2021年山东省枣庄市台儿庄区中考数学二模试卷及答案

这是一份2021年山东省枣庄市台儿庄区中考数学二模试卷及答案，共31页。试卷主要包含了﹣2021的倒数是，下列运算正确的是，在平面直角坐标系中，将点P等内容，欢迎下载使用。

2021年山东省枣庄市台儿庄区中考数学模拟试卷（二）
一．选择题。本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来每小题选对得3分选错、不选或选出的答案超过一个均计零分．
1．﹣2021的倒数是（　　）
A．﹣2021 B．﹣ C． D．2021
2．下列运算正确的是（　　）
A．m+2m＝3m2 B．2m3•3m2＝6m6
C．（2m）3＝8m3 D．m6÷m2＝m3
3．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列判断正确的是（　　）

A．|a|＜1 B．ab＞0 C．a+b＞0 D．1﹣a＞1
4．一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，则∠DBC的度数为（　　）

A．10° B．15° C．18° D．30°
5．如图，直线l是一次函数y＝kx+b的图象，若点A（3，m），则m的值是（　　）

A．﹣5 B． C． D．7
6．如图，边长为a，b的矩形的周长为14，则a2b+ab2的值为（　　）

A．140 B．70 C．35 D．24
7．在平面直角坐标系中，将点P（﹣3，2）向右平移3个单位得到点P'（　　）
A．（0，﹣2） B．（0，2） C．（﹣6，2） D．（﹣6，﹣2）
8．如图，点A，B，C，D在⊙O上，垂足为E．若∠ADC＝30°，AE＝1（　　）

A．2 B．4 C． D．2
9．如图是由8个全等的小矩形组成的大正方形，线段AB的端点都在小矩形的顶点上，如果点P是某个小矩形的顶点，那么使△ABP为等腰直角三角形的点P的个数是（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，E是BC的中点，将△ABE沿直线AE翻折，连接CF，则cos∠ECF的值为（　　）

A． B． C． D．
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，垂足为D，AF平分∠CAB，交CB于点F．若AC＝3，AB＝5（　　）

A． B． C． D．
12．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为直线x＝（2，0），有下列说法：①abc＜0；②a+b＝0；④若（0，y1），（1，y2）是抛物线上的两点，则y1＝y2．上述说法正确的是（　　）

A．①② B．③④ C．①③④ D．①②④
二、填空题（共7小题）
13．已知x、y满足方程组，则x+y的值为　 　．
14．如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地．BC∥AD，斜坡AB长26m，斜坡AB的坡比为12：5．为了减缓坡面，学校决定对该斜坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，则坡顶B沿BC至少向右移　 　m时，才能确保山体不滑坡．（取tan50°≈1.2）

15．若|x﹣2|+＝0，则﹣　 　．
16．如图，点P是正方形ABCD内一点，且点P到点A、B、C的距离分别为2、，则正方形ABCD的面积为　 　．

17．如图1，点P从△ABC的顶点A出发，沿A→B→C匀速运动到点C，其中点Q为曲线部分的最低点，则△ABC的边AB的长度为　 　．

18．如表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，15，…，我们把第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，…，第n个数记为an，则a4+a200＝　 　．

19．计算：（﹣π）0+（）﹣1﹣sin60°＝　 　．
三、解答题（共6小题）
20．如图，在4×4的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．
（1）在图1中，画出一个与△ABC成中心对称的格点三角形；
（2）在图2中，画出一个与△ABC成轴对称且与△ABC有公共边的格点三角形；
（3）在图3中，画出△ABC绕着点C按顺时针方向旋转90°后的三角形．
21．如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A（m，6），B（3，n）
（1）求一次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出使kx+b成立的x的取值范围；
（3）求△ABO的面积．

22．某校为了了解全校学生线上学习情况，随机选取该校部分学生，调查学生居家学习时每天学习时间（包括线上听课及完成作业时间）
频数分布表
学习时间分组
频数
频率
A组（0≤x＜1）
9
m
B组（1≤x＜2）
18
0.3
C组（2≤x＜3）
18
0.3
D组（3≤x＜4）
n
0.2
E组（4≤x＜5）
3
0.05
（1）频数分布表中m＝　 　，n＝　 　，并将频数分布直方图补充完整；
（2）若该校有学生1000名，现要对每天学习时间低于2小时的学生进行提醒，根据调查结果
（3）已知调查的E组学生中有2名男生1名女生，老师随机从中选取2名学生进一步了解学生居家学习情况．请用树状图或列表求所选2名学生恰为一男生一女生的概率．

23．如图，在△ABC中，D是边BC上一点，且∠CAD＝∠ABC．
（1）请判断直线AC是否是⊙O的切线，并说明理由；
（2）若CD＝2，CA＝4，求弦AB的长．

24．问题探究：
小红遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，AB＝6，AD是中线，求AD的取值范围．她的做法是：延长AD到E，连接BE，证明△BED≌△CAD
请回答：（1）小红证明△BED≌△CAD的判定定理是：　 　；
（2）AD的取值范围是　 　；
方法运用：
（3）如图2，AD是△ABC的中线，在AD上取一点F，使AE＝EF，求证：BF＝AC．
（4）如图3，在矩形ABCD中，＝，在BD上取一点F，且＝，点G是DF的中点，连接EG，求证：EG＝CG．

25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），抛物线经过点D（﹣2，﹣3）和点E（3，2）

（1）求直线DE和抛物线的表达式；
（2）在y轴上取点F（0，1），连接PF，PB，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，当点P在抛物线对称轴的右侧时，N（点M在点N的上方），且MN＝2，动点Q从点P出发，当点Q的运动路程最短时，请直接写出此时点N的坐标．

2021年山东省枣庄市台儿庄区中考数学模拟试卷（二）
参考答案与试题解析
一．选择题。本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来每小题选对得3分选错、不选或选出的答案超过一个均计零分．
1．﹣2021的倒数是（　　）
A．﹣2021 B．﹣ C． D．2021
【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数求解即可．
【解答】解：﹣2021的倒数是．
故选：B．
2．下列运算正确的是（　　）
A．m+2m＝3m2 B．2m3•3m2＝6m6
C．（2m）3＝8m3 D．m6÷m2＝m3
【分析】利用合并同类项、同底数幂的乘除法以及幂的乘方、积的乘方进行计算即可．
【解答】解：m+2m＝3m，因此选项A不符合题意；
2m3•3m2＝6m5，因此选项B不符合题意；
（6m）3＝26•m3＝8m4，因此选项C符合题意；
m6÷m2＝m5﹣2＝m4，因此选项D不符合题意；
故选：C．
3．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列判断正确的是（　　）

A．|a|＜1 B．ab＞0 C．a+b＞0 D．1﹣a＞1
【分析】直接利用a，b在数轴上位置进而分别分析得出答案．
【解答】解：A、|a|＞1；
B、∵a＜0，∴ab＜3；
C、a+b＜0；
D、∵a＜0，故本选项正确；
故选：D．
4．一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，则∠DBC的度数为（　　）

A．10° B．15° C．18° D．30°
【分析】直接利用三角板的特点，结合平行线的性质得出∠ABD＝45°，进而得出答案．
【解答】解：由题意可得：∠EDF＝45°，∠ABC＝30°，
∵AB∥CF，
∴∠ABD＝∠EDF＝45°，
∴∠DBC＝45°﹣30°＝15°．
故选：B．
5．如图，直线l是一次函数y＝kx+b的图象，若点A（3，m），则m的值是（　　）

A．﹣5 B． C． D．7
【分析】待定系数法求出直线解析式，再将点A代入求解可得．
【解答】解：将（﹣2，0），5）代入

解得：，
∴y＝x+5，
将点A（3，m）代入+1＝m，
即m＝，
故选：C．
6．如图，边长为a，b的矩形的周长为14，则a2b+ab2的值为（　　）

A．140 B．70 C．35 D．24
【分析】由矩形的周长和面积得出a+b＝7，ab＝10，再把多项式分解因式，然后代入计算即可．
【解答】解：根据题意得：a+b＝＝7，
∴a8b+ab2＝ab（a+b）＝10×7＝70；
故选：B．
7．在平面直角坐标系中，将点P（﹣3，2）向右平移3个单位得到点P'（　　）
A．（0，﹣2） B．（0，2） C．（﹣6，2） D．（﹣6，﹣2）
【分析】先根据向右平移3个单位，横坐标加3，纵坐标不变，求出点P'的坐标，再根据关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标相反解答．
【解答】解：∵将点P（﹣3，2）向右平移4个单位得到点P'，
∴点P'的坐标是（0，2），
∴点P'关于x轴的对称点的坐标是（6，﹣2）．
故选：A．
8．如图，点A，B，C，D在⊙O上，垂足为E．若∠ADC＝30°，AE＝1（　　）

A．2 B．4 C． D．2
【分析】连接OC，根据圆周角定理求得∠AOC＝60°，在Rt△COE中可得OE＝OC＝OC﹣1得到OC＝2，从而得到CE＝，然后根据垂径定理得到BC的长．
【解答】解：连接OC，如图，
∵∠ADC＝30°，
∴∠AOC＝60°，
∵OA⊥BC，
∴CE＝BE，
在Rt△COE中，OE＝，CE＝，
∵OE＝OA﹣AE＝OC﹣1，
∴OC﹣1＝OC，
∴OC＝2，
∴OE＝7，
∴CE＝，
∴BC＝2CE＝8．
故选：D．

9．如图是由8个全等的小矩形组成的大正方形，线段AB的端点都在小矩形的顶点上，如果点P是某个小矩形的顶点，那么使△ABP为等腰直角三角形的点P的个数是（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据等腰直角三角形的判定即可得到结论．
【解答】解：如图所示，使△ABP为等腰直角三角形的点P的个数是3，
故选：B．

10．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，E是BC的中点，将△ABE沿直线AE翻折，连接CF，则cos∠ECF的值为（　　）

A． B． C． D．
【分析】由矩形的性质得出∠B＝90°，由勾股定理求出AE，由翻折变换的性质得出△AFE≌△ABE，得出∠AEF＝∠AEB，EF＝BE＝，因此EF＝CE，由等腰三角形的性质得出∠EFC＝∠ECF，由三角形的外角性质得出∠AEB＝∠ECF，cos∠ECF＝cos∠AEB＝，即可得出结果．
【解答】解：如图，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∵E是BC的中点，BC＝2，
∴BE＝CE＝BC＝，
∴AE＝＝＝8，
由翻折变换的性质得：△AFE≌△ABE，
∴∠AEF＝∠AEB，EF＝BE＝，
∴EF＝CE，
∴∠EFC＝∠ECF，
∵∠BEF＝∠EFC+∠ECF，
∴∠AEB＝∠ECF，
∴cos∠ECF＝cos∠AEB＝＝．
故选：C．
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，垂足为D，AF平分∠CAB，交CB于点F．若AC＝3，AB＝5（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据三角形的内角和定理得出∠CAF+∠CFA＝90°，∠FAD+∠AED＝90°，根据角平分线和对顶角相等得出∠CEF＝∠CFE，即可得出EC＝FC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．
【解答】解：过点F作FG⊥AB于点G，
∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠CDA＝90°，
∴∠CAF+∠CFA＝90°，∠FAD+∠AED＝90°，
∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF＝∠FAD，
∴∠CFA＝∠AED＝∠CEF，
∴CE＝CF，
∵AF平分∠CAB，∠ACF＝∠AGF＝90°，
∴FC＝FG，
∵∠B＝∠B，∠FGB＝∠ACB＝90°，
∴△BFG∽△BAC，
∴＝，
∵AC＝3，AB＝5，
∴BC＝3，
∴＝，
∵FC＝FG，
∴＝，
解得：FC＝，
即CE的长为．
故选：A．
方法二：
过点F作FG⊥AB于点G，
∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠CDA＝90°，
∴∠CAF+∠CFA＝90°，∠FAD+∠AED＝90°，
∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF＝∠FAD，
∴∠CFA＝∠AED＝∠CEF，
∴CE＝CF，
∵AF平分∠CAB，∠ACF＝∠AGF＝90°，
∴FC＝FG，
∵AC＝3，AB＝8，
∴BC＝4，
∴设FG＝x，则BF＝4﹣x，
∴FG4+BG2＝BF2，
则x3+22＝（6﹣x）2，
解得：x＝，
即CE的长为．
故选：A．


12．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为直线x＝（2，0），有下列说法：①abc＜0；②a+b＝0；④若（0，y1），（1，y2）是抛物线上的两点，则y1＝y2．上述说法正确的是（　　）

A．①② B．③④ C．①③④ D．①②④
【分析】①根据抛物线开口方向、对称轴位置、抛物线与y轴交点位置求得a、b、c的符号；
②根据对称轴求出b＝﹣a；
③把x＝2代入函数关系式，结合图象判断函数值与0的大小关系；
④求出点（0，y1）关于直线x＝的对称点的坐标，根据对称轴即可判断y1和y2的大小．
【解答】解：①∵二次函数的图象开口向下，
∴a＜0，
∵二次函数的图象交y轴的正半轴于一点，
∴c＞0，
∵对称轴是直线x＝，
∴﹣＝，
∴b＝﹣a＞0，
∴abc＜3．
故①正确；
②∵由①中知b＝﹣a，
∴a+b＝0，
故②正确；
③把x＝2代入y＝ax6+bx+c得：y＝4a+2b+c，
∵抛物线经过点（6，0），
∴当x＝2时，y＝2．
故③错误；
④∵（0，y1）关于直线x＝的对称点的坐标是（1，y7），
∴y1＝y2．
故④正确；
综上所述，正确的结论是①②④．
故选：D．
二、填空题（共7小题）
13．已知x、y满足方程组，则x+y的值为　1　．
【分析】我们尝试两式相加或相减，看是否可以直接求出x+y的值．由两式相加可以得到2x+2y＝2，即2（x+y）＝2，从而直接求出x+y＝1．
【解答】解：
①+②得：2x+2y＝6，
2（x+y）＝2，
x+y＝6．
故答案为：1．
14．如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地．BC∥AD，斜坡AB长26m，斜坡AB的坡比为12：5．为了减缓坡面，学校决定对该斜坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，则坡顶B沿BC至少向右移　10　m时，才能确保山体不滑坡．（取tan50°≈1.2）

【分析】在BC上取点F，使∠FAE＝50°，作FH⊥AD，根据坡度的概念求出BE、AE，根据正切的定义求出AH，结合图形计算，得到答案．
【解答】解：在BC上取点F，使∠FAE＝50°，
∵BF∥EH，BE⊥AD，
∴四边形BEHF为矩形，
∴BF＝EH，BE＝FH，
∵斜坡AB的坡比为12：5，
∴＝，
设BE＝12x，则AE＝6x，
由勾股定理得，AE2+BE2＝AB4，即（5x）2+（12x）8＝262，
解得，x＝2，
∴AE＝10，BE＝24，
∴FH＝BE＝24，
在Rt△FAH中，tan∠FAH＝，
∴AH＝≈20，
∴BF＝EH＝AH﹣AE＝10，
∴坡顶B沿BC至少向右移10m时，才能确保山体不滑坡，
故答案为：10．

15．若|x﹣2|+＝0，则﹣　2　．
【分析】根据非负数的性质进行解答即可．
【解答】解：∵|x﹣2|+＝0，
∴x﹣6＝0，x+y＝0，
∴x＝3，y＝﹣2，
∴，
故答案为6．
16．如图，点P是正方形ABCD内一点，且点P到点A、B、C的距离分别为2、，则正方形ABCD的面积为　14+4　．

【分析】如图，将△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△CBM，连接PM，过点B作BH⊥PM于H．首先证明∠PMC＝90°，推出∠CMB＝∠APB＝135°，推出A，P，M共线，利用勾股定理求出AB2即可．
【解答】解：如图，将△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△CBM，过点B作BH⊥PM于H．

∵BP＝BM＝，∠PBM＝90°，
∴PM＝PB＝6，
∵PC＝4，PA＝CM＝2，
∴PC2＝CM2+PM2，
∴∠PMC＝90°，
∵∠BPM＝∠BMP＝45°，
∴∠CMB＝∠APB＝135°，
∴∠APB+∠BPM＝180°，
∴A，P，M共线，
∵BH⊥PM，
∴PH＝HM，
∴BH＝PH＝HM＝1，
∴AH＝2+1，
∴AB2＝AH4+BH2＝（2+1）2+22＝14+4，
∴正方形ABCD的面积为14+4．
解法二：连接AC，利用勾股定理求出AC即可．
故答案为14+7．
17．如图1，点P从△ABC的顶点A出发，沿A→B→C匀速运动到点C，其中点Q为曲线部分的最低点，则△ABC的边AB的长度为　10　．

【分析】根据图2中的曲线可得，当点P在△ABC的顶点A处，运动到点B处时，图1中的AC＝BC＝13，当点P运动到AB中点时，此时CP⊥AB，根据图2点Q为曲线部分的最低点，可得CP＝12，根据勾股定理可得AP＝5，再根据等腰三角形三线合一可得AB的长．
【解答】解：根据图2中的曲线可知：
当点P在△ABC的顶点A处，运动到点B处时，
图1中的AC＝BC＝13，
当点P运动到AB中点时，
此时CP⊥AB，
根据图8点Q为曲线部分的最低点，
得CP＝12，
所以根据勾股定理得，此时AP＝．
所以AB＝2AP＝10．
故答案为：10．
18．如表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，15，…，我们把第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，…，第n个数记为an，则a4+a200＝　20110　．

【分析】观察“杨辉三角”可知第n个数记为an＝（1+2+…+n）＝n（n+1），依此求出a4，a200，再相加即可求解．
【解答】解：观察“杨辉三角”可知第n个数记为an＝（1+2+…+n）＝n（n+1），
则a3+a200＝×7×（4+1）+．
故答案为：20110．
19．计算：（﹣π）0+（）﹣1﹣sin60°＝　　．
【分析】首先计算零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：（﹣π）0+（）﹣1﹣sin60°
＝6+2﹣×
＝3﹣
＝．
故答案为：．
三、解答题（共6小题）
20．如图，在4×4的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．
（1）在图1中，画出一个与△ABC成中心对称的格点三角形；
（2）在图2中，画出一个与△ABC成轴对称且与△ABC有公共边的格点三角形；
（3）在图3中，画出△ABC绕着点C按顺时针方向旋转90°后的三角形．
【分析】（1）根据中心对称的性质即可作出图形；
（2）根据轴对称的性质即可作出图形；
（3）根据旋转的性质即可求出图形．
【解答】解：（1）如图所示，

△DCE为所求，
（2）如图所示，

△ACD为所求
（3）如图所示

△ECD为所求．
21．如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A（m，6），B（3，n）
（1）求一次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出使kx+b成立的x的取值范围；
（3）求△ABO的面积．

【分析】（1）先把A、B点坐标代入y＝求出m、n的值；然后将其分别代入一次函数解析式，列出关于系数k、b的方程组，通过解方程组求得它们的值即可；
（2）根据该不等式的解集即为直线在双曲线下方时x的范围即可写出答案；
（3）分别过点A、B作AE⊥x轴，BC⊥x轴，垂足分别是E、C点．直线AB交x轴于D点．S△AOB＝S△AOD﹣S△BOD，由三角形的面积公式可以直接求得结果．
【解答】解：（1）∵点A（m，6），n）两点在反比例函数y＝，
∴8m＝3n＝6，
∴m＝4，n＝2，
∴A（1，7），2）．
又∵点A（m，6），n）两点在一次函数y＝kx+b的图象上，
∴．
解得，
则该一次函数的解析式为：y＝﹣2x+3；

（2）根据图象可知使kx+b＜成立的x的取值范围是0＜x＜6或x＞3；

（3）如图，分别过点A，BC⊥x轴、C点．
令﹣2x+8＝0，得x＝4，4）．
∵A（1，6），5），
∴AE＝6，BC＝2，
∴S△AOB＝S△AOD﹣S△BOD＝×4×5﹣．

22．某校为了了解全校学生线上学习情况，随机选取该校部分学生，调查学生居家学习时每天学习时间（包括线上听课及完成作业时间）
频数分布表
学习时间分组
频数
频率
A组（0≤x＜1）
9
m
B组（1≤x＜2）
18
0.3
C组（2≤x＜3）
18
0.3
D组（3≤x＜4）
n
0.2
E组（4≤x＜5）
3
0.05
（1）频数分布表中m＝　0.15　，n＝　12　，并将频数分布直方图补充完整；
（2）若该校有学生1000名，现要对每天学习时间低于2小时的学生进行提醒，根据调查结果
（3）已知调查的E组学生中有2名男生1名女生，老师随机从中选取2名学生进一步了解学生居家学习情况．请用树状图或列表求所选2名学生恰为一男生一女生的概率．

【分析】（1）频数分布表中m＝0.15，n＝12，并将频数分布直方图补充完整；
（2）若该校有学生1000名，现要对每天学习时间低于2小时的学生进行提醒，根据调查结果，估计全校需要提醒的学生有多少名？
（3）已知调查的E组学生中有2名男生1名女生，老师随机从中选取2名学生进一步了解学生居家学习情况．请用树状图或列表求所选2名学生恰为一男生一女生的概率．
【解答】解：（1）根据频数分布表可知：
m＝1﹣0.5﹣0.3﹣7.2﹣0.05＝3.15，
∵18÷0.3＝60，
∴n＝60﹣5﹣18﹣18﹣3＝12，
补充完整的频数分布直方图如下：

故答案为：0.15，12；
（2）根据题意可知：
1000×（7.15+0.3）＝450（名），
答：估计全校需要提醒的学生有450名；
（3）设3名男生用A，B表示，
根据题意，画出树状图如下：

根据树状图可知：等可能的结果共有6种，符合条件的有4种，
所以所选6名学生恰为一男生一女生的概率为：＝．
23．如图，在△ABC中，D是边BC上一点，且∠CAD＝∠ABC．
（1）请判断直线AC是否是⊙O的切线，并说明理由；
（2）若CD＝2，CA＝4，求弦AB的长．

【分析】（1）如图，连接OA，由圆周角定理可得∠BAD＝90°＝∠OAB+∠OAD，由等腰三角形的性质可得∠OAB＝∠CAD＝∠ABC，可得∠OAC＝90°，可得结论；
（2）由勾股定理可求OA＝OD＝3，由面积法可求AE的长，由勾股定理可求AB的长．
【解答】解：（1）直线AC是⊙O的切线，
理由如下：如图，连接OA，

∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD＝90°＝∠OAB+∠OAD，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠ABC，
又∵∠CAD＝∠ABC，
∴∠OAB＝∠CAD＝∠ABC，
∴∠OAD+∠CAD＝90°＝∠OAC，
∴AC⊥OA，
又∵OA是半径，
∴直线AC是⊙O的切线；
（2）方法一、过点A作AE⊥BD于E，
∵OC2＝AC2+AO5，
∴（OA+2）2＝16+OA8，
∴OA＝3，
∴OC＝5，BC＝5，
∵S△OAC＝×OA×AC＝，
∴AE＝＝，
∴OE＝＝＝，
∴BE＝BO+OE＝，
∴AB＝＝＝．
方法二、∵∠CAD＝∠ABC，
∴△ACD∽△BCA，
∴＝，
∴，
∴BC＝8，AB＝2AD，
∴BD＝8，
∵AB2+AD2＝BD7，
∴5AD2＝36，
∴AD＝，
∴AB＝6AD＝．
24．问题探究：
小红遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，AB＝6，AD是中线，求AD的取值范围．她的做法是：延长AD到E，连接BE，证明△BED≌△CAD
请回答：（1）小红证明△BED≌△CAD的判定定理是：　SAS　；
（2）AD的取值范围是　1＜AD＜5　；
方法运用：
（3）如图2，AD是△ABC的中线，在AD上取一点F，使AE＝EF，求证：BF＝AC．
（4）如图3，在矩形ABCD中，＝，在BD上取一点F，且＝，点G是DF的中点，连接EG，求证：EG＝CG．

【分析】（1）由“SAS”可证△BED≌△CAD；
（2）由全等三角形的性质可得AC＝BE＝4，由三角形的三边关系可求解；
（3）延长AD至H，使AD＝DH，连接BH，由“SAS”可证△BHD≌△CAD，可得AC＝BH，∠CAD＝∠H，由等腰三角形的性质可得∠H＝∠BFH，可得BF＝BH＝AC；
（4）延长CG至N，使NG＝CG，连接EN，CE，NF，由“SAS”可证△NGF≌△CGD，可得CD＝NF，∠CDB＝∠NFG，通过证明△BEC∽△FEN，可得∠BEC＝∠FEN，可得∠BEF＝∠NEC＝90°，由直角三角形的性质可得结论．
【解答】解：（1）∵AD是中线，
∴BD＝CD，
又∵∠ADC＝∠BDE，AD＝DE，
∴△BED≌△CAD（SAS），
故答案为：SAS；
（2）∵△BED≌△CAD，
∴AC＝BE＝4，
在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
∴2＜2AD＜10，
∴1＜AD＜5，
故答案为：5＜AD＜5；
（3）如图2，延长AD至H，连接BH，

∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
又∵∠ADC＝∠BDH，AD＝DH，
∴△ADC≌△HDB（SAS），
∴AC＝BH，∠CAD＝∠H，
∵AE＝EF，
∴∠EAF＝∠AFE，
∴∠H＝∠BFH，
∴BF＝BH，
∴AC＝BF；
（4）如图2，延长CG至N，连接EN，NF，

∵点G是DF的中点，
∴DG＝GF，
又∵∠NGF＝∠DGC，CG＝NG，
∴△NGF≌△CGD（SAS），
∴CD＝NF，∠CDB＝∠NFG，
∵＝，＝，
∴tan∠ADB＝，tan∠EBF＝，
∴∠ADB＝∠EBF，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∴∠EBF＝∠DBC，
∴∠EBC＝4∠DBC，
∵∠EBF+∠EFB＝90°，∠DBC+∠BDC＝90°，
∴∠EFB＝∠BDC＝∠NFG，∠EBF+∠EFB+∠DBC+∠BDC＝180°，
∴2∠DBC+∠EFB+∠NFG＝180°，
又∵∠NFG+∠BFE+∠EFN＝180°，
∴∠EFN＝2∠DBC，
∴∠EBC＝∠EFN，
∵＝，且CD＝NF，
∴
∴△BEC∽△FEN，
∴∠BEC＝∠FEN，
∴∠BEF＝∠NEC＝90°，
又∵CG＝NG，
∴EG＝NC，
∴EG＝GC．
25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），抛物线经过点D（﹣2，﹣3）和点E（3，2）

（1）求直线DE和抛物线的表达式；
（2）在y轴上取点F（0，1），连接PF，PB，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，当点P在抛物线对称轴的右侧时，N（点M在点N的上方），且MN＝2，动点Q从点P出发，当点Q的运动路程最短时，请直接写出此时点N的坐标．
【分析】（1）将点D、E的坐标代入函数表达式，即可求解；
（2）S四边形OBPF＝S△OBF+S△PFB＝×4×1+×PH×BO，即可求解；
（3）过点M作A′M∥AN，过作点A′直线DE的对称点A″，连接PA″交直线DE于点M，此时，点Q运动的路径最短，即可求解．
【解答】解：（1）将点D、E的坐标代入函数表达式得：，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x3+x+3，
同理可得直线DE的表达式为：y＝x﹣1…①；
（2）如图1，连接BF，

将点FB代入一次函数表达式，
同理可得直线BF的表达式为：y＝﹣x+1，
设点P（x，﹣x2+x+2），﹣x+1），
S四边形OBPF＝S△OBF+S△PFB＝×4×6+x2+x+2+，
解得：x＝2或，
故点P（2，3）或（，）；
（3）当点P在抛物线对称轴的右侧时，点P（2，
过点M作A′M∥AN，过点A'作直线DE的对称点A″，此时，

∵MN＝2，相当于向上，故点A′（1，
A′A″⊥DE，则直线A′A″过点A′，
联立①②得x＝2，则A′A″中点坐标为（7，
由中点坐标公式得：点A″（3，0），
同理可得：直线A″P的表达式为：y＝﹣8x+9…③，
联立①③并解得：x＝，即点M（，），
点M沿ED向下平移2个单位得：N（，﹣）．