高中北师大版 (2019)3.1 等比数列的概念及其通项公式第2课时达标测试

3.3.1　等比数列的概念及其通项公式

第2课时　等比数列的性质及应用

1.在等比数列{an}中，a2=8，a5=64，则公比q为 (　　)

A.2 B.3 C.4 D.8

【答案】A

【解析】由a5=a2q3，得q3=8，所以q=2.

2.等比数列{an}中，若a2a6+=π，则a3a5等于 (　　)

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】a2a6==a3a5，∴a3a5=.

3.等比数列{an}中，a1+a2=3，a2+a3=6，则a8等于(　　)

A.64 B.128 C.256 D.512

【答案】B

【解析】a2+a3=q(a1+a2)=3q=6，

∴q=2，∴a1+a2=a1+2a1=3a1=3，

∴a1=1.∴a8=27=128.

4.在单调递减的等比数列{an}中，若a3=1，a2+a4=，则a1等于(　　)

A.2 B.4 C. D.2

【答案】B

【解析】在等比数列{an}中，a2a4==1，又a2+a4=，数列{an}为单调递减数列，所以a2=2，a4=，所以q2=，所以q=q=-舍去，a1==4.

5.已知公差不为0的等差数列的第2，3，6项依次构成一个等比数列，则该等比数列的公比q为(　　)

A. B.3 C.± D.±3

【答案】B

【解析】设等差数列为{an}，公差为d，d≠0.

则=a2·a6，

∴(a1+2d)2=(a1+d)(a1+5d)，

化简得d2=-2a1d，

∵d≠0，∴d=-2a1，∴a2=-a1，a3=-3a1，

∴q==3.

6.公比不为1的等比数列{an}满足a5a6+a4a7=18，若a1am=9，则m的值为(　　)

A.8 B.9 C.10 D.11

【答案】C

【解析】由题意得，2a5a6=18，a5a6=9，∵a1am=9，∴a1am=a5a6，∴m=10，故选C.

7.已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2=　　　　. 

【答案】-6

【解析】由题意知，a3=a1+4，a4=a1+6.

∵a1，a3，a4成等比数列，∴=a1a4，

∴(a1+4)2=(a1+6)a1，

解得a1=-8，∴a2=-6.

8.在1与2之间插入6个正数，使这8个数成等比数列，则插入的6个数的积为　　　　. 

【答案】8

【解析】设这8个数组成的等比数列为{an}，则a1=1，a8=2.

插入的6个数的积为

a2a3a4a5a6a7=(a2a7)·(a3a6)·(a4a5)

=(a1a8)3=23=8.

9.已知等比数列{an}中，有a3a11=4a7，数列{bn}是等差数列，且b7=a7，则b5+b9=　　　　. 

【答案】8

【解析】由等比数列的性质，得a3a11=，

∴=4a7.

∵a7≠0，∴a7=4，∴b7=a7=4.

再由等差数列的性质知b5+b9=2b7=8.

10.已知an=2n+3n，判断数列{an}是不是等比数列.

解不是等比数列.

∵a1=21+31=5，a2=22+32=13，a3=23+33=35，

∴a1a3≠，∴数列{an}不是等比数列.

11.已知数列{an}是等比数列，a3+a7=20，a1a9=64，求a11的值.

解∵{an}是等比数列，∴a1·a9=a3·a7=64.

又a3+a7=20，∴a3=4，a7=16或a3=16，a7=4.

①当a3=4，a7=16时，=q4=4，此时a11=a3q8=4×42=64.

②当a3=16，a7=4时，=q4=，此时a11=a3q8=16×2=1.

12.已知等比数列{an}共有10项，其中奇数项之积为2，偶数项之积为64，则其公比是(　　)

A. B. C.2 D.2

【答案】C

【解析】∵奇数项之积为2，偶数项之积为64，∴a1a3a5a7a9=2，a2a4a6a8a10=64，则=q5=32，则q=2，故选C.

13.已知各项均为正数的等比数列{an}中，lg(a3a8a13)=6，则a1a15的值为(　　)

A.100 B.-100

C.10 000 D.-10 000

【答案】C

【解析】∵lg(a3a8a13)=lg =6，

∴=106，∴a8=102=100.

∴a1a15==10 000.

14.在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3=4，a4a5a6=12，an-1anan+1=324，则n等于(　　)

A.12 B.13 C.14 D.15

【答案】C

【解析】设数列{an}的公比为q，由a1a2a3=4=q3与a4a5a6=12=q12，可得q9=3，an-1anan+1=q3n-3=324，因此q3n-6=81=34=q36，所以n=14，故选C.

15.已知等比数列{an}的公比为q(q≠-1)，记bn=am(n-1)+1+am(n-1)+2+…+am(n-1)+m，cn=am(n-1)+1·am(n-1)+2·…·am(n-1)+m(m，n∈N+)，则以下结论一定正确的是(　　)

A.数列{bn}为等差数列，公差为qm

B.数列{bn}为等比数列，公比为q2m

C.数列{cn}为等比数列，公比为

D.数列{cn}为等比数列，公比为

【答案】C

【解析】bn=am(n-1)+1·(1+q+q2+…+qm-1)，由q≠-1易知bn≠0，=qm，故数列{bn}为等比数列，公比为qm，选项A，B均错误;cn=·q1+2+…+(m-1)，=m=(qm)m=，故数列{cn}为等比数列，公比为，D错误.故选C.

16.(多选题)已知数列{an}的通项公式为an=2n，∀i，j∈N+，下列仍是数列{an}中的项的是(　　)

A.ai+j+ai B.ai+j-ai

C.ai+j·ai D.

【答案】CD

【解析】∵an=2n，∀i，j∈N+，

∴ai+j+ai=2i+j+2i=2i(2j+1)∉{an}，ai+j-ai=2i+j-2i=2i(2j-1)∉{an}，

ai+jai=2i+j·2i=22i+j∈{an}，=aj∈{an}.

17.(多选题)已知等比数列{an}，则下面式子对任意正整数k都成立的是(　　)

A.ak·ak+1>0

B.ak·ak+2>0

C.ak·ak+1·ak+2>0

D.ak·ak+1·ak+2·ak+3>0

【答案】BD

【解析】对于A，当q<0时，ak·ak+1<0，A不一定成立;对于B，ak·ak+2=(akq)2>0，B成立;对于C，ak·ak+1·ak+2=>0不一定成立;对于D，ak·ak+1·ak+2·ak+3=(ak+1·ak+2)2>0一定成立，故选BD.

18.设数列{an}为公比q>1的等比数列，若a4，a5是方程4x2-8x+3=0的两根，则a6+a7=　　　　. 

【答案】18

【解析】由题意得a4=，a5=，∴q==3.

∴a6+a7=(a4+a5)q2=×32=18.

19.在等比数列{an}中，若a1a2a3a4=1，a13a14a15a16=8，则a41a42a43a44=　　　　. 

【答案】1 024

【解析】设等比数列{an}的公比为q，

a1a2a3a4=a1·a1q·a1q2·a1q3=·q6=1，①

a13a14a15a16=a1q12·a1q13·a1q14·a1q15=·q54=8， ②

②÷①得q48=8，q16=2，

∴a41a42a43a44=a1q40·a1q41·a1q42·a1q43=·q166=·q6·q160=(·q6)(q16)10=210=1 024.

20.在等差数列{an}中，公差d≠0，a1，a2，a4成等比数列，已知数列a1，a3，，…，，…也成等比数列，求数列{kn}的通项公式.

解由题意得=a1a4，即(a1+d)2=a1(a1+3d)，得d(d-a1)=0，

又d≠0，∴a1=d.

又a1，a3，，…，，…成等比数列，

∴该数列的公比q==3，

∴=a1·3n+1.

又=a1+(kn-1)d=kna1，

∴数列{kn}的通项公式为kn=3n+1(n∈N+).

21.已知0<r<p<100，在一容器内装有浓度为r%的溶液1 kg，注入浓度为p%的溶液 kg，搅匀后倒出混合液 kg.如此反复进行下去.

(1)写出第1次混合后溶液的浓度a1%;

(2)设第n次混合后溶液的浓度为an%，试用an表示an+1;

(3)写出{an}的通项公式.

解(1)a1%=(p+4r)%.

(2)an+1%=(p+4an)%，

即an+1=(p+4an).

(3)由(2)知an+1=(p+4an)，

即an+1-p=(an-p)，

所以{an-p}是一个公比为的等比数列，首项为a1-p=(r-p)，所以an-p=(r-p)n-1=(r-p)n，

所以an=p-(p-r)n.