2022年河北省邯郸市高考数学一模试卷（含答案解析）

2022年河北省邯郸市高考数学一模试卷

A.  B.  C.  D.

2. 已知集合，，则

A.
B. 或
C. 或
D. 或

3. 已知具有线性相关的变量x，y，设其样本点为…，，回归直线方程为，若，，则

A. 5 B. 3 C. 1 D.

4. 已知，则

A.  B.  C.  D.

5. 第24届冬季奥运会于2022年2月4日至2022年2月20日在北京市和河北省张家口市举行．现要安排三名男志愿者和两名女志愿者去国家高山滑雪馆、国家速滑馆、首钢滑雪大跳台三个场馆参加活动，每名志愿者只能去一个场馆，且每个场馆最少安排一名志愿者，若两名女志愿者分派到同一个场馆，则不同的分配方法有

A. 24种 B. 36种 C. 56种 D. 68种

6. 已知直线与圆C：相交于A，B两点，若，则m的值为

A. 或0 B. 或4 C. 0或4 D. 或2

7. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第十六题的“物不知数”问题，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二．问物几何？现有一个相关的问题：将1到2022这2022个自然数中被3除余2且被5除余4的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列的项数为

A. 132 B. 133 C. 134 D. 135

8. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，P为椭圆C上一点，则满足为直角三角形的点P有

A. 2个 B. 4个 C. 6个 D. 8个

9. 如图，O是正六边形ABCDEF的中心，则
    

A.
B.
C.
D.
 

10. 如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG：：：2，则
     

A. 平面EGHF B. 平面ABC
C. 平面EGHF D. 直线GE，HF，AC交于一点

11. 已知函数，则

A. 为周期函数 B. 的图象关于y轴对称
C. 的值域为 D. 在上单调递增

12. 下列大小关系正确的是

A.  B.
C.  D.

13. 函数的图象在点处的切线方程为______.
14. 不等式的解集为______.
15. 已知A，B，C，D四点都在表面积为的球O的表面上，若AD是球O的直径，且，，则该三棱锥体积的最大值为______.
16. 已知点P在双曲线的右支上，，动点B满足，F是双曲线的右焦点，则的最大值为______.
17. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，已知
    求B；
    若，，______，求
    在①D为AC的中点，②BD为的角平分线这两个条件中任选一个，补充在横线上．
    
    
    
    
    
    
     
18. 在一次活动课上，老师准备了4个大小完全相同的红包，其中只有一个红包里面有100元，其余三个里面都是白纸．老师邀请甲上台随机抽取一个红包，但不打开红包，然后老师从剩下的三个红包中拿走一个装有白纸的红包，甲此时可以选择将自己选中的红包与剩下的两个红包中的一个进行置换．
    若以获得有100元的红包概率的大小作为评判的依据，甲是否需要选择置换？请说明理由．
    以中的结果作为置换的依据，记X表示甲获得的金额，求X的分布列与期望．
    
    
    
    
    
    
     
19. 如图，在四棱锥中，，ABCD为平行四边形，，平面ABCD，E，F分别是BC，PC的中点．
    证明：平面平面PAD；
    求二面角的余弦值．
    
    
    
    
    
    
     
20. 已知数列满足
    证明：数列为等比数列；
    已知，求数列的前n项和
    
    
    
    
    
    
     
21. 已知抛物线C的焦点F在x轴上，过F且垂直于x轴的直线交C于点A在第一象限，B两点，且
    求C的标准方程；
    已知l为C的准线，过F的直线交C于M，异于A，两点，证明：直线AM，BN和l相交于一点．
    
    
    
    
    
    
     
22. 已知函数
    讨论的单调性；
    若，求a的取值范围．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】B
 

【解析】解：
故选：
根据已知条件，结合复数的运算法则，即可求解．
本题主要考查复数的运算法则，属于基础题．
 

2.【答案】D
 

【解析】解：或，
，
或，
故选：
解不等式，求出集合A，B，从而求出A，B的交集．
本题考查了集合的运算，考查不等式问题，是基础题．
 

3.【答案】A
 

【解析】解：，，
回归直线方程为，
，解得
故选：
根据已知条件，求出x，y的平均值，再结合线性回归方程过样本中心，即可求解．
本题主要考查了线性回归方程的性质，以及平均值的求解，属于基础题．
 

4.【答案】C
 

【解析】解：因为，
所以
故选：
由已知利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可求解．
本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
 

5.【答案】B
 

【解析】解：根据题意，分2步进行分析：
①将5名志愿者分为3组，要求两名女志愿者在同一组，有种分组方法，
②将分好的三组安排到3个场馆，有种情况，
则有种分配方法，
故选：
根据题意，分2步进行分析：①将5名志愿者分为3组，要求两名女志愿者在同一组，②将分好的三组安排到3个场馆，由分步计数原理计算可得答案．
本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
 

6.【答案】A
 

【解析】解：由圆C：得，
圆心C的坐标为，半径，
，，
可得圆心C到直线AB的距离，
又圆心C到直线AB：的距离为，
，，，或0，
故选：
把圆C的方程化为标准方程，可求圆心坐标与半径，由，可求圆心到直线AB的距离，从而可得，求解即可．
本题考查直线与圆的位置关系，属基础题．
 

7.【答案】C
 

【解析】解：被3除余2且被5除余4的数构成首项为14，公差为15的等差数列，记为，
则，
令，解得
到2022这2022个自然数中被3除余2且被5除余4的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列的项数为
故选：
根据“被3除余2且被5除余4的数”，可得这些数构成等差数列，然后根据等差数列的前n项和公式，可得结果．
本题考查数列的项数的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

8.【答案】B
 

【解析】解：当为直角顶点时，满足的点P有2个．
当为直角顶点时，满足的点P有2个，
设椭圆C的上顶点为B，
，
故，
即不存在以P为直角顶点的
故满足本题条件的点P共有4个．
故选：
判断三角形直角顶点的位置，即可推出结果．
本题考查椭圆的简单性质的应用，是基础题．
 

9.【答案】BD
 

【解析】解：由题意得，，A错误；
由正六边形性质得，，
，B正确；
，C错误；
，，
由正六边形性质得，，D正确．
故选：
由已知结合向量的线性表示及向量数量积的定义分别检验各选项即可判断．
本题主要考查了向量的线性表示，向量数量积的定义，属于基础题．
 

10.【答案】AD
 

【解析】解：因为BG：：HC，所以，
又E，F分别为AB，AD的中点，所以，且，则，
易知平面EGHF，FH与AC为相交直线，即A正确，B，C错误；
因为EFHG为梯形，所以EG与FH必相交，设交点为M，
所以平面ABC，平面ACD，
则M是平面ABC与平面ACD的一个交点，
所以，即直线GE，HF，AC交于一点，即D正确．
故选：
由条件可得，FH与AC为相交直线，即可判断BBC，EG与FH必相交，设交点为M，然后可证明，即可判断D正确．
本题考查了平面的基本性质及推论，属于中档题．
 

11.【答案】ACD
 

【解析】解：对于选项A，，即为周期函数，即选项A正确；
对于选项B，，即函数为奇函数，图象关于原点对称，即选项B错误；
对于选项C，，由三角函数的值域可得的值域为，即选项C正确；
对于选项D，当时，，由复合函数的单调性可得当时，为增函数，
又的周期为，即在上单调递增，即选项D正确，
故选：
由，结合三角函数的性质求解即可．
本题考查了三角函数的性质，属中档题．
 

12.【答案】ABD
 

【解析】解：当时，；当时，，
，，
故A，B正确，
构造函数，则在上单调递减，
又，
，即，故选项C错误，
，
，故选项D正确，
故选：
利用函数与的大小关系可判断A，B，利用函数的单调性可判断C，利用对数的运算性质，结合基本不等式可判断
本题主要考查了对数的运算性质，考查了利用函数的单调性比较大小，属于中档题．
 

13.【答案】
 

【解析】解：的导数为，
可得在点处的切线斜率为，
又，
则在点处的切线方程为，
化为，
故答案为：
求得的导数，可得切线的斜率，求解切点坐标，由直线的点斜式方程可得所求切线的方程．
本题考查导数的几何意义，考查运算能力，属于基础题．
 

14.【答案】
 

【解析】解：由，可得，
令，
因为均为R上单调递减函数，
则在R上单调递减，且，
，
，
故不等式的解集为
故答案为：
将原不等式变为，设，然后利用函数的单调性解不等式．
本题主要考查利用函数的单调性，解不等式，属于中档题．
 

15.【答案】
 

【解析】解：设求O的半径为R，
球O的表面积为，
，，
，
设的外接圆半径为r，圆心为，
根据正弦定理知，，，

，
是直径，O是AD中点，
到平面ABC的距离为，
在中，根据余弦定理，得，
即，
，当且仅当时，等号成立，
面积的最大值为，
三棱锥体积的最大值
故答案为：
作出图像，数形结合求解，设的外接圆半径为r，圆心为，根据正弦定理可求r，根据几何关系可求D到平面ABC的距离为定值，故当面积最大时，三棱锥体积最大，在内，由余弦定理、基本不等式、三角形面积公式可求面积的最大值，如此即可求出最后答案．
本题考查了正弦定理、余弦定理和三棱锥体积的求法，考查了转化思想，属于中档题．
 

16.【答案】
 

【解析】解：动点B满足，则点B的轨迹是以点A为圆心，2为半径的圆，如图所示，
设双曲线的左焦点为，则，
由双曲线的定义可知，
，
，当且仅当点P，B，三点共线时，取等号，
又的最大值为，
的最大值为，
故答案为：
由题意可知点B的轨迹是以点A为圆心，2为半径的圆，由双曲线的定义可知，再结合圆的性质求出的最大值即可．
本题主要考查了双曲线的定义，以及几何性质，属于中档题．
 

17.【答案】解：，
由正弦定理可得，，
，
，
，即，
，
，解得
选择条件①，
为AC的中点，
，
，

选择条件②，
为的角平分线，
，
则，
，解得
 

【解析】利用正弦定理化简条件可得，，再结合三角函数的恒等变换，即可求解．
选①，利用向量的加法和向量数量积运算，即可求解，选②，利用等面积法，即可求解．
本题主要考查解三角形，考查正弦定理的应用，属于中档题．
 

18.【答案】解：甲需要选择置换；
理由如下：若甲同学不选择置换，则获得有100元的红包的概率为，
若甲同学选择置换，则获得有100元的红包的概率为，
因为，所以甲需要选择置换．
的可能取值为0，100，
，，
X的分布列如下：

【解析】利用条件概率即求；
由题可得X的可能取值为0，100，分别求概率，即可得分布列，计算可得期望．
本题考查了条件概率，离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．
 

19.【答案】证明：连接因为平面ABCD，所以，
又因为，且ABCD为平行四边形，，
所以为等边三角形．
又因为E为BC的中点，所以，
又因为，所以，
因为，所以平面PAD，
所以平面平面
解：以A为原点，AE，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
因为平面ABCD，所以是平面ABCD的一个法向量．
设平面AEF的法向量为，

由，，可得
令，则，
即
，
又二面角的平面角为锐角，所以二面角的余弦值为
 

【解析】连接说明，证明，推出，即可证明平面PAD，推出平面平面
以A为原点，AE，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面ABCD的一个法向量，平面AEF的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角的余弦值即可．
本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．
 

20.【答案】证明：当时，，则，
因为，①
所以，②
由②-①得，
化简可得，，
所以数列是一个公比为的等比数列；
解：由可知，
化简可得，
所以
 

【解析】通过已知等式再构造一个等式，两式作差得到，代入等比数列定义式即可得证；利用裂项相消求和进行计算．
本题考查了等比数列的证明和裂项相消求和，属于中档题．
 

21.【答案】解：设抛物线C的标准方程为，则
将代入，可得，
所以，则，
所以抛物线C的标准方程为
证明：由可知，
设直线的方程为，
联立，则
设，，则，
直线AM的方程为，，令，解得；
直线BN的方程为，即，令，解得
因为，
所以直线AM，BN和l相交于一点．
 

【解析】设抛物线C的标准方程为，则通过，求解p，得到抛物线方程．
设直线的方程为，联立直线与抛物线方程，设，，利用韦达定理，求出直线AM的方程，直线BN的方程通过，两条直线的纵坐标相同，推出结果即可．
本题考查抛物线的简单性质的应用，直线与抛物线的位置关系的综合应用，是中档题．
 

22.【答案】解：，，
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
若，因为，
取，则，
，，
此时，故此时不可能恒成立．
若，此时恒成立．
若，则在上单调递减，在上单调递增，
故的最小值在处取到，即，
而
显然当时，，，此时
当时，，，此时，故此时
综上所述，a的取值范围为
 

【解析】对求导，然后分和两种情况，求出的单调区间即可；
根据条件，分，和三种情况，由，求出a的取值范围即可．
本题考查了利用导数研究函数的单调性和不等式恒成立问题，考查了转化思想和分类讨论思想，属中档题．