吉林省长春市2022年中考数学评价与检测试卷（一）(word版含答案)

吉林省长春市2022年中考数学评价与检测试卷（一）

一、选择题（本大题共8小题，共24分）

1. 的倒数是

A.  B.  C.  D.

2. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是

A. 赵爽弦图 B. 笛卡尔心形线
C. 科克曲线 D. 斐波那契螺旋线

3. 月日是中国航天日年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道，距地球最近点米，将用科学记数法表示应为．

A.  B.  C.  D.

4. 一个关于的一元一次不等式组的解集在数轴上表示如图所示、则该不等式组的解集是

A.  B.  C.  D.

5. 如图，在中，点在边的延长线上，的平分线和的平分线相交于点，若，，则的大小为

A.
B.
C.
D.

6. 下列运算一定正确的是

A.  B.
C.  D.

7. 如图，在数学实践活动课上，小明同学打算通过测量树的影长计算树的高度．阳光下他测得长的竹竿落在地面上的影长为在同一时刻测量树的影长时，他发现树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在墙面上．他测得这棵树落在地面上的影长为，落在墙面上的影长为，则这棵树的高度是

A.  B.  C.  D.

8. 如图，平面直角坐标系中，点、分别在函数与的图象上，点在轴上．若轴．则的面积为

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

9. 计算：______．
10. 举例说明命题：“如果、都是无理数．那么也是无理数”是假命题．、的值可以为，______．
11. 把多项式分解因式的结果是______．
12. 九章算术是中国传统数学最重要的著作之一．书中记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数几何？”意思是：“有若干人共同出钱买鸡，如果每人出九钱，那么多了十一钱；如果每人出六钱，那么少了十六钱．问：共有几个人？”设共有个人共同出钱买鸡，根据题意，可列一元一次方程为____．
13. 将一个圆放在两条平行线中间，使之与这两平行线相切，则可以做到：无论这个圆如何运动，它还是在这两条平行线内、并且始终与这两条平行线相切、我们将圆的这种性质称为定宽性．除了圆之外，还有一些几何图形也具有定宽性，如勒洛三角形，它是分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径、在另两个顶点间画一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形．如图是定宽的圆和勒洛三角形、若圆的半径为，则图中的勒洛三角形的周长为______．

14. 已知轴上两点，，若抛物线与线段有交点，则的取值范围是______．

三、计算题（本大题共1小题，共6分）

15. 先化简，再求值：，其中．
    
    
    
    
    
    
     

四、解答题（本大题共9小题，共72分）

16. 一个不透明的袋子里有三个小球，上面分别标有数字，，，每个小球除所标数字不同外其余均相同，小文先从袋子里随机摸出一个小球，记下数字后放回并搅匀；再从口袋中随机摸出一个小球记下数字，请用画树状图或列表的方法，求小文的两次摸出小球上的数字都是正数的概率．
    
    
    
    
    
    
     
17. 一辆汽车从地驶往地，前路为普通公路，其余路段为高速公路，已知汽车在普通公路上行驶的速度为，在高速路上行驶的速度为，汽车从地到地一共行驶了，普通公路和高速公路各是多少？
    
    
    
    
    
    
     
18. 如图、矩形的对角线，的交于点过点作过点作，与相交于点．
    求证：四边形是菱形．
    连结，，若，，求的长．
    
    
    
    
    
    
     
19. 图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点、、均在格点上．在图、图、图给定的网格中按要求画图．
    在图中，画的高线．
    在图中，画的中线．
    在图中，画的角平分线．
    要求：借助网格，只用无刻度的直尺，不要求写出画法．

20. 国家创新指数是反映一个国家科学技术和创新竞争力的综合指数．对国家创新指数得分排名前的国家的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
    国家创新指数得分的频数分布直方图数据分成组：，，，，，，；
    
    国家创新指数得分在这一组的是：
    、、、、、、、、
    个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图：
    
    
    中国的国家创新指数得分为．
    以上数据来源于国家创新指数报告根据以上信息，回答下列问题：
    中国的国家创新指数得分排名世界第______；
    在个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图中，包括中国在内的少数几个国家所对应的点位于虚线的上方，请在图中用“”圈出代表中国的点；
    在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为______万美元；结果保留一位小数
    下列推断合理的是______．
    相比于点，所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提出“加快建设创新型国家”的战略任务，进一步提高国家综合创新能力；
    相比于点，所代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决胜全面建成小康社会”的奋斗日标，进一步提高人均国内生产总值．
    
    
    
    
    
    
     
21. 如图中的折线表示某汽车的耗油量单位：与速度单位：之间的函数关系，已知线段表示的函数关系中，该汽车的速度每增加，耗油量增加．
    当速度为、时，该汽车的耗油量分别为______、______．
    求线段所表示的与之间的函数表达式．
    速度是多少时，该汽车的耗油量最低？最低是多少？

22. 已知，四边形是边长为的正方形，点在射线上运动，连结，在射线下方作以为边的矩形，且．
    如图，当点与点重合，则的长为______．
    如图，当点在线段上，且时、求点到直线的距离．
    当点或点落在正方形的边所在的直线上时，求矩形的面积．

23. 综合与实践
    折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识．
    折一折：把边长为的正方形纸片对折，使边与重合，展开后得到折痕如图；点为上一点，将正方形纸片沿直线折叠，使点落在上的点处，展开后连接，，，如图．
    
    一填一填，做一做：
    图中，______；线段______．
    图中，试判断的形状，并给出证明．
    剪一剪、折一折：将图中的剪下来，将其沿直线折叠，使点落在点处，分别得到图、图．
    二填一填
    
    图中，阴影部分的周长为______．
    图中，若，则______
    图中，相似三角形包括全等三角形共有______对．
    如图，点落在边上，若，则______．
    
    
    
    
    
    
     
24. 已知抛物线与轴交于点，点点在点的左侧，抛物线的对称轴为直线．
    若点的坐标为，求抛物线的表达式及点的坐标；
    是第三象限的点，且点的横坐标为，若抛物线恰好经过点，直接写出的取值范围；
    抛物线的对称轴与轴交于点，点在抛物线上，且，若抛物线上满足条件的点恰有个，结合图象，求的取值范围．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：的倒数是．
故选：．
根据倒数的定义可直接解答．
本题考查的是倒数的定义，即乘积是的两数互为倒数．
 

2.【答案】
 

【解析】解：、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；
D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：．
根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
 

3.【答案】
 

【解析】

【分析】
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
【解答】
解：将用科学记数法表示为．
故选：．  

4.【答案】
 

【解析】解：该不等式组的解集是，
故选：．
结合数轴即可得出答案．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

5.【答案】
 

【解析】解：，，
，
的平分线和的平分线相交于点，
，，
，
故选：．
根据三角形的内角和定理列式计算即可求出，再根据角平分线的定义求出，，然后利用三角形的内角和定理求出即可．
本题考查了角平分线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记定理和概念是解题的关键．
 

6.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查整式的运算．分别利用合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，平方差公式解题即可．
【解答】
解：，故A错误；
B.，故B错误；
C.，故C错误；
D.，故D正确．
故选D．  

7.【答案】
 

【解析】解：根据物高与影长成正比得：，
即
解得：，
则米，
同理，
即：，
解得：．
答：树的高度为米，
故选：．
根据在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似进而解答即可．
本题考查了相似三角形的性质．解决本题的关键是作出辅助线得到的影长．
 

8.【答案】
 

【解析】解：连接、，如图，

轴，
，，
，
故选：．
连接、，如图，利用反比例函数的比例系数的几何意义得到，，所以．
本题考查了反比例函数比例系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值，在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．
 

9.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了二次根式的加减，属于基础题型．
先化简，再合并同类二次根式即可．
【解答】
解：．
故答案为：．  

10.【答案】答案不唯一．
 

【解析】解：当时，
，
，
而是无理数，是有理数，
“、为无理数，也是无理数”是假命题，
故答案为：答案不唯一．
按要求举一个的值，使不是无理数即可．
本题考查命题与定理，解题的关键是掌握举反例的方法．
 

11.【答案】
 

【解析】解：

．
故答案为：．
首先提公因式，再利用完全平方进行二次分解即可．
本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
 

12.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键，属于基础题．
设有个人共同买鸡，根据买鸡需要的总钱数不变，即可得出关于的一元一次方程，此题得解．
【解答】
解：设有个人共同买鸡，根据题意得：
．
故答案为：．  

13.【答案】
 

【解析】解：如图，直线，与直线、直线分别相切于点、点，
连接并延长交直线于点，
，
则，
，
，
，
与重合，
，
如图，勒洛三角形的顶点在直线上，所在的圆与直线相切于点，
连接，则，
，
是等边三角形，
，，
该勒洛三角形的三段圆弧所在圆的半径都是、所对的圆心角都是，
该勒洛三角形的周长为：，
故答案为：．
先证明圆的直径就是两条平行线之间的距离，由此求出勒洛三角形中的每段弧所在的圆的半径，而勒洛三角形的三段弧所对的圆心角是同一个等边三角形的三个内角，所以这三个圆心角都是，根据弧长公式即可求出该勒洛三角形的周长．
此题考查圆的切线的判定与性质、平行线的性质、等边三角形的性质、弧长的计算等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
 

14.【答案】
 

【解析】解：，，
抛物线开口向上，顶点坐标为，抛物线对称轴为直线，
，
增大过程中，抛物线先经过点，再经过点，
将代入得，
解得，
时抛物线与有交点，
故答案为：．
根据抛物线解析式求出抛物线对称轴及顶点坐标，根据抛物线对称轴判断点，与对称轴的距离大小关系，进而求解．
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．
 

15.【答案】解：，
，
，
，
当时，原式．
 

【解析】将括号内的部分通分，再将除法转化为乘法，因式分解后约分，然后将求出的的值代入即可解答．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

16.【答案】解：画树形图得：

由树形图可知：小文两次摸出的小球所标数字都是正数的概率．
 

【解析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与这两个球上的数字都是正数的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
 

17.【答案】解：设普通公路长为，高速公路长为．
根据题意，得
，
解得，
答：普通公路长为，高速公路长为．
 

【解析】由题意得：从地驶往地，前路段为普通公路，其余路段为高速公路．得到：高速公路的长度普通公路长度的两倍；汽车从地到地一共行驶了最简单的是根据在普通公路的时间和在高速公路的时间提出问题，再设未知数，列方程组，解答问题．
本题考查了二元一次方程组的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
 

18.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
，，，
，
四边形是菱形；
解：如图，延长交于点，

四边形是菱形，
于点，
，
，且是的中点，
，
，
，
，
，
，
．
 

【解析】由题意可证四边形是平行四边形，由矩形的性质可得，可得结论；
延长交于点，根据菱形性质可得，三角形中位线定理即可求解．
本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，解直角三角形，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

19.【答案】解：如图所示，即为所求；
如图所示，即为所求；
如图所示，即为所求；

 

【解析】根据高线的定义作图；
根据中线的概念作图；
根据角平分线的定义作图．
本题主要考查作图应用与设计作图，解题的关键是掌握三角形的高线、中线以及角平分线的定义．
 

20.【答案】解：；
如图所示：

；
．
 

【解析】本题考查了频数分布直方图、统计图、近似数等知识；读懂频数分布直方图和统计图是解题的关键．
国家创新指数得分为以上含的国家有个，
国家创新指数得分排名前的国家中，中国的国家创新指数得分排名世界第，
故答案为：；
如图所示：

由个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图可知，在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为万美元；
故答案为：；
由个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图可知，
相比于点、所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提出“加快建设创新型国家”的战略任务，进一步提高国家综合创新能力；合理；
相比于点，所代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决胜全面建成小康社会”的奋斗日标，进一步提高人均国内生产总值；合理；
故答案为：．
 

21.【答案】，  ；
设的解析式为：，
把和代入中得：
   解得
：
设的解析式为：，
把和代入中得：
    解得，
：，
根据题意得 解得，
答：速度是时，该汽车的耗油量最低，最低是．
 

【解析】解：设的解析式为：，
把和代入中得：
   解得
：，
当时，，
由线段上一点坐标得：，
当时，，
故答案为：，；

由得：线段的解析式为：；

设的解析式为：，
把和代入中得：
    解得，
：，
根据题意得 解得，
答：速度是时，该汽车的耗油量最低，最低是．
和：先求线段的解析式，因为速度为的点在上，所以将代入计算即可，速度是的点在线段上，可由已知中的“该汽车的速度每增加，耗油量增加”列式求得，也可以利用解析式求解；
观察图形发现，两线段的交点即为最低点，因此求两函数解析式组成的方程组的解即可．
本题考查了一次函数的应用，正确求出两线段的解析式是解好本题的关键，因为系数为小数，计算要格外细心，容易出错；另外，此题中求最值的方法：两图象的交点，方程组的解；同时还有机地把函数和方程结合起来，是数学解题方法之一，应该熟练掌握．
 

22.【答案】
 

【解析】解：在正方形中，，，
在中，，
点与点重合，
，
故答案为：；
如图，过点作，交的延长线于点，

，，
，
在中，，
，
，
，
，
，即，
≌，
，
即点到直线的距离为；
分三种情况讨论：
如图，当点落在的延长线上时，
则；

如图，当点落在的延长线上时，过点作于点，

，，
在中，，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
；
如图，当点落在延长线上时，

，
，
，
≌，
，
．
综上，矩形的面积为或或．
由题意可得为正方形的对角线，利用勾股定理即可得到答案；
作辅助线构造全等三角形，利用对应边相等进行代换即可求出点到的距离；
分三种情况讨论，当点落在的延长线上时，当点落在的延长线上时，作，利用相似三角形的判定与性质可求答案，当点落在延长线上时，利用全等三角形的判定与性质可得，利用正方形的面积公式可得答案．
此题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线并能进行分类讨论是解决此题的关键．
 

23.【答案】         
 

【解析】解：由折叠的性质得，四边形是矩形，
，，，
将正方形纸片沿直线折叠，使点落在上的点处，
，，
，
，，
，，
故答案为：，；
是等边三角形，理由如下：
由第一次折叠知，是的垂直平分线，
，
，
是等边三角形；
将图中的剪下来，将其沿直线折叠，使点落在点处，
，，
图中阴影部分的周长的周长，
故答案为：；
将图中的剪下来，将其沿直线折叠，使点落在点处，
，，
，
，
，
，
故答案为：；
如图，，

∽∽，
由折叠知，≌，
图中的相似三角形包括全等三角形共有对，
故答案为：对；
，设，，
，
，
，
∽，
，
，
故答案为：．
由折叠知，则，，，可得答案；
由折叠知是的垂直平分线，得，由得，从而得出答案；
由折叠知，，则图中阴影部分的周长的周长；
由折叠知，则，再利用平角的定义可得答案；
根据两组角相等可说明∽∽，由折叠知，≌，从而得出答案；
设，，说明∽，则，从而解决问题．
本题是相似形综合题，主要考查了等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，利用相似三角形的周长比等于相似比是解决问题的关键．
 

24.【答案】解：抛物线的对称轴为，
解得：，
故，
将点的坐标代入上式并解得：，
故抛物线的表达式为：；
令，即，解得：或，
故点的坐标为：；

由知：，
点在第三象限，即点在点的下方，
即点在点和函数对称轴之间，故，
而，即，
故；

抛物线的顶点为，
点，
，若抛物线上满足条件的点恰有个，
抛物线与轴的交点在原点的左侧，如下图，

满足条件的在轴的上方有个，在轴的下方也有个，
则抛物线与轴的交点在轴的下方，
当时，，
解得：，
故的取值范围为：．
 

【解析】抛物线的对称轴为，求出，将点的坐标代入抛物线的表达式，即可求解；
点在第三象限，即点在点和函数对称轴之间，故，即可求解；
满足条件的在轴的上方有个，在轴的下方也有个，则抛物线与轴的交点在轴的下方，即可求解．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解不等式、函数作图，解题的关键是通过画出抛物线的位置，确定点的位置关系，进而求解．