高中物理人教版 (2019)必修 第二册2 运动的合成与分解学案设计

专题一  运动的合成与分解

一、遵循的法则

位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则.

二、合运动与分运动的关系

1、等时性：合运动和分运动经历的时间相等，即同时开始、同时进行、同时停止.

2、独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他运动的影响.

3、等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果.

三、两个直线运动的合运动性质的判断

标准：看合初速度方向与合加速度方向是否共线.

命题点一　小船渡河模型问题

1.船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动.

2.三种速度：v1(船在静水中的速度)、v2(水流速度)、v(船的实际速度)

3.三种情景

(1)过河时间最短：船头正对河岸时，渡河时间最短，t短＝(d为河宽).

(2)过河路径最短(v2<v1时)：合速度垂直于河岸时，航程最短，s短＝d.船头指向上游与河岸夹角为α，

cos α＝

(3)过河路径最短(v2>v1时)：合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河.确定方法如下：如图所示，以v2矢量末端为圆心，以v1矢量的大小为半径画弧，从v2矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向航程最短.由图可知：cos α＝，最短航程：s短＝＝d.

例1．小船在200 m宽的河中横渡，水流速度为2 m/s，船在静水中的速度为4 m/s.

(1)若小船的船头始终正对对岸，它将在何时、何处到达对岸？

(2)要使小船到达正对岸，应如何航行？历时多长？

(3)小船渡河的最短时间为多长？

(4)若水流速度是5 m/s，船在静水中的速度是3 m/s，则怎样渡河才能使船漂向下游的距离最短？最短距离是多少？

解析：(1)小船参与了两个分运动，即船随水漂流的运动和船在静水中的运动．因为分运动之间具有独立性和等时性，故小船渡河的时间等于垂直于河岸方向的分运动的时间，即t＝＝ s＝50 s

小船沿水流方向的位移s水＝v水t＝2×50 m＝100 m

即船将在正对岸下游100 m处靠岸．

(2)要使小船到达正对岸，合速度v应垂直于河岸，如图1所示，则

cos θ＝＝＝，故θ＝60°

即船的航向与上游河岸成60°，渡河时间t＝＝ s＝ s.

(3)考虑一般情况，设船头与上游河岸成任意角θ，如图2所示．船渡河的时间取决于垂直于河岸方向的分速度v⊥＝v船sin θ，故小船渡河的时间为t＝.当θ＝90°，即船头与河岸垂直时，渡河时间最短，最短时间为tmin＝50 s.

(4)因为v船＝3 m/s<v水＝5 m/s，所以船不可能垂直河岸横渡，不论航向如何，总被水流冲向下游．如图3所示，设船头(v船)与上游河岸成θ角，合速度v与下游河岸成α角，可以看出：α角越大，船漂向下游的距离x′越短．以v水的矢尖为圆心，以v船的大小为半径画圆，当合速度v与圆相切时，α角最大．则cos θ＝＝，

故船头与上游河岸的夹角θ＝53°

又＝＝，代入数据解得x′≈267 m.

1-1.(多选)下列图中实线为河岸，河水的流动方向如图中v的箭头所示，虚线为小船从河岸M驶向对岸N的实际航线。则其中可能正确的是(　　)

解析　小船渡河的运动可看作小船随水漂流的运动和小船沿船头运动的合运动。虚线为小船从河岸M驶向对岸N的实际航线，小船合运动的速度方向就是其实际运动的方向，分析可知，实际航线可能正确的是A、B。答案　AB

1-2.民族运动会上有一直线侧向骑射项目如图所示，运动员骑在沿直线奔跑的马上，弯弓放箭射击跑道外侧的固定目标，假设运动员骑马奔驰的速度为v1，运动员静止时射出的弓箭速度为v2，跑道离固定目标的最近距离为d。要想命中目标且射出的箭在空中飞行时间最短(不考虑空气阻力的影响)，则(　　)

A．运动员放箭处离目标的距离为

B．运动员放箭处离目标的距离为

C．箭射到固定目标的最短时间为

D．箭射到固定目标的最短时间为

解析　要想在最短的时间内射中目标，箭应该垂直于马的运动方向射出，如图所示。箭在空中的运动时间为，其合运动速度为 ，则放箭处离目标的距离为，答案　B。

1-3．(多选)船在静水中的速度v1和水速v2一定，过河的最短时间为t1，用最短的位移过河的时间是t2，则下列说法正确的是(　　)

A．若v1>v2，则＝

B．若v1>v2，则＝

C．若v1<v2，则＝

D．若v1<v2，则＝

解析：设河宽为d，则用最短时间过河时，船头垂直河岸，t1＝.若v1>v2，船过河位移最短时，船的合速度垂直河岸，v＝，t2＝，解得＝，选项A正确，B错误；若v1<v2，小船不可能垂直河岸过河．要使过河位移最短，根据合运动是相互独立的两个分运动的叠加，当v1和v2的合速度v的方向与河岸方向的夹角θ最大时，小船过河的位移最短．当速度v1与合速度v垂直时，θ最大，此时合位移s＝，合速度v＝，sin θ＝，解得t2＝，故＝，答案AD．

1-4.有一条两岸平直、河水均匀流动、流速恒为v的大河.小明驾着小船渡河，去程时船头指向始终与河岸垂直，回程时行驶路线与河岸垂直.去程与回程所用时间的比值为k，船在静水中的速度大小相同，则小船在静水中的速度大小为(　　)

A.           B.

C.           D.

解析　去程时船头垂直河岸，如图所示，由于合运动与分运动具有等时性，设河宽为d，小船在静水中的速度为v1，则去程时间t1＝；回程时行驶路线垂直河岸，故回程时间t2＝.

由题意有＝k，则k＝，得v1＝＝，答案　B.

命题点二　绳(杆)端速度分解模型

1.模型特点

沿绳(杆)方向的速度分量大小相等.

2.思路与方法

合速度→绳(杆)拉物体的实际运动速度v

分速度→

方法：v1与v2的合成遵循平行四边形定则.

3.解题的原则

把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解.常见的模型如图所示.

例2.A、B两物体通过一根跨过定滑轮的轻绳相连放在水平面上，现物体A以v1的速度向右匀速运动，当绳被拉成与水平面夹角分别是α、β时，如图所示.物体B的运动速度为(绳始终有拉力)(　　)

A.     B.

C.     D.

解析　设物体B的运动速度为vB，此速度为物体B合运动的速度，根据它的实际运动效果，两分运动分别为沿绳收缩方向的分运动，设其速度为v绳B；垂直绳方向的运动，速度为vB2，速度分解如图甲所示，则有vB＝①

物体A的合运动对应的速度为v1，它也产生两个分运动效果，分别是沿绳伸长方向的分运动，设其速度为v绳A；垂直绳方向的运动，速度为vA2，它的速度分解如图乙所示，则有v绳A＝v1cosα②

由于对应同一根绳，其长度不变，故：v绳B＝v绳A③

根据①②③解得：vB＝，答案　D.

规律总结：

绳(杆)牵连物体的分析技巧

1.解题关键

找出合速度与分速度的关系是求解关联问题的关键.

2.基本思路

(1)先确定合速度的方向(物体实际运动方向).

(2)分析合运动所产生的实际效果：一方面使绳或杆伸缩；另一方面使绳或杆转动.

(3)确定两个分速度的方向：沿绳或杆方向的分速度和垂直绳或杆方向的分速度，而沿绳或杆方向的分速度大小相等.

2-1.如图，汽车向左运动，系在车后缘的绳子绕过定滑轮拉着重物M上升，当汽车向左匀速运动时，重物M将(　　)

A.匀速上升

B.加速上升

C.减速上升   

D.无法确定

解析 小车的运动可分解为沿绳方向和垂直于绳的方向两个运动，设绳子与水平面的夹角为θ，由几何关系可得：vM＝vcosθ，因为v不变，而当θ逐渐变小，故vM逐渐变大，物体有向上的加速度，答案B

2-2.如图所示，有一竖直放置的“T”形架，表面光滑，滑块A、B分别套在水平杆与竖直杆上，A、B用一不可伸长的轻绳相连，A、B质量相等，且可看做质点．开始时细绳水平伸直，A、B静止．由静止释放B后，已知当轻绳与竖直方向的夹角为60° 时，滑块B沿着竖直杆下滑的速度为v，则A的速度为(　)

A．v　　　B．v　　　　

C.v　　 D．v

解析：将滑块A、B的速度沿图示方向分解，根据几何知识可得滑块B沿绳子方向上的分速度为：v1＝vcos 60°，滑块A沿绳子方向上的分速度为：vA1＝vAsin 60°，因为v1＝vA1，则有：vA＝vcot 60°＝v，答案D．

2-3.在河面上方10 m的岸上有人用长绳拴住一条小船，开始时绳与水面的夹角为30°。人以恒定的速率v＝2.5 m/s水平向左F拉绳，水的阻力恒为f，使小船靠岸，那么( 　)

A．船的加速度为零

B．3 s时绳与水面的夹角为60°

C．3 s时小船的速率为3.75 m/s

D．3 s时小船距离岸边7.5 m

解析：设绳子与水面的夹角为θ，根据运动的合成与分解，船的速度v1＝，当θ增大时，v1增大，船做加速运动，船受到向左的合外力，选项A错误；开始时，滑轮到船的绳长l＝＝20 m，3 s时间内绳子缩短Δl＝vt＝7.5 m，故3 s时滑轮到船的绳长l1＝l－Δl＝12.5 m，绳子与水面的夹角满足sin θ1＝＝，解得θ1＝53°，选项B错误；根据v1＝，当θ＝53°时，v1≈4.17 m/s，选项C错误；3 s时小船距离岸边x＝l1cos θ1＝7.5 m，答案D．