精品解析：2021年山东省威海乳山市（五四制）中考模拟数学试题（二）（解析版+原卷板）

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九年级数学模拟试题（二）
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分）
1. 据2020年6月24日《天津日报》报道，6月23日下午，第四届世界智能大会在天津开幕．本届大会采取“云上”办会的全新模式呈现，40家直播网站及平台同时在线观看云开幕式暨主题峰会的总人数最高约为58600000人．将58600000用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【1题答案】
【答案】B
【解析】
【分析】把小数点向左移动7位，然后根据科学记数法的书写格式写出即可．
【详解】解：，
故选：B．
【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
2. 如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC=（ ）

A. B. C. D.
【2题答案】
【答案】B
【解析】
【分析】作BD⊥AC于D，根据勾股定理求出AB、AC，利用三角形的面积求出BD，最后在直角△ABD中根据三角函数的意义求解．
【详解】解：如图，作BD⊥AC于D，

由勾股定理得，，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理，解直角三角形，三角形的面积，三角函数的意义等知识，根据网格构造直角三角形和利用三角形的面积求出BD是解决问题的关键．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【3题答案】
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式的加法法则，二次根式的乘法法则，同底数幂的相乘，幂的乘方运算法则依次判断即可得到答案.
【详解】A、与不是同类二次根式，不能进行加法运算，故该选项错误；
B、，故该选项错误；
C、，故该选项错误；
D、，故该选项正确，
故选：D.
【点睛】此题考查计算能力，正确掌握二次根式的加法法则，二次根式的乘法法则，同底数幂的相乘，幂的乘方运算法则是解题的关键.
4. 如图所示，正方体的展开图为（ ）

A. B.
C. D.
【4题答案】
【答案】A
【解析】
【分析】根据正方体的展开图的性质判断即可；
【详解】A中展开图正确；
B中对号面和等号面是对面，与题意不符；
C中对号的方向不正确，故不正确；
D中三个符号的方位不相符，故不正确；
故答案选A．
【点睛】本题主要考查了正方体的展开图考查，准确判断符号方向是解题的关键．
5. 一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB//CF，∠F=∠ACB=90°，则∠DBC的度数为( )

A. 10° B. 15° C. 18° D. 30°
【5题答案】
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用三角板的特点，结合平行线的性质得出∠ABD=45°，进而得出答案．
【详解】解：由题意可得：∠EDF=45°，∠ABC=30°，
∵AB∥CF，
∴∠ABD=∠EDF=45°，
∴∠DBC=45°﹣30°=15°．
故选：B．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．
6. 布袋中装有除颜色外没有其他区别的1个红球和2个白球，搅匀后从中摸出一个球，放回搅匀，再摸出第二个球，两次都摸出白球的概率是（　　）
A. B. C. D.
【6题答案】
【答案】A
【解析】
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，可求得两次都摸到白球的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：画树状图得：

则共有9种等可能的结果，两次都摸到白球的有4种情况，
∴两次都摸到白球的概率为．
故选A．
【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
7. 如图，是的直径，点，在上，，交于点．若．则的度数为（ ）


A. B. C. D.
【7题答案】
【答案】B
【解析】
【分析】先根据圆周角定理得到∠，再根据等弧所对的弦相等，得到，∠，最后根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，得到∠CAD=，∠BAG=，即可求解．
【详解】解：∵是的直径
∴∠
∵
∴
∴∠
∵
∴∠
∴∠
∴∠
故选：B．
【点睛】此题主要考查圆周角定理和弧、弦及圆周角之间的关系，熟练掌握圆周角定理和三者之间的关系是解题关键．
8. 如图，抛物线交轴于点，，交轴于点．若点坐标为，对称轴为直线，则下列结论错误的是（ ）

A. 二次函数最大值为
B.
C.
D.
【8题答案】
【答案】D
【解析】
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、与x轴、y轴的交点以及过特殊点时相应的系数a、b、c满足的关系进行综合判断即可．
【详解】解：抛物线y＝ax2＋bx＋c过点A（−4，0），对称轴为直线x＝−1，
因此有：x＝−1＝−，即2a−b＝0，因此选项D符合题意；
当x＝−1时，y＝a−b＋c的值最大，选项A不符合题意；
由抛物线的对称性可知，抛物线与x轴的另一个交点为（2，0），
当x＝1时，y＝a＋b＋c＞0，因此选项B不符合题意；
抛物线与x轴有两个不同交点，因此b2−4ac＞0，故选项C不符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，掌握抛物线的位置与系数a、b、c的关系是正确判断的前提．
9. 如图，在矩形中，，，点E在边上，，垂足为F．若，则线段的长为（ ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【9题答案】
【答案】B
【解析】
【分析】证明△AFD∽△EBA，得到，求出AF，即可求出AE，从而可得EF.
【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD=3，BC=AD=10，AD∥BC，
∴∠AEB=∠DAF，
∴△AFD∽△EBA，
∴，
∵DF=6，
∴AF=，
∴，
∴AE=5，
∴EF=AF-AE=8-5=3.
故选B.
【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法.
10. 如图，矩形对角线，交于点，，，过点作，交于点，过点作，垂足为，则的值为（ ）

A. B. C. D.
【10题答案】
【答案】C
【解析】
【分析】根据勾股定理求出AC=BD=10，由矩形的性质得出AO=5，证明得到OE的长，再证明可得到EF的长，从而可得到结论．
【详解】∵四边形ABCD是矩形，
，
，
，
，，
，
，

，
又，
，
，
，
，，
，
同理可证，，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质和相似三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解答此题的关键．
11. 已知二次函数的图象经过与两点，关于的方程有两个根，其中一个根是3．则关于的方程有两个整数根，这两个整数根是（ ）
A. 或0 B. 或2 C. 或3 D. 或4
【11题答案】
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可得方程的两个根是﹣3，1，方程在y的基础上加m，可以理解为二次函数的图象沿着y轴平移m个单位,由此判断加m后的两个根,即可判断选项．
【详解】二次函数的图象经过与两点，即方程的两个根是﹣3和1，
可以看成二次函数y的图象沿着y轴平移m个单位,得到一个根3，
由1到3移动2个单位，可得另一个根为﹣5.由于0＜n＜m，
可知方程的两根范围在﹣5~﹣3和1~3，
由此判断B符合该范围．
故选B．
【点睛】本题考查二次函数图象与一元二次方程的综合,关键在于方程加减任意数值可理解为在图像上进行平移．
12. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，CD⊥AB于点D．点P从点A出发，沿A→D→C的路径运动，运动到点C停止，过点P作PE⊥AC于点E，作PF⊥BC于点F．设点P运动的路程为x，四边形CEPF的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的图象（　　）

A.
B.
C.
D
【12题答案】
【答案】A
【解析】
【分析】由题意易得AB=4，则有AD=BD=2，进而可分两种情况讨论：根据PE⊥AC，PF⊥BC，可得四边形CEPF是矩形和正方形，设点P运动的路程为x，四边形CEPF的面积为y，进而可得能反映y与x之间的函数关系式，从而可得图象．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，
∴，
∵CD⊥AB，
∴，
∵PE⊥AC，PF⊥BC，
∴四边形CEPF是矩形，
∴，
∵点P运动的路程为x，
∴当点P从点A出发，沿A→D路径运动时，即，，
∴，
∴，
∴四边形CEPF的面积为，
∴当时，抛物线开口向下；
当点P沿D→C路径运动时，即，
∵CD是∠ACB的平分线，
∴PE=PF，
∴四边形CEPF是正方形，
∵AD=2，PD=x-2，
∴CP=4-x，
∴，
∴当时，抛物线开口向上，
综上所述：能反映y与x之间函数关系的图象只有A选项符合；
故选A．
【点睛】本题主要考查函数图象、正方形的性质与判定及二次函数图象与性质，熟练掌握函数图象、正方形的性质与判定及二次函数图象与性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，只要求填出最后结果）
13. 如图是一个几何体的三视图，根据图中所示数据求得这个几何体的侧面积是________（结果保留）．

【13题答案】
【答案】24π cm²
【解析】
【分析】根据三视图确定该几何体是圆柱体，再计算圆柱体的侧面积．
【详解】解：先由三视图确定该几何体是圆柱体，底面半径是4÷2=2cm，高是6cm，
圆柱的侧面展开图是一个长方形，长方形的长是圆柱的底面周长，长方形的宽是圆柱的高，
且底面周长为：2π×2=4π(cm)，
∴这个圆柱的侧面积是4π×6=24π(cm²)．
故答案为：24π cm²．
【点睛】此题主要考查了由三视图确定几何体和求圆柱体的侧面积，关键是根据三视图确定该几何体是圆柱体．
14. 如图所示，是放置在正方形网格中的一个角，则的值是________．

【14题答案】
【答案】
【解析】
【分析】由题意可知，要求出答案首先需要构造出直角三角形，连接AB，设小正方形的边长为1，可以求出OA、OB、AB的长度，由勾股定理的逆定理可得是直角三角形，再根据三角函数的定义可以求出答案.
【详解】连接AB如图所示：

设小正方形的边长为1，
∴==10，，，
∴是直角三角形，
∴，
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理和正弦函数的定义，熟练掌握技巧即可得出答案.
15. 如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，OC⊥OA于点O，OC交AB于点P．若∠BPC＝70°，则∠BCO的度数等于_____°．

【15题答案】
【答案】40
【解析】
【分析】先利用垂直的定义、对顶角的性质和计算出∠A＝20°，则∠OBA＝20°，再根据切线的性质得到∠OBC＝90°，则可计算出∠PBC＝70°，然后根据三角形内角和计算∠BCP的度数．
【详解】解：∵OC⊥OA，
∴∠AOC＝90°，
∵∠APO＝∠BPC＝70°，
∴∠A＝90°﹣∠APO＝20°，
∵OB＝OA，
∴∠OBA＝∠A＝20°，
∵BC为⊙O的切线，
∴OB⊥BC，
∴∠OBC＝90°，
∴∠PBC＝∠OBC﹣∠OBA＝90°﹣20°＝70°，
∵∠BCP+∠BPC+∠PBC＝180°，
∴∠BCP＝180°﹣70°﹣70°＝40°．
故答案为40．
【点睛】此题主要考查切线的综合性质应用，解题的关键是熟知切线的性质、三角形的内角和定理．
16. 如图，一次函数的图象与轴和轴分别交于点和点与反比例函数上的图象在第一象限内交于点轴，轴，垂足分别为点，当矩形与的面积相等时，的值为__________．

【16题答案】
【答案】
【解析】
【分析】根据题意由反比例函数的几何意义得：再求解的坐标及建立方程求解即可．
【详解】解： 矩形，在上，

把代入：


把代入：



由题意得：
解得：（舍去）

故答案为：
【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的性质，掌握反比例函数中的几何意义，一次函数与坐标轴围成的三角形面积的计算是解题的关键．
17. 如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，DE与AC交于点G，连接BE交AD于点F．若DG=GE，AF=3 ，BF=2，△ADG的面积为2，则点F到BC的距离为_____．

【17题答案】
【答案】
【解析】
【分析】由DG=GE及△ADG的面积为2，可得△ADE的面积为4，由翻折的性质可得△ABD的面积为4，根据面积公式可求得AD的长，从而可得DF的长，再由面积相等即可求得点F到BC的距离．
【详解】∵DG=GE，且△ADG的面积为2
∴
根据翻折的性质得：AD⊥BE，且
∴
∴AD=4
∴FD=AD-AF=4-3=1
在中，由勾股定理得
设点F到BC的距离为h，则
即
故答案为：．
【点睛】本题考查了翻折的性质，勾股定理，与三角形中线有关求面积等知识，求点F到直线BC的距离用到了等积法．
18. 某快递公司在甲地和乙地之间共设有29个服务驿站（包括甲站、乙站），一辆快递货车由甲站出发，依次途经各站驶往乙站，每停靠一站，均要卸下前面各站发往该站的货包各1个，又要装上该站发往后面各站的货包各1个．在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是_____个．
【18题答案】
【答案】210
【解析】
【详解】根据理解题意找出题目中所给的等量关系，找出规律，写出货包数量的函数解析式，再根据二次函数最值的求法求出快递货车装载的货包数量最多的站．
【解答】解：当一辆快递货车停靠在第x个服务驿站时，
快递货车上需要卸下已经通过的（x﹣1）个服务驿站发给该站的货包共（x﹣1）个，
还要装上下面行程中要停靠的（n﹣x）个服务驿站的货包共（n﹣x）个．
根据题意，完成下表：
服务驿站序号
在第x服务驿站启程时快递货车货包总数
1
n﹣1
2
（n﹣1）﹣1+（n﹣2）＝2（n﹣2）
3
2（n﹣2）﹣2+（n﹣3）＝3（n﹣3）
4
3（n﹣3）﹣3+（n﹣4）＝4（n﹣4）
5
4（n﹣4）﹣4+（n﹣5）＝5（n﹣5）
…
…
n
0
由上表可得y＝x（n﹣x）．当n＝29时，y＝x（29﹣x）＝﹣x2+29x＝﹣（x﹣14.5）2+210.25，
当x＝14或15时，y取得最大值210．
答：在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是210个．
故答案为：210．
【点评】本题考查了规律型：数字的变化类，二次函数的性质在实际生活中的应用，二次函数的最值在x＝﹣时取得．
三、解答题（本大题共7小题，共66分，写出必要的运算、推理过程）
19. 先化简，再求值：，其中a=2．
【19题答案】
【答案】，1．
【解析】
【分析】先将分式进行化简，再把a的值代入化简的结果中求值即可．
【详解】




当a=2时，原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，解决本题的关键是进行分式的化简．
20. 自新冠肺炎疫情爆发以来，我国人民上下一心，团结一致，基本控制住了疫情．然而，全球新冠肺炎疫情依然严重，境外许多国家的疫情尚在继续蔓延，疫情防控不可松懈． 如图是某国截止5月31日新冠病毒感染人数的扇形统计图和折线统计图．

根据上面图表信息，回答下列问题：
（1）截止5月31日该国新冠肺炎感染总人数累计为 万人，扇形统计图中40-59岁感染人数对应圆心角的度数为 º ；
（2）请直接在图中补充完整该国新冠肺炎感染人数的折线统计图；
（3）在该国所有新冠肺炎感染病例中随机地抽取1人，求该患者年龄为60岁或60岁以上的概率；
（4）若该国感染病例中从低到高各年龄段的死亡率依次为、、、、，求该国新冠肺炎感染病例的平均死亡率．
【20题答案】
【答案】（1），；（2）见解析；（3）；（4）
【解析】
【分析】（1）利用岁感染的人数有万人，占比可求得总人数；利用总人数可求扇形统计图中40-59岁感染人数所占百分比，从而可求扇形图中所对应的圆心角；
（2）先求解感染人数，然后直接补全折线统计图即可；
（3）先求解患者年龄为60岁或60岁以上的人数，直接利用概率公式计算即可；
（4）先求解全国死亡的总人数，再利用平均数公式计算即可．
【详解】解：（1）由岁感染的人数有万人，占比
截止5月31日该国新冠肺炎感染总人数累计为（万人），
扇形统计图中40-59岁感染人数占比：
扇形统计图中40-59岁感染人数对应圆心角的度数为：
故答案为：，；
（2）补全的折线统计图如图2所示；
感染人数为：万人，
补全图形如下：

（3）该患者年龄为60岁及以上的概率为：
；
（4）该国新冠肺炎感染病例的平均死亡率为：
．
【点睛】本题考查的是从扇形统计图，折线统计图中获取信息，考查了扇形统计图某部分所对应的圆心角的计算，考查总体数量的计算，考查了平均数的计算，同时考查简单随机事件的概率，掌握以上知识是解题的关键．
21. 图①是某车站一组智能通道闸机，当行人通过时智能闸机会自动识别行人身份，识别成功后，两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，这时行人即可通过．图②是两圆弧翼展开时的截面图，扇形和是闸机的“圆弧翼”，两圆弧翼成轴对称，和均垂直于地面，扇形的圆心角，半径，点与点在同一水平线上，且它们之间的距离为．

（1）求闸机通道的宽度，即与之间的距离（参考数据：，，）；
（2）经实践调查，一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的倍，人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约分钟，求一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数．
【21题答案】
【答案】（1）与之间的距离为；（2）一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为人．
【解析】
【分析】（1）连接，并向两方延长，分别交，于点，,则，,根据的长度就是与之间的距离，依据解直角三角形，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度；
（2）设一个人工检票口平均每分钟检票通过的人数为人，根据“一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的倍，人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约分钟”列出分式方程求解即可；还可以设一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为人，根据题意列方程求解．
【详解】解：连接，并向两方延长，分别交，于点，．

由点与点在同一水平线上，，均垂直于地面可知，，，所以的长度就是与之间的距离．同时，由两圆弧翼成轴对称可得．
在中，，，，
，

．
．
与之间的距离为．
（1）解法一：设一个人工检票口平均每分钟检票通过的人数为人．
根据题意，得
解，得．
经检验是原方程的解
当时，
答：一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为人．
解法二：设一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为人．
根据题意，得．
解，得
经检验是原方程的解．
答：一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为人．
【点睛】本题考查了解直角三角形及列分式方程解应用题，关键是掌握含30度的直角直角三角形的性质．
22. 如图，反比例函数y＝与一次函数y＝﹣x﹣（k+1）的图象在第二象限的交点为A，在第四象限的交点为C，直线AO（O为坐标原点）与函数y＝的图象交于另一点B．过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，两直线相交于点E，△AEB的面积为6．

（1）求反比例函数y＝的表达式；
（2）求点A，C的坐标和△AOC的面积．
【22~23题答案】
【答案】（1）y＝﹣
（2）点A（﹣1，3），点C（3，﹣1），S△AOC＝4
【解析】
【分析】由题意得，点A与点B关于原点对称，即OA＝OB，从而得到 ，进一步求得△AOM的面积，即可求得k的值；
先求出一次函数与y轴的交点坐标，再用割补法计算即可．
【小问1详解】
由题意得，点A与点B关于原点对称，即OA＝OB，
∴＝（）2＝，
又△AEB的面积为6，
∴S△AOM＝S△ABE＝×6＝＝|k|，
∴k＝﹣3，k＝3（舍去），
∴反比例函数关系式为y＝﹣ ；
【小问2详解】
由k＝﹣3可得一次函数y＝﹣x+2，由题意得，
，解得，，，
又A在第二象限，点C在第四象限，
∴点A（﹣1，3），点C（3，﹣1），
一次函数y＝﹣x+2与y轴的交点N的坐标为（0，2），
∴S△AOC＝S△CON+S△AON＝×2×（1+3）＝4．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点的问题，识图是解题的关键．
23. 如图，在平行四边形ABCD中，∠D＝60°，对角线AC⊥BC，⊙O经过点A，B，与AC交于点M，连接AO并延长与⊙O交于点F，与CB的延长线交于点E，AB＝EB．
（1）求证：EC是⊙O的切线；
（2）若AD＝2，求的长（结果保留π）．

【23题答案】
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）证明：连接OB，根据平行四边形的性质得到∠ABC＝∠D＝60°，求得∠BAC＝30°，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质得到∠ABO＝∠OAB＝30°，于是得到结论；
（2）根据平行四边形的性质得到BC＝AD＝2，过O作OH⊥AM于H，则四边形OBCH是矩形，解直角三角形即可得到结论．
【详解】（1）证明：连接OB，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠D＝60°，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝30°，
∵BE＝AB，
∴∠E＝∠BAE，
∵∠ABC＝∠E+∠BAE＝60°，
∴∠E＝∠BAE＝30°，
∵OA＝OB，
∴∠ABO＝∠OAB＝30°，
∴∠OBC＝30°+60°＝90°，
∴OB⊥CE，
∴EC是⊙O的切线；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝2，
过O作OH⊥AM于H，

则四边形OBCH是矩形，
∴OH＝BC＝2，
∴OA＝＝4，∠AOM＝2∠AOH＝60°，
∴的长度＝＝．
【点睛】本题考查了切线的判定，锐角三角函数，平行四边形的性质，矩形的判定和性质，弧长的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
24. 问题背景：如图（1），已知，求证：；
尝试应用：如图（2），在和中，，，与相交于点．点在边上，，求的值；
拓展创新：如图（3），是内一点，，，，，直接写出的长．

【24题答案】
【答案】问题背景：见详解；尝试应用：3；拓展创新：．
【解析】
【分析】问题背景：通过得到，，再找到相等的角，从而可证；
尝试应用：连接CE，通过可以证得，得到，然后去证，，通过对应边成比例即可得到答案；
拓展创新：在AD的右侧作∠DAE=∠BAC，AE交BD延长线于E，连接CE，通过，，然后利用对应边成比例即可得到答案．
【详解】问题背景：∵，
∴∠BAC=∠DAE， ，
∴∠BAD+∠DAC=CAE+∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，
∴；
尝试应用：连接CE，

∵，，
∴，
∴，
∵∠BAD+∠DAC=CAE+∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，
∴，
∴，
由于，，
∴，
即，
∵，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
又∵
∴，
∴；
拓展创新：
如图，在AD的右侧作∠DAE=∠BAC，AE交BD延长线于E，连接CE，

∵∠ADE=∠BAD+∠ABD，∠ABC=∠ABD+∠CBD，，
∴∠ADE=∠ABC，
又∵∠DAE=∠BAC，
∴，
∴，
又∵∠DAE=∠BAC，
∴∠BAD=∠CAE，
∴，
∴，
设CD=x，在直角三角形BCD中，由于∠CBD=30°，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
【点睛】本题考查了相似三角形的综合问题，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
25. 如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，顶点为D，连接与抛物线的对称轴l交于点E．

（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是第一象限内抛物线上的动点，连接，当时，求点P的坐标；
（3）点N是对称轴l右侧抛物线上的动点，在射线上是否存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【25题答案】
【答案】（1）；（2）；（3）在射线上存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与相似，点M的坐标为：，或．
【解析】
【分析】（1）直接将和点代入，解出a，b的值即可得出答案；
（2）先求出点C的坐标及直线BC的解析式，再根据图及题意得出三角形PBC的面积；过点P作PG轴，交轴于点G，交BC于点F，设，根据三角形PBC的面积列关于t的方程，解出t的值，即可得出点P的坐标；
（3）由题意得出三角形BOC为等腰直角三角形，然后分MN=EM，MN=NE，NE=EM三种情况讨论结合图形得出边之间的关系，即可得出答案．
【详解】（1）抛物线过点和点


抛物线解析式为：
（2）当时，

直线BC解析式为：


过点P作PG轴，交轴于点G，交BC于点F
设



即



（3）
为等腰直角三角形
抛物线的对称轴为
点E的横坐标为3
又点E在直线BC上
点E的纵坐标为5

设
①当MN=EM，,时

解得或（舍去）
此时点M的坐标为

②当ME=EN，时

解得：或（舍去）
此时点M的坐标为


③当MN=EN，时
连接CM，易知当N为C关于对称轴l的对称点时，，
此时四边形CMNE为正方形




解得：（舍去）
此时点M的坐标为

在射线上存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与相似，点M的坐标为：，或．
【点睛】本题是一道综合题，涉及到二次函数的综合、相似三角形的判定及性质、等腰三角形的性质、勾股定理、正方形的性质等知识点，综合性比较强，解答类似题的关键是添加合适的辅助线．