考向20 图形的相似（能力提升）-2021年中考数学一轮基础知识复习和专题巩固提升训练课件PPT

考向20   图形的相似

【知识梳理】

考点一、比例线段

1. 比例线段的相关概念

如果选用同一长度单位量得两条线段a，b的长度分别为m，n，那么就说这两条线段的比是，或写成a：b=m：n.在两条线段的比a：b中，a叫做比的前项，b叫做比的后项.

在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.

若四条a，b，c，d满足或a：b=c：d，那么a，b，c，d叫做组成比例的项，线段a，d叫做比例外项，线段b，c叫做比例内项.

如果作为比例内项的是两条相同的线段，即或a：b=b：c，那么线段b叫做线段a，c的比例中项.

2、比例的基本性质：①a：b=c：dad=bc   ②a：b=b：c.

3、黄金分割

把线段AB分成两条线段AC，BC（AC>BC），并且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC=AB≈0.618AB.

考点二、相似图形

1.相似图形：我们把形状相同的图形叫做相似图形.　也就是说：两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到的.(全等是特殊的相似图形).
    2.相似多边形：对应角相等，对应边的比相等的两个多边形叫做相似多边形.
    3.相似多边形的性质：
　　相似多边形的对应角相等，对应边成的比相等.
　　相似多边形的周长的比等于相似比，相似多边形的面积的比等于相似比的平方.
    4.相似三角形的定义：形状相同的三角形是相似三角形.
    5.相似三角形的性质：
　　(1)相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.
　　(2)相似三角形对应边上的高的比相等，对应边上的中线的比相等，对应角的角平分线的比相等，都等于相似比.
　　(3)相似三角形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方.

方法指导：

结合两个图形相似，得出对应角相等，对应边的比相等，这样可以由题中已知条件求得其它角的度数和线段的长.对于复杂的图形，采用将部分需要的图形(或基本图形)“抽”出来的办法处理.
    6.相似三角形的判定：
　　(1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；
　　(2)如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；
　　(3)如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似；
　　(4)如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.
　　(5)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边的比对应相等，那么这两个三角形相似.
    考点三、位似图形

1.位似图形的定义：
　　两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，不经过交点的对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫位似中心.
    2.位似图形的分类：
　　(1)外位似：位似中心在连接两个对应点的线段之外.
　　(2)内位似：位似中心在连接两个对应点的线段上.
    3.位似图形的性质
　　位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；
　　位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；
　　位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.

方法指导：

位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.
    4.作位似图形的步骤
　　第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；
　　第二步：作位似中心与各关键点连线；
　　第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；
　　第四步：顺次连接截取点.
    方法指导：
　　在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.

【专项训练】

一、选择题

1．如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=2，CD=1，点P在四边形ABCD的边上．若P到BD的距离为1，则点P的个数为（　　）．

A．1  

B．2  

C．3 　　

D．4

2. 如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，按如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则S△BCE：S△BDE等于（　　）．

A.　2：5　　B.　14:25　　C.　16:25　　D.　4:21

3.如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，CE和BD交于点O，设△OCD的面积为m，△OEB的面积为，则下列结论中正确的是（　　）

A．m=5 B．m=4 C．m=3 D．m=10

4.如图所示，平地上一棵树高为6米，两次观察地面上的影子，第一次是当阳光与地面成60°时，第二次是阳光与地面成30°时，第二次观察到的影子比第一次长(　　)．

A．　 B.　　C.　　D.

5．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，四边形ACDE是平行四边形，连接CE交AD于点F，连接BD交CE于点G，连接BE．下列结论中：①CE=BD②△ADC是等腰直角三角形③∠ADB=∠AEB④CD•AE=EF•CG；一定正确的结论有（　　）．

A．1个 　B．2个 　C．3个　 D．4个

6．如图，中，于一定能确定为直角三角形的条件的个数是（    ）．

①②③

④⑤

A．1　  B．2     C．3     D．4

二、填空题

7.如图已知△ABC的面积是的等边三角形，△ABC∽△ADE，AB=2AD，∠BAD=45°，AC与DE相交于点F，则△AEF的面积等于__________（结果保留根号）.

8. 已知三个边长分别为2、3、5的正三角形从左到右如图排列，则图中阴影部分面积为　　　．

9.如图，等边三角形ABC的边长为3，点P为BC边上一点，且BP=1，点D为AC边上一点，若∠APD=60°，则CD的长为　　　．

10．如图，在直角三角形ABC中（∠C=90°），放置边长分别3，4，x的三个正方形，则x的值为　　　　　．

11.如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为，，则+的值为　　　　．

12. 已知正方形ABC1D1的边长为1，延长C1D1到A1，以A1C1为边向右作正方形A1C1C2D2，延长C2D2到A2，以A2C2为边向右作正方形A2C2C3D3（如图所示），以此类推…．若A1C1=2，且点A，D2，D3，…，D10都在同一直线上，则正方形A9C9C10D10的边长是　    　．

三、解答题

13.如图，正方形ABCD的边长为2，点E，F分别是DC和BC两边上的动点且始终保持∠EAF=45°，连接AE与AF交DB于点N，M．下列结论：①△ADM∽△NBA；②△CEF的周长始终保持不变其值是4；③AE×AM=AF×AN；④DN2+BM2=NM2．其中正确的结论有哪些？

14. 如图（1），△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB=EF=9，∠BAC＝∠DEF＝90°，固定△ABC，将△EFD绕点A顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止.不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE、DF（或它们的延长线）分别交BC（或它的延长线）于G、H点，如图（2）.

（1）问：始终与△AGC相似的三角形有及；

（2）设CG＝x，BH＝y，求y关于x的函数关系式（只要求根据2的情况说明理由）；

（3）问：当x为何值时，△AGH是等腰三角形？

15.已知:直角梯形OABC中，BC∥OA，∠AOC=90°，以AB为直径的圆M交OC于D．E，连结AD、BD、BE.

(1)在不添加其他字母和线的前提下，直接写出图1中的两对相似三角形.

_____________________，______________________；

(2)直角梯形OABC中，以O为坐标原点，A在x轴正半轴上建立直角坐标系（如图2），若抛物线经过点A．B．D，且B为抛物线的顶点.

①写出顶点B的坐标（用a的代数式表示）___________；

②求抛物线的解析式；

③在x轴下方的抛物线上是否存在这样的点P：过点P做PN⊥x轴于N，使得△PAN与△OAD相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.

16．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=30，AB=50．点P是AB边上任意一点，直线PE⊥AB，与边AC或BC相交于E．点M在线段AP上，点N在线段BP上，EM=EN，sin∠EMP=．

（1）如图1，当点E与点C重合时，求CM的长；

（2）如图2，当点E在边AC上时，点E不与点A、C重合，设AP=x，BN=y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；

（3）若△AME∽△ENB（△AME的顶点A、M、E分别与△ENB的顶点E、N、B对应），求AP的长．

图1                    图2                   备用图

答案与解析

一．选择题

1．【答案】B．

2．【答案】B．

3．【答案】B；

【解析】∵AB∥CD，

∴△OCD∽△OEB，

又∵E是AB的中点，

∴2EB=AB=CD，

∴=（）2，即=（）2，

解得m=4．故选B．

4．【答案】B．

5．【答案】Ｄ；

【解析】①利用SAS证明△BAD≌△CAE，可得到CE=BD，
②利用平行四边形的性质可得AE=CD，再结合△ADE是等腰直角三角形可得到△ADC是等腰直角三角形；
③利用SAS证明△BAE≌△BAD可得到∠ADB=∠AEB；
④利用已知得出∠GFD=∠AFE，以及∠GDF+∠GFD=90°，得出∠GCD=∠AEF，进而得出△CGD∽△EAF，得出比例式．

6．【答案】Ｃ；

【解析】①因为∠A+∠2=90°，∠1=∠A，所以∠1+∠2=90°，即△ABC为直角三角形，故正确；
②根据CD2=AD•DB得到，再根据∠ADC=∠CDB=90°，则△ACD∽△CBD，∴∠1=∠A，∠2=∠B，根据三角形内角和定理可得：∠ACB=90°，故正确；
③因为∠B+∠2=90°，∠B+∠1=90°，所以推出∠1=∠2，无法得到两角和为90°，故错误；
④设BC的长为3x，那么AC为4x，AB为5x，由9x2+16x2=25x2，符合勾股定理的逆定理，故正确；
⑤由三角形的相似无法推出AC•BD=AD•CD成立，所以△ABC不是直角三角形，故错误．
所以正确的有三个．故选C．

二．填空题

7．【答案】．

8．【答案】．

9．【答案】；

【解析】∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，
∵∠APB=∠PAC+∠C，∠PDC=∠PAC+∠APD，
∵∠APD=60°，∴∠APB=∠PAC+60°，∠PDC=∠PAC+60°，∴∠APB=∠PDC，
又∵∠B=∠C=60°，∴△ABP∽△PCD，
∴，即，
∴CD=．

10．【答案】７；

【解析】根据已知条件可以推出△CEF∽△OME∽△PFN然后把它们的直角边用含x的表达式表示出来，利用对应边的比相等，即可推出x的值答题．

11.【答案】17；

【解析】如图，设正方形S2的边长为x，
根据等腰直角三角形的性质知，AC=x，x=CD，
∴AC=2CD，CD=2，∴EC2=22+22，即EC=2，∴S2的面积为EC2=8，
∵S1的边长为3，S1的面积为3×3=9，
∴S1+S2=8+9=17．

12．【答案】．

【解析】延长D4A和C1B交于O，

∵AB∥A2C1，

∴△AOB∽△D2OC2，

∴=，

∵AB=BC1=1，DC2=C1C2=2，

∴==

∴OC2=2OB，

∴OB=BC2=3，

∴OC2=6，

设正方形A2C2C3D3的边长为x1，

同理证得：△D2OC2∽△D3OC3，

∴=，解得，x1=3，

∴正方形A2C2C3D3的边长为3，

设正方形A3C3C4D4的边长为x2，

同理证得：△D3OC3∽△D4OC4，

∴=，解得x2=，

∴正方形A3C3C4D4的边长为；

设正方形A4C4C5D5的边长为x3，

同理证得：△D4OC4∽△D5OC5，

∴=，解得x=，

∴正方形A4C4C5D5的边长为；

以此类推…．

正方形An﹣1Cn﹣1CnDn的边长为；

∴正方形A9C9C10D10的边长为．

故答案为．

三.综合题

13．【解析】解：①∠ANB=∠NDA+∠NAD=45°+∠NAD，∠MAD=∠MAN+∠NAD=45°+∠NAD，

∴∠ANB=∠MAD，又∠ADM=∠ABN=45°，

∴△ADM∽△NBA，①正确；

②如图1，把△ADE顺时针旋转90°得到△ABG，则BG=DE，∠FAG=∠FAB+∠DAE=45°，

在△AEF和△AGF中，

，

∴△AEF≌△AGF，

∴DG=EF，

∴△CEF的周长=CE+CF+EF=CE+DE+CF+FG=4，②正确；

③当MN∥EF时，AE×AM=AF×AN，

∵MN与EF的位置关系不确定，∴③错误；

④如图2，把△ADN顺时针旋转90°得到△ABH，则BH=DN，∠MAH=∠MAB+∠BAH=∠MAB+∠DAN45°，

在△NAM和△HAM中，

，

∴△AEF≌△AGF，

∴MN=MH，

又∵∠MBH=∠MBA+∠ABH=90°，

∴BH2+BM2=MH2，即DN2+BM2=NM2，④正确．

∴正确的结论有：①②④.

14．【解析】（1）△HGA及△HAB；

（2）由（1）可知△AGC∽△HAB

∴，即，

所以，

（3）当CG＜时，∠GAC=∠H＜∠HAC，∴AC＜CH

∵AG＜AC，∴AG＜GH

又AH＞AG，AH＞GH

此时，△AGH不可能是等腰三角形；

当CG=时，G为BC的中点，H与C重合，△AGH是等腰三角形；

此时，GC=，即x=

当CG＞时，由（1）可知△AGC∽△HGA

所以，若△AGH必是等腰三角形，只可能存在AG=AH

若AG=AH，则AC=CG，此时x=9

综上，当x=9或时，△AGH是等腰三角形．

15．【解析】（1）△OAD∽△CDB.△ADB∽△ECB；

（2）①（1，－4a）；

②∵△OAD∽△CDB

∴

∵ax2－2ax－3a=0，可得A（3，0）

又OC=－4a，OD=－3a，CD=－a，CB=1，

∴，　∴，　

∵，　　∴．

故抛物线的解析式为： ．

③存在，设P（x，－x2+2x+3），

∵△PAN与△OAD相似，且△OAD为等腰三角形，

∴PN=AN．

当x<0（x<－1）时，－x+3=－(－x2+2x+3)，x1=－2，x2=3(舍去)，

∴P（－2，－5），

当x>0（x>3）时，x－3=－(－x2+2x+3)，x1=0，x2=3(都不合题意舍去)，

符合条件的点P为（－2，－5）．

16.【解析】

（1）∵∠ACB=90°，∴AC===40．

∵S==,

∴CP===24．

在Rt△CPM中，∵sin∠EMP=，

∴．

∴CM===26．

（2）由△APE∽△ACB，得，即，∴PE=．

在Rt△MPE中，∵sin∠EMP=，∴．

∴EM===．

∴PM=PN===．

∵AP+PN+NB=50，∴x++y=50．

∴y=(0<x<32)．

（3）①当点E在线段AC上时，

△AME∽△ENB，．

∵EM=EN，∴．

设AP=x，由（2）知EM=，AM==，NB=．

∴

解得x1=22，x2=0（舍去），即AP=22．

②当点E在线段BC上时，

根据外角定理，△ACE∽△EPM，

∴．

∴CE==．

设AP=x，易得BE=，

∴CE=30．

∴30=．

解得x=42．即AP=42．

∴AP的长为22或42．