高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册2.1 等差数列的概念及其通项公式第2课时课后测评

2.2.1　等差数列的概念及其通项公式

第2课时　等差数列的性质及应用

1.在等差数列{an}中，已知a3=10，a8=-20，则公差d等于(　　)

A.3 B.-6 C.4 D.-3

【答案】B

【解析】由等差数列的性质得a8-a3=(8-3)d=5d，所以d==-6.

2.在等差数列{an}中，已知a4=2，a8=14，则a15等于(　　)

A.32 B.-32 C.35 D.-35

【答案】C

【解析】由a8-a4=(8-4)d=4d=14-2=12，得d=3，所以a15=a8+(15-8)d=14+7×3=35.

3.等差数列{an}中，a4+a5=15，a7=12，则a2等于 (　　)

A.3 B.-3 C. D.-

【答案】A

【解析】由数列的性质，得a4+a5=a2+a7，所以a2=15-12=3.

4.已知数列{an}为等差数列，a3=6，a9=18，则公差d为(　　)

A.1 B.3 C.2 D.4

【答案】C

【解析】因为数列{an}为等差数列，所以a9=a3+6d，即18=6+6d，所以d=2.

5.在等差数列{an}中，若a3+a4+a5+a6+a7=450，则a2+a8的值等于(　　)

A.45 B.75 C.180 D.300

【答案】C

【解析】∵a3+a4+a5+a6+a7=(a3+a7)+(a4+a6)+a5=5a5=450，∴a5=90.

∴a2+a8=2a5=180.

6.若某运动会的第一届于1896年举行，以后每4年举行一次，如因故不能举行，届数照算，那么2020年举行的该运动会的届数是(　　)

A.第30届 B.第31届

C.第32届 D.第33届

【答案】C

【解析】依题意知举行该运动会的年份构成以1 896为首项，4为公差的等差数列，通项公式为an=1 896+4(n-1)，令2 020=1 896+4(n-1)，解得n=32.

7.在等差数列{an}中，已知a3+a8=10，则3a5+a7=　　　　. 

【答案】20

【解析】∵a3+a8=10，∴a3+a3+a8+a8=20.

∵3+3+8+8=5+5+5+7，

∴a3+a3+a8+a8=a5+a5+a5+a7，

即3a5+a7=2(a3+a8)=20.

8.已知数列{an}为等差数列且a1+a7+a13=4π，则tan(a2+a12)的值为　　　　. 

【答案】-

【解析】由等差数列的性质得a1+a7+a13=3a7=4π，∴a7=.

∴tan(a2+a12)=tan(2a7)=tan=tan=-.

9.若数列{an}是等差数列，a15=8，a60=20，则a75的值为　　　　. 

【答案】24

【解析】∵{an}是等差数列，

∴a15，a30，a45，a60，a75成等差数列.

设其公差为D，则a60=a15+3D，即D=4，

故a75=a15+4D=8+4×4=24.

10.在等差数列{an}中，

(1)若a2+a4+a6+a8+a10=80，求a7-a8;

(2)已知a1+2a8+a15=96，求2a9-a10.

解(1)a2+a4+a6+a8+a10=5a6=80，

∴a6=16，

∴a7-a8=(2a7-a8)=(a6+a8-a8)=a6=8.

(2)∵a1+2a8+a15=4a8=96，∴a8=24.

∴2a9-a10=a10+a8-a10=a8=24.

11.已知数列是等差数列，且a3=2，a15=30，则a9等于(　　)

A.12 B.24 C.16 D.32

【答案】A

【解析】令bn=，由题意可知b3=，b15==2，则等差数列{bn}的公差d=，则b9=b3+(9-3)d=，所以a9=9b9=12，故选A.

12.设公差为-2的等差数列{an}，如果a1+a4+a7+…+a97=50，那么a3+a6+a9+…+a99等于(　　)

A.-182 B.-78 C.-148 D.-82

【答案】D

【解析】a3+a6+a9+…+a99

=(a1+2d)+(a4+2d)+(a7+2d)+…+(a97+2d)

=(a1+a4+…+a97)+2d×33

=50+2×(-2)×33

=-82.

13.已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3+a6+a10+a13=32，若am=8，则m的值为(　　)

A.12 B.8 C.6 D.4

【答案】B

【解析】由等差数列的性质，得a3+a6+a10+a13=(a3+a13)+(a6+a10)=2a8+2a8=4a8=32，∴a8=8，又d≠0，∴m=8.

14.若a，b，c成等差数列，则二次函数y=ax2-2bx+c的图象与x轴的交点的个数为(　　)

A.0 B.1 C.2 D.1或2

【答案】D

【解析】∵a，b，c成等差数列，∴2b=a+c，

∴Δ=4b2-4ac=(a+c)2-4ac=(a-c)2≥0.

∴二次函数y=ax2-2bx+c的图象与x轴的交点个数为1或2.

15.已知{an}是公差为正数的等差数列，a1+a2+a3=15，a1a2a3=80，则a11+a12+a13的值为(　　)

A.105 B.120 C.90 D.75

【答案】A

【解析】由a1+a2+a3=15，得a2=5，所以a1+a3=10.又a1a2a3=80，所以a1a3=16，所以a1=2，a3=8或a1=8，a3=2.又等差数列{an}的公差为正数，所以{an}是递增数列，所以a1=2，a3=8，所以等差数列{an}的公差d=a2-a1=5-2=3，所以a11+a12+a13=3a12=3(a1+11d)=105.

16.如果在等差数列{an}中，a5+a6+a7=15，那么a3+a4+…+a9等于(　　)

A.21 B.30 C.35 D.40

【答案】C

【解析】a5+a6+a7=(a5+a7)+a6=2a6+a6=3a6=15，所以a6=5.所以a3+a4+…+a9=(a3+a9)+(a4+a8)+(a5+a7)+a6=7a6=35.

17.若在等差数列{an}中，a3+a7-a10=8，a11-a4=4，则a6+a7+a8等于(　　)

A.34 B.35 C.36 D.37

【答案】C

【解析】由题意得(a3+a7-a10)+(a11-a4)=12，

∴(a3+a11)+a7-(a10+a4)=12.

∵a3+a11=a10+a4，∴a7=12.

∴a6+a7+a8=3a7=36.

18.在等差数列{an}中，已知a1，a4为方程2x2-5x+2=0的两根，则a2+a3=　　　　. 

【答案】

【解析】∵a1，a4为方程2x2-5x+2=0的两根，

∴a1+a4=.

又{an}为等差数列，∴a1+a4=a2+a3.

∴a2+a3=.

19.已知在数列{an}中，a3=3，a7=1，又数列是等差数列，则an=　　　　　. 

【答案】

【解析】∵是等差数列，设bn=，

则b3=，b7=.

∴公差d=.

∴bn=b3+(n-3)=.

∴.

∴an+1=，an=-1=.

20.已知{an}为等差数列，且a1+a3+a5=18，a2+a4+a6=24.

(1)求a20的值;

(2)若bn=an-，试判断数列{bn}从哪一项开始大于0.

解(1)因为a1+a3+a5=18，a2+a4+a6=24，

所以a3=6，a4=8，则公差d=2，

所以a20=a3+17d=40.

(2)由(1)得an=a3+(n-3)d=6+(n-3)×2=2n，

所以bn=×2n-=3n-.

由bn>0，即3n->0，得n>，

所以数列{bn}从第7项开始大于0.

21.已知两个等差数列{an}=5，8，11，…与{bn}=3，7，11，…，它们的项数均为100，则它们有多少个彼此具有相同数值的项?

解因为an=3n+2(n∈N+)，bk=4k-1(k∈N+)，两数列的共同项可由3n+2=4k-1求得，

所以n=k-1.而n∈N+，k∈N+，

所以设k=3r(r∈N+)，得n=4r-1.

由已知且r∈N+，可得1≤r≤25.

所以共有25个相同数值的项.

22.有一批电视机原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售.甲商场用如下方法促销:买一台单价为780元，买两台单价为760元，以此类推，每多买一台则所购买各台的单价均减少20元，但每台最少不低于440元;乙商场一律按原价的75%销售.某单位需购买一批此类电视机，则去哪一家商场购买花费较少?

解设某单位需购买电视机n台.

在甲商场购买时，所买电视机的售价构成等差数列{an}，an=780+(n-1)×(-20)=-20n+800，

由an=-20n+800≥440，得n≤18，

即购买台数不超过18台时，每台售价(800-20n)元;

购买台数超过18台时，每台售价440元.

到乙商场购买时，每台售价为800×75%=600(元).

比较在甲、乙两家家电商场的费用

(800-20n)n-600n=20n(10-n).

当n<10时，(800-20n)n>600n，到乙商场购买花费较少;

当n=10时，(800-20n)n=600n，到甲、乙商场购买花费相同;

当10<n≤18时，(800-20n)n<600n，到甲商场购买花费较少;

当n>18时，440n<600n，到甲商场购买花费较少.

因此，当购买电视机台数少于10台时，到乙商场购买花费较少;当购买电视机10台时，到两家商场购买花费相同;当购买电视机台数多于10台时，到甲商场购买花费较少.