2022年北京中考数学一轮复习系列训练——（05）三角形（五年模拟）

这是一份2022年北京中考数学一轮复习系列训练——（05）三角形（五年模拟），共66页。试卷主要包含了若相似三角形的相似比为1等内容，欢迎下载使用。

2022年北京中考数学一轮复习系列训练——（05）三角形（三年模拟）
一．选择题（共11小题）
1．如图，在△ABC中，BC边上的高是（　　）

A．CD B．AE C．AF D．AH
2．一副三角板如图放置，斜边互相平行，且每个三角板的直角顶点都在另一个三角板的斜边上，在图中所标记的角中，与∠1相等的角是（　　）

A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5
3．如图，∠B＝43°，∠ADE＝43°，∠AED＝72°，则∠C的度数为（　　）

A．72° B．65° C．50° D．43°
4．如图，AB∥CD，∠A＝100°，∠BCD＝50°，∠ACB的度数为（　　）

A．25° B．30° C．45° D．50°
5．如图，在△ABC中，DE∥BC，若AD＝2，AB＝3，则等于（　　）

A． B． C． D．
6．若相似三角形的相似比为1：4，则面积比为（　　）
A．1：16 B．16：1 C．1：4 D．1：2
7．如图，AB∥CD，EF分别与AB，CD交于点B，F．若∠E＝50°，∠EFC＝110°，则∠A的度数为（　　）

A．20° B．30° C．40° D．50°
8．如图，直线l1∥l2，点A，C，D分别是l1，l2上的点，且CA⊥AD于点A，若∠ACD＝30°，则∠1度数为（　　）

A．30° B．50° C．60° D．70°
9．如图，l1∥l2，点O在直线l1上，将三角板的直角顶点放在点O处，三角板的两条直角边与l2交于A，B两点，若∠1＝35°，则∠2的度数为（　　）

A．35° B．45° C．55° D．65°
10．如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，则以下两个角的关系中不成立的是（　　）

A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠2 C．∠4＝∠5 D．∠4＝∠C
11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则sinA的值为（　　）

A． B． C． D．
二．填空题（共29小题）
12．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C是网格线交点，那么∠BAC+∠ACB＝　 　°．

13．利用热气球探测建筑物高度（如图所示），热气球与建筑物的水平距离AD＝100m，则这栋建筑物的高度BC约为　 　m（≈1.4，≈1.7，结果保留整数）．

14．如图，△ABC中，BC＞BA，点D是边BC上的一个动点（点D与点B，C不重合），若再增加一个条件，就能使△ABD与△ABC相似，则这个条件可以是　 　（写出一个即可）．

15．如图，点A，F，C，D在同一条直线上，BC∥EF，AC＝FD，请你添加一个条件　 　，使得△ABC≌△DEF．

16．将一副直角三角板如图摆放，点A落在DE边上，AB∥DF，则∠1＝　 　°．

17．如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线的交点，那么∠DAC与∠ACB的大小关系为：∠DAC　 　∠ACB（填“＞”，“＝”或“＜”）．

18．将一副三角板如图摆放，斜边AB与直角边DE相交于点F，则∠BFE＝　 　．

19．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，则△ABC的面积与△ADB的面积大小关系为：S△ABC　 　S△ADB（填“＞”“＝”或“＜”）．

20．如图，∠1＝∠2，只需添加一个条件即可证明△ABC≌△BAD，这个条件可以是　 　（写出一个即可）．

21．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D，E，F是网格线的交点，则△ABC的面积与△DEF的面积比为　 　．

22．如图，点A，D，B，E在同一条直线上，AD＝BE，AC＝EF，要使△ABC≌△EDF，只需添加一个条件，这个条件可以是　 　．

23．如图，直线l为线段AB的垂直平分线，垂足为C，直线l上的两点E，F位于AB异侧（E，F两点不与点C重合）．只需添加一个条件即可证明△ACE≌△BCF，这个条件可以是　 　．

24．如图，小石同学在A，B两点分别测得某建筑物上条幅两端C，D两点的仰角均为60°，若点O，A，B在同一直线上，A，B两点间距离为3米，则条幅的高CD为　 　米（结果可以保留根号）．

25．如图所示的网格是正方形网格，A，B，C是网格线的交点，则∠ABC与∠ACB的大小关系为：∠ABC　 　∠ACB（填“＞”，“＝”或“＜”）．

26．如图所示，在正方形网格中，点A，B，C，D为网格线的交点，线段AC与BD交于点O，则△ABO的面积与△CDO面积的大小关系为：S△ABO　 　S△CDO（填“＞”，“＝”或“＜”）．

27．如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点，则∠BAC与∠DAC的大小关系为：∠BAC　 　∠DAC（填“＞”，“＝”或“＜”）．

28．如图，AE平分∠CAD，点B在射线AE上，若使△ABC≌△ABD，则还需添加的一个条件是　 　（只填一个即可）．

29．如图所示的网格是正方形网格，则∠BAC+∠CDE＝　 　（点A，B，C，D，E是网格线交点）．

30．如图，在四边形ACBD中，∠ACB＝90°，AB＝AD，E是BD中点，过点E作EF∥AD交AB于点F，连接CF．请写出关于边、角的两条正确结论（不包括已知条件）：
①　 　；
②　 　．

31．如图所示的网格是正方形网格，A，B，C是网格线交点，则∠ABC+∠BAC＝　 　°．

32．如图，在△ABC和△ADC中，AB⊥BC，AD⊥DC，只需添加一个条件即可证明△ABC≌△ADC，这个条件可以是　 　（写出一个即可）．

33．如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点，则△ABO的面积与△CDO的面积的大小关系为：S△ABO　 　S△CDO（填“＞”，“＝”或“＜”）．

34．如图所示，∠MON是放置在正方形网格中的一个角，则tan∠MON的值是　 　．

35．如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点，则△ABC与△DBC面积的大小关系为：S△ABC　 　S△DBC（填“＞”，“＝”或“＜”）．

36．将一副三角板按如图所示的方式放置，则∠1的大小为　 　．

37．如图所示的网格是正方形网格，A，B，C是网格线的交点，D，E是AC，BC分别与网格线的交点，若小正方形的边长为1，则DE的长为　 　．

38．如图，小亮从一盏9米高的路灯下B处向前走了8米到达点C处时，发现自己在地面上的影子CE是2米，则小亮的身高DC为 　 　米．

39．如图所示的正方形网格内，点A，B，C，D，E是网格线交点，那么∠ECD+∠EDC＝　 　°．

40．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，若DE＝2cm，则BC＝　 　cm．

三．解答题（共18小题）
41．阅读材料并解决问题：
已知：如图，∠AOB及内部一点P．
求作：经过点P的线段EF，使得点E，F分别在射线OA，OB上，且OE＝OF．
作法：如图．
①以点O为圆心，以任意长为半径作弧，分别交射线OA，OB于点M，N；
②连接NP，作线段NP的垂直平分线，得到线段NP的中点C；
③连接MC并在它的延长线上截取CD＝MC；
④作射线DP，分别交射线OB，OA于点F，E．线段EF就是所求作的线段．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明证明：连接MN．
由②得，线段CN　 　CP（填“＞”，“＝”或“＜”）．
在△MCN和△DCP中，
，
∴△MCN≌△DCP．
∴∠NMC＝∠PDC．
∴MN∥EF（　 　）（填推理的依据）．
又由①得，线段OM＝ON．
可得OE＝OF．
42．已知：如图1，在△ABC中，∠CAB＝60°．求作：射线CP，使得CP∥AB．
下面是小明设计的尺规作图过程．
作法：如图2，
①以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AC，AB于D，E两点；
②以点C为圆心，AD长为半径作弧，交AC的延长线于点F；
③以点F为圆心，DE长为半径作弧，两弧在∠FCB内部交于点P；
④作射线CP．所以射线CP就是所求作的射线．
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：连接FP，DE．
∵CF＝AD，CP＝AE，FP＝DE．
∴△ADE≌△　 　，
∴∠DAE＝∠　 　，
∴CP∥AB（　 　）（填推理的依据）．

43．下面是小明同学设计的“作一个角等于已知角的2倍”的尺规作图过程．
已知：∠AOB．
求作：∠ADC，使∠ADC＝2∠AOB．
作法：如图，
①在射线OB上任取一点C；
②作线段OC的垂直平分线，交OA于点D，交OB于点E，连接DC．
所以∠ADC即为所求的角．
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面证明（说明：括号里填写作图依据）．
证明：∵DE是线段OC的垂直平分线，
∴OD＝　 　（　 　），
∴∠AOB＝　 　（　 　），
∵∠ADC＝∠AOB+∠DCO，
∴∠ADC＝2∠AOB．

44．已知：如图，点C在∠MON的边OM上．
求作：射线CD，使CD∥ON，且点D在∠MON的角平分线上．
作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线OM，ON于点A，B；②分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，交于点Q；③画射线OQ；④以点C为圆心，CO长为半径画弧，交射线OQ于点D；⑤画射线CD．射线CD就是所求作的射线．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明：
∵OD平分∠MON，
∴∠MOD＝　 　．
∵OC＝CD，
∴∠MOD＝　 　．
∴∠NOD＝∠CDO．
∴CD∥ON（　 　）（填推理的依据）．

45．已知：直线l和l外一点P．求作：直线l的垂线，使它经过点P．
作法：①在直线l上任取两点A、B；
②分别以点A、B为圆心，AP，BP长为半径作弧，在直线l下方两弧交于点C；③作直线PC．所以直线PC为所求作的垂线．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连结AP、AC、BP、BC．
∵AP＝AC，BP＝BC，AB＝AB，
∴△APB≌△ACB　 　（填推理依据）．
∴∠PAB＝∠CAB，
∴PC⊥AB　 　（填推理依据）．

46．如图，在△ABC中，点D是线段AB的中点．
求作：线段DE，使得点E在线段AC上，且DE＝BC．
作法：①分别以点A，C为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧相交于点M，N两点；
②作直线MN，交AC于点E；
③连接DE．
所以线段DE即为所求的线段．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵AM＝CM，AN＝CN，
∴MN是AC的垂直平分线（　 　）．（填推理的依据）
∴点E是AC的中点．
∵点D是AB的中点，
∴DE＝BC（　 　）．（填推理的依据）

47．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．
求作：线段CD，使得点D在线段AB上，且CD＝AB．
作法：①分别以点A，B为圆心，大于AB长为半径作弧，两弧相交于点M，N两点；
②作直线MN，交AB于点D；
③连接CD．
所以线段CD即为所求的线段．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵AM＝BM，AN＝BN，
∴MN是AB的垂直平分线（ 　 　）．（填推理的依据）
∴点D是AB的中点．
∵∠C＝90°
∴CD＝AB（ 　 　）．（填推理的依据）

48．下面是小玲同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：如图1，直线l和直线l外一点P．求作：直线PM，使直线PM∥直线l．
作法：如图2，
①在直线l上任取一点A，作射线AP；
②以P为圆心，PA为半径作弧，交直线l于点B，
连接PB；
③以P为圆心，PB长为半径作弧，交射线AP于点C；分别以B，C为圆心，大于长为半径作弧，
在AC的右侧两弧交于点M；
④作直线PM；
所以直线PM就是所求作的直线．
根据上述作图过程，回答问题：
（1）用直尺和圆规，补全图2中的图形；
（2）完成下面的证明：
证明：由作图可知PM平分∠CPB，
∴∠CPM＝∠　 　＝∠CPB．
又∵PA＝PB，
∴∠PAB＝∠PBA．（　 　）（填依据）．
∵∠CPB＝∠PAB+∠PBA，
∴∠PAB＝∠PBA＝∠CPB．
∴∠CPM＝∠PAB．
∴直线PM∥直线l．（　 　）（填依据）．

49．已知：如图Rt△ABC中，∠ACB＝90°．
求作：点P，使得点P在AC上，且点P到AB的距离等于PC．
作法：
①以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交射线BA，BC于点D，E；
②分别以点D，E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠ABC内部交于点F；
③作射线BF交AC于点P．
则点P即为所求．
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面证明
证明：连接DF，FE
在△BDF和△BEF中，
，
∴△BDF≌△BEF．
∴∠ABF＝∠CBF（　 　）（填推理的依据）．
∵∠ACB＝90°，点P在AC上，
∴PC⊥BC．
作PQ⊥AB于点Q．
∵点P在BF上，
∴PC＝　 　（　 　）（填推理的依据）．

50．已知，如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC于D，E是BC延长线上的一点，DB＝DE．求∠E的度数．

51．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，直线l过点A．点B与点D关于直线l对称，连接AD，CD．求证：∠ACD＝∠ADC．

52．已知：如图，在△ABC和△DEF中，点B、E、C、F四点在一条直线上，且BE＝CF，AB＝DE，∠B＝∠DEF．
求证：△ABC≌△DEF．

53．已知：如图，AB与CD交于点E，点E是线段AB的中点，∠A＝∠B．求证：AC＝BD．

54．如图，AB＝AD，AC＝AE，∠BAE＝∠DAC．求证：∠C＝∠E．

55．如图，C为∠AOB平分线上一点，CD∥OB交OA于点D．
求证：OD＝CD．

56．如图，AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，∠D＝70°，求∠B的度数．

57．已知：如图，AB＝DE，AF＝DC，请补充一个条件可以得到BC＝EF．
补充的条件：　 　．

58．如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB∥DE，AB＝DE，BE＝CF．求证：∠A＝∠D．


2022年北京中考数学一轮复习系列训练——（05）三角形（五年模拟）
参考答案与试题解析
一．选择题（共11小题）
1．如图，在△ABC中，BC边上的高是（　　）

A．CD B．AE C．AF D．AH
【分析】根据三角形的高的概念解答．
【解答】解：∵AF⊥BC，
∴BC边上的高是AF，
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
2．一副三角板如图放置，斜边互相平行，且每个三角板的直角顶点都在另一个三角板的斜边上，在图中所标记的角中，与∠1相等的角是（　　）

A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5
【分析】根据平行线的性质逐项进行判断即可得到结论．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠1＝∠2，
故A符合题意；
∵AB与BF不平行，
故B不符合题意；
∵∠1＝∠2＝45°，∠4＝30°，
∴∠1≠∠4，
故C不符合题意；
∵AF与ED不平行，
∴∠1≠∠5，
故D不符合题意；
故选：A．

【点评】此题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
3．如图，∠B＝43°，∠ADE＝43°，∠AED＝72°，则∠C的度数为（　　）

A．72° B．65° C．50° D．43°
【分析】由∠ADE＝∠B，得出DE∥BC，由平行线的性质即可得出答案．
【解答】解：∵∠B＝43°，∠ADE＝43°，
∴∠B＝∠ADE，
∴DE∥BC，
∴∠C＝∠AED，
∵∠AED＝72°，
∴∠C＝72°，
故选：A．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
4．如图，AB∥CD，∠A＝100°，∠BCD＝50°，∠ACB的度数为（　　）

A．25° B．30° C．45° D．50°
【分析】根据平行线性质即可求解．
【解答】解：∵AB∥CD，∠A＝100°．
∴∠A+∠ACD＝180°．
∴∠ACD＝80°．
∵∠BCD＝50°．
∴∠ACB＝∠ACD﹣BCD＝30°．
故选：B．
【点评】本题考查平行线性质，关键在于熟悉两直线平行，同旁内角互补．属于基础题．
5．如图，在△ABC中，DE∥BC，若AD＝2，AB＝3，则等于（　　）

A． B． C． D．
【分析】直接利用平行线分线段成比例定理求解．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴＝＝．
故选：D．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
6．若相似三角形的相似比为1：4，则面积比为（　　）
A．1：16 B．16：1 C．1：4 D．1：2
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答．
【解答】解：两个相似三角形的相似比为1：4，相似三角形面积的比等于相似比的平方是1：16．
故选：A．
【点评】本题考查对相似三角形性质的理解，相似三角形面积的比等于相似比的平方．
7．如图，AB∥CD，EF分别与AB，CD交于点B，F．若∠E＝50°，∠EFC＝110°，则∠A的度数为（　　）

A．20° B．30° C．40° D．50°
【分析】直接利用平行线的性质得出∠ABF＝70°，进而利用三角形外角的性质得出答案．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ABF+∠EFC＝180°，
∵∠EFC＝110°，
∴∠ABF＝70°，
∵∠A+∠E＝∠ABF＝70°，∠E＝50°，
∴∠A＝20°．
故选：A．
【点评】此题主要考查了平行线的性质以及三角形的外角性质，正确得出∠ABF＝70°是解题关键．
8．如图，直线l1∥l2，点A，C，D分别是l1，l2上的点，且CA⊥AD于点A，若∠ACD＝30°，则∠1度数为（　　）

A．30° B．50° C．60° D．70°
【分析】首先根据l1∥l2，可得∠1＝∠ADC，再根据∠ACD＝30°，CA⊥AD，可得1＝60°．
【解答】解∵l1∥l2．
∴∠1＝∠ADC．
∵CA⊥AD，∠ACD＝30°．
∴∠ADC＝90°﹣30°＝60°．
∴∠1＝60°．
故选：C．
【点评】本题考查平行线的判定和性质，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
9．如图，l1∥l2，点O在直线l1上，将三角板的直角顶点放在点O处，三角板的两条直角边与l2交于A，B两点，若∠1＝35°，则∠2的度数为（　　）

A．35° B．45° C．55° D．65°
【分析】利用平角的定义求出∠COB的度数，利用平行线的性质可得∠2＝∠COB，结论可得．
【解答】解：如图，

∵∠1＝35°，∠AOB＝90°，
∴∠COB＝180°﹣∠1﹣∠AOB＝55°．
∵l1∥l2，
∴∠2＝∠COB＝55°．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线的性质定理，平角和直角的定义．利用平角的定义求出∠COB的度数是解题的关键．
10．如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，则以下两个角的关系中不成立的是（　　）

A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠2 C．∠4＝∠5 D．∠4＝∠C
【分析】由AB＝AC，AD⊥BC可得AD平分∠BAC，判断出∠1＝∠2，再根据AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，可知∠ADC＝∠BEC＝90°，可判断出B与D正确．
【解答】解：∵△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，
∴AD平分∠BAC，
∴∠1＝∠2，
故A正确，不符合题意；
∵AD⊥BC于D，BE⊥AC，
∴∠ADC＝∠BEC，
∵∠C＝∠C，
∴∠3＝∠2，
故B正确，不符合题意；
∵∠4是△ABF的外角，
∴∠4≠∠5，
故C错误，符合题意；
在Rt△AEF中，∠4＝90°﹣∠2，
在Rt△ADC中，∠C＝90°﹣∠2，
∴∠4＝∠C，
故D正确，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质，以及三角形内角和定理，属于基础题．
11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则sinA的值为（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据勾股定理求出AB，根据正弦的定义计算，得到答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
由勾股定理得，AB＝＝5，
∴sinA＝＝，
故选：D．
【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义、勾股定理的应用，掌握锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦是解题的关键．
二．填空题（共29小题）
12．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C是网格线交点，那么∠BAC+∠ACB＝　135　°．

【分析】根据勾股定理求出AB，根据勾股定理的逆定理求出∠AOB＝90°，求出∠DAC+∠DCA＝90°，再求出答案即可．
【解答】解：设小正方形的边长是1，则AO＝BO＝3，

∵AB＝＝3，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠OAB＝∠OBA＝45°，
∵∠ADC＝90°，
∴∠DAC+∠DCA＝90°，
∴∠BAC+∠ACB＝180°﹣∠OAB﹣∠DAC+90°﹣∠DCA
＝180°+90°﹣45°﹣90°
＝135°，
故答案为：135．
【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理和等腰直角三角形的性质和判定等知识点，能熟记勾股定理和勾股定理的逆定理是解此题的关键．
13．利用热气球探测建筑物高度（如图所示），热气球与建筑物的水平距离AD＝100m，则这栋建筑物的高度BC约为　270　m（≈1.4，≈1.7，结果保留整数）．

【分析】在Rt△ABD中，根据正切函数求得BD＝AD•tan∠BAD，在Rt△ACD中，求得CD＝AD•tan∠CAD，再根据BC＝BD+CD，代入数据计算即可．
【解答】解：如图，在Rt△ABD中，AD＝100m，∠BAD＝45°，
∴BD＝AD＝100（m），
在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，
∴CD＝AD•tan60°＝100（m），
∴BC＝BD+CD＝100+100≈270（m）
答：该建筑物的高度BC约为270m．
故答案为：270．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．此题难度适中，注意能借助仰角或俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键．
14．如图，△ABC中，BC＞BA，点D是边BC上的一个动点（点D与点B，C不重合），若再增加一个条件，就能使△ABD与△ABC相似，则这个条件可以是　∠BAD＝∠C或∠BDA＝∠BAC或　（写出一个即可）．

【分析】由于△ABD与△ABC有公共角∠B，若根据有两组角对应相等的两个三角形相似，可添加∠BAD＝∠C或∠BDA＝∠BAC；若根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，则可添加．
【解答】解：∵∠ABD＝∠CBA，
∴当∠BAD＝∠C时，△BAD∽△BCA；
当∠BDA＝∠BAC时，△BAD∽△BCA；
当时，△BAD∽△BCA．
故答案为∠BAD＝∠C或∠BDA＝∠BAC或．
故答案为∠BAD＝∠C或∠BDA＝∠BAC或．
【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．
15．如图，点A，F，C，D在同一条直线上，BC∥EF，AC＝FD，请你添加一个条件　BC＝EF或∠B＝∠E或∠A＝∠D（答案不唯一）　，使得△ABC≌△DEF．

【分析】由全等三角形的判定定理可求解．
【解答】解：∵BC∥EF，
∴∠BCA＝∠EFD，
若添加BC＝EF，且AC＝FD，由“SAS”可证△ABC≌△DEF；
若添加∠B＝∠E，且AC＝FD，由“AAS”可证△ABC≌△DEF；
若添加∠A＝∠D，且AC＝FD，由“ASA”可证△ABC≌△DEF；
故答案为：BC＝EF或∠B＝∠E或∠A＝∠D（答案不唯一）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键．
16．将一副直角三角板如图摆放，点A落在DE边上，AB∥DF，则∠1＝　75　°．

【分析】根据平行线的性质可得∠2的度数，再利用外角的性质可得∠1．
【解答】解：如图：

∵AB∥DF，
∴∠2＝∠F＝45°．
由外角的性质可得：∠1＝∠CAB+∠F，
∴∠1＝30°+45°＝75°．
故答案为：75．
【点评】本题考查平行线的性质和三角形外角的性质，得出∠2的度数是解题关键．
17．如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线的交点，那么∠DAC与∠ACB的大小关系为：∠DAC　＞　∠ACB（填“＞”，“＝”或“＜”）．

【分析】把∠DAC和∠ACB分别拆分成两个角的和，再进行比较．
【解答】解：如图，

由图形可知，AE∥CF，
∴∠EAC＝∠ACF，
∵tan∠DAE＝，
tan∠BCF＝，
∴∠DAE＞∠BCF，
又∵∠DAC＝∠DAE+∠EAC，∠ACB＝∠ACF+∠BCF，
∴∠DAC＞∠ACB．
故答案为：＞．
【点评】本题主要考查角度的和差计算，角度的正切值等；利用背景图形去判断角度大小是常见的一种做题方法．
18．将一副三角板如图摆放，斜边AB与直角边DE相交于点F，则∠BFE＝　60°　．

【分析】根据已知条件得到∠DAE＝∠E＝45°，∠CAF＝30°，根据角的和差得到∠EAF＝∠DAE﹣∠DAF＝15°，由外角的性质即可得到结论．
【解答】解：∵∠DAE＝∠E＝45°，∠CAF＝30°，
∴∠EAF＝∠DAE﹣∠DAF＝15°，
∴∠BFE＝∠FAE+∠E＝15°+45°＝60°，
故答案为：60°．
【点评】本题考查了三角形外角的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键．
19．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，则△ABC的面积与△ADB的面积大小关系为：S△ABC　＝　S△ADB（填“＞”“＝”或“＜”）．

【分析】根据勾股定理逆定理证明△ABC是直角三角形，然后分别求出△ABC的面积和△ABD的面积，即可求解．
【解答】解：∵AB2＝8，BC2＝2，AC2＝10，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴S△ABC＝××2＝2，S△ABD＝×2×2＝2，
∴S△ABC＝S△ABD，
故答案为：＝．
【点评】本题考查了三角形的面积，勾股定理逆定理，掌握三角形的面积公式是本题的关键．
20．如图，∠1＝∠2，只需添加一个条件即可证明△ABC≌△BAD，这个条件可以是　∠C＝∠D或∠CAB＝∠DBA或AD＝BC（答案不唯一）　（写出一个即可）．

【分析】根据∠1＝∠2和公共边AB，进而由全等三角形的判定定理可求解．
【解答】解：添加∠C＝∠D或∠CAB＝∠DBA或AD＝BC，
若添加∠C＝∠D，且AB＝AB，由“AAS”可证△ABC≌△BAD；
若添加∠CAB＝∠DBA，且AB＝AB，由“ASA”可证△ABC≌△BAD；
若添加AD＝BC，且AB＝AB，由“SAS”可证△ABC≌△BAD；
故答案为：∠C＝∠D或∠CAB＝∠DBA或AD＝BC（答案不唯一）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键．
21．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D，E，F是网格线的交点，则△ABC的面积与△DEF的面积比为　1：4　．

【分析】△ABC∽△DEF，只需求出其相似比，平方即得两三角形面积比．
【解答】解：如图，设正方形网格中小方格的边长为1，
则有AB＝1，BC＝，DE＝2，EF＝2，∠ABC＝∠DEF＝135°，
∴，
∴△ABC∽△DEF，
∴S△ABC：S△DEF＝（1：2）2＝1：4，
故答案为：1：4．
【点评】本题考查相似三角形面积比与相似比的关系，关键是判断两三角形相似，确定其相似比．
22．如图，点A，D，B，E在同一条直线上，AD＝BE，AC＝EF，要使△ABC≌△EDF，只需添加一个条件，这个条件可以是　BC＝DF（答案不唯一）　．

【分析】根据全等三角形的判定方法可以由SSS证明△ABC≌△EDF．
【解答】解：添加BC＝DF．
∵AD＝BE，
∴AD+DB＝BE+BD，
∴AB＝ED，
在△ABC和△EDF中，
，
∴△ABC≌△EDF（SSS），
故答案为：BC＝DF（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握SSS，SAS证明两个三角形全等，此题难度不大．
23．如图，直线l为线段AB的垂直平分线，垂足为C，直线l上的两点E，F位于AB异侧（E，F两点不与点C重合）．只需添加一个条件即可证明△ACE≌△BCF，这个条件可以是　∠A＝∠B（答案不唯一）　．

【分析】本题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要符合全等三角形的判定定理即可．
【解答】解：条件可以是∠A＝∠B，
理由是：∵直线l是线段AB的垂直平分线，
∴AC＝BC，
在△ACE和△BCF中
，
∴△ACE≌△BCF（ASA），
故答案为：∠A＝∠B（答案不唯一）．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质和全等三角形的判定定理，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．
24．如图，小石同学在A，B两点分别测得某建筑物上条幅两端C，D两点的仰角均为60°，若点O，A，B在同一直线上，A，B两点间距离为3米，则条幅的高CD为　3　米（结果可以保留根号）．

【分析】根据题意和锐角三角函数可以得到CD的长，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
∠CAO＝∠DBO＝60°，∠COA＝∠DOB＝90°，
∵tan∠CAO＝，tan∠DBO＝，
∴tan60°＝，tan60°＝，
∴OC＝OA，（OA+3）＝OC+CD，
∴（OA+3）＝OA+CD，
解得CD＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角、俯角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
25．如图所示的网格是正方形网格，A，B，C是网格线的交点，则∠ABC与∠ACB的大小关系为：∠ABC　＜　∠ACB（填“＞”，“＝”或“＜”）．

【分析】在线段CB上找出点N，使CN＝BM，可得AM＝DN，则△ABM≌△DCN，由全等三角形的性质得∠ABC＝∠DCN，根据∠ACB＝∠DCN+∠ACD，即可得出结论．
【解答】解：在线段CB上找出点N，使CN＝BM，

∵网格是正方形网格，
∴CN＝BM，AM＝DN，∠CND＝∠BMA＝90°，
在△ABM和△DCN中，
，
∴△ABM≌△DCN（SAS），
∴∠ABC＝∠DCN，
∵∠ACB＝∠DCN+∠ACD，
∴∠ABC＜∠ACB．
故答案为：＜．
【点评】本题主要考查角的和差计算，全等三角形的判定和性质等；利用背景图形去判断角度大小是常见的一种做题方法．
26．如图所示，在正方形网格中，点A，B，C，D为网格线的交点，线段AC与BD交于点O，则△ABO的面积与△CDO面积的大小关系为：S△ABO　＝　S△CDO（填“＞”，“＝”或“＜”）．

【分析】由图形可知AD∥BC，可得△ABC的面积＝△BCD的面积＝，进而可得S△ABO＝S△CDO．
【解答】解：如图，

由图形可知，，∠AEB＝∠BFC＝90°，
∴△ABE∽△BCF，
∴∠ABE＝∠BCF，
∵∠BCF+∠CBF＝90°，
∴∠ABE+∠CBF＝90°，
∴∠ABC＝90°，
同理可得∠BAD＝90°，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∴AD∥BC，
∴S△ABC＝S△BCD，
∴S△ABC﹣S△OBC＝S△BCD﹣S△OBC，
∴S△ABO＝S△CDO．
故答案为：＝．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定，同底等高的三角形面积相等，观察图形得出AD∥BC是解题关键．
27．如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点，则∠BAC与∠DAC的大小关系为：∠BAC　＝　∠DAC（填“＞”，“＝”或“＜”）．

【分析】根据每个小网格都为正方形，设每个网格为1，由勾股定理可以求出AD、AC、CD，再由勾股定理的逆定理得到△ACD为等腰直角三角形，同理△ABC为等腰直角三角形，即∠BAC＝∠DAC．
【解答】解：如图：
设正方形每个网格的边都为1，连接CD、BC，

则AD＝＝，
CD＝＝，
AC＝＝，
∵AD2+CD＝（）2+（）2＝10，
AC2＝（）2＝10，
∴AD2+CD2＝AC2，
∵AD＝CD，
∴△ACD为等腰直角三角形，
∴∠CAD＝45°，
同理：BC2＝32+12＝10，
AC2＝10，
AB2＝42+22＝20，
∵AC＝BC，
∴BC2+AC2＝20，
∴AB2＝BC2+AC2，
即△ACB为等腰直角三角形，
∴∠BAC＝45°，
即∠BAC＝∠DAC，
故答案为：＝
【点评】本题考查勾股定理的性质及勾股定理的逆定理，解本题的关键要掌握勾股定理及逆定理的基本知识．
28．如图，AE平分∠CAD，点B在射线AE上，若使△ABC≌△ABD，则还需添加的一个条件是　AC＝AD（答案不唯一）　（只填一个即可）．

【分析】根据全等三角形的判定方法得出答案．
【解答】解：∵AE平分∠CAD，
∴∠CAB＝∠DAB，
若添加AC＝AD，
在△ABC和△ABD中，
，
∴△ABC≌△ABD（SAS），
若添加∠C＝∠D，
在△ABC和△ABD中，
，
∴△ABC≌△ABD（AAS），
若添加∠ABC＝∠ABD，
在△ABC和△ABD中，
，
∴△ABC≌△ABD（ASA），
故答案为：AC＝AD（答案不唯一）．
【点评】此题考查全等三角形的判定，关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．
29．如图所示的网格是正方形网格，则∠BAC+∠CDE＝　45°　（点A，B，C，D，E是网格线交点）．

【分析】设小正方形的边长是1，连接AD，根据勾股定理求出AD、CD、AC的长度，求出AD＝CD，AD2+CD2＝AC2，根据勾股定理的逆定理得出∠ADC＝90°，再求出答案即可．
【解答】解：设小正方形的边长是1，连接AD，

∵AD＝＝，CD＝＝，AC＝＝，
∴AD＝CD，AD2+CD2＝AC2，
∴∠ADC＝90°，
即△ADC是等腰直角三角形，
∴∠DAC＝∠DCA＝45°，
∵AB∥DE，
∴∠BAC+∠DAC+∠CDE＝180°，
∴∠BAC+∠CDE＝45°，
故答案为：45°．
【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定和性质等知识点，能灵活运用勾股定理和勾股定理的逆定理进行计算和推理是解此题的关键．
30．如图，在四边形ACBD中，∠ACB＝90°，AB＝AD，E是BD中点，过点E作EF∥AD交AB于点F，连接CF．请写出关于边、角的两条正确结论（不包括已知条件）：
①　BF＝EF　；
②　∠BFE＝∠BAD　．

【分析】①由等边对等角得到∠D＝∠ABD，再由两直线平行，同位角相等得到∠D＝∠BEF，即得∠ABD＝∠BEF，由等角对等边即得结果；
②由两直线平行，同位角相等即可的结果．
【解答】解：①∵AB＝AD，
∴∠D＝∠ABD，
∵EF∥AD，
∴∠D＝∠BEF，
∴∠ABD＝∠BEF，
∴BF＝EF．
②∵EF∥AD，
∴∠BFE＝∠BAD．
故答案为：BF＝EF；∠BFE＝∠BAD．
【点评】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质是解题的关键．
31．如图所示的网格是正方形网格，A，B，C是网格线交点，则∠ABC+∠BAC＝　45　°．

【分析】根据等腰三角形的性质求出∠ACO＝∠OAC＝45°，根据三角形的外角性质得出∠ABC+∠BAC＝∠ACO，再求出答案即可．
【解答】解：设小正方形的边长是1，则AO＝CO＝3，

所以△AOC是等腰直角三角形，
∴∠ACO＝∠OAC＝45°，
∵∠ABC+∠BAC＝∠ACO，
∴∠ABC+∠BAC＝45°，
故答案为：45．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理，三角形外角性质，勾股定理的逆定理等知识点，能求出△AOC是等腰直角三角形是解此题的关键．
32．如图，在△ABC和△ADC中，AB⊥BC，AD⊥DC，只需添加一个条件即可证明△ABC≌△ADC，这个条件可以是　CB＝CD（或AB＝AD或∠ACB＝∠ACD或∠BAC＝∠DAC）　（写出一个即可）．

【分析】利用已知条件得到∠B＝∠D＝90°，加上AC为公共边，然后根据全等三角形的判定方法添加条件．
【解答】解：∵AB⊥BC，AD⊥DC，
∴∠B＝∠D＝90°，
∵AC＝AC，
∴当添加CB＝CD或AB＝AD时，则可根据“HL”判断△ABC≌△ADC；
当添加∠ACB＝∠ACD或∠BAC＝∠DAC时，则可根据“AAS”判断△ABC≌△ADC．
故答案为CB＝CD（或AB＝AD或∠ACB＝∠ACD或∠BAC＝∠DAC）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
33．如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点，则△ABO的面积与△CDO的面积的大小关系为：S△ABO　＝　S△CDO（填“＞”，“＝”或“＜”）．

【分析】根据题意和图形，可以分别计算出△ABC和△ACD的面积，从而可以解答本题．
【解答】解：设每个小正方形的边长为a，由图可得，
S△ABC＝S△BEC﹣S△ABE＝＝6a2，
S△DCA＝＝6a2，
∴S△ABC＝S△DCA，
∵S△ABC＝S△ABO+S△ACO，S△DCA＝S△CDO+S△ACO，
∴S△ABO＝S△CDO，
故答案为：＝．

【点评】本题考查三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
34．如图所示，∠MON是放置在正方形网格中的一个角，则tan∠MON的值是　1　．

【分析】由勾股定理的逆定理可证△ABO是等腰直角三角形，即可求解．
【解答】解：如图，连接AB，

∵AB2＝12+32＝10，AO2＝12+32＝10，BO2＝22+42＝20，
∴AB2+AO2＝BO2，
∴△ABO是等腰直角三角形，
∴∠AOB＝45°，
∴tan∠MON＝1，
故答案为1．
【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．灵活应用勾股定理和锐角三角函数．也考查了勾股定理的逆定理．
35．如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点，则△ABC与△DBC面积的大小关系为：S△ABC　＞　S△DBC（填“＞”，“＝”或“＜”）．

【分析】根据网格线分别计算出△ABC和△DBC的面积，再比较大小即可．
【解答】解：设每个小网格边长为1，
则S△ABC＝＝3，
S△DBC＝2×3﹣﹣＝，
∵3＞，
∴S△ABC＞S△DBC，
故答案为：＞．
【点评】本题主要考查三角形面积的知识，在矩形中减去三个直角三角形求△DBC的面积是解题的关键．
36．将一副三角板按如图所示的方式放置，则∠1的大小为　105°　．

【分析】先根据角的和差关系∠2的度数，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和即可求解．
【解答】解：∵∠2＝90°﹣30°＝60°，
∴∠1＝60°+45°＝105°．
故答案为：105°．

【点评】本题考查了三角形的外角性质，解题的关键是熟练掌握三角形的外角性质．
37．如图所示的网格是正方形网格，A，B，C是网格线的交点，D，E是AC，BC分别与网格线的交点，若小正方形的边长为1，则DE的长为　2　．

【分析】根据三角形中位线定理即可得到结论．
【解答】解：由网格可知AD＝CD，BE＝CE，AB＝4，
∴DE＝AB＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了三角形中位线定理，判断出DE是三角形中位线是解题的关键．
38．如图，小亮从一盏9米高的路灯下B处向前走了8米到达点C处时，发现自己在地面上的影子CE是2米，则小亮的身高DC为 　1.8　米．

【分析】根据CD∥AB，得出△ECD∽△EBA，进而得出比例式求出即可．
【解答】解：如图，CE＝2米，BC＝8米，AB＝9米，CD∥AB，
∴BE＝BC+CE＝10米，
∵CD∥AB，
∴△ECD∽△EBA，
∴＝，即＝，
解得CD＝1.8（米），
即小亮的身高DC为1.8米；
故答案为：1.8．

【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，得出△ECD∽△EBA是解决问题的关键．
39．如图所示的正方形网格内，点A，B，C，D，E是网格线交点，那么∠ECD+∠EDC＝　90　°．

【分析】根据正方形网格特征，判断∠AEB＝90°，利用对顶角相等，即可求解．
【解答】解：根据网格为正方形，
∴∠AEB＝45°+45°＝90°．
∴∠AEB＝∠CED＝90°．
∴∠ECD+∠EDC＝90°
故答案为：90．
【点评】本题考查了直角三角形的判定和性质，关键在于利用直角三角形的两个锐角互余．属于基础题．
40．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，若DE＝2cm，则BC＝　4　cm．

【分析】根据三角形的中位线定理“三角形的中位线等于第三边的一半”，有DE＝BC，从而求出BC．
【解答】解：∵D、E分别是AB、AC的中点．
∴DE是△ABC的中位线，
∴BC＝2DE，
∵DE＝2cm，
∴BC＝2×2＝4cm．
故答案为：4．
【点评】本题考查了三角形的中位线定理，中位线是三角形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用．
三．解答题（共18小题）
41．阅读材料并解决问题：
已知：如图，∠AOB及内部一点P．
求作：经过点P的线段EF，使得点E，F分别在射线OA，OB上，且OE＝OF．
作法：如图．
①以点O为圆心，以任意长为半径作弧，分别交射线OA，OB于点M，N；
②连接NP，作线段NP的垂直平分线，得到线段NP的中点C；
③连接MC并在它的延长线上截取CD＝MC；
④作射线DP，分别交射线OB，OA于点F，E．线段EF就是所求作的线段．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明证明：连接MN．
由②得，线段CN　＝　CP（填“＞”，“＝”或“＜”）．
在△MCN和△DCP中，
，
∴△MCN≌△DCP．
∴∠NMC＝∠PDC．
∴MN∥EF（　内错角相等两直线平行　）（填推理的依据）．
又由①得，线段OM＝ON．
可得OE＝OF．
【分析】（1）根据要求作出图形即可．
（2）利用全等三角形的性质解决问题即可．
【解答】解：（1）图形如图所示：

（2）连接MN．
由作图可知，CN＝CP，
在△MCN和△DCP中，
，
∴△MCN≌△DCP（SAS），
∴∠NMC＝∠PDC，
∴MN∥EF（内错角相等两直线平行），
又由①得，线段OM＝ON，
可得OE＝OF．
故答案为：＝，CM＝CD，∠MCN＝∠DCP，CN＝CP，内错角相等两直线平行．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
42．已知：如图1，在△ABC中，∠CAB＝60°．求作：射线CP，使得CP∥AB．
下面是小明设计的尺规作图过程．
作法：如图2，
①以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AC，AB于D，E两点；
②以点C为圆心，AD长为半径作弧，交AC的延长线于点F；
③以点F为圆心，DE长为半径作弧，两弧在∠FCB内部交于点P；
④作射线CP．所以射线CP就是所求作的射线．
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：连接FP，DE．
∵CF＝AD，CP＝AE，FP＝DE．
∴△ADE≌△　CFP　，
∴∠DAE＝∠　FCP　，
∴CP∥AB（　同位角相等两直线平行　）（填推理的依据）．

【分析】（1）根据要求作出图形即可．
（2）利用全等三角形的性质证明即可．
【解答】解：（1）如图，射线CP即为所求作．

（2）连接FP，DE．
∵CF＝AD，CP＝AE，FP＝DE．
∴△ADE≌△CFP，
∴∠DAE＝∠FCP，
∴CP∥AB（同位角相等两直线平行）．
故答案为：CFP，FCP，同位角相等两直线平行．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，全等三角形的判定和性质，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
43．下面是小明同学设计的“作一个角等于已知角的2倍”的尺规作图过程．
已知：∠AOB．
求作：∠ADC，使∠ADC＝2∠AOB．
作法：如图，
①在射线OB上任取一点C；
②作线段OC的垂直平分线，交OA于点D，交OB于点E，连接DC．
所以∠ADC即为所求的角．
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面证明（说明：括号里填写作图依据）．
证明：∵DE是线段OC的垂直平分线，
∴OD＝　DC　（　线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等　），
∴∠AOB＝　DCO　（　等边对等角　），
∵∠ADC＝∠AOB+∠DCO，
∴∠ADC＝2∠AOB．

【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形；
（2）先根据线段垂直平分线的性质得到OD＝DC，则根据等腰三角形的性质得到∠O＝∠DCO，然后根据三角形外角性质得到∠ADC＝2∠AOB．
【解答】解：（1）如图，

∠ADC即为所求作：
（2）证明：∵ED是线段OC的垂直平分线，
∴OD＝DC（线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等），
∴∠O＝∠DCO（等边对等角），
∵∠ADC＝∠O+∠DCO（三角形任意一个外角等于与它不相邻的两内角的和），
∴∠ADC＝2∠AOB，
故答案为线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等；三角形任意一个外角等于与它不相邻的两内角的和．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
44．已知：如图，点C在∠MON的边OM上．
求作：射线CD，使CD∥ON，且点D在∠MON的角平分线上．
作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线OM，ON于点A，B；②分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，交于点Q；③画射线OQ；④以点C为圆心，CO长为半径画弧，交射线OQ于点D；⑤画射线CD．射线CD就是所求作的射线．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明：
∵OD平分∠MON，
∴∠MOD＝　∠NOD　．
∵OC＝CD，
∴∠MOD＝　∠CDO　．
∴∠NOD＝∠CDO．
∴CD∥ON（　内错角相等两直线平行　）（填推理的依据）．

【分析】（1）根据要求作出图形即可．
（2）根据等腰三角形的性质以及角平分线的定义证明∠CDO＝∠DON即可．
【解答】解：（1）如图，射线CD即为所求作．

（2）∵OD平分∠MON，
∴∠MOD＝∠NOD．
∵OC＝CD，
∴∠MOD＝∠CDO，
∴∠NOD＝∠CDO．
∴CD∥ON（内错角相等两直线平行）．
故答案为：∠NOD，∠CDO，内错角相等两直线平行．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形，属于中考常考题型．
45．已知：直线l和l外一点P．求作：直线l的垂线，使它经过点P．
作法：①在直线l上任取两点A、B；
②分别以点A、B为圆心，AP，BP长为半径作弧，在直线l下方两弧交于点C；③作直线PC．所以直线PC为所求作的垂线．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连结AP、AC、BP、BC．
∵AP＝AC，BP＝BC，AB＝AB，
∴△APB≌△ACB　（SSS）　（填推理依据）．
∴∠PAB＝∠CAB，
∴PC⊥AB　（等腰三角形三线合一）　（填推理依据）．

【分析】（1）根据要求作出图形即可．
（2）根据SSS证明△APB≌△ACB即可．
【解答】解：（1）如图，直线PC即为所求作．


（2）连结AP、AC、BP、BC．
∵AP＝AC，BP＝BC，AB＝AB，
∴△APB≌△ACB（SSS），
∴∠PAB＝∠CAB，
∴PC⊥AB （等腰三角形三线合一）．
故答案为：（SSS），（等腰三角形三线合一）．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确作出图形，熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型．
46．如图，在△ABC中，点D是线段AB的中点．
求作：线段DE，使得点E在线段AC上，且DE＝BC．
作法：①分别以点A，C为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧相交于点M，N两点；
②作直线MN，交AC于点E；
③连接DE．
所以线段DE即为所求的线段．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵AM＝CM，AN＝CN，
∴MN是AC的垂直平分线（　到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上　）．（填推理的依据）
∴点E是AC的中点．
∵点D是AB的中点，
∴DE＝BC（　三角形中位线性质　）．（填推理的依据）

【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形即可；
（2）先根据线段的垂直平分线的性质定理的逆定理判断MN是AC的垂直平分线，则点E是AC的中点，然后根据三角形中位线性质得到DE＝BC．
【解答】（1）解：如图，

（2）证明：∵AM＝CM，AN＝CN，
∴MN是AC的垂直平分线（到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上）；
∴点E是AC的中点．
∵点D是AB的中点，
∴DE＝BC（三角形中位线性质）．
故答案为到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；三角形中位线性质．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
47．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．
求作：线段CD，使得点D在线段AB上，且CD＝AB．
作法：①分别以点A，B为圆心，大于AB长为半径作弧，两弧相交于点M，N两点；
②作直线MN，交AB于点D；
③连接CD．
所以线段CD即为所求的线段．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵AM＝BM，AN＝BN，
∴MN是AB的垂直平分线（ 　与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上　）．（填推理的依据）
∴点D是AB的中点．
∵∠C＝90°
∴CD＝AB（ 　直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半　）．（填推理的依据）

【分析】（1）根据作法作图可得线段CD；
（2）先根据线段垂直平分线的逆定理可得MN是AB的垂直平分线，又根据直角三角形斜边中线的性质可得结论．
【解答】解：（1）如图1，线段CD即为所求的线段．

（2）证明：连接AM，BM，AN，BN，
∵AM＝BM，AN＝BN，

∴MN是AB的垂直平分线（与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上），
∴点D是AB的中点，
∵∠C＝90°，
∴CD＝AB（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）．
故答案为：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
【点评】本题考查线段的垂直平分线的性质及作图，直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是学会基本作图：作一条线段的垂直平分线．
48．下面是小玲同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：如图1，直线l和直线l外一点P．求作：直线PM，使直线PM∥直线l．
作法：如图2，
①在直线l上任取一点A，作射线AP；
②以P为圆心，PA为半径作弧，交直线l于点B，
连接PB；
③以P为圆心，PB长为半径作弧，交射线AP于点C；分别以B，C为圆心，大于长为半径作弧，
在AC的右侧两弧交于点M；
④作直线PM；
所以直线PM就是所求作的直线．
根据上述作图过程，回答问题：
（1）用直尺和圆规，补全图2中的图形；
（2）完成下面的证明：
证明：由作图可知PM平分∠CPB，
∴∠CPM＝∠　BPM　＝∠CPB．
又∵PA＝PB，
∴∠PAB＝∠PBA．（　等腰三角形的两底角相等　）（填依据）．
∵∠CPB＝∠PAB+∠PBA，
∴∠PAB＝∠PBA＝∠CPB．
∴∠CPM＝∠PAB．
∴直线PM∥直线l．（　同位角相等，两直线平行　）（填依据）．

【分析】（1）根据角平分线的作法补全图2中的图形；
（2）根据角平分线的作法、等腰三角形的性质、平行线的判定定理解答即可．
【解答】解：（1）用直尺和圆规，补全图2中的图形如图2所示；
（2）证明：由作图可知PM平分∠CPB，
∴∠CPM＝∠BPM＝∠CPB，
又∵PA＝PB，
∴∠PAB＝∠PBA（等腰三角形两底角相等），
∵∠CPB＝∠PAB+∠PBA，
∴∠PAB＝∠PBA＝∠CPB．
∴∠CPM＝∠PAB．
∴直线PM∥直线l（同位角相等，两直线平行），
故答案为：BPM；等腰三角形两底角相等；同位角相等，两直线平行．

【点评】本题考查的是尺规作图、平行线的判定、等腰三角形的性质，掌握基本尺规作图、平行线的判定定理是解题的关键．
49．已知：如图Rt△ABC中，∠ACB＝90°．
求作：点P，使得点P在AC上，且点P到AB的距离等于PC．
作法：
①以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交射线BA，BC于点D，E；
②分别以点D，E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠ABC内部交于点F；
③作射线BF交AC于点P．
则点P即为所求．
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面证明
证明：连接DF，FE
在△BDF和△BEF中，
，
∴△BDF≌△BEF．
∴∠ABF＝∠CBF（　全等三角形的对应角相等　）（填推理的依据）．
∵∠ACB＝90°，点P在AC上，
∴PC⊥BC．
作PQ⊥AB于点Q．
∵点P在BF上，
∴PC＝　PQ　（　角平分线上的点到角的两边的距离相等　）（填推理的依据）．

【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形；
（2）先证明△BDF≌△BEF得到∠ABF＝∠CBF，根据角平分线的性质得到点P到AB的距离等于PC．
【解答】解：（1）如图，点P为所作；

（2）完成下面证明
证明：连接DF，FE
在△BDF和△BEF中，
，
∴△BDF≌△BEF．
∴∠ABF＝∠CBF（全等三角形的对应角相等），
∵∠ACB＝90°，点P在AC上，
∴PC⊥BC．
作PQ⊥AB于点Q．
∵点P在BF上，
∴PC＝PQ（角平分线上的点到角的两边的距离相等）．
故答案为全等三角形的对应角相等；角平分线上的点到角的两边的距离相等．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定与性质．
50．已知，如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC于D，E是BC延长线上的一点，DB＝DE．求∠E的度数．

【分析】根据等边三角形的性质得出AB＝BC，∠ABC＝60°，根据“三线合一”得出∠DBC＝∠ABD＝30°，根据等腰三角形的性质得出即可．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝60°，
∵BD⊥AC，
∴∠DBC＝∠ABD＝＝30°，
∵DB＝DE，
∴∠E＝∠DBC＝30°．
【点评】本题考查了等边三角形的性质和等腰三角形的性质，注意：①等边三角形的三边都相等，并且每个角都等于60°，②等腰三角形底边上的高平分顶角．
51．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，直线l过点A．点B与点D关于直线l对称，连接AD，CD．求证：∠ACD＝∠ADC．

【分析】设直线l交BD于点E，根据轴对称的性质得到∠AEB＝∠AED＝90°，BE＝DE，从而根据SAS可判定△ABE≌△ADE，由全等三角形的性质得到AB＝AD，从而得到AD＝AC，根据等腰对等角即可求解．
【解答】证明：设直线l交BD于点E，

∵点B与点D关于直线l对称，
∴∠AEB＝∠AED＝90°，BE＝DE，
在△ABE和△ADE中，
，
∴△ABE≌△ADE（SAS），
∴AB＝AD，
∵AB＝AC，
∴AD＝AC，
∴∠ACD＝∠ADC．
【点评】此题考查了轴对称的性质和等腰三角形的性质，熟记轴对称的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
52．已知：如图，在△ABC和△DEF中，点B、E、C、F四点在一条直线上，且BE＝CF，AB＝DE，∠B＝∠DEF．
求证：△ABC≌△DEF．

【分析】根据等式的性质得出BC＝EF，进而由全等三角形的判定可求解．
【解答】证明：∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
即BC＝EF，
在△ABC与△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键．
53．已知：如图，AB与CD交于点E，点E是线段AB的中点，∠A＝∠B．求证：AC＝BD．

【分析】证明△AEC≌△BED（ASA），可得AC＝BD．
【解答】证明：∵E是AB的中点，
∴AE＝BE，
在△AEC和△BED中，
，
∴△AEC≌△BED（ASA），
∴AC＝BD．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型．
54．如图，AB＝AD，AC＝AE，∠BAE＝∠DAC．求证：∠C＝∠E．

【分析】由“SAS”可证△ABC≌△ADE，可得∠C＝∠E．
【解答】证明：∵∠BAE＝∠DAC
∴∠BAE+∠CAE＝∠DAC+∠CAE
∴∠CAB＝∠EAD，且AB＝AD，AC＝AE
∴△ABC≌△ADE（SAS）
∴∠C＝∠E
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明∠CAB＝∠EAD是本题的关键．
55．如图，C为∠AOB平分线上一点，CD∥OB交OA于点D．
求证：OD＝CD．

【分析】由角平分线的性质可得∠AOC＝∠BOC，由两直线平行，内错角相等可得∠DCO＝∠BOC，则∠AOC＝∠DCO，由等角对等边即可得解．
【解答】证明：∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝∠BOC，
∵CD∥OB，
∴∠DCO＝∠BOC，
∴∠AOC＝∠DCO，
∴OD＝CD．
【点评】此题考查了等腰三角形的判定与性质及平行线的性质，熟记等腰三角形的判定与性质及平行线的性质是解题的关键．
56．如图，AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，∠D＝70°，求∠B的度数．

【分析】直接利用全等三角形的判定方法得出△ABC≌△ADC（SAS），进而利用全等三角形的性质得出答案．
【解答】证明：在△ABC与△ADC中，

∴△ABC≌△ADC（SAS），
∴∠B＝∠D，
∵∠D＝70°，
∴∠B＝70°．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，全等三角形判定定理有：SAS、SSS、ASA、AAS，全等三角形的对应边相等，对应角相等．
57．已知：如图，AB＝DE，AF＝DC，请补充一个条件可以得到BC＝EF．
补充的条件：　∠A＝∠D　．

【分析】根据全等三角形的判定和性质，即可补充条件．
【解答】解：补充条件：∠A＝∠D．
证明过程：
∵AF＝DC．
∴AF+FC＝DC+CF．即：AC＝DF．
在△ABC与△DEF中，
．
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
∴BC＝EF．

故答案为：∠A＝∠D．
【点评】本题考查三角形的全等的判定和性质，关键在于熟悉全等三角形判定的条件．
58．如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB∥DE，AB＝DE，BE＝CF．求证：∠A＝∠D．

【分析】证明△ABC≌△DEF（SAS），可得∠A＝∠D．
【解答】证明：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEF，
∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，即BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴∠A＝∠D．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型．
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日期：2022/1/9 9:40:38；用户：笑涵数学；邮箱：15699920825；学号：36906111