2022届甘肃青海大联考高三上学期数学（文）试题含解析

2022届甘肃青海大联考高三上学期数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（       ）

A．{1} B．{2} C．{1，2} D．{0，1，2}

【答案】C

【分析】解一元二次不等式求集合，再利用交集的运算求出.

【详解】解：由题得，，

∴.

故选：C.

2．已知复数的实部与虚部的和为12，则（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】利用复数的乘法运算化简复数，然后根据实部和虚部的定义求解即可.

【详解】由复数的乘法运算可知，，

因为复数的实部与虚部的和为12，所以，解得，.

故选：B.

3．已知向量，，，则与的夹角为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先计算向量的模，再根据向量数量积的定义，将展开，即可求得答案.

【详解】因为，所以，

又因为，设 与的夹角为 ， ，

所以 ，即 ，

解得 ，故 ，

故选：A.

4．北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间的是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为，设数列为等差数列，它的前项和为，且，，则（       ）

A．189 B．252 C．324 D．405

【答案】C

【分析】设等差数列的公差为，由题意和等差数列的通项公式得出，解方程得出，最后根据等差数列的求和公式得出.

【详解】解：设等差数列的公差为，

由，，得，解得：，

所以.

故选：C.

5．已知，则关于x的方程有解的概率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据二次函数的图象与性质，求得，结合长度比的几何摡型，即可求解.

【详解】由关于x的方程有解，

则满足，解得，

因为，所以，

根据长度比的几何摡型，可得方程有解的概率为.

故选：A.

6．已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为7，到轴的距离为5，则（       ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】B

【分析】根据抛物线的定义计算可得；

【详解】解：抛物线的准线方程为，因为点到的焦点的距离为，到轴的距离为，所以，所以；

故选：B

7．已知，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据同角三角函数关系式和诱导公式对所求式子进行化简，然后根据齐次式进行求值即可.

【详解】因为，

所以.

故选：A.

8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（       ）

A．18 B．36 C．54 D．108

【答案】C

【分析】结合已知条件可知几何体为直三棱柱，然后利用柱体体积公式计算即可.

【详解】由三视图可知，几何体为直三棱柱，如下图所示：

由三视图中所给数据可知，的面积，

从而该几何体体积.

故选：C.

9．某保险公司销售某种保险产品，根据2020年全年该产品的销售额（单位：万元）和该产品的销售额占总销售额的百分比，绘制出如图所示的双层饼图.根据双层饼图，下列说法正确的是（       ）

A．2020年第四季度的销售额为380万元

B．2020年上半年的总销售额为500万元

C．2020年2月份的销售额为60万元

D．2020年12个月的月销售额的众数为60万元

【答案】D

【分析】首先利用第二季度的销售额占比和销售总额求出全年的销售额，然后根据双层饼图逐项求解即可.

【详解】不妨设全年总销售额为万元，则第二季度的销售额可得，，解得，，

选项A：第四季度销售额为(万元)，故A错误；

选项B：由图可知，上半年销售额为(万元)，故B错误；

选项C：由图可知，1月份和3月份销售额之和为(万元)，

故2月份的销售额为(万元)，故C错误；

选项D：由图易知，2月份的销售额占比为，从而由图可知，月销售额占比为的月份最多，故月销售额的众数为(万元)，故D正确.

故选：D.

10．已知等比数列的公比为q，前n项和，若，则（       ）

A．13 B．15 C．31 D．33

【答案】B

【分析】由题意知等比数列的公比为q，前n项和，若，可先求出公比，再利用等比数列的前n项和公式给出的做对比，即可求出，即可求出分别前四项，即可得到前四项和.

【详解】是等比数列，，故，等比数列的前n项和，又，故，则.

故选：B.

11．在四边型中（如图1所示），，，，将四边形沿对角线折成四面体（如图2所示），使得，则四面体外接球的表面积为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据题意，可知，由勾股定理求出，由三角形全等进而得出，取的中点，连接，则，由于球心到球上任意一点的距离相等，从而可知点为四面体外接球的球心，求出外接球的半径，最后根据球的表面积公式进行计算，即可求出结果.

【详解】解：，，，

又，则，，

可知，则，

取的中点，连接，则，

所以点为四面体外接球的球心，

则外接球的半径为：，

所以四面体外接球的表面积.

故选：D.

12．已知双曲线：的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，为双曲线的左支上一点，且直线与的斜率之积等于3，则下列说法正确的是（       ）

A．双曲线的离心率为

B．若，且，则

C．以线段，为直径的两个圆外切

D．若点到的一条渐近线的距离为，则的实轴长为4

【答案】C

【分析】设，则，根据两点坐标求斜率的方法求得，再由求出结果，即可判断A选项；由，得，根据双曲线的定义可得，根据题意得出和，可得出的值，即可判断B选项；设的中点为，为原点，则为的中位线，所以，根据两个圆的位置关系即可判断C选项；由点到的一条渐近线的距离为，得出，而得出的值，即可得出的实轴长，即可判断D选项.

【详解】解：对于A，设，则，

因为，直线与的斜率之积等于3，

所以，得，故A错误；

对于B，因为，所以，

而为双曲线的左支上一点，根据双曲线的定义可得，

又因为，且，

所以，则，

由，可得，

即，解得：，故B错误；

对于C，设的中点为，为原点，则为的中位线，

所以，

则以线段为直径的圆，圆心为，半径，

以线段为直径的圆，圆心为，半径，

所以，故两个圆外切，故C正确；

对于D，因为点到的一条渐近线的距离为，所以，

又由前面的推理可知，所以，故的实轴长为，故D错误.

故选：C.

二、填空题

13．已知是奇函数，且当时，．若，则______．

【答案】1

【分析】根据题意，利用奇函数的性质可知时，代入中可求出的值.

【详解】解：因为是奇函数，，

所以，

因为当时，，

所以，所以，解得：.

故答案为：1.

14．若，满足约束条件则的最大值为________．

【答案】

【分析】根据线性规划的约束条件画出图像，然后求目标函数的最大值.

【详解】解：

画出可行域知，直线和直线的交点为.

当直线过点时，取得最大值．

故答案为：

15．函数的图象在点处的切线的斜率为______．

【答案】

【分析】求出函数的导函数，代入计算即可；

【详解】解：因为，所以，即，故函数在点处的切线的斜率为；

故答案为：

16．若函数在上单调递减，且在上的最大值为，则___________.

【答案】-0.25

【分析】先根据函数在上单调递减及周期，确定，再根据函数的最大值求解.

【详解】因为函数在上单调递减，

所以，，则，

又因为函数在上的最大值为，

所以，即，

所以.

故答案为：

三、解答题

17．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的面积为S，已知，．

(1)求a；

(2)若，求A．

【答案】(1)

(2)或 .

【分析】（1）根据余弦定理将已知展开化简，可得到，再根据，求得结果.

（2）利用三角形的面积公式结合余弦定理化简，可求得角 ，再根据，结合正弦定理将边化为角，可得答案.

(1)

在中，由可得：

，即 ，

则 ，而，

所以 ；

(2)

由得： ，

又 ，

所以 ,则 ，

因为 ，故 ,

根据得， ， ,

又 ,所以或 .

18．某中学组织一支“邹鹰”志愿者服务队，带领同学们利用周末的时间深入居民小区开展一些社会公益活动．现从参加了环境保护和社会援助这两项社会公益活动的志愿者中，随机抽取男生80人，女生120人进行问卷调查（假设每人只参加环境保护和社会援助中的一项），整理数据后得到如下统计表：

(1)能否有99%的把握认为学生参加社会公益活动所选取的项目与学生性别有关？

(2)从本校随机抽取的120名参与了问卷调查的女生中用分层抽样的方法，从参加环境保护和社会援助的同学中抽取6人开座谈会，现从这6人（假设所有的人年龄不同）中随机抽取参加环境保护和社会援助的同学各1人，试求抽取的6人中参加社会援助的年龄最大的同学被选中且参加环境保护的年龄最大的同学未被选中的概率．

附：，其中．

【答案】(1)没有99%的把握认为学生参加社会公益活动所选取的项目与学生性别有关；

(2)

【分析】（1）根据列联表中的数据，求得，结合附表，即可求解；

（2）根据分层抽样的方法，求得参加环境保护的人数为4人，参加社会援助的人数为2人，列举事件后可得概率.

(1)

解：由题意，根据列联表中的数据，

可得，

因为，

所以没有99%的把握认为学生参加社会公益活动所选取的项目与学生性别有关；

(2)

解：由题意，女生120中，参加环境保护的人数为80人，

所以抽取的6人中，参加环境保护的人数为4人，记为A,B,C,D(其中A年龄最大)

参加社会援助的人数为2人，记为a,b,(其中a年龄最大)

从这6人中随机抽取参加环境保护和社会援助的同学各1人，

共有,8种基本情况；

参加社会援助的年龄最大的同学被选中且参加环境保护的年龄最大的同学未被选中的基本情况有：，共3种，

故所求概率为.

19．如图，是圆的直径，圆所在的平面，为圆周上一点，为线段的中点，，．

(1)证明：平面平面．

(2)若为的中点，，求点到平面的距离．

【答案】(1)证明见详解；

(2).

【分析】（1）根据题意可知平面，根据线面垂直的性质得出，再由圆的性质得出，根据线面垂直的判定定理可证出平面，从而有，结合条件和等腰三角形的性质得出，最后根据面面垂直的判定定理，即可证明平面平面；

（2）由（1）得，平面，根据题意求出和，设点到平面的距离为，利用等体积法得出，根据棱锥的体积公式进行计算，即可求出点到平面的距离．

(1)

证明：因为圆所在的面，即平面，

而平面，所以，

因为是圆的直径，为圆周上一点，所以，

又，所以平面，而平面，则，

因为，，所以，

又，所以，

又为线段的中点，所以，

又，所以平面，而平面，

故平面平面.

(2)

解：由（1）得，平面，平面，

则，平面，

由题可知，为的中点，，则，

，

由于三棱锥的体积等于三棱锥的体积，

而，

，

由于平面，则点到平面的距离为，

设点到平面的距离为，

由，即，

则，解得：，

所以点到平面的距离为.

20．已知O坐标原点，椭圆的上顶点为A，右顶点为B，的面积为，原点O到直线AB的距离为．

(1)求椭圆C的方程；

(2)过C的左焦点F作弦DE，MN，这两条弦的中点分别为P，Q，若，求面积的最大值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设出直线的方程为：，原点到直线的距离为，列出关系式，通过，根据三角形的面积，求出，，即可得到椭圆的标准方程．

（2）依题意可得，即可判断直线与的斜率均存在，设：，，，，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理即可得到点坐标，同理得到点坐标，从而得到、，再利用基本不等式及对勾函数的性质计算可得；

(1)

解：由题意，①

，，则直线的方程为：，即为，

原点到直线的距离为，

，

，②

，③

由①②③得：，，

所以椭圆的标准方程为：；

(2)

解：由（1）可知，因为，所以，

若直线或中有一条直线斜率不存在，那么、中一点与重合，故斜率一定存在，

设：，则的斜率为，

由可得：，

设，，，，则，，所以

，即，

同理将代入得，

所以，，

所以

令，则，当且仅当即时取等号，

所以，所以，

因为函数在上单调递增，所以当时，

所以，即面积的最大值为；

21．已知函数．

(1)当时，求的单调区间；

(2)若存在，使得成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为；

(2).

【分析】（1）当时，，得出的定义域并对进行求导，利用导数研究函数的单调性，即可得出的单调区间；

（2）将题意等价于在内有解，设，即在上，函数，对进行求导，令，得出，分类讨论与区间的关系，并利用导数研究函数的单调和最小值，结合，从而得出实数的取值范围.

(1)

解：当时，，可知的定义域为，

则，

可知当时，；当时，；

所以的单调递减区间为，单调递增区间为.

(2)

解：由题可知，存在，使得成立，

等价于在内有解，

可设，即在上，函数，

，

令，即，解得：或（舍去），

当，即时，，在上单调递减，

，得，

又，所以；

当时，即时，，在上单调递增，

，得，不合题意；

当，即时，

则在上单调递减，在上单调递增，

，

，，

，

即，不符合题意；

综上得，实数的取值范围为.

【点睛】思路点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性，以及利用导数解决不等式成立的综合问题：

（1）利用导数解决单调区间问题，应先确定函数的定义域，否则，写出的单调区间易出错；利用导数解决含有参数的单调性问题，要注意分类讨论和化归思想的应用；

（2）利用导数解决不等式的综合问题的一般步骤是：构造新函数，利用导数研究的单调区间和最值，再进行相应证明.

22．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．

(1)求圆的直角坐标方程；

(2)设圆与直线交于点，，若点的坐标为（4，2），求．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）利用互化公式，即可将圆的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）根据题意，直线的参数方程代入圆的直角坐标方程得，设是方程的两个根，根据韦达定理和直线参数方程中的几何意义，可知，即可得出结果.

(1)

解：将代入，

得，即，

所以圆的直角坐标方程为.

(2)

解：由题可知，直线的参数方程为（为参数），

将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，得，

即，由，

设是方程的两个根，则，，

又因为直线经过点，所以.

23．已知函数．

(1)当时，求不等式的解集；

(2)若，求的取值范围．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）当时，根据绝对值不等式得出，再根据分段函数即可求出不等式的解集；

（2）由题可知，而，分类讨论解绝对值不等式即可求出的取值范围．

(1)

解：当时，

当时，，即，故；

当时，恒成立，故；

当时，，即，故；

综上得，不等式的解集为.

(2)

解：由题可知，而，

当时，，得；

当时，，得；

综上得，的取值范围为.