂直平分线的交代即为点D，再根据坐标轴上点的坐标特征可得到点D的坐标；

（2）连接DA、DC，利用勾股定理求出AD的长，即⊙D的半径；再利用SAS证得△AOD≌△DEC，根据全等三角形的性质可得∠OAD=∠CDE，然后求出∠ADC的度数即可；

（3）设出圆锥的底面半径，再根据圆锥的底面周长等于侧面展开图即扇形的弧长，即可求出该圆锥的底面半径.

【详解】

（1）如图，分别作AB、BC的垂直平分线，两线交于点D，

∴D点的坐标为(2，0).

（2）连接DA、DC，如图，

则AD=，

即⊙D的半径为.

∵OD=CE，OA=DE=4，

∠AOD=∠CEO=90°，

∴△AOD≌△DEC，

∴∠OAD=∠CDE，

∴∠ADO+∠CDE=∠ADO+∠OAD=90°，

∴∠ADC=90°，

即扇形DAC的圆心角度数为90°.

（3）设圆锥的底面半径是r，

则，

∴，

即该圆锥的底面半径为.

【点睛】

本题考查了垂径定理，弧长公式，勾股定理以及全等三角形的判定与性质等知识.要能够根据垂径定理作出圆的圆心，根据全等三角形的性质确定角之间的关系，掌握圆锥的底面半径的计算方法.

7．（2021·江苏丹徒·初三期中）如图线段AB的端点在边长为1的小正方形网格的格点上，现将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到线段AC．

⑴请你在所给的网格中画出线段AC及点B经过的路径；

⑵若将此网格放在一平面直角坐标系中，已知点A的坐标为(1，3)，点B的坐标为(-2， -1)，则点C的坐标为       ；

⑶线段AB在旋转到线段AC的过程中，线段AB扫过的区域的面积为       ；

⑷若有一张与⑶中所说的区域形状相同的纸片，将它围成一个几何体的侧面，则该几何体底面圆的半径长为        .

【答案】⑴略；⑵（5，0）；⑶；⑷；

【解析】

（1）线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到线段AC．线段AC及点B经过的路径是一段弧，根据弧长公式计算路径；

（2）根据点A的坐标为（1，3），点B的坐标为（-2，-1），可建立直角坐标系，从直角坐标系中读出点C的坐标为（5，0）；

（3）线段AB在旋转到线段AC的过程中，线段AB扫过的区域的面积为一个扇形，根据扇形公式计算；

（4）将它围成一个几何体即圆锥的侧面，则该几何体底面圆的周长就等于弧长，利用此等量关键可计算出半径．

8．（2021·湖北宜昌·初三期末）如图所示，已知扇形AOB的半径为6㎝，圆心角的度数为120°，若将此扇形围成一个圆锥，

则：

（1）求出围成的圆锥的侧面积为多少；

（2）求出该圆锥的底面半径是多少．

【答案】（1）12π；（2）2．

【解析】

【分析】

（1）因为扇形的面积就是圆锥的侧面积，所以只要求出扇形面积即可；

（2）因为扇形围成一个圆锥的侧面，圆锥的底面圆的周长是扇形的弧长，借助扇形弧长公式可以求出圆锥的底面半径．

【详解】

解：（1）；

（2）扇形的弧长=，圆锥的底面圆的周长=2πR=4π，解得：R=2；

故圆锥的底面半径为2．

【点睛】

本题考查圆锥的计算，掌握公式正确计算是解题关键．

9．（本小题满分10分）

如图，已知扇形的半径为15cm，∠AOB=120°．

（1）求扇形的面积；

（2）用这扇形围成圆锥的侧面，求该圆锥的高和底面半径．

【答案】（1）150π平方厘米

（2）r=10cm；h=5cm

【解析】

【分析】

（1）根据扇形的面积公式S=，代值计算即可

（2）利用弧长公式可求得扇形的弧长，除以2π即为圆锥的底面半径，再利用勾股定理求得高即可.

【详解】

解：（1）∵S=

∴S==150πcm2

（2）∵弧长==20π

∴2πr=20π，r=10cm，

∴圆锥的高h==（cm）

【点睛】

本题考查了扇形的面积公式以及圆锥有关计算，解本题的关键是掌握圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长.

10．（2018·安徽桐城实验中学初三期末）如图①，两同心圆的圆心为O,大圆的弦AB与小圆相切于点P,已知两圆的半径分别为2和1.

(1)用阴影部分的扇形围成一个圆锥(OA与OB重合)，求该圆锥的底面半径．

(2)用余下部分再围成一个圆锥(如图②所示)，若一只小虫从A点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A点，求小虫爬行的最短路线的长．

【答案】（1）圆锥的底面半径为；（2）小虫爬行的最短路线为.

【解析】

【分析】

（1）利用30°角的性质可求得∠A的度数，进而求出∠AOB的度数，可求优弧AB的长度，除以2π即为圆锥的底面半径；

（2）由题意知，小虫爬行的最短路线是弦AB的长，利用垂径定理和勾股定理即可求得弦AB的长；

【详解】

(1)连接OP，

则OP⊥AB，

∵OA=2,OP=1,

∴∠A=30°,

∴∠AOB=180°-30°-30°=120°,

∴优弧AB的长为：

∴圆锥的底面半径为：=

(2)由勾股定理得，AP=，

 ∵OP⊥AB，

∴AB=2AP=.

∴小虫爬行的最短路线为.

【点睛】

本题综合考查了切线的性质，垂径定理，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，圆锥的弧长等于底面周长等知识点．熟练掌握弧长公式和垂径定理是解答本题的关键．

庖丁解牛

11．（2019·江苏无锡·初三期中）如图，线段AB的端点在边长为1的正方形网格的格点上，现将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到线段AC．

（1）请你用直尺和圆规在所给的网格中画出线段AC及点B经过的路径；

（2）若将此网格放在一平面直角坐标系中，已知点A的坐标为

（1，3），点B的坐标为（﹣2，﹣1），则点C的坐标为　　；

（3）线段AB在旋转到线段AC的过程中，点B经过的路径长为　     　；

（4）若有一张与（3）中所说的区域形状相同的纸片，将它围成个圆锥的侧面，则该圆锥底面圆的半径长为　     　．

【答案】（1）画图见解析；（2）（5，0）；（3）；（4）．

【解析】

【分析】

(1)、根据旋转的性质将图形旋转90°即可得出答案；(2)、根据所画的旋转图形得出点C的坐标；(3)、根据扇形的面积计算公式，然后将圆心角的度数，半径代入公式即可求出答案；(4)、根据弧长的计算公式，将圆心角的度数和半径代入公式即可得出答案，然后根据弧BC的长度等于圆锥底面周长即可求出圆锥底面的半径．

【详解】

(1)、如图所示：点B经过的路径为弧BC；

(2)、如图所示：点C的坐标为：(5，0)；故答案为(5，0)；

(3)、线段AB在旋转到线段AC的过程中，线段AB扫过区域的面积为： ；

(4)、解：，弧，  则 ， 解得：．