专题08 相似与四边形-2021-2022学年九年级数学下册解法技巧思维培优（人教版）

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1．（2021•道外区校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，点F在边AD的延长线上，且DF＝BE，FE与CD交于点G．若DGCG=23，BE＝4，则EC的长为 6 ．
【点睛】首先证明四边形BEFD是平行四边形，由△DFG∽CEG，可得 DGCG=DFCE，由此即可解决问题．
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∵DF＝BE，
∴四边形BEFD是平行四边形，
∴DF＝BE＝4．
∵DF∥EC，
∴△DFG∽CEG，
∴DGCG=DFCE，
∴CE=DF⋅CGDG=4×32=6．
故答案为6．
2．（2021•东坡区期末）如图，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，F为AD上一点，EF交AC于点G，AF＝4cm，DF＝8cm，AG＝6cm，则AC的长为 30cm ．
【点睛】延长FG交CB的延长线于点H．根据平行四边形的性质，得BC＝AD＝12cm，BC∥AD．根据AAS可以证明△AFE≌△BHE，则BH＝AF＝4cm，再根据BC∥AD，得AGCG=AFCH，求得CG的长，从而求得AC的长．
【详解】解：延长FG交CB的延长线于点H．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝12cm，BC∥AD．
∴∠EAF＝∠EBH，∠AFE＝∠BHE，
又AE＝BE，
∴△AFE≌△BHE（AAS），
∴BH＝AF＝4cm．
∵BC∥AD，
∴AGCG=AFCH，
即6CG=416，
则CG＝24，
则AC＝AG+CG＝30（cm）．
故答案为30cm．
3．（2021•丹东期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在DC的延长线上取一点E，连接OE交BC于点F，AB＝2，BC＝3，CE＝1，则CF＝ 34 ．
【点睛】过O作OM∥BC交CD于M，根据平行四边形的性质得到BO＝DO，CD＝AB＝4，AD＝BC＝6，根据三角形的中位线的性质得到CM=12CD＝2，OM=12BC＝3，通过△CFE∽△EMO，根据相似三角形的性质得到CFOM=CEEM，代入数据即可得到结论．
【详解】解：过O作OM∥BC交CD于M，
∵在▱ABCD中，BO＝DO，CD＝AB＝2，AD＝BC＝3，
∴CM=12CD＝1，OM=12BC=32，
∵OM∥CF，
∴△CFE∽△EMO，
∴CFOM=CEEM，
即CF32=12，
∴CF=34．
故答案为：34．
典例题型二 矩形中的相似三角形
4．（2021•商河县期末）如图，E，G，F，H分别是矩形ABCD四条边上的点，EF⊥GH，若AB＝2，BC＝3，则EF：GH＝ 3：2 ．
【点睛】可过点H，F作HM，FN垂直BC，AB，利用相似三角形对应边成比例，即可得到EF与GH的比值．
【详解】解：过点H，F作HM⊥BC，FN⊥BC，
由EF⊥GH，∠GHM+∠HON＝∠EFN+∠FOG＝90°，
又∵∠HON＝∠FOG（对顶角相等），
∴可得∠GHM＝∠EFN，
∴Rt△MHG∽Rt△NFE
∴EF：GH＝NF：HM＝BC：AB＝3：2．
5．（2021•商河县一模）如图，将一个直角的顶点P放在矩形ABCD的对角线BD上滑动，并使其一条直角边始终经过点A，另一条直角边与边BC相交于点E．且AD＝8，DC＝6，则APPE= 43 ．
【点睛】要求APPE的值，所以要构造相似三角形，而在矩形中，构造直角三角形更为常见，故过P点作PM⊥AB，PN⊥BC，垂足分别是M、N，可证△PMA∽△PNE，从而可以通过转化进一步求出APPE=ADDC．
【详解】解：过P点作PM⊥AB，PN⊥BC，垂足分别是M、N，如下图所示
∵∠APE＝90°，而∠MPN＝90°
∴∠APM＝∠EPN
∴△PMA∽△PNE
∴APPE=PMPN
又∵PM∥DA
∴△BPM∽△BDA，可得BPBD=PMDA
同理可得△BPN∽△BDC，可得BPBD=PNDC
∴PMDA=PNDC即PMPN=ADDC=86=43
故答案为43．
6．（2021•襄阳）如图，将面积为322的矩形ABCD沿对角线BD折叠，点A的对应点为点P，连接AP交BC于点E．若BE=2，则AP的长为 1632 ．
【点睛】设AB＝a，AD＝b，则ab＝322，构建方程组求出a、b即可解决问题；
【详解】解：设AB＝a，AD＝b，则ab＝322，
由△ABE∽△DAB可得：BEAB=ABDA，
∴b=22a2，
∴a3＝64，
∴a＝4，b＝82，
设PA交BD于O．
在Rt△ABD中，BD=AB2+AD2=12，
∴OP＝OA=AB⋅ADBD=823，
∴AP=1632．
故答案为1632．
典例题型三 正方形中的相似三角形
7．（2021•桂阳县模拟）正方形ABCD的边长AB＝2，E为AB的中点，F为BC的中点，AF分别与DE、BD相交于点M，N，则MN的长为（ ）
A．556B．253-1C．4515D．33
【点睛】首先过F作FH⊥AD于H，交ED于O，于是得到FH＝AB＝2，根据勾股定理求得AF，根据平行线分线段成比例定理求得OH，由相似三角形的性质求得AM与AF的长，根据相似三角形的性质，求得AN的长，即可得到结论．
【详解】解：过F作FH⊥AD于H，交ED于O，则FH＝AB＝2，
∵BF＝FC，BC＝AD＝2，
∴BF＝AH＝1，FC＝HD＝1，
∴AF=FH2+AH2=22+12=5，
∵OH∥AE，
∴HOAE=DHAD=12，
∴OH=12AE=12，
∴OF＝FH﹣OH＝2-12=32，
∵AE∥FO，
∴△AME∽FMO，
∴AMFM=AEOF=23，
∴AM=23AF=255，
∵AD∥BF，
∴△AND∽△FNB，
∴ANFN=ADBF=2，
∴AN＝2NF=253，
∴MN＝AN﹣AM=253-255=4515．
故选：C．
8．（2021•宝山区一模）如图，正方形ABCD中，
（1）E为边BC的中点，AE的垂直平分线分别交AB、AE、CD于G、F、H，求GFFH；
（2）E的位置改动为边BC上一点，且BEEC=k，其他条件不变，求GFFH的值．
【点睛】（1）如图1，作辅助线；证明AEEK=BECE；证明BE＝CE，AE＝EK，FK＝3AF；证明△AGF∽△KHF，得到GFFH=AFFK=13．
（2）如图2，作辅助线；类比（1）中的解法、思路，即可完成（2）的解答．
【详解】解：（1）如图1，分别延长AE、DC交于点K；
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB∥CK，△ABE∽△KCE，
∴AEEK=BECE；
∵E为边BC的中点，
∴BE＝CE，AE＝EK；
∵GH平分AE，
∴EK＝AE＝2AF，FK＝3AF；
∵AG∥HK，
∴△AGF∽△KHF，
∴GFFH=AFFK=13．
（2）如图2，分别延长AE、DC交于点K；
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB∥CK，△ABE∽△KCE，
∴AEEK=BECE；
∵BEEC=k，
∴AE＝kEK；
∵GH平分AE，
∴AF＝EF=12AE=12kEK，FK=k+22EK；
∵AG∥HK，
∴△AGF∽△KHF，
∴FGFH=AFFK=kk+2．
9．（2021•靖江市校级月考）如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM上一点，EF⊥AM，垂足为F，交AD延长线于点E，交DC于点N．
（1）求证：△ABM∽△EFA；
（2）若AB＝12，BM＝6，F为AM的中点，求DN的长；
（3）若AB＝12，DE＝1，BM＝5，求DN的长．
【点睛】（1）由正方形的性质得出AB＝AD，∠B＝90°，AD∥BC，得出∠AMB＝∠EAF，再由∠B＝∠AFE，即可得出结论；
（2）由勾股定理求出AM，得出AF，由△ABM∽△EFA得出比例式，求出AE，即可得出DN的长；
（3）根据余角的性质得到∠BAM＝∠E，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠B＝90°，AD∥BC，
∴∠AMB＝∠EAF，
又∵EF⊥AM，
∴∠AFE＝90°，
∴∠B＝∠AFE，
∴△ABM∽△EFA；
（2）解：∵∠B＝90°，AB＝12，BM＝6，
∴AM=122+62=65，AD＝12，
∵F是AM的中点，
∴AF=12AM＝35，
∵△ABM∽△EFA，
∴BMAF=AMAE，
即635=65AE，
∴AE＝15，
∴DE＝AE﹣AD＝3，
∵∠EDN＝∠EFA＝90°，∠E＝∠E，
∴△AEF∽△NED，
∴DEEF=DNAF，
∵EF=AE2-AF2=65，
∴DN=32；
（3）解：∵∠B＝∠EDN＝90°，
∴∠BAM+∠EAF＝∠EAF+∠E＝90°，
∴∠BAM＝∠E，
∴△ABM∽△EDN，
∴ABDE=BMDN，
即121=5DN，
∴DN=512．