人教A版（2019）必修二 高中数学 期中必考点01 平面向量的概念及运算 （学生版+解析版）练习题

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必考点01  平面向量的概念及运算 题型一  平面向量的有关概念例题1设a0为单位向量，下列命题中：①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|·a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0，假命题的个数是(　　)A．0　　　　　　　　　 B．1C．2   D．3例题2 给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；③λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中错误的命题的个数为(　　)A．0   B．1C．2   D．3【解题技巧提炼】向量有关概念的关键点(1)向量定义的关键是方向和长度．(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制．(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等．(4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度．(5)零向量的关键是长度是0，规定零向量与任意向量共线．题型二  向量的线性运算例题1(1)在△ABC中，＝，若＝a，＝b，则＝(　　)A.a＋b  B．a＋bC.a－b  D.a－b(2)(一题多解)已知A，B，C三点不共线，且点O满足16－12－3＝0，则(　　)A.＝12＋3  B．＝12－3C.＝－12＋3  D.＝－12－3 例题2在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ等于(　　)A．1  B．C.  D.【解题技巧提炼】看个性1.是向量的线性运算，即用几个已知向量表示某个向量，基本技巧为：一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则.2.是1.的逆运算．解决此类问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较求参数的值.找共性(1)进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解．(2)除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解.题型三  向量共线定理及应用例题1设两个非零向量a与b不共线．(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线． 【解题技巧提炼】利用向量共线定理证明三点共线若存在实数λ，使＝λ，则A，B，C三点共线．[提醒]　(1)使用向量共线基本定理的大前提是至少有一个向量是非零向量．(2)证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点． 题型一  平面向量的有关概念1.给出下列命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④两向量a，b相等的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.其中正确命题的序号是________．2.设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是(　　)A．a与λa的方向相反  B．a与λ2a的方向相同C．|－λa|≥|a|  D．|－λa|≥|λ|·a题型二  向量的线性运算1．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝(　　)A.－  B．－C.＋  D.＋2.如图，在直角梯形ABCD中，＝，＝2，且＝r＋s，则2r＋3s＝________.题型三 向量共线定理及应用1．在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是(　　)A．矩形　　　　　　　　 B．平行四边形C．梯形  D．以上都不对2．已知O为△ABC内一点，且＝(＋)，＝t，若B，O，D三点共线，则t＝(　　)A.  B．C.  D.3．已知P是△ABC所在平面内的一点，若＝λ＋，其中λ∈R，则点P一定在(　　)A．△ABC的内部   B．AC边所在直线上C．AB边所在直线上   D．BC边所在直线上一、单选题1．下列结论中正确的是（       ）①若且，则；②若，则且；③若与方向相同且，则；④若，则与方向相反且.A．①③ B．②③ C．③④ D．②④2．如图所示，梯形ABCD为等腰梯形，则两腰上的向量与的关系是（       ）A．＝ B． C．＞ D．＜3．已知，是不共线向量，则下列各组向量中是共线向量的有（            ）①，；②，；③，.A．①② B．①③C．②③ D．①②③4．下列各式的结果一定为零向量的是（       ）A． B．C． D．5．如图，向量，，，则向量可以表示为（       ）A． B． C． D．6．设，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则（       ）A． B． C． D．二、多选题7．等边三角形中，，，与交于F，则下列结论正确的是（       ）A． B．C． D．8．下列命题中，不正确的是（       ）A．有相同起点的两个非零向量不共线 B．向量与不共线，则与都是非零向量C．若与共线，与共线，则与共线 D．“”的充要条件是且三、填空题9．如图所示，每个小正方形的边长都是1，在其中标出了6个向量，在这6个向量中：（1）有两个向量的模相等，这两个向量是________，它们的模都等于________；（2）存在着共线向量，这些共线的向量是________，它们的模的和等于________.10．如图，根据图示填空：（1）______；（2）______；（3）______；（4）______；（5）______．四、解答题11．如图，设O是▱ABCD对角线的交点，则(1)与的模相等的向量有多少个？(2)与的模相等，方向相反的向量有哪些？(3)写出与共线的向量．12．在平行四边形中，，，设，．(1)用，表示；(2)用，表示．