2022北京中考数学一轮复习系列系列——四边形（学生版）

2022年北京中考数学一轮复习系列训练——（06）四边形

五年中考

一．填空题（共3小题）

1．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，AF＝EC．只需添加一个条件即可证明四边形AECF是菱形，这个条件可以是 　   　（写出一个即可）．

2．在矩形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点（不与端点重合），对于任意矩形ABCD，下面四个结论中，

①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；

②存在无数个四边形MNPQ是矩形；

③存在无数个四边形MNPQ是菱形；

④至少存在一个四边形MNPQ是正方形．

所有正确结论的序号是 　   　．

3．如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若AB＝4，AD＝3，则CF的长为 　   　．

二．解答题（共6小题）

4．如图，在四边形ABCD中，∠ACB＝∠CAD＝90°，点E在BC上，AE∥DC，EF⊥AB，垂足为F．

（1）求证：四边形AECD是平行四边形；

（2）若AE平分∠BAC，BE＝5，cosB＝，求BF和AD的长．

5．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．

（1）求证：四边形OEFG是矩形；

（2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长．

6．如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别在AB，AD上，BE＝DF，连接EF．

（1）求证：AC⊥EF；

（2）延长EF交CD的延长线于点G，连接BD交AC于点O．若BD＝4，tanG＝，求AO的长．

7．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．

（1）求证：四边形ABCD是菱形；

（2）若AB＝，BD＝2，求OE的长．

8．数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所得两长方形面积相等（如图所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证．

（以上材料来源于《古证复原的原理》、《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学泰斗刘徽》）

请根据该图完成这个推论的证明过程．

证明：S矩形NFGD＝S△ADC﹣（S△ANF+S△FGC），S矩形EBMF＝S△ABC﹣（ 　   　+　   　）．

易知，S△ADC＝S△ABC，　   　＝　   　，　   　＝　   　．

可得S矩形NFGD＝S矩形EBMF．

9．如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC，AD＝2BC，∠ABD＝90°，E为AD的中点，连接BE．

（1）求证：四边形BCDE为菱形；

（2）连接AC，若AC平分∠BAD，BC＝1，求AC的长．

三年模拟

一．填空题（共7小题）

1．图1是用一种彭罗斯瓷砖平铺成的图案，它的基础部分是“风筝”和“飞镖”两部分，图2中的“风筝”和“飞镖”是由图3所示的特殊菱形制作而成．在菱形ABCD中，∠BAD＝72°，在对角线AC上截取AE＝AB，连接BE，DE，可将菱形分割为“风筝”（凸四边形ABED）和“飞镖”（凹四边形BCDE）两部分，则图2中的α＝　   　°．

2．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，若EF＝2，则AC的长是　   　．

3．如图，在▱ABCD中，AD＞AB，E，F分别为边AD，BC上的点（E，F不与端点重合），对于任意▱ABCD，下面四个结论中：

①存在无数个四边形ABFE，使得四边形ABFE是平行四边形；

②至少存在一个四边形ABFE，使得四边形ABFE菱形；

③至少存在一个四边形ABFE，使得四边形ABFE矩形；

④存在无数个四边形ABFE，使得四边形ABFE的面积是▱ABCD面积的一半．

所有正确结论的序号是　   　．

4．如图，两条射线AM∥BN，点C，D分别在射线BN，AM上，只需添加一个条件，即可证明四边形ABCD是平行四边形，这个条件可以是　   　（写出一个即可）．

5．如图，在四边形ACBD中，∠ACB＝90°，AB＝AD，E是BD中点，过点E作EF∥AD交AB于点F，连接CF．请写出关于边、角的两条正确结论（不包括已知条件）：

①　   　；

②　   　．

6．如图，点O是矩形ABCD的对角线BD的中点，点E是BC的中点，连接OA，OE．若OA＝2，OE＝1，则矩形ABCD的面积为　   　．

7．如图，线段CE的长为3cm，延长EC到B，以CB为一边作正方形ABCD，连接DE，以DE为一边作正方形DEFG，设正方形ABCD的面积为S1，正方形DEFG的面积为S2，则S2﹣S1的值为 　   　．

二．解答题（共27小题）

8．如图，矩形ABCD中，点E在BC上，AE⊥ED．

（1）求证：△ABE∽△ECD；

（2）F为AE延长线上一点，满足EF＝AE，连接DF交BC于点G．若AB＝2，BE＝1，求GC的长．

9．已知：如图，在菱形ABCD中，BE⊥AD于点E，延长AD至F，使DF＝AE，连接CF．

（1）求证：四边形EBCF是矩形；

（2）若sin∠A＝，CF＝3，求AF的长．

10．如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AC于点E，DE的延长线交AB于点F，过点B作BG∥DF交DC于点G，交AC于点M．过点G作GN⊥DF于点N．

（1）求证：四边形NEMG为矩形；

（2）若AB＝26，GN＝8，sin∠CAB＝，求线段AC的长．

11．如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，过B，C两点分别作AC，BD的平行线，相交于点E．

（1）求证：四边形BOCE是矩形；

（2）连接EO交BC于点F，连接AF，若∠ABC＝60°，AB＝2，求AF的长．

12．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点C作CE∥BD，交AD的延长线于点E．

（1）求证：∠ACD＝∠ECD；

（2）连接OE，若AB＝2，tan∠ACD＝2，求OE的长．

13．如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，且AO＝BO．

（1）求证：四边形ABCD是矩形；

（2）∠BDC的平分线DM交BC于点M，当AB＝3，tan∠DBC＝时，求CM的长．

14．如图，在平行四边形ABCD中，点E在BC的延长线上，CE＝DE＝2BC．DC的中点为F，DE的中点为G，连接AF，FG．

（1）求证：四边形AFGD为菱形；

（2）连接AG，若BC＝2，tanB＝，求AG的长．

15．如图，矩形ABCD，延长AD至点F，使DF＝AD，连接AC，CF，过点A作AE∥CF交CD的延长线于点E，连接EF．

（1）求证：四边形ACFE是菱形；

（2）连接BE交AD于点G．当AB＝2，tan∠ACB＝时，求BE的长．

16．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．

（1）OE　   　AE（填＜、＝、＞）；

（2）求证：四边形OEFG是矩形；

（3）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长．

17．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且DE∥AC，CE∥BD．

（1）求证：四边形OCED是菱形；

（2）若∠BAC＝30°，AC＝4，求菱形OCED的面积．

18．如图，在菱形ABCD中，点E是CD的中点，连接AE，交BD于点F．

（1）求BF：DF的值；

（2）若AB＝2，AE＝，求BD的长．

19．如图，在△ABC中，AC＝BC，CD为△ABC的角平分线，AE∥DC，AE＝DC，连接CE．

（1）求证：四边形ADCE为矩形；

（2）连接DE，若AB＝10，CD＝12，求DE的长．

20．如图，在▱ABCD中，BC＝2CD，E，F分别是AD，BC的中点，连接EF．

（1）求证：四边形EFCD是菱形；

（2）连接AF，若AF＝2，∠DEF＝60°，则EF的长为　   　；菱形EFCD的面积为　   　．

21．如图，矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，DE∥AC交BC的延长线于点E．

（1）求证：∠ADB＝∠E；

（2）若AD＝4，cos∠ADB＝，求AO的长．

22．如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，对角线AC，BD相交于点N．点M是对角线BD中点，连接AM，CM．如果AM＝DC，AB⊥AC，且AB＝AC．

（1）求证：四边形AMCD是平行四边形．

（2）求tan∠DBC的值．

23．如图1，△ABC中，D为AC边上一动点（不含端点），过点D作DE∥AB交BC于点E，过点E作EF∥AC交AB于点F，连接AE，DF．点D运动过程中，始终有AE＝DF．

（1）求证：∠BAC＝90°；

（2）如图2，若AC＝3，tanB＝，当AF＝AD时，求AD的长．

24．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．

（1）求证：四边形AEFD是矩形；

（2）连接OE，若AD＝10，EC＝4，求OE的长度．

25．如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AD于点E，延长DA至点F，使得EF＝DA，连接BF，CF．

（1）求证：四边形BCEF是矩形；

（2）若AB＝3，CF＝4，DF＝5，求EF的长．

26．如图，四边形ABCD是平行四边形，过点A作AE⊥BC交CB的延长线于点E，点F在BC上，且CF＝BE，连接DF．

（1）求证：四边形AEFD是矩形；

（2）连接BD，若∠ABD＝90°，AE＝4，CF＝2，求BD的长．

27．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，连接BD，过点C作CE∥BD，过B作BE∥AC，两直线相交于点E．

（1）求证：四边形DBEC是菱形；

（2）若∠A＝30°，BC＝2，求四边形DBEC的面积．

28．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，过点A作AE∥BC，且AE＝BD，连接BE，交AD于点F，连接CE．

（1）求证：四边形ADCE为矩形；

（2）若CE＝4，求AF的长．

29．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，AE∥BC，CE∥AD．

（1）求证：四边形ADCE是菱形；

（2）连接BE，若∠ABC＝30°，AC＝2，求BE的长．

30．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC于点E，点F在BC延长线上，且CF＝BE．

（1）求证：四边形AEFD是矩形；

（2）连接AF，若tan∠ABC＝2，BE＝1，AD＝3，求AF的长．

31．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使EF＝DE，连接CF，BF．

（1）求证：四边形CFBD是菱形；

（2）连接AE，若CF＝，DF＝2，求AE的长．

32．已知，如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线，过点A作BC的平行线，过点B作AD的平行线，两线交于点E，连接DE交AB于点O．

（1）求证：四边形ADBE是矩形；

（2）若BC＝8，AO＝，求四边形AEBC的面积．

33．如图，已知△ACB中，∠ACB＝90°，E是AB的中点，连接CE，分别过点A，C作CE和AB的平行线相交于点D．

（1）求证：四边形ADCE是菱形；

（2）若AB＝4，∠DAE＝60°，求△ACB的面积．

34．如图，在平行四边形ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE＝BC，连接DE，CF．

（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；

（2）若AB＝4，AD＝6，∠A＝120°，求△DCE的底边CE上的高及DE的长．