2022年中考数学专题复习：二次函数中图形的存在性问题++

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二次函数中的存在性问题【二次函数中三角形的存在性问题】1.如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．  （1）求出该抛物线的解析式；    （2）点D为抛物线在第四象限内图象上一个动点，设点D的横坐标求为x，四边形ABDC的面积为y1  ①求四边形ABDC的面积y1关于x的解析式；②求出使得四边形ABDC的面积y1最大的点D的坐标；（3）在抛物线y＝ax2+bx+c上求点Q，使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形．        2.在直角坐标系xOy中，定义点C（a，b）为抛物线L：y=ax2+bx（a≠0）的特征点坐标．  （1）已知抛物线L经过点A（﹣2，﹣2）、B（﹣4，0），求出它的特征点坐标；    （2）若抛物线L1：y=ax2+bx的位置如图所示：  ①抛物线L1：y=ax2+bx关于原点O对称的抛物线L2的解析式为________；②若抛物线L1的特征点C在抛物线L2的对称轴上，试求a、b之间的关系式；③在②的条件下，已知抛物线L1、L2与x轴有两个不同的交点M、N，当一点C、M、N为顶点构成的三角形是等腰三角形时，求a的值．  3.如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与直线y=x+1相交于A（-1，0），B（4，m）两点，且抛物线经过点C（5，0）. （1）求抛物线的解析式；    （2）点P是抛物线上的一个动点（不与点A、点B重合），过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线AB于点E，设点P的横坐标为m. ①当PE=2ED时，求P点坐标；②是否存在点P使 为等腰三角形？若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由.    4.已知抛物线 与x轴的两个交点分别为A（－1，0）、B（3，0），与y轴的交点为点D，顶点为C， （1）求出该抛物线的对称轴；    （2）当点C变化，使60°≤∠ACB≤90°时，求出 的取值范围；    （3）作直线CD交x轴于点E，问：在y轴上是否存在点F，使得△CEF是一个等腰直角三角形？若存在，请求出a的值，若不存在，请说明理由。     5.如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为（3，0），（3，4）.动点M、N分别从O、B同时出发，以每秒1个单位的速度运动.其中点M沿OA 向终点A运动，点N沿BC向终点C运动.过点N作NP⊥BC，交AC于P，连接MP，已知动点运动了x秒. （1）求点P的坐标（用含x的代数式表示）.    （2）试求△MPA面积的最大值，并求此时x的值.    （3）请你探索：当x为何值时，△MPA是一个等腰三角形？你发现了几种情况？写出你的探索结果.       6.如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，点D与点C关于x轴对称，点P是抛物线上的一个动点. （1）求直线BD的解析式；    （2）当点P在第一象限时，求四边形BOCP面积的最大值，并求出此时P点的坐标；    （3）在点P的运动过程中，是否存在点P，使△BDP是以BD为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.        7.如图，抛物线与 轴交于 ， 两点，点 在点 的左边，与 轴交于点 ，点 是抛物线的顶点，且 ， ．  （1）求抛物线的解析式；    （2）点 是直线 下方的抛物线上一动点，不与点 ， 重合，过点 作 轴的垂线交 于点 ，求 面积的最大值及此时 点坐标；    （3）在抛物线的对称轴上是否存在点 ，使得 为直角三角形？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．      8.在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2-2x+3与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D. （1）请直接写出点A，C，D的坐标；    （2）如图（1），在x轴上找一点E，使得△CDE的周长最小，求点E的坐标；    （3）如图（2），F为直线AC上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得△AFP为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由.      9.如图，抛物线 与x轴交于   两点，与y轴交于C点，连接 ，已知 ，且抛物线经过点 .  （1）求抛物线的解析式；    （2）若点E是抛物线上位于x轴下方的一点，且 ，求E的坐标；    （3）若点P是y轴上一点，以 三点为顶点的三角形是等腰三角形，求P点的坐标.       10.如图所示，抛物线y1＝﹣x2与直线y2＝﹣ x﹣ 交于A，B两点. （1）求A，B两点的坐标.    （2）根据图象回答：  ①当x取何值时，y1的值随x的增大而增大？②当x取何值时，y1＜y2？（3）求△AOB的面积.    （4）在x轴上是否存在一点P，使△AOP是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.    （5）抛物线上找一点Q，使得△ABQ是直角三角形，请直接写出Q点横坐标       11.如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，AB＝4，交y轴于点C，对称轴是直线x＝1. （1）求抛物线的解析式及点C的坐标；    （2）连接BC，E是线段OC上一点，E关于直线x＝1的对称点F正好落在BC上，求点F的坐标；    （3）动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，交线段BC于点Q.设运动时间为t（t＞0）秒.  ①若△AOC与△BMN相似，请直接写出t的值；②△BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由.    【对应练习】1.直线与x轴交于A点，与y轴交于B点，动点P从A点出发，以每秒2个单位的速度沿AO方向向点O匀速运动，同时动点Q从B点出发，以每秒1个单位的速度沿BA方向向点A匀速运动，当一个点停止运动，另一个点也随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t（s）（0<t≤3）．（1）写出A，B两点的坐标；（2）设△AQP的面积为S，试求出S与t之间的函数关系式；并求出当t为何值时，△AQP的面积最大？（3）当t为何值时，以点A，P，Q为顶点的三角形与△ABO相似，并直接写出此时点Q的坐标．    2.Rt△ABC在直角坐标系内的位置如图1所示,反比例函数(k≠0)在第一象限内的图象与BC边交于点D(4,m),与AB边交于点E(2,n)，△BDE的面积为2.(1)求m与n的数量关系；(2)当tan∠A=时，求反比例函数的解析式和直线AB的表达式；(3)设直线AB与y轴交于点F,点P在射线FD上,在(2)的条件下，如果△AEO与△EFP相似，求点P的坐标。     3.如图，抛物线与x轴交于点A,B，与y轴交于点C。（1）试求A,B,C的坐标。（2）将绕AB中点M旋转，得到。①求点D的坐标；②判断四边形ADBC的形状，并说明理由。（3）在该抛物线对称轴上是否存在点P，使与相似？若存在，请直接写出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由。    4.如图,已知抛物线的对称轴为直线x=1,与x轴的一个交点为A(−1,0),顶点为B,点C(5,m)在抛物线上，直线BC交x轴于点E.(1)求抛物线的表达式及点E的坐标；(2)联结AB，求∠B的正切值；(3)点G为线段AC上一点,过点G作CB的垂线交x轴于点M(位于点E右侧)，当△AGM与△ABE相似时，求点M的坐标。    5.设抛物线与x轴交于两个不同的点A(−1,0)、B(m,0),与y轴交于点C. 且∠ACB=90∘。(1)求m的值和抛物线的解析式；(2)已知点D(1,n)在抛物线上，过点A的直线y=x+1交抛物线于另一点E. 若点P在x轴上，以点P、B. D为顶点的三角形与△AEB相似，求点P的坐标。       6.如图，已知抛物线经过△ABC的三个顶点，其中点A（0,1），点B(-9，10)，AC//x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点.（1）求抛物线的解析式.（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标.（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.    7.已知：如图，抛物线是由抛物线的图像向左平移1个单位长度，再向上平移个单位长度得到的。抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C。点D在线段OC上且OD=OB。(1)写出此抛物线的解析式（化成一般形式）。(2)求线段AD所在直线的解析式。(3)若点P是第二象限内抛物线上一点，其横坐标为t，是否存在一点P，使的面积最大？若存在，求出点P的坐标及的面积的最大值，若不存在，请说明理由。(4)若点P仍为第二象限内抛物线上一点，抛物线的对称轴交x轴于点E，连接PE交AD于点F，当与相似时，请直接写出点P的坐标。8.如图所示,∠MON=45∘,点P是∠MON内一点,过点P作PA⊥OM于点A. PB⊥ON于点B,且PB=.取OP的中点C，联结AC并延长，交OB于点D.(1)求证：∠ADB=∠OPB；(2)分别联结AB、BC，当△ABD与△CPB相似时，求PA的长。   9.如图,∠MAN=60∘,点B在射线AM上,AB=4,点P为直线AN上一动点,以BP为边作等边三角形BPQ(点B,P,Q按顺时针排列)，点O是△BPQ的外心。(1)如图1,当OB⊥AM时,点O___∠MAN的平分线上(填“在”或“不在”)；(2)求证：当点P在射线AN上运动时，总有点O在∠MAN的平分线；(3)当点P在射线AN上运动(点P与点A不重合)时，AO与BP交于点C，设AP=m，用m表示AC⋅AO；(4)若点D在射线AN上，AD=2，圆I为△ABD的内切圆。当△BPQ的边BP或BQ与圆I相切时，请直接写出点A与点O的距离。      【二次函数中特殊四边形的存在性问题】1.如图，抛物线 与直线AB交于点A（﹣1，0），B（4， ）．点D是抛物线A  ， B两点间部分上的一个动点（不与点A  ， B重合），直线CD与y轴平行，交直线AB于点C  ， 连接AD  ， BD ．   （1）求抛物线的解析式；    （2）设点D的横坐标为m  ， △ADB的面积为S  ， 求S关于m的函数关系式，并求出当S取最大值时的点C的坐标；    （3）当点D为抛物线的顶点时，若点P是抛物线上的动点，点Q是直线AB上的动点，判断有几个位置能使以点P  ， Q  ， C  ， D为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．       2.如图，平行四边形ABCD的顶点A在y轴上，点B、C在x轴上；OA、OB长是关于x的一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两个根，且OA＞OB  ， BC＝6；  （1）写出点D的坐标________；    （2）若点E为x轴上一点，且S△AOE＝ ，  ①求点E的坐标；②判断△AOE与△AOD是否相似并说明理由；（3）若点M是坐标系内一点，在直线AB上是否存在点F  ， 使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出F点的坐标；若不存在，请说明理由．     3.如图，抛物线C1的图象与x轴交A（−3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），点D为抛物线的顶点．  （1）求抛物线C1的解析式和D点坐标；    （2）将抛物线C1关于点B对称后的抛物线记为C2  ， 点E为抛物线C2的顶点，求抛物线C2的解析式和E点坐标；    （3）是否在抛物线C2上存在一点P，在x轴上存在一点Q，使得以D，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在求出P点坐标，若不存在请说明理由．       4.如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的边BC在x轴上，∠ABC＝90°，以A为顶点的抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点C(3，0)，交y轴于点E(0，3)，动点P在对称轴上.  （1）求抛物线解析式；    （2）若点P从A点出发，沿A→B方向以1个单位/秒的速度匀速运动到点B停止，设运动时间为t秒，过点P作PD⊥AB交AC于点D，过点D平行于y轴的直线l交抛物线于点Q，连接AQ，CQ，当t为何值时，△ACQ的面积最大？最大值是多少？    （3）若点M是平面内的任意一点，在x轴上方是否存在点P，使得以点P，M，E，C为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出符合条件的M点坐标；若不存在，请说明理由.     5.如图，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE交x轴于点E，连接BD.  （1）求经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；    （2）点Q在该抛物线的对称轴上，若△BCQ是以BC为直角边的直角三角形，求点Q的坐标；    （3）若P为BD的中点，过点P作PF⊥x轴于点F，G为抛物线上一动点，M为x轴上一动点，N为直线PF上一动点，当以F、M、N、G为顶点的四边形是正方形时，请求出点M的坐标.       6.综合与探究  如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴y轴的正半轴上，线段OA的长是不等式 的最大整数解，线段OB的长是一元二次方程 的一个根，将 沿BE折叠，使AB边落在OB边所在的y轴上，点A与点D重合．（1）求OA、OB的长；    （2）求直线BE的解析式；    （3）在平面内是否存在点M，使B、O、E、M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．       7.如图，矩形 的两条边 ， 的长是方程 的两根，其中 ，沿直线 将矩形折叠，使点 与 轴上的点 重合，  （1）求 ， 两点的坐标；    （2）求直线 的解析式；    （3）若点 在 轴上，平面内是否存在点 ，使以 ， ， ， 为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．        8.如图，一次函数 的图象交y轴于点A，交x轴于点B点，抛物线 过A、B两点．  （1）求A，B两点的坐标；并求这个抛物线的解析式；    （2）作垂直x轴的直线x＝t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．求当t取何值时，MN有最大值？最大值是多少？    （3）在（2）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标．         9.如图，在直角坐标系中，A（4，0），B（8，0），C（0，4）．动直线EF（EF∥x轴）从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿y轴负方向平移，且分别交y轴、线段BC于E、F两点，动点P同时从点B出发，在线段OB上以每秒2个单位长度的速度运动至原点O停止，当点P停止时点E也随之停止． （1）求直线BC的解析式；    （2）是否存在t的值，使得△BPF∽△BCA相似？若存在，试求出t的值，并求出此时△EPF的面积；若不存在，请说明理由；    （3）若将直线CB绕点B顺时针旋转45°得到直线BD  ， 在直线BD上有一动点M  ， 在x轴上有一点N  ， 是否存在点M  ， N  ， 使得以点C、A、M、N为顶点的四边形为平行四边形，如果存在，请求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．       10.如图，已知抛物线y =－x 2+ bx + c与x轴正半轴交于点A（3，0），与y轴交于点B（0，3），点P是x轴上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点C，交直线AB于点D，设P（x，0）. （1）求抛物线的函数表达式:    （2）当0 < x < 3时，求线段CD的最大值；    （3）若P点在x正半轴移动时，在△PDB和△CDB中，当其中一个三角形的面积是另一个三角形面积的2倍时，求相应x的值:       【巩固练习】1.如图，矩形的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为(10，8)，沿直线OD折叠矩形，使点A正好落在BC上的E处，E点坐标为(6，8)，抛物线y=ax2+bx+c经过O、A、E三点．(1)求此抛物线的解析式；(2)求AD的长；(3)点P是抛物线对称轴上的一动点，①当△PAD的周长最小时，求点P的坐标②点Q是抛物线上的点，以点P、Q、O、D为顶点的四边形能否成为平行四边形?若能，求出P、Q的坐标；若不能，请说明理由。  2.如图,抛物线y=x2−2x−3与x轴交A. B两点(A点在B点左侧)，直线l与抛物线交于A. C两点，其中C点的横坐标为2.(1)求A. B两点的坐标及直线AC的函数表达式；(2)P是线段AC上的一个动点,(不与A. C重合)，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值，并直接写出△ACE面积的最大值；(3)点G为抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A. C. F. G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形?如果存在，直接写出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由。     3.如图，抛物线y=x2+bx+c的顶点为D（﹣1，﹣4），与y轴交于点C（0，﹣3），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．（1）求抛物线的解析式；（2）连接AC，CD，AD，试证明△ACD为直角三角形；（3）若点E在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F，使以A，B，E，F为顶点的的四边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．  4.如图,抛物线y=x2−2x−3与x轴交A. B两点(A点在B点左侧)，直线l与抛物线交于A. C两点，其中C点的横坐标为2.(1)求A. B两点的坐标及直线AC的函数表达式；(2)P是线段AC上的一个动点,(不与A. C重合)，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值，并直接写出△ACE面积的最大值；(3)点G为抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A. C. F. G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形?如果存在，直接写出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由。     5.如图,已知二次函数y=−x2+bx+c的图象经过A(−2,−1),B(0,7)两点。(1)求该抛物线的解析式及对称轴；(2)当x为何值时，y>0?(3)在x轴上方作平行于x轴的直线l,与抛物线交于C,D两点(点C在对称轴的左侧)，过点C，D作x轴的垂线，垂足分别为F，E. 当矩形CDEF为正方形时，求C点的坐标。    6.如图，二次函数的图象与x轴分别交于A、B两点，顶点M关于x轴的对称点是.（1）若A(-4,0)，求二次函数的关系式.（2）在（1）的条件下，求四边形的面积.（3）是否存在抛物线，使得四边形为正方形？若存在，请求出此抛物线的函数关系式；若不存在，请说明理由.                                                                  7.如图,抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A(1,0),B(−3,0)两点。(1)求该抛物线的解析式；(2)设(1)中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；(3)在(1)中的抛物线上的第二象限内是否存在一点P，使△PBC的面积最大?若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若不存在，请说明理由；(4)若点M为x轴上一点，在抛物线上是否存在点N使得以M、N、A. C为顶点的四边形为平行四边形?若存在，直接写出N点坐标；若不存在，请说明理由。    8.如图,经过点C(0，-4)的抛物线与x轴相交于A(-2，0)，B两点.(1)a　　　　0;b2-4ac　　　　0；  (填“<”或“>”)(2)若该抛物线关于直线x=2对称,求抛物线的函数表达式；(3)在(2)的条件下,连接AC,E是抛物线上一动点,过点E作AC的平行线交x轴于点F.是否存在这样的点E,使得以A,C,E,F为顶点所组成的四边形是平行四边形?若存在,求出满足条件的点E的坐标;若不存在,请说明理由.