2022年中考数学专题复习圆的性质及有关计算(word版含答案)

这是一份2022年中考数学专题复习圆的性质及有关计算(word版含答案)，共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022中考数学专题复习 圆的性质及有关计算
一、单选题
1．（2021九上·槐荫期末）如图，点A、B、C在⊙O上，∠CAB＝70°，则∠BOC等于（ ）

A．100° B．110° C．130° D．140°
2．（2021九上·庐江期末）如图，⊙O的半径为5，弦AB＝6，P是弦AB上的一个动点（不与A、B重合），下列符合条件的OP的值可以是（　　）

A．3.1 B．4.2 C．5.3 D．6.4
3．（2021九上·道里期末）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠BCD=34°，则∠ABD等于（　　）

A．66° B．34° C．56° D．68°
4．（2021九上·西城期末）如图，点A，B，C在⊙O上，△OAB是等边三角形，则∠ACB的大小为（　　）

A．60° B．40° C．30° D．20°
5．（2022九下·重庆开学考）已知 AB 为圆 O 的直径， C 为圆周上一点， AC∥DO ， ∠DBC=35° ．则 ∠ABC 的度数为（　　）

A．10° B．15° C．20° D．30°
6．（2022九下·长兴月考）如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，连结CO并延长，交弦AD于点F．若AB=10，BE=2，则OF的长度是（　　）

A．52
B．3
C．2511
D．5
7．（2021九上·准格尔旗期末）如图，AB是⊙O的弦，且AB=6，点C是弧AB中点，点D是优弧AB上的一点，∠ADC=30°，则圆心O到弦AB的距离等于（　　）

A．23 B．3 C．32 D．32
8．（2021九上·海淀期末）如图，A，B，C是某社区的三栋楼，若在AC中点D处建一个5G基站，其覆盖半径为300 m，则这三栋楼中在该5G基站覆盖范围内的是（　　）

A．A，B，C都不在 B．只有B
C．只有A，C D．A，B，C
9．（2021九上·朝阳期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠C=130°，则∠BOD的度数为（　　）

A．50° B．100° C．130° D．150°
10．（2021九上·和平期末）如图，两个等圆⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，且⊙O1经过⊙O2的圆心，则∠O1AB的度数为（　　）

A．45° B．30° C．20° D．15°
11．（2021九上·铁西期末）如图，AB是⊙O的直径，点C，D为⊙O上的点．若∠D＝120°，则∠CAB的度数为（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°
12．（2021九上·济宁月考）如图，四个边长为2的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O是小正方形顶点，⊙O的半径为2，P是⊙O上的点，且位于右上方的小正方形内，则∠APB等于（　　）

A．30° B．45° C．60° D．90°
13．（2021九上·温州月考）如图，点C，D是劣弧 AB 上两点，CD∥AB，∠CAB＝45°，若AB＝6，CD＝2，则 AB 所在圆的半径长为（　　）

A．17 B．165 C．2 3 D．10
14．（2021九上·福田期中）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，连接AE、DE，分别交BD、AC于点P、Q，过点P作PF⊥AE交CB的延长线于F，下列结论：
①∠AED+∠EAC+∠EDB＝90°，②AP＝FP，③AE＝ 102 AO，④若四边形OPEQ的面积为4，则该正方形ABCD的面积为36，⑤CE•EF＝EQ•DE．其中正确的结论有（　　）

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
15．（2021九上·西湖期中）如图，点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点，在以下判断中，不正确的是（　　）

A．当弦PB最长时，△APC是等腰三角形
B．当△APC是等腰三角形时，PO⊥AC
C．当PO⊥AC时，∠ACP＝30°
D．当∠ACP＝30°时，△BPC是直角三角形
16．（2021九上·拱墅期中）如图所示，半径为R的⊙O的弦AC＝BD，AC，BD交于点E，F为 BC 上一点，连结AF，BF，AB，AD，有下列结论：①AE＝BE；②若AC⊥BD，则AD＝ 2 R；③若AC⊥BD， CF ＝ CD ，AB＝ 2 ，则BF+CE＝1.其中正确的是（　　）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
17．（2021九上·河南期末）如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，连接CO，作AD // OC，若CO＝ 52 ，AC＝2，则AD＝（　　）

A．3 B．23 C．72 D．175
18．（2020九上·海安期中）如图，在△ABC中，

（1）作AB和BC的垂直平分线交于点O；（2）以点O为圆心，OA长为半径作圆；（3）⊙O分别与AB和BC的垂直平分线交于点M，N；（4）连接AM，AN，CM，其中AN与CM交于点P.根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论：
①BC ＝2 NC ；②AB＝2AM；③点P是△ABC的内心；④∠MON＋2∠MPN＝360°.
其中正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
19．（2020九上·郑州月考）如图，已知正方形ABCD的边长为4，点M和N分别从B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD向终点C、D运动，连接AM、BN，交于点P，连接PC，则PC长的最小值为（　　）

A．2 5 －2 B．2 C．3 5 －1 D．2 5
20．（2019九上·无锡月考）如图，AB是⊙o直径，M，N是 AB 上两点，C是 MN 上任一点，∠ACB角平分线交⊙o于点D，∠BAC的平分线交CD于点E，当点C从M运动到N时，C、E两点的运动路径长之比为(　　)

A．2 B．π2 C．32 D．52
二、填空题
21．（）如图，在⊙O中，点A在BC⏜上，∠BOC=100°，则∠BAC=　 　.

22．（2021九上·平谷期末）如图，在⊙O中，A，B，C是⊙O上三点，如果∠AOB=70º，那么∠C的度数为　 　．

23．（2021·五华模拟）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，对角线AC是⊙O的直径，AB=2，∠ADB=45°，则⊙O的半径长为　 　．

24．（2021九上·澄海期末）如图，CD是⊙O的直径，AB是弦，CD⊥AB于点E，若OA=5，AB=8，则AD的长为　 　．

25．（2021九上·南昌期末）如图，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC=32°，则∠OBA的度数是　 　

26．（2021九上·瑞安月考）如图所示，草坪边上有互相垂直的小路m,n，垂足为E，草坪内有一个圆形花坛，花坛边缘有A,B,C三棵小树。在不踩踏草坪的前提下测圆形花坛的半径，某同学设计如下方案：若在小路上P,Q,K三点观测，发现均有两树与观测点在同一直线上，从E点沿着小路n往右走，测得∠1=∠2=∠3，EO=16米，OK=24米；从E点沿着小路m往上走，测得EP=15米，BP⊥m，则该圆的半径长为　 　米.

27．（2021九上·湖州月考）已知AC、BD为⊙O的直径，连结AB，BC，AB＝BC，若点F是OC上一点，且CF＝2OF．点E是AB上一点（且不与点A、B重合），连结EF，设OB与EF交于点P．
①如图2，当点E为AB中点时，则 PEPF 的值　 　；
②连结DF，当EF⊥DF时， AEAB ＝　 　.

28．（2021九上·宁波期中）如图，半径为3的⊙O分别与x轴，y轴交于A，D两点，⊙O上两个动点B，C，使∠BAC＝60°恒成立，设△ABC的重心为G，则DG的最小值是　 　.

29．（2021九上·西湖期中）如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB＝30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点.若⊙O的半径为5，则GE+FH的最大值是　 　；此时 BHC 的长度是　 　.

30．（2021九上·锦江月考）如图，在正方形ABCD中，点O是对角线BD的中点，点P在线段OD上，连接AP并延长交CD于点E，过点P作PF⊥AP交BC于点F，连接AF、EF，AF交BD于G，现有以下结论：①AP＝PF；②DE+BF＝EF；③PB﹣PD＝ 2 BF；④S△AEF为定值；⑤S四边形PEFG＝S△APG，以上结论正确的有　 　（填入正确的序号）.

三、解答题
31．（2021九上·鹿城期中）已知：如图，⊙O中弦 AB=CD .求证：AD=BC.

32．（2020九上·惠城期末）如图，在⊙O中，半径OC垂直弦AB于D，点E在⊙O上，∠E＝22.5°，AB＝2．求半径OB的长．

33．（2021九上·黄埔期末）如图，AB、CD是⊙O的两条弦，AB＝CD，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E、F．求证：OE＝OF．

34．（2020九上·红桥期末）已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．

（Ⅰ）如图①，若BC为⊙O的直径，AB＝6，求AC，BD，CD的长；
（Ⅱ）如图②，若∠CAB＝60°，求BD的长．
35．（2019九上·温州月考）如图1，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在BC，BD上，且BE=1，过三点C，E，F作⊙O交CD于点G。

（1）证明∠EFG=90°．
（2）如图2，连结AF，当点F运动至点A，F，G三点共线时，求△ADF的面积。
（3）在点F整个运动过程中，
①当EF，FG，CG中满足某两条线段相等，求所有满足条件的BF的长。
②连接EG，若 EFFG=12 时，求⊙O的半径(请直接写出答案)。
36．如图1，在△ABC的外接圆⊙O中，AB=5是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为D，且CD=2，E为 AB 的中点．连接CE交AB于点P，其中AD>BD．

图1 图2
（1）连接OE，求证：OE⊥AB；
（2）若线段AD与BD的长分别是关于x的方程x2－(m+2)x+n－1=0的两个根，求m，n的值；
（3）如图2，过P点作直线l分别交射线CA，CB(点C除外)于点M，N，则 1CM+1CN 的值是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
37．（2017九上·哈尔滨期中）已知：在⊙O中，弦AC⊥弦BD，垂足为H，连接BC，过点D作DE⊥BC于点E，DE交AC于点F.

（1）如图1，求证：BD平分∠ADF；
（2）如图2，连接OC，若OC平分∠ACB，求证：AC=BC；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接AB，过点D作DN∥AC交⊙O于点N，若tan∠ADB= 34 ，AB=3 10 ，求DN的长.
38．（2017·滨州）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交△ABC的外接圆⊙O于点D，连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM=∠DAC．
（Ⅰ）求证：直线DM是⊙O的切线；
（Ⅱ）求证：DE2=DF•DA．


答案与解析
1．【答案】D
2．【答案】B
3．【答案】C
4．【答案】C
5．【答案】C
6．【答案】C
7．【答案】B
8．【答案】D
9．【答案】B
10．【答案】B
11．【答案】A
12．【答案】B
13．【答案】D
14．【答案】B
15．【答案】C
16．【答案】D
17．【答案】D
18．【答案】C
19．【答案】A
20．【答案】A
21．【答案】130°
22．【答案】35°
23．【答案】2
24．【答案】45
25．【答案】26°
26．【答案】253
27．【答案】32；13
28．【答案】10 -1
29．【答案】7.5，；5π或 103 π
30．【答案】①②③⑤
31．【答案】证明：∵AB=CD，
∴AB=CD ，
∴AD=AB−BD=CD−BD=BC ，
∴AD=BC .
【考点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】根据弦、弧的关系可得AB=CD，推出AD⌢=BC⌢，据此可得结论.
32．【答案】解：∵半径OC⊥弦AB于点D，
∴AC=BC，
∴∠E=12∠BOC=22.5°，
∴∠BOD=45°，
∴ΔODB是等腰直角三角形，
∵AB=2，
∴DB=OD=1，
∴OB=12+12=2．
【考点】勾股定理；圆周角定理
【解析】【分析】先利用圆周角的性质证明 ΔODB是等腰直角三角形，再利用勾股定理求出OB的长。
33．【答案】解：分别连接OA、OC，

∵AB＝CD，
∴AB＝CD，
∵OE⊥AB，OF⊥CD，
∴AE＝12 AB，CF＝12 CD，∠AEO＝∠CFO＝90°，
∴AE＝CF ，
又∵OA＝OC，
∴Rt△OAE≌Rt△OCF（HL），
∴OE＝OF．
【考点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】根据AB＝CD，可得AB=CD，再利用垂径定理可得AE＝12 AB，CF＝12 CD，∠AEO＝∠CFO＝90°，再利用“HL”证明Rt△OAE≌Rt△OCF，再利用全等三角形的性质可得OE=OF。
34．【答案】解：如图①，∵BC是⊙O的直径，

∴∠CAB＝∠BDC＝90°．
∵在直角△CAB中，BC＝10，AB＝6，
∴由勾股定理得到：AC＝ BC2−AB2=102−62=8
∵AD平分∠CAB，
∴CD=BD ，
∴CD＝BD．
在直角△BDC中，BC＝10，CD2+BD2＝BC2，
∴易求BD＝CD＝5 2 ；
（Ⅱ）如图②，连接OB，OD．

∵AD平分∠CAB，且∠CAB＝60°，
∴∠DAB＝ 12 ∠CAB＝30°，
∴∠DOB＝2∠DAB＝60°．
又∵OB＝OD，
∴△OBD是等边三角形，
∴BD＝OB＝OD．
∵⊙O的直径为10，则OB＝5，
∴BD＝5．
【考点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理
【解析】【分析】（1）利用圆周角定理可得∠CAB＝∠BDC＝90°，利用勾股定理求出AC的长，再利用圆心角、弧、弦的关系可得DC=BD，在等腰直角△BDC中利用勾股定理求出BD、CD即可；
（2）连接OB，OD，证明△OBD是等边三角形，从而得出BD＝OB＝OD=5．

35．【答案】（1）证明：连结 EG，

在正方形 ABCD 中，得∠C=90°
∴EG 为⊙O 的直径
∴∠EFG=90°
（2）解：如图，过F点作FN⊥AD，交BC于点M，

∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ADF=45°，MN=AD，
∴ND=NF，
∴AN=FM，
∵∠MFG=∠AFN，∠MFG+∠MFE=∠AFN+∠FAN，
∴∠MFE=∠FAN，
∴△AFN≌△FEM（AAS），
∴FN=AM，EM=FN，
设AN=x, 则ND=EM=BM-BE=x-1,
∵AN+ND=4，
∴x+x-1=4,
∴x=52,
∴FN=EM=BM-BE=52-1=32，
∴S△AFD=12AD×FN=12×4×32=3.
（3）①1）如图，当EF=FG时，过F作FH⊥BC，FI⊥CD，

∵∠EFH+∠HFG=∠IFG+∠HFG，
∴∠EFH=∠IFG，
∴△EHF≌△GIF（AAS），
∴FH=FI，
又∵FH=BH，
∴BH=FI=HC=2,
∴BF=2BH=22.
2）当CG=EF时，

∵EF=CG，
∴FG∥EC，
∵∠C=90°，
∴∠EFG=90°，∠FEC=90°，
∴四边形FECG为矩形，
又∵EF=BE，
∴BF=2BE=2.
3）当FG=CG，如图，过F点作FN⊥BC，

∵FG=CG，
∴∠FEG=CEG，
∵∠C=∠EFG=90°，
∴∠FGE=∠CGE，
∴EF=EC=BC-BE=4-1=3，
设EN=x,
则FN=BN=x+1,
∵EF2=FN2+EN2，
∴32=(x+1)2+x2,
解得x=17−12,
则BN=17−12+1=17+12，
BF=2EN=34+22.
②如图，作FH⊥EC，FK⊥CD，

△FKG∽△FHE，
∴EFFG=FHFK=EHGK=12,
设FH=k, 则FK=2k,
∴BH=FH=k,
∴BC=BH+HC=BH+FK=k+2k=4,
∴k=43,
∴CG=CK-KG=k-2(k-1)=2-k=2-43=23,
∴∴EG=EC2+CG2=32+(23)2=853，
∴r=856.
【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1） 连结 EG，由90°的圆周角所对的弦为直径，可知EG为圆O的直径，于是根据直径所对的圆周角是直角可得∠EFG=90° .
（2）如图，过F点作FN⊥AD，交BC于点M，利用正方形的性质，结合等角的余角相等，用角角边定理证明△AFN≌△FEN，∴FN=AM，EM=FN，设AN=x, 把ND用含x的代数式表示，根据AN+ND=4，求出x, 则FN可求，于是可求△ADF的面积.
（3） ① 分三种情况讨论，1）当EF=FG时，过F作FH⊥BC，FI⊥CD，利用角角边定理证明△EHF≌△GIF，则对应边FH=FI，BH=FI=HC=2, 于是BF的长度可求；当CG=EF时，易证四边形FECG为矩形，则BF=22BE；当FG=CG，过F点作FN⊥BC，根据同弧所对圆周角相等推得EF=EC，从而求出EF的长，于是利用勾股定理求出FN的长，则BF的长可求.
② 设FH=k, 根据相似的性质，把相关线段用含x的代数式表示，得出BC=k+2k=4, 求出k值，则CG的长度可求，从而利用勾股定理求出直径，则半径可知.
36．【答案】（1）证明：∵E为 AB 的中点，∴AE=BE∴∠AOE=∠BOE又∵AB是⊙O的直径∴∠AOB=180°
∴∠AOE=∠BOE=90°
∴OE⊥AB．
（2）∵AB是⊙O直径 ∴∠ACD+∠BCD=90°
∵CD⊥AB，∴∠CDB=∠ADC=90°
∴∠BCD+∠CBD=90°
∴∠ACD=∠CBD ∴△ACD∽△CBD
∴BDCD=CDAD ，即AD∙BD=CD2=4
又∵AB是⊙O直径，∴AD+BD=5
∵AD与BD的长分别是关于x的方程x2－(m+2)x+n－1=0的两个根。∴AD+BD=m+2=5，AD∙BD=n－1=4 ∴m=3，n=5
（3）1CM+1CN 的值是定值。 理由：过点P作PG⊥AC于点G，PF⊥CN于点F。∴∠PGM=∠ACB=∠PFN=90° ∵E为 AB 的中点 ∴∠ACP=∠NCP，即CE平分∠ACN
∵PG⊥AC，PF⊥CN ∴PG=PF
∵S△CMN=S△MPC+S△NPC ∴CM∙CN=PG(CM+CN)
∴CM+CNCM⋅CN=1PG 即 1CM+1CN=1PG∴1CM+1CN=1PG∴1CM+1CN 的值是定值. 由（2）知AD∙BD=CD2=4，AD+BD=5 ∵AD＞BD ∴AD=4，BD=1 在Rt△ADC和Rt△CDB中， AC=AD2+CD2=42+22=25 ， BC=BD2+CD2=12+22=5
∵S△ABC=S△APC+S△BPC= 12 PG（AC+BC）= 12 AC∙BC，
即 35 PG=10 ∴1PG=3510 ，即 1CM+1CN=1PG=3510
∴1CM+1CN 的值是定值，定值为 3510 。
【考点】一元二次方程的根；角平分线的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据等弧所对的圆心角相等得出∠AOE=∠BOE，根据邻补角的定义得出∠AOE=∠BOE=90°，从而得出结论；
（2）根据直径所对的圆周角是直角得出∠ACD+∠BCD=90°，根据直角三角形两锐角互余得出∠BCD+∠CBD=90°，根据同角的余角相等得出∠ACD=∠CBD ，进而判断出△ACD∽△CBD，根据相似三角形对应边成比例得出B D ∶C D = C D ∶A D，即AD∙BD=CD2=4 根据线段的和差得出AD+BD=5，然后根据根与系数的关系得出AD+BD=m+2=5，AD∙BD=n－1=4，从而得出m,n的值；
（3）是定值，理由如下 ：过点P作PG⊥AC于点G，PF⊥CN于点F，根据垂直的定义及直径所对的圆周角是直角得出∠PGM=∠ACB=∠PFN=90°，根据等弧所对的圆周角相等得出∠ACP=∠NCP，即CE平分∠ACN，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出PG=PF，根据S△CMN=S△MPC+S△NPC 得出CM∙CN=PG(CM+CN)，从而根据等式的性质得出结论； 由（2）知AD∙BD=CD2=4，AD+BD=5 又AD＞BD故AD=4，BD=1，在Rt△ADC和Rt△CDB中，根据勾股定理得出AC,BC的长度，根据S△ABC=S△APC+S△BPC= 12PG（AC+BC）= 12AC∙BC， 即 3 5PG=10 ，从而得出答案。
37．【答案】（1）解：因为弦AC⊥弦BD， DE⊥BC于点E，所以∠ACB+∠DBE＝∠BDE+∠DBE=90°，
所以∠ACB＝∠BDE，
又因为∠ACB=∠ADB，
所以∠BDE=∠ADB，
所以BD平分∠ADF
（2）解：连接OB，OA，则△AOC，△BOC是等腰三角形，所以∠OCB=∠OBC， ∠OAC=∠OCA，
又因为OC平分∠ACB，
所以∠OCB==∠OCA，
所以∠OBC=∠OAC，
在△AOC和△BOC中，
∠OCB＝∠OCA∠OBC＝∠OACOC=OC ，
所以△AOC≌△BOC，
所以AC=BC
（3）解：因为∠ACB=∠ADB，tan∠ADB= 34 ，所以tan∠ACB= 34 ，
所以 BHCH=34 ，可设BH=3x，CH=4x，
由勾股定理得：BC=5x，
则AC=5x，所以AH=x，
因为AB= 310 ，根据勾股定理得： AH2+BH2=AB2 ，
所以得： x2+(3x)2=(310)2 ， 10x2=90 ，解得：x=3，
所以BC=15，
设等腰△ACB底边AB上的高为h，由勾股定理可得： ℎ=9102 ，
根据相似三角形性质可得： BNBC=BCℎ ，
即 BN15=159102 ，解得BN= 510 ，
根据勾股定理可得：DN= BN2−BD2 = 250−169=9 .
【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）根据题意易知，∠ACB+∠DBE＝∠BDE+∠DBE=90°，可得∠ACB＝∠BDE，再利用同弧所对的圆周角相等可得∠ACB=∠ADB，等量代换可得∠BDE=∠ADB，可证BD平分∠ADF。
（2）连接OB，OA，易证△AOC，△BOC是等腰三角形，根据等腰三角形的性质可知∠OCB=∠OBC， ∠OAC=∠OCA，等量代换可得∠OBC=∠OAC，最后根据AAS判定△AOC≌△BOC，由全等三角形的性质可得AC=BC。
（3）由∠ACB=∠ADB，tan∠ADB= 34 ，可得tan∠ACB= 34，可设BH=3x，CH=4x，在Rt△AHB中利用勾股定理求得AH，BC，再根据勾股定理求得等腰△ACB底边AB上的高，根据相似三角形求得BN，再由勾股定理求得DN即可。
38．【答案】解：（Ⅰ）如图所示，连接OD，
∵点E是△ABC的内心，
∴∠BAD=∠CAD，
∴ BD = CD ，
∴OD⊥BC，
又∵∠BDM=∠DAC，∠DAC=∠DBC，
∴∠BDM=∠DBC，
∴BC∥DM，
∴OD⊥DM，
∴直线DM是⊙O的切线；
（Ⅱ）如图所示，连接BE，
∵点E是△ABC的内心，
∴∠BAE=∠CAE=∠CBD，∠ABE=∠CBE，
∴∠BAE+∠ABE=∠CBD+∠CBE，
即∠BED=∠EBD，
∴DB=DE，
∵∠DBF=∠DAB，∠BDF=∠ADB，
∴△DBF∽△DAB，
∴ DFDB = DBDA ，即DB2=DF•DA，
∴DE2=DF•DA．