清单33 抛物线(解析版）-2022年新高考数学一轮复习知识方法清单与跟踪训练

这是一份清单33 抛物线(解析版）-2022年新高考数学一轮复习知识方法清单与跟踪训练，共31页。试卷主要包含了知识与方法清单，跟踪检测，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．抛物线的概念
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线．
【解读】(1)定直线l不经过定点F.
(2)定义中包含三个定值,分别为一个定点,一条定直线及一个确定的比值.
特别提醒：平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹不一定是抛物线.
【对点训练1】已知点到点的距离比它到直线的距离小,则点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由题意,点到点的距离等于它到直线的距离,则点的轨迹是以为焦点,为准线的抛物线,则点的轨迹方程为,故选B .
2．抛物线的标准方程与几何性质
【对点训练2】(2022届广西柳州市高三摸底考试)已知F是抛物线的焦点,直线l是抛物线的准线,则F到直线l的距离为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】B
【解析】由得,所以F到直线l的距离为,故选B
3.利用待定系数法求抛物线的标准方程的步骤
(1)依据条件设出抛物线的标准方程的类型.
(2)求参数p的值.
(3)确定抛物线的标准方程.
【对点训练3】（2022 届广西柳州高三上学期联考）抛物线y2＝2px（p0）的焦点为F,准线为l,点P为抛物线上一点,PAl,垂足为A,若直线AF的斜率为,＝4,则抛物线方程为（ ）
A．y2＝4xB．y2＝xC．y2＝8xD．y2＝x
【答案】A
【解析】∵直线AF的斜率为, ∵抛物线的定义知,∴△PAF为等边三角形,∴,∴在Rt△AKF中,,∴抛物线方程为．故选A
4.抛物线定义的两种应用
(1)实现距离转化.根据抛物线的定义,抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离,因此,由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化,从而简化某些问题.
(2)解决最值问题.在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时,往往用抛物线的定义进行转化,即化折线为直线解决最值问题. 与抛物线有关的最值问题,一般情况下都与抛物线的定义有关．由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性,因此此类问题也有一定的难度．“看到准线想焦点,看到焦点想准线”,这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．
【对点训练4】已知抛物线的准线为,点是抛物线上的动点,直线的方程为,过点分别作,垂足为,,垂足为,则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】令抛物线的焦点为F,则,连接PF,如图,
因是抛物线的准线,点是抛物线上的动点,且于,于是得,点到直线：的距离,又于,显然点P在点F与N之间,于是有,当且仅当F,P,N三点共线时取“=”,所以的最小值为.
故选B
5.过焦点的弦长的求解方法
设过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的弦的端点为A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=x1+x2+p,然后利用弦所在直线方程与抛物线方程联立、消元,由根与系数的关系求出x1+x2即可.
【对点训练5】（2021届广东省江门市高三5月冲刺）（多选）设F是抛物线C：的焦点,直线l过点F且与抛物线C交于A,B两点,O为坐标原点,则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．若点,则的最小值是5D．若倾斜角为,且,则
【答案】ACD
【解析】抛物线的准线为,焦点为.设,设直线的方程为,
由消去并化简得,所以,
,所以（时等号成立）.所以A选项正确.
当直线的方程为时,不妨设,此时,所以B选项错误.
根据抛物线的定义可知,的最小值是到抛物线准线的距离,也即的最小值为,所以C选项正确.当倾斜角为时,,不妨设在第一象限,在第四象限.
故,解得,所以,即,所以D选项正确.
故选ACD
6.利用抛物线的性质可以解决的问题
(1)对称性:解决抛物线的内接三角形问题.
(2)焦点、准线:解决与抛物线的定义有关的问题.
(3)范围:解决与抛物线有关的最值问题.
(4)焦点:解决焦点弦问题.
【对点训练6】（2022届安徽省滁州市高三上学期开学摸底）抛物线的焦点为F,其准线与双曲线相交于A,B两点,若△为等边三角形,则__________．
【答案】6
【解析】由题设,,令代入得,∴,又△为等边三角形,则,∴由勾股定理知：,解得,又,
∴.
7.直线与抛物线位置关系的判断方法
设直线l:y=kx+b,抛物线:y2=2px(p>0),将直线方程与抛物线方程联立消元得:k2x2+(2kb-2p)x+b2=0.
(1)若k2=0,此时直线与抛物线有一个交点,该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.
(2)若k2≠0,当Δ>0时,直线与抛物线相交,有两个交点:
当Δ=0时,直线与抛物线相切,有一个交点;
当Δ0）上一点M（6,y）到焦点F的距离为8,则p＝（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【解析】因为到焦点F的距离为8,所以,得.
故选D
2．（2022届江西省南昌市高三上学期摸底）设F为抛物线焦点,直线,点A为C上一点且过点A作于P,则则（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】C
【解析】抛物线方程,准线方程为：,因为,所以点A到准线的距离为5,且,直线与准线方程的距离为 ,所以.
故选C
3．（2022届湖北省黄石市高三上学期9月调研）抛物线的焦点为F,A,B是抛物线上两点,且,且中点到准线的距离为3,则线段的中点到准线的距离为（ ）
A．1B．2C．D．3
【答案】D
【解析】抛物线方程为,则,由于中点到准线的距离为3,结合抛物线的定义可知,即,所以线段的中点到准线的距离为.故选D
4．（2022届江西省南昌市高三上学期摸底）设为抛物线焦点,直线,点为上任意一点,过点作于,则（ ）
A．3B．4C．2D．不能确定
【答案】A
【解析】由可得,准线为,设,由抛物线的定义可得,因为过点作于,可得,
所以,故选A.
5．已知直线与抛物线交于A,B两点,F为抛物线C的焦点,若则k的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】直线过,也即直线过抛物线的焦点,画出图象如下图所示,过作直线垂直于抛物线的准线,垂足为；过作直线垂直于抛物线的准线,垂足为,过作,交于.
依题意,设,
则,,
所以直线的斜率.故选C
6．如图,过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线l交抛物线于点A,B,交其准线于点C,若|BC|＝2|BF|,且|AF|＝6,则此抛物线方程为（ ）
A．y2＝9xB．y2＝6x
C．y2＝3xD．y2＝x
【答案】B
【解析】
如图分别过点A,B作准线的垂线,分别交准线于点E,D,设|BF|＝a,则由已知得：|BC|＝2a,由抛物线定义得：|BD|＝a,故∠BCD＝30°,在直角三角形ACE中,因为|AE|＝|AF|＝6,|AC|＝6＋3a,2|AE|＝|AC|,所以6＋3a＝12,从而得a＝2,|FC|＝3a＝6,所以p＝|FG|＝|FC|＝3,因此抛物线方程为y2＝6x.故选B
7．（2022届江西省临川高三月考）已知抛物线的焦点为为坐标原点,为抛物线上两点,且,则直线的斜率不可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为为抛物线的焦点,所以,
又,即为等腰三角形,所以,
又点在抛物线上,
所以,则,即,
所以由抛物线的焦半径公式可得：,
又,所以,即,所以,
则,即,所以；
当,时,的斜率为；
当,时,的斜率为；
当,时,的斜率为；
当,时,的斜率为；
故ABD都能取到,C不能取到.故选C.
8．（2022届湖南省湘潭市高三上学期一模）已知抛物线：（）的焦点为,点在上,且,若点的坐标为,且,则的方程为（ ）
A．或B．或
C．或D．或
【答案】A
【解析】设为,则,又由,所以,
因为,所以,可得,
由,联立方程组,消去,可得,所以,故,
又由,所以,即,解得或,
所以的方程为或．故选A．
9．（2022届吉林省长春市高三上学期质量监测）已知是抛物线上的一动点,是抛物线的焦点,点,则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】过作垂直准线,为垂足,,所以
（当且仅当纵坐标相等时取等号）,故选C
10．已知是抛物线：的焦点,直线与抛物线相交于,两点,满足,记线段的中点到抛物线的准线的距离为,则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设,过点,分别作抛物线的准线的垂线,垂足分别为,
则,因为点为线段的中点,所以根据梯形中位线定理得点到抛物线的准线的距离为,因为,
所以在中,由余弦定理得,
所以,
又因为,所以,当且仅当时等号成立,
所以,故.
所以的最大值为.故选C
11．抛物线的焦点为F,点为该抛物线上的动点,点A是抛物线的准线与坐标轴的交点,则的最大值是（ ）
A．2B．C．D．
【答案】B
【解析】设直线的倾斜角为,设垂直于准线于,
由抛物线的性质可得,
所以则,
当最小时,则值最大,
所以当直线PA与抛物线相切时,θ最大,即最小,
由题意可得,
设切线PA的方程为：,
,整理可得,
,可得,
将代入,可得,所以,
即P的横坐标为1,即P的坐标,
所以,,
所以的最大值为：,故选B．
12．已知抛物线,F是抛物线C的焦点,M是抛物线C上一点,O为坐标原点,,的平分线过FM的中点,则点M的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设线段FM的中点为Q,作轴于点N,轴于点,交C的准线l于点, 则,故.
过点Q作于点T,由是的角平分线.
则,由垂线段的唯性知,重合,
可得,则M在以线段PF为直径的圆上.设,
则由,得,将代入得
,易知,所以,即,
得,所以.故M的坐标为.故选A
二、多选题
13．已知抛物线C：的焦点为F,其准线l与x轴交于点P,过C上一点M作l的垂线,垂足为Q,若四边形MQPF为矩形,则（ ）
A．准线l的方程为B．矩形MQPF为正方形
C．点M的坐标为D．点M到原点O的距离为
【答案】ABD
【解析】由抛物线C：,得其准线l的方程为,A正确；
由抛物线的定义可知,又因为四边形MQPF为矩形,所以四边形MQPF为正方形,B正确；所以,点M的坐标为,所以,C错误,D正确．故选ABD．
14．（2021届河北省唐山市高三三模）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后,沿平行于抛物线对称轴的方向射出：反之,平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点,已知抛物线r：,O为坐标原点,一束平行于x轴的光线从点射入,经过r上的点反射后,再经r上另一点反射后,沿直线射出,经过点Q,则 （ ）
A．B．
C．PB平分D．延长AO交直线于点C,则C,B,Q三点共线
【答案】BCD
【解析】设抛物线的焦点为,则.
因为,且轴,故,故直线.
由可得,故,故A错.
又,故,故,故,故B正确.
直线,由可得,故,
所以C,B,Q三点共线,故D正确.
因为,故为等腰三角形,故,
而,故即,故PB平分,故C正确.
故选：BCD.
15．在平面直角坐标系xy中,凸四边形ABCD的4个顶点均在抛物线E：y2=2x上,则（ ）
A．四边形ABCD不可能为平行四边形
B．存在四边形ABCD,满足∠A=∠C
C．若AB过抛物线E的焦点F,则直线OA,OB斜率之积恒为─2
D．若为正三角形,则该三角形的面积为
【答案】ABD
【解析】A,构成平行四边形的条件是对边平行且相等,而水平直线与y2=2x至多只有一个交点,
因此,四边形ABCD不可能为平行四边形,故A正确；
B,如图所示,连接,
则当,,
则,则∠A=∠C,故B正确；
C,设,,,
,解得,所以,故C错误；
D,设若为正三角形,如图：
由抛物线的对称性可知,,
则直线：,
则 ,解得,,
,
,故D正确.
故选ABD
16．已知点,抛物线的焦点为,点在抛物线上,直线交轴于点,且,则下列表述正确的是（ ）
A．点的纵坐标为1
B．为锐角三角形
C．点与点关于坐标原点对称
D．点的横坐标为
【答案】CD
【解析】抛物线的焦点为.因为,
所以点是线段的中点.又坐标原点是线段的中点,
所以是的中位线,所以.
因为轴,所以轴.
设点,则,将点坐标代入中,
得,解得.故选CD.
三、填空题
17．（2022届云南省昆明市高三上学期检测）О为坐标原点,F为抛物线C ∶y2= 4x的焦点,P为C上的一点,若,则三角形POF的面积为 _________.
【答案】
【解析】由题意,抛物线的焦点为,准线方程为,由,
设,则,,所以,即点的坐标为,
则的面积为．
18．（2022届广东省深圳市高三上学期9月月考）已知抛物线的焦点为,点为抛物线上横坐标为3的点,过点的直线交轴的正半轴于点,且为正三角形,则___________.
【答案】2
【解析】由题意可知,当在焦点的右侧时,,,
又,所以,解得；
当在焦点的左侧时,同理可得,此时点在轴的负半轴,不合题意.
19．（2021届江苏省南京航空航天大学附属高级中学高三下学期4月模拟）已知圆C: ,点在抛物线T：上运动,过点引直线,与圆C相切,切点分别为,,则的取值范围为__________.
【答案】
【解析】如图,连接CP,CQ,CM,依题意,,而,
而,则CM垂直平分线段PQ,于是得四边形MPCQ的面积为面积的2倍,
从而得,即,
设点,而,,则,
当且仅当t=1时取“=”,,
因此得,即,得,
所以的取值范围为.
四、解答题
20．（2022届重庆实验外国语学校高三上学期入学考试）如图,已知抛物线上一点到焦点的距离为3,直线与抛物线交于,两点,且,,（为坐标原点）.
（1）求抛物线的方程；
（2）求证直线过定点；
【解析】（1）由题意可得,
抛物线方程为
（2）设直线方程为,,
代入抛物线方程中,消去得,
,.
解得或（舍去）直线方程为,直线过定点.
21．（2021届四川省大数据精准联盟高三第三次统一监测）已知点,直线,为轴右侧或轴上动点,且点到的距离比线段的长度大1,记点的轨迹为.
（1）求曲线的方程；
（2）已知直线交曲线于,两点（点在点的上方）,,为曲线上两个动点,且,求证：直线的斜率为定值.
【解析】（1）依题意,线段的长度等于到的距离,由抛物线定义知,
点的轨迹是以为焦点,为准线的抛物线,
所以的方程为；
（2）将代入得,则,,如图：
设抛物线E上动点,显然直线AC,AD斜率存在,
,同理,因为,则,
,
直线的斜率,
即直线的斜率为定值-1.
22．（2021届山西省运城市高三下学期模拟）已知在抛物线：上.
（1）求抛物线的方程；
（2）,是抛物线上的两个动点,如果直线的斜率与直线的斜率之和为2,证明：直线过定点.
【解析】（1）将点坐标代入抛物线方程得,即,
所以抛物线的方程为；
（2）设：,将的方程与联立得,
,
设,,则,,
,同理：,
由题意：,,
解得,有,即,
故直线：恒过定点.
23．已知焦点为的抛物线经过圆的圆心,点是抛物线与圆在第一象限的一个公共点,且.
（1）分别求与的值；
（2）点与点关于原点对称,点,是异于点的抛物线上的两点,且,,三点共线,直线,分别与轴交于点,,问：是否为定值？若为定值,求出该定值；若不为定值,试说明理由.
【解析】（1）由已知得抛物线过点,
所以,所以.
即抛物线的方程为.
设点,则,
所以,
于是得,即,
将点的坐标代入圆的方程,
得,所以.
（2）设点,,由已知得,
由题意直线斜率存在且不为,
设直线的方程为,
由得,
由,得,即,
因为,异于原点,
所以,
则,.
因为点,在抛物线上,
所以,,
则,.
因为轴,
所以
,
所以的值为定值.标准
方程
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
顶点
O(0,0)
对称轴
y＝0
x＝0
焦点
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
离心率
e＝1
准线方程
x＝－eq \f(p,2)
x＝eq \f(p,2)
y＝－eq \f(p,2)
y＝eq \f(p,2)
范围
x≥0,y∈R
x≤0,y∈R
y≥0,x∈R
y≤0,x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下