2021--2022学年高二数学下学期期中模拟卷06（人教A版2019新高考版本）

高二数学下学期期中模拟卷（6）（人教A版2019）

一、单选题

1．（2022·黑龙江·鹤岗一中高二开学考试）下列四个选项中，不正确的是（       ）

A．数列的图象是一群孤立的点

B．数列1，0，1，0，…与数列0，1，0，1，…是同一数列

C．数列，，，，…的一个通项公式是

D．数列，，…，是递减数列

【答案】B

【解析】

【分析】

根据数列的函数特征，可判断A;比较数列的项，可判断B;根据数列的前几项可验证数列的通项公式，判断C;观察数列的项的变化，可判断D.

【详解】

因为数列是一类特殊的函数，其自变量 ,故数列的图象是一群孤立的点，A正确；

数列1，0，1，0，…与数列0，1，0，1，…的对应项不一样，故不是同一数列，B错误；

观察数列，，，，…的前四项规律，可知一个通项公式是，C正确；

数列，，…，的每项是越来越小，故数列是递减数列，D正确，

故选：B

2．（2022·山西省长治市第二中学校高二阶段练习）长治市区的汽车牌照在“晋D”后面由1个英文字母（除O，I之外的24个英文字母)和4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码个数为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

安排先选后排的原则，进行计算.

【详解】

先从24个英文字母中选择一个，有种选择，再从10个数字中选择4个，有种选择，选出的4个数字与1个英文字母进行全排列，即种选择，由分步乘法计数原理可知：4个数字互不相同的牌照号码个数为.

故选：D

3．（2022·江苏·高二课时练习）的展开式中的系数为（       ）

A． B．1 C． D．20

【答案】C

【解析】

【分析】

把已知式变形后，由二项式定理求解．

【详解】

，因此所求的系数即为的展开式中的系数，

由二项式定理知系数为．

故选：C．

4．（2022·宁夏·银川一中高二期末（文））曲线上的点到直线的最短距离是（       ）

A． B． C． D．1

【答案】B

【解析】

【分析】

先求与平行且与相切的切线切点，再根据点到直线距离公式得结果.

【详解】

设与平行的直线与相切，

则切线斜率k=1，

∵∴，

由，得

当时,即切点坐标为P(1,0)，

则点(1,0)到直线的距离就是线上的点到直线的最短距离，

∴点(1,0)到直线的距离为：，

∴曲线上的点到直线l: 的距离的最小值为.

故选：B.

5．（2022·河南·高二阶段练习（理））已知函数在区间上单调，则a的取值范围为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

首先求函数的导数，根据函数的单调性，利用参变分离，转化为求函数的最值，即可求得的取值范围.

【详解】

，因为函数在区间上单调，

所以或，当恒成立，

即或，得或，因为，

所以.

故选：B

6．（2022·全国·高二课时练习）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S10＝1，S30＝13，S40＝（　　）

A．﹣51 B．﹣20 C．27 D．40

【答案】D

【解析】

【分析】

由{an}是等比数列可得S10，S20﹣S10，S30﹣S20，S40﹣S30成等比数列，列方程组，从而即可求出S40的值．

【详解】

由{an}是等比数列，且S10＝1＞0，S30＝13＞0，得S20＞0，S40＞0，且1＜S20＜13，S40＞13

所以S10，S20﹣S10，S30﹣S20，S40﹣S30成等比数列，

即1，S20﹣1，13﹣S20，S40﹣13构成等比数列，

∴（S20﹣1）2＝1×（13﹣S20），解得S20＝4或S20＝﹣3（舍去），

∴（13﹣S20）2＝（S20﹣1）（S40﹣13），即92＝3×（S40﹣13），解得S40＝40．

故选：D．

7．（2022·全国·高二课时练习）设首项为1的数列的前n项和为，已知，

现有下面四个结论

①数列为等比数列；

②数列的通项公式为；

③数列为等比数列；

④数列的前n项和为.

其中结论正确的个数是（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【解析】

【分析】

根据递推关系可得，可得①正确，利用等比数列求出，根据前n项和求，可判断②③，计算，并分组求和可判断④.

【详解】

因为，

所以，

又.

所以数列为首项是2，公比是2的等比数列，

所以，

则.

当时，，

但，

所以①正确，②③错误，

因为，

所以的前n项和为，

所以④正确.

故选：B

【点睛】

本题主要考查了数列的递推关系式，等比数列的证明，由求数列的通项公式，属于中档题.

8．（2022·全国·高二课时练习）1.已知等差数列的前项和为，满足，，则下列结论正确的是(       )

A．， B．， C．， D．，

【答案】D

【解析】

【分析】

把已知等式变形为，构造函数，可知和是函数f(x)的零点，故利用导数研究其f(x)单调性并研究其零点，结合函数零点存在性定理求得的关系，再利用等差数列的性质与求和公式即可求解.

【详解】

∵，，

∴，，

∴令，则f()＝f()＝0，

即和是函数f(x)的零点，

∵，故f(x)最多有一个零点，

∴，∴，∴﹒

又∵，，

∴1＜＜2，

∴，，∴.

故选：D.

二、多选题

9．（2022·湖南·临澧县第一中学高二开学考试）近两年为抑制房价过快上涨，政府出台了一系列以“限购、限外、限贷、限价”为主题的房地产调控政策．各地房产部门为尽快实现稳定房价，提出多种方案，其中之一就是在规定的时间T内完成房产供应量任务Q．已知房产供应量Q与时间t的函数关系如图所示，则在以下四种房产供应方案中，在时间[0，T]内供应效率（单位时间的供应量）不逐步提高的是（       ）

A． B． 

C． D．

【答案】ACD

【解析】

【分析】

根据变化率的知识，结合曲线在某点处导数的几何意义，可得结果.

【详解】

解：单位时间的供应量逐步提高时，供应量的增长速度越来越快，图象上切线的斜率随着自变量的增加会越来越大，则曲线是上升的，且越来越陡，

故函数的图象应一直下凹的.则选项B满足条件，

所以在时间[0，T]内供应效率（单位时间的供应量）不逐步提高的是ACD选项，

故选：ACD.

10．（2022·河北邯郸·高二期末）已知等比数列满足：，，，则下列结论中正确的有（       ）

A．

B．

C．若m，，，则的最小值为是

D．存在m，n，，且，使得

【答案】BC

【解析】

【分析】

利用等比数列的通项公式构造首项、公比的方程组，求得首项、公比从得到通项公式，进而判断A、B是否正确；由得，利用基本不等式判断C是否正确；将变为由等式左右两边数的奇偶性判断D是否正确

【详解】

由得，所以，所以A错误，B正确；

因为，所以，

所以，当且仅当，即，时取等号，所以C正确；

若，则，所以，左边为奇数，右边为偶数，上式不可能成立，所以D错误.

故选：BC.

11．（2022·江苏·泰兴市第一高级中学高二阶段练习）2021年5月20日，第五届世界智能大会在天津召开，小赵、小李、小罗、小王、小刘为五名志愿者，现有翻译、安保、礼仪、服务四项不同的工作可供安排，则下列说法正确的有（       ）

A．若礼仪工作必须安排两人，其余工作各安排一人，则有60种不同的方案

B．若每项工作至少安排一人，则有120种不同的方案

C．安排五人排成一排拍照，若小赵、小李相邻，则有42种不同的站法

D．已知五人身高各不相同，若安排五人拍照，前排两人，后排三人，后排要求身高最高的站中间，则有40种不同的站法

【答案】AD

【解析】

【分析】

利用排列组合知识逐项分析即得.

【详解】

若礼仪工作必须安排两人，其余工作各安排一人，则先从五人中任选两人安排在礼仪岗位，剩余三人在其余三个岗位上全排列即可，故不同的方案有（种），A正确；

若每项工作至少安排一人，则先将五人按2，1，1，1分成四组，再分配到四个岗位上，故不同的方案有（种），故B错误；

若小赵、小李相邻，可把两人看成一个整体，与剩下的三人全排列，有种排法，小赵、小李内部有种排法，所以共有种不同的站法，C错误；

前排有种站法，后排三人高的站中间有种站法，所以共有种不同的站法，故D正确.

故选：AD.

12．（2022·福建·厦门双十中学高二阶段练习）若函数，则（　　）

A．函数在单调递增，则 B．函数有三个单调区间

C．方程有且仅有一个根 D．函数有且仅有一个零点

【答案】BC

【解析】

【分析】

求出导函数，由的正负判断A，求出导函数，确定的零点个数，得函数的单调性，判断B，方程分离参数后，引入新函数，由导数确定新函数的性质后判断C，令，方程变为，解得，转化为，即，得，令，同样由导数确定的性质可判断D．

【详解】

A：恒成立，在 恒成立，得，故A错误；

B：

令

所以函数有两个零点

所以在上，即，在和上单调递增，

在，即，则单调递减，

所以有3个单调区间，故B正确；

C： 方程的根为的根，令

则.令，则

所以在，q（x）单调递减，在单调递增，

所以，所以，有，单调递增.

所以函数与有一个交点，即方程有一个根，

所以方程有且只有一个根，故C正确；

D： 函数的零点为方程的根，令，则

所以，有，即，得

令，则，令，则，所以在R上单调递增，又

所以存在使得，则在，即单调递减，在上，即，s（x）单调递增，所以，

当时，方程无根，函数没有零点；

当时，方程有一个根，函数有一个零点；

当时，方程有两个根，函数有两个零点，故D错误.

故选：BC

【点睛】

本题考查用导数研究函数的性质，确定函数零点个数、方程根的个数问题，解题关键是由导数研究函数的单调性，对函数的零点与方程根的个数问题的关系是问题的转化，通过换元法，参数分离法等转化为研究函数的单调性与极值．

三、填空题

13．（2022·全国·高二单元测试）的展开式中的系数为________用数字填写答案

【答案】20

【解析】

【分析】

直接用二项式定理讨论即可.

【详解】

二项式中，，

当中取x时，这一项为，所以，，

当中取y时，这一项为，所以，，所以展开式中的系数为

故答案为：

14．（2022·全国·高二单元测试）有3张都标着字母，5张分别标着数字1，2，3，4，5的卡片，若任取其中4张卡片组成牌号，则可以组成的不同牌号的总数等于______（用数字作答）.

【答案】500

【解析】

【分析】

按照牌号中含字母的个数分成4类计数，再相加即可得解.

【详解】

若牌号中不含字母，则有种牌号；

若牌号中含一个字母，则有种牌号；

若牌号中含两个字母，则有种牌号；

若牌号中含三个字母，则有种牌号，

所以可以组成的不同牌号的总数等于.

故答案为：500

【点睛】

本题考查了分类加法计数原理，考查了排列组合的综合应用，属于基础题.

15．（2022·辽宁·沈阳市第八十三中学高二开学考试）在数列中，已知， (n≥2，)，记数列的前n项之积为，若，则n的值为________

【答案】2020

【解析】

【分析】

根据给定的递推公式，求出数列的通项公式即可计算作答.

【详解】

因，，显然，则有，

而，有，则，从而得数列是首项为1，公差为1的等差数列，

因此，，整理得，则，当时，，

所以n的值为2020.

故答案为：2020

【点睛】

思路点睛：涉及给出递推公式探求数列性质的问题，认真分析递推公式并进行变形，可借助取倒数的方法探讨项间关系而解决问题.

16．（2022·福建省连城县第一中学高二阶段练习）函数,关于x的方程恰有四个不同的实数解，则正数m的取值范围为__________.

【答案】

【解析】

【分析】

先研究的单调性及极值，函数图象，换元后，转化为二次函数零点分布问题，从而列出不等式，求出正数m的取值范围.

【详解】

定义域为R，，当时，，当或时，，即在，单调递增，在上单调递减，其中，，当时，恒成立，在上，，

令，要想关于x的方程恰有四个不同的实数解，则方程要有两个根，则，解得：，不妨设为，且，则，，故两根均大于0，可知，，，令，则有，解得：，综上：正数m的取值范围是

【点睛】

复合函数，已知函数零点个数，求解参数取值范围的题目，通常要换元，并转化为一元二次方程根的分布问题，数形结合进行解决.

四、解答题

17．（2022·辽宁·本溪市第二高级中学高二期末）在二项式的展开式中；

(1)若，求常数项；

(2)若第4项的系数与第7项的系数比为，求：

①二项展开式中的各项的二项式系数之和；       

②二项展开式中的各项的系数之和．

【答案】(1)60

(2)①1024；②1

【解析】

【分析】

（1）根据二项式定理求解

（2）根据二项式定理与条件求解，二项式系数之和为，系数和可赋值

(1)

若，则，（，…，9）

令     ∴∴常数项为.

(2)

，（，…，）

，解得

①

②令，得系数和为

18．（2022·全国·高二单元测试）在班级活动中，名男生和名女生站成一排表演节目：（写出必要的数学式，结果用数字作答）

(1)名女生不能相邻，有多少种不同的排法？

(2)名男生相邻有多少种不同的站法？

(3)女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有多少种不同的排法？

(4)甲、乙、丙三人按从高到低从左到右排列，有多少种不同的排法？（甲、乙、丙三位同学身高互不相等）

(5)从中选出名男生和名女生表演分四个不同角色的朗通，有多少种选派方法？

【答案】(1)1440；

(2)576；

(3)3720；

(4)840；

(5)432.

【解析】

【分析】

（1）利用插空法求解；（2）利用捆绑法求解；（3）利用分类讨论求解；（4）利用缩倍法求解；（5）利用分步乘法原理求解.

(1)

解：分步进行分析：

①将名男生全排列，有种情况，排好后有个空位，

②在个空位中任选个，安排名女生，有种情况，

故名女生不能相邻的排法有种；

(2)

解：分步进行分析：

①将名男生看成一个整体，考虑4人间的顺序，有种情况，

②将这个整体与名女生全排列，有种情况，

故名男生相邻的排法有种；

(3)

解：分种情况讨论：

①女生甲站在右端，其余人全排列，有种情况，

②女生甲不站在右端有种站法，女生乙有种站法，其余人全排，

有种情况，

故一共有种；

(4)

解：首先把名同学全排列，共有种结果，

甲、乙、丙三人内部的排列共有种结果，

要使甲、乙、丙三个人按照一个从高到低从左到右的顺序排列，

结果数只占种结果中的一种，

故有种.

(5)

解：分步进行分析：

①名男生中选取名男生，名女生中选取名女生，有种情况，

②将选出的人全排列，承担种不同的角色，有种情况，

故有种.

19．（2022·全国·高二课时练习）在数列中，，．

(1)求的通项公式；

(2)设bn，记数列的前n项和为，证明：．

【答案】(1)；

(2)证明见解析.

【解析】

【分析】

（1）根据数列递推式，利用累加法求数列的通项公式；

（2）利用裂项相消法求和，即可证明结论．

(1)

由，则，，…，，

累加得：，验证a1＝1成立，

所以；

(2)

由（1），，

所以...1．

当时，，则0，所以．

20．（2022·山东·菏泽一中高二阶段练习）（1）设函数．求的极大值；

（2）求证：时，

【答案】（1）极大值0；（2）证明见解析.

【解析】

【分析】

(1)求导，解方程，判断单调性，然后可得极值；

(2)作差，构造函数，利用导数求单调区间，根据单调性可证.

【详解】

解：（1）由题意可知，函数的定义域为，，

故当时，，故函数在上单调递增；

当时，，故函数在上单调递减．

故当时，取到极大值，．

（2）要证时，，只需证：即可，

设，，则，

故当时，，故在上单调递增，

故当时，，即，∴．

21．（2022·山东烟台·高二期末）已知等比数列的公比，且，是的等差中项.数列的前n项和为，满足，.

(1)求和的通项公式；

(2)设，求的前2n项和.

【答案】(1)，（）

(2)

【解析】

【分析】

（1）等差数列和等比数列的基本量的计算，根据条件列出方程，并解方程即可；

（2）数列根据的奇偶分段表示，奇数项通过乘公比错位相减法克求得前项和，偶数项则是通过裂项求和.

(1)

由得，.

又，，所以，即，

解得或（舍去）.所以（），当时，，

当时，，

经检验，时，适合上式，

故（）.

综上可得：，

(2)

由（1）可知，

当n为奇数时，，

当n为偶数时，，

由题意，有   ①

   ②

① - ② 得：

，

则有：.

.

故.

22．（2022·海南·嘉积中学高二阶段练习）已知函数．

(1)若，求函数在点(1，f(1))处的切线方程；

(2)设存在两个极值点，且，若，求证：．

【答案】(1)；

(2)证明见解析.

【解析】

【分析】

（1）利用导数的几何意义即求；

（2）先求出，构造函数，求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出函数的最小值，从而证明结论．

(1)

若，则，

所以

又，

所以，即在点(1，－2)处的切线斜率为0,

所以，切线方程为．

(2)

∵，

∴，

因为存在两个极值点，，

所以存在两个互异的正实数根，，

所以，

则，所以，

所以

，

令，

则，

，，

在上单调递减，

，而，

即，

．