专题20 函数综合大题-中考一轮复习之热点题型练习（全国通用）

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1．一次函数y＝kx+4与二次函数y＝ax2+c的图象的一个交点坐标为（1，2），另一个交点是该二次函数图象的顶点．
（1）求k，a，c的值；
（2）过点A（0，m）（0＜m＜4）且垂直于y轴的直线与二次函数y＝ax2+c的图象相交于B，C两点，点O为坐标原点，记W＝OA2+BC2，求W关于m的函数解析式，并求W的最小值．
2．已知二次函数y＝ax2﹣bx﹣3的图象经过点（﹣1，0）（3，0）．
（1）求a，b的值；
（2）求当﹣3≤x≤2时，y的最大值与最小值的差；
（3）一次函数y＝（m﹣2）x+m﹣2的图象与二次函数y＝ax2﹣bx﹣3的图象的交点坐标是（x1，y1），（x2，y2）且x1＜0＜x2时，求函数w＝y1﹣y2的最大值．
3．如图，二次函数y＝ax2+4x+c的图象与一次函数y＝x﹣3的图象交于A、B两点，点A在y轴上，点B在x轴上，一次函数的图象与二次函数图象的对称轴交于点M．
（1）求a、c的值和点M的坐标；
（2）点P是该二次函数图象上A、B两点之间的一动点，点P的坐标为（x，n）（0＜x＜3），m＝PM2，求m关于n的函数关系式，并求当n取何值时，m的值最小，最小值是多少？
4．二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）的图象经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，交y轴于点C．
（1）求a，b的值；
（2）点P为二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）的图象上一动点，且位于第一象限，设△ABP的面积为S1，△CBP的面积为S2，记w＝S1﹣2S2+1，求w的最小值．
5．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，设抛物线y＝x2﹣2bx﹣4的顶点为A．直线y＝kx（k＞0）与抛物线y＝x2﹣2bx﹣4交于A，B两点OA＝OB．
（1）求k，b的值；
（2）若点P在线段OB上任意一点，过P作x轴的垂线，垂足为C，PC的延长线交抛物线y＝x2﹣2bx﹣4于点D，求线段PD+OC的最大值．
6．在平面直角坐标系中，已知关于x的两个二次函数y＝（n+1）x2+（n+1）x和y＝（1﹣n）x2+（n﹣1）x的顶
点分别为A，B，设点A的纵坐标为a，点B的纵坐标为b．
（1）求两个顶点A，B之间的距离；
（2）已知坐标原点为O，记ω＝16OA2﹣8OB2，求ω关于n的函数解析式，并求ω的最小值．
7．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣x+c与x轴交于点A、B，点B的坐标为（1，0），与y轴交于点C，直线y＝kx+2经过A、C两点．
（1）求a、c、k的值；
（2）若点D为线段AC上的一个动点，过点D作DE∥y轴，交抛物线于点E，过E作EF⊥y轴，交直线AC于点F，以DE、EF为边作矩形DEFG，设矩形DEFG的周长为l，求l的最大值；
8．在平面直角坐标系中，平移抛物线y＝x2，使其与x轴和y轴分别相交于A（4，0），B（0，﹣4）两点．
（1）求平移后所得的抛物线的函数表达式；
（2）设点P（m，n）是平移后的抛物线的AB段上一个动点，过点P分别作x轴和y轴的垂线与直线AB相交于M，N两点，记W＝PM+PN，求W关于m的函数表达式，并求W的最大值．
9．在直角坐标系中，设函数y＝ax2+bx+1（a，b是常数，a≠0）．
（1）若该函数的图象经过（1，0）和（2，1）两点，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标；
（2）写出一组a，b的值，使函数y＝ax2+bx+1的图象与x轴有两个不同的交点，并说明理由．
（3）已知a＝b＝1，当x＝p，q（p，q是实数，p≠q）时，该函数对应的函数值分别为P，Q．若p+q＝2，求证：P+Q＞6．
10．已知：二次函数y＝x2﹣2mx﹣m2+4m﹣2的对称轴为l，抛物线与y轴交于点C，顶点为D．
（1）判断抛物线与x轴的交点情况；
（2）如图1，当m＝1时，点P为第一象限内抛物线上一点，且△PCD是以PD为腰的等腰三角形，求点P的坐标；
（3）如图2，直线y＝mx和抛物线交于点A、B两点，与l交于点M，且MO＝MB，点Q（x0，y0）在抛物线上，当m＞1时，h+12≤﹣my02﹣6my0时，求h的最大值．
【命题二】线段长度和面积大小的最值问题
11．对称轴为直线x＝﹣1的抛物线y＝x2+bx+c，与x轴相交于A，B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0）．
（1）求点B的坐标．
（2）点C是抛物线与y轴的交点，点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．
12．如图，直线l和抛物线y＝ax2+bx+c相交于A、B两点，已知A（2，0）、B（0，﹣2），且该抛物线的对称轴是直线x＝，点C是第四象限内抛物线上的一个动点，点C的横坐标为m．
（1）分别求直线l和抛物线的函数表达式；
（2）过点D作CD⊥l，垂足为D，求出当m为何值时，线段CD有最大值，最大值是多少？
13．定义：对于二次函数y＝a（x+h）2+k，其相依函数为一次函数y'＝a（x+h）+k，例如：二次函数y＝3（x+1）2+2的相依函数为：y'＝3（x+1）+2＝3x+5
（1）求二次函数y＝2x2﹣4x+5的相依函数表达式；
（2）如图，二次函数y＝m（x+2）2﹣3m（m＞0）与其相依函数的图象分别交于点A、B，过该抛物线的顶点作直线l平行于x轴，已知点A到直线l的距离为8．
①证明：该二次函数的顶点在其相依函数的图象上；
②点P为抛物线AB段上的一个动点，求△APB面积的最大值．
14．已知一次函数y＝kx+3与二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象的一个交点坐标为A（3，0），另一个交点B在y轴上，点P为y轴右侧抛物线上的一动点．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）当点P位于直线AB上方的抛物线上时，求△ABP面积的最大值；
（3）当此抛物线在点B与点P之间的部分（含点B和点P）的最高点与最低点的纵坐标之差为9时，请直接写出点P的坐标和△ABP的面积．
15．如图，抛物线y＝a（x﹣2）2﹣2与y轴交于点A（0，2），顶点为B．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点P（t，y1），Q（t+3，y2）都在抛物线上，且y1＝y2，求P，Q两点的坐标；
（3）在（2）的条件下，若点C是线段QB上一动点，经过点C的直线y＝﹣x+m与y轴交于点D，连接DQ，DB，求△BDQ面积的最大值和最小值．
16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，且OC＝2OA．
（1）试求抛物线的解析式；
（2）直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与抛物线交于点P，与直线BC交于点M，记m＝，试求m的最大值及此时点P的坐标．
17．如图，抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，已知A，C两点坐标分别是A（1，0），C（0，﹣2），连接AC，BC．
（1）求抛物线的表达式和AC所在直线的表达式；
（2）将△ABC沿BC所在直线折叠，得到△DBC，点A的对应点D是否落在抛物线的对称轴上？若点D在对称轴上，请求出点D的坐标；若点D不在对称轴上，请说明理由；
（3）若点P是抛物线位于第三象限图象上的一动点，连接AP交BC于点Q，连接BP，△BPQ的面积记为S1，△ABQ的面积记为S2，求的值最大时点P的坐标．
【命题三】函数与线段的交点个数问题
18．已知抛物线y＝x2﹣（m+1）x+2m+3．
（1）当m＝0时，请判断点（2，4）是否在该抛物线上；
（2）该抛物线的顶点随着m的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点坐标；
（3）已知点E（﹣1，﹣1）、F（3，7），若该抛物线与线段EF只有一个交点，求该抛物线顶点横坐标的取值范围．
19．在平面直角坐标系中，已知抛物线C：y＝ax2+2x﹣1（a≠0）和直线l：y＝kx+b，点A（﹣3，﹣3），B（1，﹣1）均在直线l上．
（1）若抛物线C与直线l有交点，求a的取值范围；
（2）若抛物线C与线段AB有两个不同的交点，请直接写出a的取值范围．
20．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，且经过点A（0，），B（2，﹣）．
（1）求b的值（用含a的代数式表示）；
（2）若二次函数y＝ax2+bx+c在1≤x≤3时，y的最大值为1，求a的值；
（3）将线段AB向右平移2个单位得到线段A′B′．若线段A′B′与抛物线y＝ax2+bx+c+4a﹣1仅有一个交点，求a的取值范围．
21．如图，抛物线y＝x2+mx与直线y＝﹣x+b相交于点A（2，0）和点B．
（1）求m和b的值；
（2）求点B的坐标，并结合图象写出不等式x2+mx＞﹣x+b的解集；
（3）点M是直线AB上的一个动点，将点M向左平移3个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线只有一个公共点，直接写出点M的横坐标xM的取值范围．
【命题四】动轴讨论最值问题
22．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+2mx+2m2﹣m的顶点为A．
（1）求顶点A的坐标（用含有字母m的代数式表示）；
（2）若点B（2，yB），C（5，yC）在抛物线上，且yB＞yC，则m的取值范围是 m＜﹣3.5 ；（直接写出结果即可）
（3）当1≤x≤3时，函数y的最小值等于6，求m的值．
23．已知关于x的二次函数y1＝x2+bx+c（实数b，c为常数）．
（1）若二次函数的图象经过点（0，4），对称轴为x＝1，求此二次函数的表达式；
（2）若b2﹣c＝0，当b﹣3≤x≤b时，二次函数的最小值为21，求b的值；
（3）记关于x的二次函数y2＝2x2+x+m，若在（1）的条件下，当0≤x≤1时，总有y2≥y1，求实数m的最小值．
24．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣3与抛物线y＝x2+mx+n相交于A、B两个不同的点，其中点A在x轴上．
（1）n＝ 3m﹣9 （用含m的代数式表示）；
（2）若点B为该抛物线的顶点，求m、n的值；
（3）①设m＝﹣2，当﹣3≤x≤0时，求二次函数y＝x2+mx+n的最小值；
②若﹣3≤x≤0时，二次函数y＝x2+mx+n的最小值为﹣4，求m的值．
【命题五】求坐标的最值问题
25．已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣8（a≠0）经过点（﹣2，0）．
（1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标．
（2）直线l交抛物线于点A（﹣4，m），B（n，7），n为正数．若点P在抛物线上且在直线l下方（不与点A，B重合），分别求出点P横坐标与纵坐标的取值范围．
26．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+c与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B，且OA＝OB，点G为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式及点G的坐标；
（2）点M，N为抛物线上两点（点M在点N的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，点Q为抛物线上点M，N之间（含点M，N）的一个动点，求点Q的纵坐标yQ的取值范围．
27．如图，抛物线y＝x2﹣2x+k+1与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C（0，﹣3）．P为抛物线上一点且在y轴的右侧，横坐标为m．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）当点P在第四象限时，求△BAP面积的最大值；
（3）设此抛物线在点C与点P之间部分（含点C和点P）最高点与最低点的纵坐标之差为h．求h关于m的函数解析式，并写出自变量m的取值范围．
28．已知抛物线G：y＝mx2﹣2mx﹣3有最低点P．
（1）求二次函数y＝mx2﹣2mx﹣3的最小值（用含m的式子表示）；
（2）若点P关于坐标系原点O的对称点仍然在抛物线上，求此时m的值；
（3）将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线G1．经过探究发现，随着m的变化，抛物线G1顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
29．在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（2，3），C（2，1），直线y＝x+m经过点A，抛物线y＝ax2+bx+1恰好经过A，B，C三点中的两点．
（1）判断点B是否在直线y＝x+m上，并说明理由；
（2）求a，b的值；
（3）平移抛物线y＝ax2+bx+1，使其顶点仍在直线y＝x+m上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值．
【命题六】几何图形的存在性问题
30．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知B（3，0），C（0，﹣3），连接BC，点P是抛物线上的一个动点，点N是对称轴上的一个动点．
（1）求该抛物线的函数解析式．
（2）当△PAB的面积为8时，求点P的坐标．
（3）若点P在直线BC的下方，当点P到直线BC的距离最大时，在抛物线上是否存在点Q，使得以点P，C，N，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
31．如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣3，0），B（1，0），交y轴于点 C．点P（m，0）是x轴上的一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）①若点P仅在线段AO上运动，如图，求线段MN的最大值；
②若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
32．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，过点A的直线l交抛物线于点C（2，m）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点P是线段AC上一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，求线段PE最大时点P的坐标．
（3）点F是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点D，使得以点A，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点D的坐标；如果不存在，请说明理由．
33．如图，抛物线y＝﹣x﹣1与y轴交于点A，点B是抛物线上的一点，过点B作BC⊥x轴于点C，且点C的坐标为（9，0）．
（1）求直线AB的表达式；
（2）若直线MN∥y轴，分别与抛物线，直线AB，x轴交于点M、N、Q，且点Q位于线段OC之间，求线段MN长度的最大值；
（3）在（2）的条件下，当四边形MNCB是平行四边形时，求点Q的坐标．
34．已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P在直线BC下方的抛物线上，连接AP交BC于点M，当最大时，求点P的坐标及的最大值；
（3）在（2）的条件下，过点P作x轴的垂线l，在l上是否存在点D，使△BCD是直角三角形，若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．