2022年北京中考数学一轮复习系列系列——（05）三角形（五年中考）

2022年北京中考数学一轮复习系列系列——（05）三角形（五年中考）

一．选择题（共3小题）

1．如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是（　　）

A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠3 C．∠1＞∠4+∠5 D．∠2＜∠5

2．已知锐角∠AOB，如图，

（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D，连接CD；

（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交于点M，N；

（3）连接OM，MN．

根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（　　）

A．∠COM＝∠COD B．若OM＝MN．则∠AOB＝20° 

C．MN∥CD D．MN＝3CD

3．如图所示，点P到直线l的距离是（　　）

A．线段PA的长度 B．线段PB的长度 

C．线段PC的长度 D．线段PD的长度

二．填空题（共6小题）

4．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上（不与点B，C重合）．只需添加一个条件即可证明△ABD≌△ACD，这个条件可以是 　   　（写出一个即可）．

5．如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点，则△ABC的面积与△ABD的面积的大小关系为：S△ABC　   　S△ABD（填“＞”，“＝”或“＜”）．

6．如图，已知△ABC，通过测量、计算得△ABC的面积约为 　   　cm2．（结果保留一位小数）

7．如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝　   　°（点A，B，P是网格线交点）．

8．如图所示的网格是正方形网格，∠BAC　   　∠DAE．（填“＞”，“＝”或“＜”）

9．如图，在△ABC中，M、N分别为AC，BC的中点．若S△CMN＝1，则S四边形ABNM＝　   　．

三．解答题（共1小题）

10．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D．

求证：AD＝BC．

2022年北京中考数学一轮复习系列系列——（05）三角形（五年中考）

参考答案与试题解析

一．选择题（共3小题）

1．如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是（　　）

A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠3 C．∠1＞∠4+∠5 D．∠2＜∠5

【分析】根据对顶角定义和外角的性质逐个判断即可．

【解答】解：A．∵∠1和∠2是对顶角，

∴∠1＝∠2，

故A正确；

B．∵∠2是△AOD的外角，

∴∠2＞∠3，

故B错误；

C．∵∠1＝∠4+∠5，

故C错误；

D．∵∠2是△BOC的外角，

∴∠2＞∠5；

故D错误；

故选：A．

【点评】本题主要考查了对顶角的性质和三角形外角的性质，能熟记对顶角的性质是解此题的关键．

2．已知锐角∠AOB，如图，

（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D，连接CD；

（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交于点M，N；

（3）连接OM，MN．

根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（　　）

A．∠COM＝∠COD B．若OM＝MN．则∠AOB＝20° 

C．MN∥CD D．MN＝3CD

【分析】由作图知CM＝CD＝DN，再利用圆周角定理、圆心角定理逐一判断可得．

【解答】解：由作图知CM＝CD＝DN，

∴∠COM＝∠COD，故A选项正确；

∵OM＝ON＝MN，

∴△OMN是等边三角形，

∴∠MON＝60°，

∵CM＝CD＝DN，

∴∠MOA＝∠AOB＝∠BON＝∠MON＝20°，故B选项正确；

设∠MOA＝∠AOB＝∠BON＝α，

则∠OCD＝∠OCM＝，

∴∠MCD＝180°﹣α，

又∵∠CMN＝∠CON＝α，

∴∠MCD+∠CMN＝180°，

∴MN∥CD，故C选项正确；

∵MC+CD+DN＞MN，且CM＝CD＝DN，

∴3CD＞MN，故D选项错误；

故选：D．

【点评】本题主要考查作图﹣复杂作图，解题的关键是掌握圆心角定理和圆周角定理等知识点．

3．如图所示，点P到直线l的距离是（　　）

A．线段PA的长度 B．线段PB的长度 

C．线段PC的长度 D．线段PD的长度

【分析】根据点到直线的距离是垂线段的长度，可得答案．

【解答】解：由题意，得

点P到直线l的距离是线段PB的长度，

故选：B．

【点评】本题考查了点到直线的距离，利用点到直线的距离是解题关键．

二．填空题（共6小题）

4．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上（不与点B，C重合）．只需添加一个条件即可证明△ABD≌△ACD，这个条件可以是 　BD＝CD　（写出一个即可）．

【分析】由题意可得∠ABC＝∠ACD，AB＝AC，即添加一组边对应相等，可证△ABD与△ACD全等．

【解答】解：∵AB＝AC，

∴∠ABD＝∠ACD，

添加BD＝CD，

∴在△ABD与△ACD中

，

∴△ABD≌△ACD（SAS），

故答案为：BD＝CD．

【点评】本题考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定是本题的关键．

5．如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点，则△ABC的面积与△ABD的面积的大小关系为：S△ABC　＝　S△ABD（填“＞”，“＝”或“＜”）．

【分析】分别求出△ABC的面积和△ABD的面积，即可求解．

【解答】解：∵S△ABC＝×2×4＝4，S△ABD＝2×5﹣×5×1﹣×1×3﹣×2×2＝4，

∴S△ABC＝S△ABD，

故答案为：＝．

【点评】本题考查了三角形的面积，掌握三角形的面积公式是本题的关键．

6．如图，已知△ABC，通过测量、计算得△ABC的面积约为 　1.9　cm2．（结果保留一位小数）

【分析】过点C作CD⊥AB的延长线于点D，测量出AB，CD的长，再利用三角形的面积公式即可求出△ABC的面积．

【解答】解：过点C作CD⊥AB的延长线于点D，如图所示．

经过测量，AB＝2.2cm，CD＝1.7cm，

∴S△ABC＝AB•CD＝×2.2×1.7≈1.9（cm2）．

故答案为：1.9．

【点评】本题考查了三角形的面积，牢记三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半是解题的关键．

7．如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝　45　°（点A，B，P是网格线交点）．

【分析】延长AP交格点于D，连接BD，根据勾股定理得到PD2＝BD2＝1+22＝5，PB2＝12+32＝10，求得PD2+DB2＝PB2，于是得到∠PDB＝90°，根据三角形外角的性质即可得到结论．

【解答】解：延长AP交格点于D，连接BD，

则PD2＝BD2＝1+22＝5，PB2＝12+32＝10，

∴PD2+DB2＝PB2，

∴∠PDB＝90°，

∴∠DPB＝∠PAB+∠PBA＝45°，

故答案为：45．

【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的外角的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．

8．如图所示的网格是正方形网格，∠BAC　＞　∠DAE．（填“＞”，“＝”或“＜”）

【分析】解法一：取点G、F，构建等腰直角三角形，由正切的值可作判断，或直接根据∠BAC＝45°，∠EAD＜∠FAG＝45°，来作判断；

解法二：作辅助线，构建三角形及高线NP，先利用面积法求高线PN＝，再分别求∠BAC、∠DAE的正弦，根据正弦值随着角度的增大而增大，作判断．

【解答】解：解法一：在AD上取一点G，在网格上取点F，构建△AFG为等腰直角三角形，

∵tan∠BAC＝＝1，tan∠EAD＜1，

∴∠BAC＞∠EAD；

解法二：连接NH，BC，过N作NP⊥AD于P，

S△ANH＝2×2﹣﹣×1×1＝AH•NP，

＝PN，

PN＝，

Rt△ANP中，sin∠NAP＝＝＝＝0.6，

Rt△ABC中，sin∠BAC＝＝＝＞0.6，

∵正弦值随着角度的增大而增大，

∴∠BAC＞∠DAE，

故答案为：＞．

【点评】本题考查了锐角三角函数的增减性，构建直角三角形求角的三角函数值进行判断，熟练掌握锐角三角函数的增减性是关键．

9．如图，在△ABC中，M、N分别为AC，BC的中点．若S△CMN＝1，则S四边形ABNM＝　3　．

【分析】证明MN是△ABC的中位线，得出MN∥AB，且MN＝AB，证出△CMN∽△CAB，根据面积比等于相似比平方求出△CMN与△CAB的面积比，继而可得出△CMN的面积与四边形ABNM的面积比．最后求出结论．

【解答】解：∵M，N分别是边AC，BC的中点，

∴MN是△ABC的中位线，

∴MN∥AB，且MN＝AB，

∴△CMN∽△CAB，

∴＝（）2＝，

∴＝，

∴S四边形ABNM＝3S△CMN＝3×1＝3．

故答案为：3．

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理；熟练掌握三角形中位线定理，证明三角形相似是解决问题的关键．

三．解答题（共1小题）

10．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D．

求证：AD＝BC．

【分析】根据等腰三角形的性质得到∠ABC＝C＝72°，根据角平分线的定义得到∠ABD＝∠DBC＝36°，∠BDC＝72°，根据等腰三角形的判定即可得到结论．

【解答】证明：∵AB＝AC，∠A＝36°，

∴∠ABC＝∠C＝72°，

∵BD平分∠ABC交AC于点D，

∴∠ABD＝∠DBC＝36°，

∴∠A＝∠ABD，

∴AD＝BD，

∵∠C＝72°，

∴∠BDC＝72°，

∴∠C＝∠BDC，

∴BC＝BD，

∴AD＝BC．

【点评】本题主要考查等腰三角形的性质和判定，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形内角和定理的应用．

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日期：2022/1/9 8:54:41；用户：笑涵数学；邮箱：15699920825；学号：36906111