第五章测评 高中数学新北师大版必修第二册（2022学年）

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第五章测评(时间:120分钟　满分:150分)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)1.(2019宁夏六盘山高级中学高三月考)设复数z=-1+2i(i为虚数单位)，则复数z的共轭复数在复平面上对应的点位于(　　)　　 　　　　　　　　　　　　　　A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】因为复数z=-1+2i，共轭复数为-1-2i，则其对应的点为(-1，-2)，该点在第三象限.故选C.【答案】C2.(2020天津高二期末)若z(1+i)=2i，则z=(　　)A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i【解析】z==1+i.故选D.【答案】D3.(2019天津高考模拟)设z=+2i，则|z|=(　　)A.0 B. C.1 D.【解析】z=+2i=+2i=-i+2i=i，则|z|=1.故选C.【答案】C4.在复平面内，O为原点，向量对应的复数为-1+2i，若点A关于直线y=-x 的对称点为点B，则向量对应的复数为(　　)A.-2+i B.-2-iC.1+2i D.-1+2i【解析】复数-1+2i对应的点为A(-1，2)，点A关于直线y=-x的对称点为B(-2，1)，所以向量对应的复数为-2+i.故选A.【答案】A5.已知i是虚数单位，在复平面内，复数-2+i，1-3i对应的点分别为A，B，则A，B两点之间的距离为(　　)A. B. C.5 D.25【解析】在复平面内，复数-2+i对应的点为A(-2，1)，复数1-3i对应的点为B(1，-3)，所以=(3，-4)，即||==5.故选C.【答案】C6.已知复数z1=cos 23°+isin 23°和复数z2=cos 37°+isin 37°，则z1·z2为(　　)A.i B.iC.i D.i【解析】z1z2=cos(23°+37°)+isin(23°+37°)=cos 60°+isin 60°=i.【答案】A7.设f(n)=n+n(n∈N)，则f(n)可取的值有(　　)A.1个 B.2个C.3个 D.无数个【解析】因为f(n)==in+(-i)n(n∈N)，当n取特殊值1，2，3，4可得相应的值.f(1)=0，f(2)=-2，f(3)=0，f(4)=2.故选C.【答案】C8.在如图所示的复平面内，复数z1，z2，z3对应的向量分别是，则复数对应的点位于(　　)A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】由题图知z1=3+2i，z2=-2+2i，z3=1-2i，则=-i，所以其在复平面内对应的点为-，-，在第三象限.故选C.【答案】C二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分)9.给出下列命题，其中是真命题的是(　　)A.纯虚数z的共轭复数是-zB.若z1-z2=0，则z1=C.若z1+z2∈R，则z1与z2互为共轭复数D.若z1-z2=0，则z1与2互为共轭复数【解析】根据共轭复数的定义，显然A是真命题;若z1-z2=0，则z1=z2，当z1，z2均为实数时，则有z1=，当z1，z2是虚数时，z1≠，所以B是假命题;若z1+z2∈R，则z1，z2可能均为实数，但不一定相等，或z1与z2的虚部互为相反数，但实部不一定相等，所以C是假命题;若z1-z2=0，则z1=z2，所以z1与互为共轭复数，故D是真命题.故选AD.【答案】AD10.已知复数z=1+2i(i为虚数单位)，则下列结论错误的是(　　)A.|z|= B.z2≥0C.|z-|=2 D.z·=5【解析】|z|=，故A不正确;z2=1+4i2+4i=-3+4i，不能和0比较大小，故B不正确;=1-2i，|z-|=4，故C不正确;z·=(1+2i)(1-2i)=5.【答案】ABC11.实数x，y满足(1+i)x+(1-i)y=2，设z=x+yi，则下列说法正确的是(　　)A.z在复平面内对应的点在第一象限B.|z|=C.z的虚部是iD.z的实部是1【解析】实数x，y满足(1+i)x+(1-i)y=2，可化为x+y-2+(x-y)i=0，所以解得x=y=1，所以z=x+yi=1+i.z在复平面内对应的点的坐标为(1，1)，位于第一象限，故A正确.|z|=，故B正确.z的虚部是1，故C错误.z的实部是1，故D正确.故选ABD.【答案】ABD12.已知集合M={m|m=in，n∈N+}，其中i为虚数单位，则下列元素属于集合M的是(　　)A.(1-i)(1+i) B.C. D.(1-i)2【解析】根据题意，M={m|m=in，n∈N+}中，当n=4k(k∈N+)时，in=1;当n=4k+1(k∈N+)时，in=i;当n=4k+2(k∈N+)时，in=-1;当n=4k+3(k∈N+)时，in=-i，所以M={-1，1，i，-i}.(1-i)(1+i)=2∉M，A不符合题意;=-i∈M，B符合题意;=i∈M，C符合题意;(1-i)2=-2i∉M，D不符合题意.故选BC.【答案】BC三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13.(2020北京高三期末)复数的实部为　　　　　. 【解析】，故所求实部为.【答案】14.i÷3(cos 120°-isin 300°)=　　　　　. 【解析】i÷3(cos 120°-isin 300°)=(cos 60°+isin 60°)÷3(cos 120°+isin 120°)=[cos(60°-120°)+isin(60°-120°)]=[cos(-60°)+isin(-60°)]=i=i.【答案】i15.(2020江苏金陵中学高三开学考试)已知复数z1=-2+i，z2=a+2i(i为虚数单位，a∈R).若z1·z2为实数，则a的值为　　　　　;z1-z2=　　　　　. 【解析】因为z1·z2=(-2+i)(a+2i)=(-2a-2)+(a-4)i为实数，所以a-4=0，解得a=4.则z1-z2=-2+i-(4+2i)=-2+i-4-2i=-6-i.【答案】4　-6-i16.若|z-1|=|z+1|，则|z-1|的最小值为　　　　　. 【解析】设z=a+bi(a，b∈R)，则|(a-1)+bi|=|(a+1)+bi|.所以，即a=0，所以z=bi(b∈R)，所以|z-1|min=|bi-1|min=，故当b=0时，|z-1|的最小值为1.【答案】1四、解答题(本题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知复数z=lg(m2+2m+1)+(m2+3m+2)i(i为虚数单位)，试求实数m分别取什么值时，z分别为:(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数.解(1)由得m=-2，所以当m=-2时，z是实数.(2)由得m≠-1，且m≠-2，所以当m∈(-∞，-2)∪(-2，-1)∪(-1，+∞)时，z是虚数.(3)由题意得即解得m=0，所以当m=0时，z是纯虚数.18.(12分)计算:.解原式===i.19.(12分)已知i是虚数单位，O为坐标原点，向量对应的复数为3+2i，将向量向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，将得到的向量记为，分别写出:(1)向量对应的复数;(2)点O'对应的复数;(3)向量对应的复数.解(1)如图所示，O为原点，点A的坐标为(3，2)，向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度后，点O'的坐标为(-2，3)，点A'的坐标为(1，5)，坐标平移不改变的方向和模.(1)向量对应的复数为3+2i;(2)点O'对应的复数为-2+3i;(3)向量对应的复数为-3-2i.20.(12分)已知关于x的方程x2-ax+ab=0，其中a，b为实数.(1)设x=1-i(i是虚数单位)是方程的根，求a，b的值;(2)证明:当，且a>0时，该方程无实数根.解(1)因为x=1-i是方程的根，所以1+i也是方程的根，由根与系数的关系得1-i+1+i=a，得(1-i)(1+i)=ab，解得a=2，b=2;(2)证明:因为，所以>0.因为a>0，所以4a(4b-a)>0，即4ab-a2>0，所以Δ=a2-4ab<0，所以原方程无实数根.21.(12分)已知z是复数，z-3i为实数，为纯虚数(i为虚数单位).(1)求复数z;(2)求的模.解(1)设z=a+bi(a，b∈R)，由z-3i=a+(b-3)i为实数，可得b=3，又由为纯虚数，解得a=-1，即z=-1+3i;(2)=-2+i，所以=|-2+i|=.22.(12分)已知复数w满足w-4=(3-2w)i(i为虚数单位)，z=+|-2|.(1)求z;(2)若(1)中的z是关于x的方程x2-px+q=0的一个根，求实数p，q的值及方程的另一个根.解(1)因为w-4=(3-2w)i，所以w(1+2i)=4+3i，所以w==2-i，所以z=+|i|=+1=3+i.(2)因为z=3+i是关于x的方程x2-px+q=0的一个根，所以(3+i)2-p(3+i)+q=0，即(8-3p+q)+(6-p)i=0，因为p，q为实数，所以解得p=6，q=10.解方程x2-6x+10=0，得x=3±i.所以实数p=6，q=10，方程的另一个根为x=3-i.