2021--2022学年高二数学下学期期中模拟卷08（人教A版2019新高考版本）

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高二数学下学期期中模拟卷（8）（人教A版2019）一、单选题1．（2022·陕西·西安市鄠邑区第一中学高二阶段练习（理））二项式的展开式中系数为无理数的项数为（       ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】【分析】写出二项展开式通项公式，由的指数不为整数可得无理项的个数．【详解】展开式通项公式为，，当时，是整数，时，是不是整数，系数是无理数，共有3项．故选：B．2．（2022·山西运城·高二阶段练习）把语文，数学，英语，物理等7本不同的书放入书架，若数学书和物理书相邻，语文书不放在最左边，英语书不放在最右边，则不同的放法共有（       ）A．780 B．960 C．1440 D．1008【答案】D【解析】【分析】把数学书和物理书捆绑，从语文书的位置进行分类，结合排列知识求解.【详解】先把数学书和物理书捆绑看作一个元素，共有种方法；当语文书放在最右边时，英语书和其它书排列，共有种方法；当语文书放不在最右边时，最右边放置除语文和英语之外的书，有4种方法，最左边放置除语文之外的余下的书，有4种方法，其它位置没有要求，有种方法；综上共有种方法；故选：D3．（2022·辽宁·沈阳市第八十三中学高二开学考试）数列 的前项和等于（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】先设数列，前项和为，当为奇数时，求出并项，再根据并项求出当为偶数时的表达式，代值计算即可.【详解】设数列，数列的前项和为，当为奇数时，，所以当为偶数时， ，所以.故选：D.4．（2022·广西·高二期末（文））“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了多年，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记为图中虚线上的数，，，，…构成的数列的第项，则的值为（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据杨辉三角可得数列的递推公式，结合累加法可得数列的通项公式与.【详解】由已知可得数列的递推公式为，且，且，故，，，，，等式左右两边分别相加得，，故选：B.5．（2022·云南·无高二开学考试）已知函数，若存在，使得不等式成立，则实数m的取值范围为（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】首先判断函数的奇偶性与单调性，依题意存在，使得成立，参变分离，即可求出参数的取值范围；【详解】解：因为定义域为，又，即为奇函数，且函数在上单调递增，所以为在定义域上单调递增的奇函数，因为存在，使得成立，即成立，即成立，所以存在，使得成立，则成立，因为，所以，所以，即；故选：A6．（2022·北京市十一学校高二期末）某公司要建造一个长方体状的无盖箱子，其容积为48m3，高为3m，如果箱底每1m2的造价为15元，箱壁每1m2造价为12元，则箱子的最低总造价为（　　）A．72元 B．300元 C．512元 D．816元【答案】D【解析】【分析】设这个箱子的箱底的长为x m，则宽为 m，设箱子总造价为f（x）元，则f (x)＝72(x)+240，由此利用均值不等式能求出箱子的最低总造价．【详解】设这个箱子的箱底的长为x m，则宽为 m，设箱子总造价为f (x)元，∴f (x)＝15×16+12×3(2x)＝72(x)+240≥144240＝816，当且仅当x，即x＝4时，f（x）取最小值816元．故选：D．7．（2022·全国·高二课时练习）数列满足，则数列的前60项和等于（       ）A．1830 B．1820 C．1810 D．1800【答案】D【解析】【分析】当为正奇数时，可推出，当为正偶数时，可推出，将该数列的前项和表示为，结合前面的规律可计算出数列的前项和.【详解】当为正奇数时，由题意可得，，两式相加得；当为正偶数时，由题意可得，，两式相减得.因此，数列的前项和为.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题考查数列求和，找出数列的规律是解题的关键，考查学生的推理能力与运算求解能力，分类讨论思想，属于中等题.8．（2022·陕西·西安中学高二期末（文））对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数图象都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数，则（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据“拐点”的概念可判断函数的对称中心，进而求解.【详解】，，，令，解得：，而，故函数关于点对称，，，故选：B.二、多选题9．（2022·福建省龙岩第一中学高二开学考试）记数列的前n项和为，则下列条件中一定能得出是等比数列的有（       ）A． B．C． D．【答案】BC【解析】【分析】应用特殊数列，令数列为的常数列即可判断A、D；利用关系求得、即可判断B；由对数的运算性质有，结合等比中项性质判断C.【详解】当为常数列且时，、都成立，但不是等比数列，A、D不符合要求；B：由，则；当时，，即，故是首项为1，公比为2的等比数列；C：由，即且，故是等比数列；故选：BC10．（2022·全国·高二单元测试）关于及其展开式，下列说法正确的是（       ）A．该二项式展开式中二项式系数和是B．该二项式展开式中第8项为C．当时，除以100的余数是9D．该二项式展开式中不含有理项【答案】BC【解析】【分析】由二项式系数和与各项系数和可判断A；由展开式通项可判断B和D，变形展开式可判断C.【详解】对于选项A：令得展开式各项系数和为，但其二项式系数和为，故A错误；对于选项B：展开式中第8项为，故B正确；对于选项C：当时，，能被100整除，而，除以100的余数是9，当时，除以100的余数是9，故正确；对于选项D：的展开式的通项，当为整数，即，3，，2021时，为有理项，故D错误.故选：BC.11．（2022·湖北·石首市第一中学高二阶段练习）对于函数图象上的任意一点，都存在另外一点，使得的图象在这两个不同点处的切线互相平行，则称函数具有性质，下列函数中不具有性质的有（       ）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】【分析】由至少有两个不同的解对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】函数具有性质，等价于对于导函数值域中任意的值，至少有两个不同的解．对于A，，当时，只有唯一的解，故函数不具有性质；对于B，只有唯一的解，故函数不具有性质；对于C，是周期函数，对于任意的，有无数个解，故函数具有性质；对于D，在上单调递减，当时，不存在两个解，故函数不具有性质．故选：ABD12．（2022·福建·福州三中高二期末）关于函数，下列说法正确的是（       ）A．函数在上单调递增B．函数的值域是C．对任意的正实数，方程总有两个实数解D．若恒成立，则【答案】AC【解析】【分析】利用导数可确定在上恒成立，知A正确；由知B错误；利用导数可分别求得和时的单调性，结合的正负可确定方程解的个数，知C正确；由且时不等式不恒成立知D错误.【详解】对于A，，令，则当时，，在上单调递增，，即在上恒成立，在上单调递增，A正确；对于B，，的值域不是，B错误；对于C，由A的推导过程知：当时，在上单调递增，又，且当时，，在上有且仅有一个解；当时，由知：在上单调递减，，在上单调递增；当时，，，，当时，；当时，；在上有且仅有一个解；综上所述：对任意的正实数，方程总有两个实数解，C正确；对于D，当时，，，；若此时，则不成立，D错误.故选：AC.三、填空题13．（2022·江苏·昆山震川高级中学高二阶段练习）不等式的解集为________．【答案】【解析】【分析】直接利用排列数公式化简求解即可【详解】由，得，，因为，所以，所以，整理得，解得，因为，且，所以得，所以，所以不等式的解集为，故答案为：14．（2022·重庆市第七中学校高二阶段练习）古人用天干、地支来记年，把天干中的一个字摆在前面，后面配上地支中的一个字，这样就构成一对干支，如“甲子”、“乙卯”等，现用天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，或用天干的“乙、丁、己、辛、癸”和地支的“丑、卯、巳、未、酉、亥”相配，则共可配成________对干支．【答案】60【解析】【分析】依题意分两种情况，按照分步乘法计数原理与分类加法计数原理计算可得；【详解】解：依题意，若用天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，则有对干支；若用天干的“乙、丁、己、辛、癸”和地支的“丑、卯、巳、未、酉、亥”相配，则有对干支；综上可得一共可配成对干支；故答案为：15．（2022·广东·普宁市华侨中学高二阶段练习）在等比数列中，已知，则________．【答案】【解析】【分析】求得等比数列的通项公式，再去求即可解决.【详解】设等比数列首项为，公比为 则，解之得，则则数列是首项为，公比为的等比数列.则故答案为：16．（2022·四川省通江中学高二阶段练习（理））已知函数，，当实数的取值范围为________时，的零点最多.【答案】【解析】【分析】作出函数的图象，由得，设，分，，分别讨论与的交点个数，当时，求得与相切时切线的斜率，与相切时切线的斜率，由此可求得实数的取值范围.【详解】解：作出函数的图象如图：由得，设，当时，与有2个交点；当时，与有2个交点；.当时，设与相切，切点为，则，所以切线的斜率为，其切线方程为：，又因切线恒过点，所以，解得，所以切线的斜率为，当时，设与相切，切点为，则，所以切线的斜率为，其切线方程为：，又因切线恒过点，所以，解得，所以切线的斜率为，所以当时，与有1个交点；当时，与有2个交点；当时，与有3个交点；当时，与有4个交点；所以实数的取值范围为时，的零点最多，故答案为：.四、解答题17．（2022·山西朔州·高二期末（文））（1）若在是减函数，求实数m的取值范围；（2）已知函数在R上无极值点，求a的值.【答案】（1）；（2）1【解析】【分析】（1）将问题转化为在内恒成立，求出的最小值，即可得到答案；（2）对函数求导得，由，即可得到答案；【详解】（1）依题意知，在内恒成立，所以在内恒成立，所以，因为的最小值为1，所以，所以实数m的取值范围是. （2），依题意有，即，，解得.18．（2022·浙江·义乌市商城学校高二阶段练习）某工厂共有10台机器共同生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平等因素的影响，会产生一定数量的次品.根据经验知道，每台机器生产的次品数（万件）与每台机器的日产量（万件）之间满足关系：，已知每生产1万件合格的元件可盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元.(1)试将该工厂每天生产这种元件所获得的利润（万元）表示为关于（万件）的函数（利润盈利亏损）；(2)当每台机器的日产量（万件）为多少时，获得的利润最大，最大利润为多少?【答案】(1)(2)日产量为6（万件）时所获得的利润最大，最大利润为万元．【解析】【分析】（1）利用利润盈利亏损，得到与的关系，将代入整理即可；（2）对（1）的解析式求导，判定取最大值时的值，求最大利润．(1)解：由题意，所获得的利润为(2)解：由（1），所以，令，得到或（舍去）；所以当，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减；所以当时，函数取极大值，即最大值，所以当时利润最大，为（万元），当每台机器的日产量为6（万件）时所获得的利润最大，最大利润为万元．19．（2022·辽宁·沈阳市第八十三中学高二开学考试）已知数列{an}满足(an＋1－1)(an－1)＝3(an－an＋1)，a1＝2，令bn＝.(1)证明：数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）要证明{bn}是等差数列，即证明－等于一个常数即可.（2）由（1）知bn＝n＋，又因为bn＝，即可求出{an}的通项公式.(1)证明：∵(an＋1－1)(an－1)＝3(an－an＋1)－＝＝，∴bn＋1－bn＝，∴{bn}是以首项为b1＝＝＝1，公差为的等差数列．(2)由(1)及b1＝＝＝1，知bn＝n＋，∴an－1＝，∴an＝.20．（2022·重庆南开中学高二期末）已知函数.(1)若与在处有相同的切线，求实数的取值；(2)若时，方程在上有两个不同的根，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义求得函数在处的切线方程，再由有相同的切线这一条件即可求解；（2）先分离，再研究函数的单调性，最后运用数形结合的思想求解即可.(1)设公切线与的图像切于点，在处的切线为，由题意得：；(2)当时，，①，①式可化为为，令令，，在上单调递增，在上单调递减.，当时，由题意知：21．（2022·四川省通江中学高二阶段练习（理））已知正项数列的前项和为，且 ；(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和.【答案】(1)(2)当时;当 时,;【解析】【分析】（1）利用时，，结合可得，由此求得，进而求得数列的通项公式；（2）求出 时的结果，当 时，利用裂项相消法求得结果，即得答案.(1)由题意正项数列的前项和为，当时， ，故，所以 ，即，所以 是以为首项，以1为公差的等差数列，则 ，所以 ，即，但 不适合上式，故；(2)当 时，；当 时， .22．（2022·福建省龙岩第一中学高二阶段练习）已知函数．（1）若恒成立，求实数的取值范围．（2）若函数的两个零点为，，证明：．【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）分离常数后构造函数，求导后利用函数的单调性求得函数的最小值即可得出结论；（2）要证，即要证，即证．构造函数，求导后利用函数的单调性求解即可.【详解】（1）解：因为恒成立，所以，即恒成立．令，则，易知在上单调递增，且．所以当时，；当时，．所以在上单调递减，在上单调递增，所以，故．（2）证明：由题意可知方程的两根为，．令，则的两个零点为，．．当时，，在上单调递增，不存在两个零点；当时，在上单调递增，在上单调递减，则，得．设，则，．因为，所以，．要证，即要证，即证．令，．则，所以在上单调递减，所以．因为，所以．因为，，且在上单调递减，所以，即，故成立．