2021-2022学年高一数学下学期期中模拟试卷5（人教版2019版必修第二册新高考版本地区）

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高一数学必修第二册期中模拟试卷5（新高考版）（考试范围：第六章平面向量及其应用；第七章复数；第八章立体几何初步 ） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（2021·重庆市第十一中学校高三阶段练习）设复数满足，则（       ）A． B． C． D．【答案】A由，得，故选：A2．（2022·江苏·高一课时练习）如图，在△ABC中，，，＝3，＝2，则＝（　　）A． B．C． D．【答案】D由平面向量的三角形法则，可知.故选：D.3．（2022·江苏·高一课时练习）已知，，且，的夹角为60°，如果，那么m的值为（　　）A． B．C． D．【答案】C由题意知，即因为，，，所以，解得.故选：C.4．（2022·全国·高一课时练习）下图是利用斜二测画法画出的的直观图，已知轴，，且的面积为16，过作，垂足为点，则的长为（       ）A． B． C． D．1【答案】A由题可知，在中，，因为的面积为16，，所以，，，因为， 轴于点，所以，故选：A.5．（2022·江西·临川一中模拟预测（文））已知四棱锥中，底面为边长为的正方形，侧面底面，且为等边三角形，则该四棱锥外接球的表面积为（       ）A． B． C． D．【答案】A如图所示，在四棱锥中，取侧面和底面正方形的外接圆的圆心分别为，分别过，作两个平面的垂线交于点O，则由外接球的性质知，点O即为该球的球心，取线段的中点E，连，，，，则四边形为矩形，在等边中，可得，则，即，在正方形中，因为，可得，在直角中，可得，即，所以四棱锥外接球的表面积为.故选：A.6．（2022·浙江·金华市外国语学校高二开学考试）如图，在棱长为2的正方体中，点，分别是棱，的中点，是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是（     ）A． B． C． D．【答案】B如图，取中点G，中点H，连接GH，，，则∥AE，又平面AEF，平面AEF，所以∥平面AEF，同理∥EF，平面AEF，平面AEF，所以∥平面AEF，因为，所以平面∥平面AEF，因为是侧面内一点，当P点在线段GH上时，能够满足平面，因为正方体棱长为2，由勾股定理得：，，故点P落在GH中点时，长度最小，此时，当点P与G或H重合时，长度最大，此时，综上：线段长度的取值范围是.故选：B7．（2022·全国·高三专题练习）星等分为两种：目视星等与绝对星等但它们之间可用公式转换，其中为绝对星等，为目视星等，为距离（单位：光年）．现在地球某处测得牛郎星目视星等为0.77，绝对星等为2.19；织女星目视星等为0.03，绝对星等为0.5，且牛郎星和织女星与地球连线的夹角大约为34°，则牛郎星与织女星之间的距离约为（       ）（参考数据：，，）A．26光年 B．16光年 C．12光年 D．5光年【答案】B解：由，所以，由题意知：、、、，设地球与牛郎星距离为，地球与织女星距离为，织女星与牛郎星距离为，则，，如图由余弦定理，所以，即牛郎星与织女星之间的距离约为16光年；故选：B8．（2022·陕西渭南·一模（理））如图，在边长为2的正方体中，点是该正方体对角线上的动点，则以下结论不正确的是（       ）A．                  B．直线与平面所成角最大值为C．面积的最小值是   D．当时，平面平面【答案】C解：在正方体中，，，，面，故面，又面，，故A正确；对于B：过点作交于点，连接，依题意可得面，所以即为与平面所成的角，当时，与重合，此时平面，与平面所成的角为，令，，则，，所以，当且仅当即时取最大值，所以最大值为，故B正确；如图，连接交于，面，，故，在中，当时，取最小值，，，所以，此时，，故C错误；当时，在中，，，，得，则，又，，面，面，由正方体知，，即面，面面，故D正确．故选：C．二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．（2022·全国·高一）如图，在四棱锥中，、分别为、上的点，且平面，则（       ）A． B．平面 C． D．【答案】BD因为平面，平面，平面平面，，平面，平面，因此，平面.故选：BD.10．（2022·重庆·高三开学考试）已知复数，在复平面上对应的点关于实轴对称．则下列说法一定正确的是（       ）A．是实数 B．是纯虚数 C．是实数 D．是纯虚数【答案】ABC依题意，设，则，其中.为实数，A选项正确.为纯虚数，B选项正确.为实数，C选项正确.，当时，不是纯虚数，D选项错误.故选：ABC11．（2022·全国·高一单元测试）有下列说法，其中错误的说法为（       ）.A．、为实数，若，则与共线B．若、，则C．两个非零向量、，若，则与垂直D．若，、分别表示、的面积，则【答案】AB解：对于A选项，当时，与可以为任意向量，满足，但与不一定共线，故A错误，对于B选项，如果、都是非零向量，，满足已知条件，但是结论不成立，故B错，对于C选项，若，所以，即，即，所以，∴与垂直，故C正确，若，设，，可得为的重心，设，，，则，，，由，可得，故D正确；故选：AB.12．（2022·全国·模拟预测）如图，已知在棱长为1的正方体中，M，N分别为线段和上的动点，则下列结论正确的是（       ）A．MN与AB为异面直线B．C．三棱锥体积的最大值为D．当N为的中点时，线段MN长度的最小值为【答案】BC对于选项A，当N与B重合时，MN与AB为相交直线，故选项A错误；对于选项B，易知平面，平面，∴，连接，则，而，平面，，∴平面，又平面，∴，而点M在线段上，∴，故选项B正确；对于选项C，∵点M为线段上的动点，∴当M与D重合时，的面积最大，而当N与B重合时，点N到平面的距离最大，故，故选项C正确；对于选项D，当N为的中点时，取的中点E，连接NE，，则，故，∵M在线段上运动，∴当M与E重合时，线段MN长度最小，此时，故选项D错误.故选：BC.三､填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分。）13．（2022·江苏·高一课时练习）设＝(6，3a)，＝，且满足∥的实数x存在，则实数a的取值范围是________．【答案】[－1,＋∞)∵∥，∴6－2×3a＝0，∴a＝.故答案为：[－1,＋∞).14．（2022·陕西西安·一模（理））某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为，则该球的表面积为___________.【答案】由题意可知，球心到截面圆所在平面的距离为，设截面圆的半径为，球的半径为，则，可得，所以，，因此，该球的表面积为.故答案为：.15．（2022·江西赣州·高二期末（理））如图，在等腰直角中，，为半圆弧上异于，的动点，当半圆弧绕旋转的过程中，有下列判断：①存在点，使得；②存在点，使得；③四面体的体积既有最大值又有最小值：④若二面角为直二面角，则直线与平面所成角的最大值为45°.其中正确的是______（请填上所有你认为正确的结果的序号）.【答案】①②④①当D为中点，且A，B，C，D四点共面时,连结BD，交AC于，则为AC中点，此时，且,所以四边形ABCD为正方形，所以AB//CD，故①正确；②当D在平面ABC内的射影E在线段BC上（不含端点）时，此时有：平面ABC，，又因为，所以平面CDB，所以，故②正确；③，当平面平面ABC，且D为中点时，h有最大值；当A，B，C，D四点共面时h有最小值0，此时为平面图形，不是立体图形，故四面体D-ABC无最小值，故③错误.④二面角D-AC-B为直二面角，且D为中点时，直线DB与平面ABC所成角的最大，取AC中点O，连结DO，BO，则，AC=平面平面ACD，平面平面ACD，所以平面ABC，所以为直线DB与平面ABC所成角，设，则，，所以为等腰直角三角形，所以，直线与平面所成角的最大值为45°，故④正确.故答案为：①②④.16．（2021·云南师大附中高三阶段练习（文））如图所示，有一块三角形的空地，已知，千米，千米，则________；现要在空地中修建一个三角形的绿化区域，其三个顶点为、、，其中、为边上的点，若使，则绿化区域面积的最小值为________平方千米．【答案】     ##     因为，，在中，由余弦定理得，，根据正弦定理有，可得，因为，所以，，设，其中，则，，在中，由正弦定理，可得，在中，由正弦定理，可得，所以，，由于，则，所以，当时，有最小值，且最小值为（平方千米）.故答案为：；.四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤。）17．（2021·全国·高一课时练习）已知平面向量.（1）若，求；（2）若与的夹角为锐角，求的取值范围.【答案】（1）或；（2）.（1）由题意知，向量，因为，可得，即，解得或，当时，，所以，则；当时，，所以，则，综上可得，或.（2）由与的夹角为锐角，可得，解得，其中当时，可得，此时，不符合题意，所以的取值范围是.18．（2021·全国·高一课时练习）已知复数，，.（1）若是纯虚数，求实数的值；（2）若，求.【答案】（1）；（2）.（1）因为，，则，因为是纯虚数，则，解得；（2），，由，则，解得，此时，因此，.19．（2021·湖北·武汉中学高二阶段练习）如图，是圆的直径，点在圆所在平面上的射影恰是圆上的点，且，点是的中点，与交与点，点是上的一个动点.（1）若平面，求的值；（2）若点为的中点，且，求三棱锥的体积.【答案】（1）3；（2）.（1）因为平面，平面，平面平面所以，所以．因为，分别为，的中点，所以点为的重心，所以，即，所以.（2）点为的重心，所以,又点为的中点，所以,所以,所以.在直角中，,所以所以.所以三棱锥的体积为.20．（山西省2021-2022学年高一下学期3月联考数学试题）已知a、b、c分别为三个内角A、B、C的对边，且．(1)证明：；(2)若，且为锐角三角形，求周长的取值范围．【答案】(1)证明见解析；(2).(1)∵，∴根据正弦定理得，，，，，，，∵A、B∈(0，)，∴A－B＝B，即A＝2B；(2)由(1)知A＝2B，由，∵△ABC是锐角三角形，∴，，∴.由正弦定理得，，，∴，∵，∴，即，∴.21．（2022·湖南·高一阶段练习）如图，在海岸边点的观测站发现南偏西30°方向上，距离点20海里的处处有一艘走私船，立刻通知了停在的正东方向上，且距离点海里的处的缉私艇，缉私艇立刻奉命以海里/时的速度追截走私船，此时，走私船正以10海里/时的速度从处沿南偏东15°方向逃窜. (1)刚发现走私船时，走私船距离缉私艇多远，在缉私艇的什么方向？(2)缉私艇至少需要多长时间追上走私船？【答案】(1)海里，西南方向(2)小时(1)由题意可知，，.在中，由余弦定理可得.由正弦定理得，解得，所以.故刚发现走私船时，走私船距缉私艇海里，在缉私艇的西南方向上.(2)如图，设小时后缉私艇在处追上走私船，则，..在中，由正弦定理得，解得，则，所以是等腰三角形.，即.故缉私艇至少需要小时追上走私船.22．（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（文））如图所示的几何体中，平面平面，是直角三角形，，四边形是直角梯形，，，，，．(1)求证：平面；(2)求证：平面；(3)在线段上是否存在点，使得，若存在，求的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)存在，(1)，，四边形是平行四边形，，平面，平面，平面．(2)，，四边形是直角梯形，，，平面平面，平面平面平面，，，，，，平面．(3)存在．由（2）可知平面,作，交于，           可知，，所以平面，平面，．，，，．