2022届江苏省高三上学期百校大联考（决胜新高考）数学试题含解析

2022届江苏省高三上学期百校大联考（决胜新高考）

数学试题

一、单选题

1．复数在复平面内对应点所在的象限为（       ）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【分析】利用复数的除法运算可得答案.

【详解】，所以该复数对应的点为，

该点在第一象限，

故选：A.

2．设a，b∈R，则“a<b”是“”的（       ）

A．充要条件 B．充分且不必要条件

C．必要且不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】结合已知条件，根据充分条件､必要条件的定义判断，即可求得答案.

【详解】

，可得

成立则，即；

反之若成立，即则不一定成立；

“”是“”的充分不必要条件.

故选：B.

3．设全集U，有以下四个关系式：

甲：A∩B＝A；乙：A∪B＝B；丙：；丁：．

如果有且只有一个不成立，则该式是（       ）

A．甲 B．乙

C．丙 D．丁

【答案】C

【分析】先将甲、乙、丙、丁的关系转化为集合的包含关系，分析即得解

【详解】由题意，甲：A∩B＝A

乙：A∪B＝B

丙：

丁：

由于甲、乙、丁是等价的，故如果有且只有一个不成立，则该式是丙

故选：C

4．年月日，嫦娥四号探测器在月球背面预选着陆区成功软着陆，并通过鹊桥中继卫星传回了世界第一张近距离拍摄的月背影像图，揭开了古老月背的神秘面纱．如图所示，地球和月球都绕地月系质心做圆周运动，，，设地球质量为，月球质量为，地月距离为，万有引力常数为，月球绕做圆周运动的角速度为，且，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据题干中的等式结合可求得、、，可得出合适的选项.

【详解】对于AB选项，，由可得，，

所以，，所以，，A错B对；

对于C选项，由可得，C错；

对于D选项，由，可得，

所以，得，D错.

故选：B.

5．若直线是函数图象的一条对称轴，则（       ）

A．函数的周期为

B．函数的最小值为

C．将函数图象上的每一个点的纵坐标变为原来的倍，再将所得到的图象向左平移个单位长度，可以得到的图象

D．将函数的图象向左平移个单位长度，可以得到的图象

【答案】D

【分析】根据条件求出，然后根据正弦型函数的性质和图象的变换逐一判断即可.

【详解】因为直线是函数图象的一条对称轴，

所以，所以，解得

所以

所以的最小正周期为，故A错误；

的最小值为，故B错误；

将函数图象上的每一个点的纵坐标变为原来的倍，得到的图象，

再将其向左平移个单位长度，得到的图象；故C错误；

将函数的图象向左平移个单位长度，可以得到的图象，故D正确；

故选：D

6．已知函数的部分图象如图所示，则（       ）

A．a＋b＋c＋d＜0

B．c＜－3a－2b

C．c＞－12a－4b

D．15a＋2b＜0

【答案】D

【分析】数形结合可得，结合导数的几何意义，以及导数的正负和函数单调性的关系，再对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.

【详解】对A：数形结合可知，故A错误；

对B：，故可得，

数形结合可知，即，故B错误；

对C：数形结合可知，即，故C错误；

对D：令，数形结合可知当时，切线的斜率逐渐减小，

故可得在单调递减，又数形结合可知，在恒成立，

即，又，由，，

故，即，故D正确.

故选：D.

7．已知A，B在抛物线上，且线段AB的中点为M(1，1)，则|AB|＝（       ）

A．4 B．5

C． D．

【答案】C

【分析】设，点差法可得，得到直线AB的方程为 ，与抛物线联立，利用弦长公式即得解

【详解】由题意，设

线段AB的中点为M(1，1)

故

且

两式相减得：

故

故直线AB的方程为：，即

将直线与抛物线联立：

即

则

故选：C

8．在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝2，底面ABC是边长为的正三角形，M为AC的中点，球O是三棱锥P－ABM的外接球．若D是球0上一点，则三棱锥D－PAC的体积的最大值是（       ）

A．2 B．

C． D．

【答案】C

【分析】设的中点为，则的外接圆的直径为，圆心为，半径为，设三棱锥的外接球的半径为，球心为，利用勾股定理求出，再求出到平面的距离，即可求出到平面的距离最大值，最后算出，即可求出；

【详解】解：因为为等边三角形，为的中点，所以，即为直角三角形，设的中点为，则的外接圆的直径为，圆心为，半径为，设三棱锥的外接球的半径为，球心为，则，解得，又平面，平面，所以，所以的外接圆是以为直径的圆，设的中点为，则，所以，即到平面的距离为，所以到平面的距离最大值为，又，所以；

故选：C

二、多选题

9．某妇产科医院对该院历年来新生儿体重情况进行统计，发现新生儿体重，，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【分析】根据正态密度曲线的对称性计算出相应的概率，可判断各选项的正误.

【详解】因为，则，A错；

，B对；

，C对；

，D对.

故选：BCD.

10．设0°＜α＜90°，则 （       ）

A．的最小值为4 B．的最小值为9

C． D．≥4

【答案】BCD

【分析】根据基本不等式的应用，三角函数值域的求解，结合同角三角函数关系，三角函数的值域，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.

【详解】因为，故可得.

对A：令，故的最小值与的最小值相同，

又在单调递减，故，无法取等号，故没有最小值，故错误；

对：因为

，

当且仅当，即时，取得等号，故正确；

对：，因为，则，

又，故，故正确；

对：，

当且仅当，即时取得等号，故D正确.

故选：BCD.

11．若曲线T：，则（       ）

A．若A＝C，B＝0，则T是圆

B．若A＞C＞0，B＝D＝E＝0，F＜0，则T是长轴长为的椭圆

C．若A＞0，C＜0，B＝D＝E＝0，F＜0，则T是离心率为的双曲线

D．若A＝1，B＝－1，C＝D＝E＝0，F＝1，则T与直线有且只有一个交点

【答案】BC

【分析】结合圆的方程、椭圆、双曲线的方程与性质求解判断ABC，由直线方程与曲线方程联立求解判断D．

【详解】A＝C，B＝0时方程为，时，方程可化为：，若，方程表示圆，否则不能表示圆，A错；

若A＞C＞0，B＝D＝E＝0，F＜0，方程为，

由于,，所以，方程表示焦点在轴上的椭圆，

，，，B正确 ；

A＞0，C＜0，B＝D＝E＝0，F＜0，方程为，方程表示双曲线，，，，离心率为，C正确；

若A＝1，B＝－1，C＝D＝E＝0，F＝1，方程为,

方程组无实数解，D错．

故选：BC．

12．若，，，，，且，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】将转化为，将其看作函数的两个函数值，由函数的性质可知要使成立，须或.可判断选项A、B的对错；再由可得，进而可得，即可判断选项C、D的对错.

【详解】∵，∴，∴，即.

构造函数，则

当时，，当时，，

故在上单调递增，在上单调递减，且当时，；

又，，要使成立，须，

若，则，若，则，故A正确，B错误.

由可得，

构造函数，

则，故函数在上单调递增，即，即

∴，∴

即，即，故D正确.

又∵，，，∴，故C正确.

故选：ACD.

【点睛】本题的关键是构造函数，将不等式问题转化为函数值的问题，利用函数的单调性来比较大小或求代数式的取值范围.

三、填空题

13．数列满足，写出一个符合条件的a的值是_________．

【答案】（答案不唯一）

【分析】根据题意和，求得，进而得到答案.

【详解】由数列满足，

因为，可得，解得，

取，可得，所以可取.

故答案为：（答案不唯一）

14．若函数，则不等式的解集是_________．

【答案】

【分析】判断函数的单调性和奇偶性，并转化目标不等式，再求对数不等式即可.

【详解】因为，定义域为，且，故其为奇函数，

又均为单调增函数，故为上的单调增函数；

则原不等式等价于，也即，整理得，

解得，故不等式的解集为.

故答案为：.

15．北京冬奥会志愿者甲、乙、丙、丁参加滑雪、滑冰、冰球项目服务培训，每位志愿者只参加一个项目，且每个项目至少有一名志愿者参加，则甲参加冰球项目培训的概率是_______．

【答案】

【分析】先求出总的安排的方法的数量，再分类求出甲参加冰球项目培训时的总的安排方法数量，按照古典概型概率计算即可.

【详解】每位志愿者只参加一个项目，且每个项目至少有一名志愿者参加，

则先将四个人分为三组，其中有一组有两个人，共种分法，再将三组分派不同的培训项目，共种分法，所以共种可能的情况；

其中甲参加冰球项目培训的情况如下：

①甲独自一人参加冰球项目培训：

将剩下三人先分为两组，一组2人，一组1人，共种分法，再给两组分派不同项目培训，共种分法，所以此时共种可能情况；

②甲和另外一位志愿者一同参加冰球项目培训：

另外一名志愿者可能有种情况，另外两名志愿者可能有种情况，所以共种可能情况.

所以甲参加冰球项目培训的概率是：.

故答案为：.

16．已知函数，若函数g(x)＝f(f(x)＋1)有三个零点，则实数a的取值范围是_______．

【答案】

【分析】数形结合，分成a≤－2，－2＜a≤0，0＜a≤2，a＞2四种情况讨论即可.

【详解】令，则，

有三个零点，

∴f(t)＝0有两个根，且需满足有两解时，有且仅有一解.

①a≤－2时，f(x)如图：

g(x)＝f(t)＝0，

，由图可见此时y＝－3与f(x)有两个交点，

，此时要使y＝1与f(x)有且仅有一个交点，

则，∴；

②－2＜a≤0时，f(t)＝0只有一个解t＝2，t＝f(x)＋1＝0没有三个解；

③0＜a≤2时，f(x)如图：

，，

，y＝1和f(x)必有两个交点；

，此时要使y＝－1和f(x)有且仅有一个交点，

则，

∴；

④a＞2时，只有一个根t＝0，t＝f(x)＋1＝0没有三个解.

综上所述，.

故答案为：.

【点睛】本题关键是令，将有三个零点的问题转化为：f(t)＝0有两个根，且需满足有两解时，有且仅有一解，数学结合即可求解.

四、解答题

17．已知数列的前n项和为，现有四个条件：

①；②＝2；③Sn＝2n＋1；④an＋1＝．

从上述四个条件中选出两个，使得数列{an}是等比数列，并求{an}的通项公式．

【答案】只能选择①④，此时.

【分析】分析可选择的条件，确定所有的可能情况，再根据等比数列的通项公式，求解即可.

【详解】若选择③，当时，，与①②不可能同时成立，

故只能从①②③中任选一个，且选择④；

若选择④，则，当时，，

故可得，也即，也即数列从第2项起是公比为的等比数列；

若选择①，则对，当时，，，

则是等比数列，满足题意；

若选择②2，则对，当时，，，

则不是等比数列，不满足题意；

若选择③Sn＝2n＋1，则对，当时，，，

则不是等比数列，不满足题意.

综上所述，只能选择①④，此时是首项为，公比为2的等比数列，

则.

18．劳动教育是国民教育体系的重要内容，是学生成长的必要途径，具有树德、增智、强体、育美的综合育人价值．为了帮助实践基地科学学种植，提高产量，某班级数学建模兴趣小组收集了A作物的亩施肥量x(kg)和亩产量y(kg)的有关数据，数据如下表：

(1)求亩产量y关于亩施肥量x的线性回归方程；

(2)①估计亩施肥量为20kg时亩产量；

②根据资料记载，当施肥量为20kg时，亩产量约为390kg，请给出解释．

参考公式：＝＝，＝－．

【答案】(1)

(2)①亩产量kg；②施肥过量，导致作物有部分被烧坏，导致产量下降.

【分析】（1）求出，，，，，代入， 可得答案；

（2）①把20kg代入线性回归方程可得答案；②根据实际产量和估计亩产量分析．可能是施肥过量导致.

【详解】(1)，，

，

，，

， ，

所以求亩产量y关于亩施肥量x的线性回归方程为.

(2)①当20kg时，估计亩施肥量为亩产量kg；

②当施肥量为20kg时，亩产量约为390kg，可能施肥过量，导致作物有部分被烧坏，导致产量下降.

19．在△ABC中，已知，点D在边BC上，．

(1)若，求AC；

(2)若AD平分∠BAC，求．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）首先求出，，过点作于点，由同角三角函数的基本关系求出，，根据锐角三角函数的定义即可求出，从而求出，再利用余弦定理计算可得；

（2）过作于点，设，，由，即可得到，即可得到，再利用诱导公式求出，最后利用二倍角公式计算可得；

【详解】(1)解：因为且，所以，，过点作于点，因为，且，所以，，所以，所以，所以，在中，由余弦定理，即，所以；

(2)解：过作于点，设，，则，因为，所以，因为，又平分，所以，即，所以，即，解得或（舍去），所以

20．如图，在正四棱柱中，已知平面，且底面ABCD的边长为2．M，N分别在线段AC和BC1上，且CM＝C1N．

(1)证明：；

(2)当线段MN的长度最小时，求二面角C－MN－B的正弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）以为原点，所在的直线为轴的正方向建立空间直角坐标系，设，由求得，得正四棱柱为正方体可得答案；

（2）设得，根据，线段MN的长度最小时，求出平面、平面的法向量，利用二面角的向量求法可得答案.

【详解】(1)以为原点，所在的直线为轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系，设，则，，，，，

，，，

因为平面，所以，即，解得，

所以正四棱柱为正方体，侧面为正方形，所以.

(2)由（1）设，由得，

所以，线段MN的长度最小时，

即是面对角线的中点，，，，，，，设平面的一个法向量分别为、

所以，即，令，则，，

设平面的一个法向量分别为，

所以，即，令，则，，

所以，所以

结合图可得二面角C－MN－B的正弦值为．

21．已知椭圆的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为．

(1)求椭圆的方程；

(2)若椭圆的左顶点为，右焦点是．点是椭圆上的点（异于左、右顶点），为线段的中点，过作直线的平行线．延长交椭圆于，连接交直线于点．

①求证：直线过定点．

②是否存在定点、，使得为定值，若存在，求出、的坐标；若不存在说明理由．

【答案】(1)；

(2)（i）证明见解析；（ii）存在，且、.

【分析】（1）根据已知条件得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，可得出椭圆的方程；

（2）（i）分析可知直线不与轴重合，设设直线的方程为，设点、，写出点的坐标，化简直线的方程，即可得出直线所过定点的坐标；

（ii）点，写出点的坐标，利用相关点法求出点的轨迹方程，可知点的轨迹为椭圆，求出椭圆的两个焦点坐标，结合椭圆的定义可得出结论.

【详解】(1)解：由题意可得，解得，

因此，椭圆的方程为.

(2)解：（i）易知点、，若与轴重合，则或与点重合，不合乎题意，

设直线的方程为，设点、，

点的坐标为，直线的方程为且，

所以，直线的方程为，因此，直线过定点.

（ii）因为为的中点，则，且有，

设点，则，可得，

所以，，即，即点的轨迹方程为，

因为椭圆的两个焦点坐标分别为、，

椭圆可由椭圆向左平移个单位得到，

故椭圆的两个焦点坐标别为、，

故存在定点、使得为定值.

【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：

（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；

（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；

（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.

22．已知函数．

(1)若，求曲线在处的切线方程；

(2)当时，，求实数a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求出函数的导函数，利用导数的几何意义求出切线的斜率，再利用点斜式求出切线方程；

（2）根据，将问题转化为不等式对任意的恒成立，设，，利用导数研究函数的单调性，分、讨论，即可得解；

【详解】(1)解：因为，所以，所以，又，所以，所以曲线在处的切线方程为，即；

(2)解：因为，所以，，所以不等式对任意的恒成立，设，，则，因为，设，，则，设，则，即在上单调递增，故，当时，则，所以在上单调递增，所以，故在上单调递增，所以；

当时，取，，则，又，在上单调递增，故存在，使得，所以当时，所以单调递减，所以，所以单调递减，所以，不符合题意，故舍去，综上可得实数的取值范围为；

【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．