南京市建邺区2019-2020学年度第一学期九年级数学期中试题（含解析）

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2019-2020学年度第一学期九年级期中考试数学试题
一．选择题（共6小题）
1．已知⊙O的半径为6cm，若OP＝5cm，则点P与⊙O的位置关系是（　　）
A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O内 D．不能确定
2．一组数据3，1，4，2，﹣1，则这组数据的极差是（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
3．关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0有实根，则m的值可能是（　　）
A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1
4．设x1、x2是方程x2﹣5x+m＝0的两个根，且x1+x2﹣x1x2＝2，则m的值是（　　）
A．﹣3 B．3 C．﹣7 D．7
5．如图，⊙O的半径为1，△ABC是⊙O的内接等边三角形，点D、E在圆上，四边形BCDE为矩形，这个矩形的面积是（　　）

A．2 B． C． D．
6．如图，P是⊙O外任意一点，PA、PB分别与⊙O相切与点A、B，OP与⊙O相交于点M．则点M是△PAB的（　　）

A．三条高线的交点
B．三条中线的交点
C．三个角的角平分线的交点
D．三条边的垂直平分线的交点
二．填空题（共10小题）
7．方程x2＝4的解为　 　．
8．电影《中国机长》首映当日票房已经达到1.92亿元，2天后当日票房达到2.61亿元，设平均每天票房的增长率为x，则可列方程为　 　．
9．小明上学期平时成绩为90分，其中成绩为88分，期末成绩为94分，若平时、期中、期末的成绩按3：3：4计算，计算结果作为学期成绩，则小明上学期学期成绩为　 　分．
10．现有一个圆心角为90°，半径为8cm的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计）．该圆锥底面圆的半径为　 　cm．
11．如图，C是扇形OAB的上一点，若四边形OACB是平行四边形，则∠ACB＝　 　°．

12．如图，正六边形ABCDEF的边长为1，以点A为圆心，AB的长为半径，作扇形ABF，则图中阴影部分的面积为　 　（结果保留根号和π）．

13．下面有4个命题：①过任意三点可以画一个圆；②同圆的内接正方形和内接正三角形的边长比是：；③三角形的内心到三角形的三边距离相等；④长度相等的弧是等弧．其中正确的有　 　（填序号）．
14．已知一个三角形的三边长分别为13、14、15，则其内切圆的半径为　 　．
15．如图，等圆⊙O1和⊙O2相交于A，B两点，⊙O1经过⊙O2的圆心O2，则∠ABO2的度数为　 　°．

16．如图，△ABC为等边三角形，AB＝4，以点A为圆心，半径为1作⊙A．M为BC边上的一动点，过点M作⊙A的一条切线，切点为N，则MN的最小值是　 　．

三．解答题（共11小题）
17．解方程：
（1）x2﹣2x﹣1＝0；
（2）3（x+2）2＝x2﹣4．
18．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为M．若MD＝2，AB＝8，求CM的长．

19．某地计划对矩形广场进行扩建改造．如图，将一块面积为1000m2的原广场，向其四周扩充一条宽度相等的人行道，要求扩充后的矩形广场长60m、宽30m．试求扩充的人行道的宽度．

20．如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，且∠BAC＝16°，＝．求四边形ABCD各内角的度数．

21．某市射击队打算从君君、标标两名运动员中选拔一人参加省射击比赛，射击队对两人的射击技能进行了测评．在相同的条件下，两人各打靶5次，成绩统计如下：

（1）填写下表：

平均数（环）
中位数（环）
方差（环2）
君君
　 　
8
0.4
标标
8
　 　
　 　
（2）根据以上信息，若选派一名队员参赛，你认为应选哪名队员，并说明理由．
（3）如果标标再射击1次，命中8环，那么他射击成绩的方差会　 　．（填“变大”“变小”或“不变”）
22．已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2＝0．
（1）若方程有一个根是2，求m的值；
（2）求证：不论m取为何值，方程总有实数根．
23．（1）在图①中，已知⊙O1，点P在⊙O1上，过点P作⊙O1的切线l1；
（2）在图②中，已知⊙O2，点Q在⊙O2外，过点Q作⊙O2的切线l2．
（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法）

24．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿AC以1cm/s的速度向点C移动，同时点Q从C点出发沿CB以2cm/s的速度向点B移动．当Q运动到B点时，P，Q停止运动，设点P运动的时间为ts．
（1）t为何值时，△PCQ的面积等于5cm2？
（2）点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．

25．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB＝90°，点E在BC的延长线上，且∠CED＝∠CAB．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）若AC∥DE，当AB＝8，DC＝4时，求AC的长．

26．某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件，为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件．
（1）填表：

每月的销售量（件）
每件商品销售利润（元）
降价前
60
80
降价后
　 　
　 　
（2）要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品实际售价应定为多少元？
27．概念认识
平面内，M为图形T上任意一点，N为⊙O上任意一点，将M、N两点间距离的最小值称为图形T到⊙O的“最近距离”，记作d（T﹣⊙O）．例如图①，在直线l上有A、B、O三点，以AB为一边作等边△ABC，以点O为圆心作圆，与l交于D、E两点，若将△ABC记为图形T，则B、D两点间的距离称为图形T到⊙O的“最近距离”．
数学理解
（1）在直线l上有A、B两点，以点A为圆心，3为半径作⊙A，将点B记为图形T，若d（T﹣⊙A）＝1，则AB＝　 　．
（2）如图②，在平面直角坐标系中，以O（0，0）为圆心，半径为2作圆．
①将点C（4，3）记为图形T，则d（T﹣⊙O）＝　 　．
②将一次函数y＝kx+2的图记为图形T，若d（T﹣⊙O）＞0，求k的取值范围．
推广运用
（3）在平面直角坐标系中，P的坐标为（t，0），⊙P的半径为2，D、E两点的坐标分别为（﹣8，8）、（﹣8，﹣8），将∠DOE记为图形T，若d（T﹣⊙P）＝1，则t＝　 　．

参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．已知⊙O的半径为6cm，若OP＝5cm，则点P与⊙O的位置关系是（　　）
A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O内 D．不能确定
【分析】根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，即可判断点和圆的位置关系．点到圆心的距离小于圆的半径，则点在圆内；点到圆心的距离等于圆的半径，则点在圆上；点到圆心的距离大于圆的半径，则点在圆外．
【解答】解：根据点到圆心的距离5cm小于圆的半径6cm，则该点在圆内．
故选：C．
2．一组数据3，1，4，2，﹣1，则这组数据的极差是（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差，由此计算即可．
【解答】解：这组数据的极差＝4﹣（﹣1）＝5．
故选：A．
3．关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0有实根，则m的值可能是（　　）
A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1
【分析】根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，从而求解．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0有实根，
∴△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣m）≥0，
解得：m≥﹣1．
故选：D．
4．设x1、x2是方程x2﹣5x+m＝0的两个根，且x1+x2﹣x1x2＝2，则m的值是（　　）
A．﹣3 B．3 C．﹣7 D．7
【分析】由根与系数的关系可得x1+x2＝5、x1x2＝m，结合x1+x2﹣x1x2＝2可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：∵x1、x2是方程x2﹣5x+m＝0的两个根，
∴x1+x2＝5，x1x2＝m．
∵x1+x2﹣x1x2＝5﹣m＝2，
∴m＝3．
故选：B．
5．如图，⊙O的半径为1，△ABC是⊙O的内接等边三角形，点D、E在圆上，四边形BCDE为矩形，这个矩形的面积是（　　）

A．2 B． C． D．
【分析】连接BD、OC，根据矩形的性质得∠BCD＝90°，再根据圆周角定理得BD为⊙O的直径，则BD＝2；由ABC为等边三角形得∠A＝60°，于是利用圆周角定理得到∠BOC＝2∠A＝120°，易得∠CBD＝30°，在Rt△BCD中，根据含30°的直角三角形三边的关系得到CD＝BD＝1，BC＝CD＝，然后根据矩形的面积公式求解．
【解答】解：连结BD、OC，如图，

∵四边形BCDE为矩形，
∴∠BCD＝90°，
∴BD为⊙O的直径，
∴BD＝2，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝60°，
∴∠BOC＝2∠A＝120°，
而OB＝OC，
∴∠CBD＝30°，
在Rt△BCD中，CD＝BD＝1，BC＝CD＝，
∴矩形BCDE的面积＝BC•CD＝．
故选：B．
6．如图，P是⊙O外任意一点，PA、PB分别与⊙O相切与点A、B，OP与⊙O相交于点M．则点M是△PAB的（　　）

A．三条高线的交点
B．三条中线的交点
C．三个角的角平分线的交点
D．三条边的垂直平分线的交点
【分析】根据切线的性质得到∠APO＝∠BPO，PA＝PB，根据等腰三角形的性质得到AB⊥OP，连接OA，AM，根据角平分线的定义即可得到结论．
【解答】解：∵PA、PB分别与⊙O相切与点A、B，
∴∠APO＝∠BPO，PA＝PB，
∴AB⊥OP，
连接OA，AM，
则∠OAP＝90°，
∴∠PAM+∠OAM＝∠BAM+∠AMO＝90°，
∵OA＝OM，
∴∠OAM＝∠AMO，
∴∠PAM＝∠BAM，
点M是△PAB的三个角的角平分线的交点，
故选：C．

二．填空题（共10小题）
7．方程x2＝4的解为　x1＝2，x2＝﹣2　．
【分析】利用直接开平方法，求解即可．
【解答】解：开方得，x＝±2，
即x1＝2，x2＝﹣2．
故答案为，x1＝2，x2＝﹣2．
8．电影《中国机长》首映当日票房已经达到1.92亿元，2天后当日票房达到2.61亿元，设平均每天票房的增长率为x，则可列方程为　1.92（1+x）2＝2.61　．
【分析】设平均每天票房的增长率为x，根据当日票房已经达到1.92亿元，2天后当日票房达到2.61亿元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设平均每天票房的增长率为x，
根据题意得：1.92（1+x）2＝2.61．
故答案为：1.92（1+x）2＝2.61．
9．小明上学期平时成绩为90分，其中成绩为88分，期末成绩为94分，若平时、期中、期末的成绩按3：3：4计算，计算结果作为学期成绩，则小明上学期学期成绩为　91　分．
【分析】利用加权平均数公式即可求解．
【解答】解：小明上学期学期成绩是：＝91（分）．
故答案是：91．
10．现有一个圆心角为90°，半径为8cm的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计）．该圆锥底面圆的半径为　2　cm．
【分析】根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长，利用扇形的弧长公式即可求得圆锥的底面周长，然后根据圆的周长公式即可求解．
【解答】解：圆锥的底面周长是：＝4π．
设圆锥底面圆的半径是r，则2πr＝4π．
解得：r＝2．
故答案是：2．
11．如图，C是扇形OAB的上一点，若四边形OACB是平行四边形，则∠ACB＝　120　°．

【分析】根据平行四边形的先行者和等边三角形的判定和性质即可得到结论．
【解答】解：∵四边形OACB是平行四边形，
∴AC＝OB，AO＝BC，
∵OA＝OB，
∴OA＝OB＝AC＝BC，
连接OC，
∴△AOC与△BOC是等边三角形，
∴∠ACO＝∠BCO＝60°，
∴∠ACB＝120°，
故答案为：120．

12．如图，正六边形ABCDEF的边长为1，以点A为圆心，AB的长为半径，作扇形ABF，则图中阴影部分的面积为　﹣　（结果保留根号和π）．

【分析】正六边形的中心为点O，连接OD、OE，作OH⊥DE于H，根据正多边形的中心角公式求出∠DOE，求出OH，得到正六边形ABCDEF的面积，求出∠A，利用扇形面积公式求出扇形ABF的面积，结合图形计算即可．
【解答】解：正六边形的中心为点O，连接OD、OE，作OH⊥DE于H，
∠DOE＝＝60°，
∴OD＝OE＝DE＝1，
∴OH＝，
∴正六边形ABCDEF的面积＝×1××6＝，
∠A＝＝120°，
∴扇形ABF的面积＝＝，
∴图中阴影部分的面积＝﹣，
故答案为：﹣．

13．下面有4个命题：①过任意三点可以画一个圆；②同圆的内接正方形和内接正三角形的边长比是：；③三角形的内心到三角形的三边距离相等；④长度相等的弧是等弧．其中正确的有　②③　（填序号）．
【分析】根据过三点的圆、正多边形与圆、三角形的内心的性质、等弧的概念判断即可．
【解答】解：①过不在同一直线上的三点可以画一个圆，本说法错误；
②同圆的内接正方形和内接正三角形的边长比是：；
设圆的半径为R，在正方形ABCD中，连接AC，
∵∠B＝90°，
∴AC为直径，
∴AC＝2R，
∴AB＝AC＝R，
在正三角形EFM中，作ON⊥EF于N，连接OF，
则∠ONF＝90°，∠OFN＝∠EFM＝30°，
∴ON＝R，
∴FN＝＝R，
∴FM＝2FN＝R，
∴AB：FM＝：本说法正确；
③三角形的内心到三角形的三边距离相等，本说法正确；
④能够互相重合的弧是等弧，本说法错误，
故答案为：②③．

14．已知一个三角形的三边长分别为13、14、15，则其内切圆的半径为　4　．
【分析】作AH⊥BC于H，AB＝15，AC＝14，BC＝13，设AH＝x，BH＝y，则CH＝13﹣y，利用勾股定理得到x2+y2＝152，x2+（13﹣y）2＝142，解方程组得到y＝，x＝，所以S△ABC＝84，设三角形内切圆的半径为r，根据题意得（13+14+15）•r＝84，然后解关于r的方程即可．
【解答】解：如图，作AH⊥BC于H，AB＝15，AC＝14，BC＝13，
设AH＝x，BH＝y，则CH＝13﹣y，
∵x2+y2＝152，①，
x2+（13﹣y）2＝142，②
∴①﹣②得y＝，
∴x＝＝，
∴S△ABC＝×13×＝84，
设三角形内切圆的半径为r，
根据题意得（13+14+15）•r＝84，
解得r＝4，
即三角形内切圆的半径为4．
故答案为：4．

15．如图，等圆⊙O1和⊙O2相交于A，B两点，⊙O1经过⊙O2的圆心O2，则∠ABO2的度数为　30　°．

【分析】连接O1O2，AO2，AO1，可得△AO2O1是等边三角形，再根据圆周角定理即可解答．
【解答】解：连接O1O2，AO2，AO1，
∵⊙O1和⊙O2是等圆，
∴AO1＝O1O2＝AO2，
∴△AO2O1是等边三角形，
∴∠AO1O2＝60°，
∴∠ABO2＝∠AO1O2＝30°（圆周角定理）．
故答案为：30．

16．如图，△ABC为等边三角形，AB＝4，以点A为圆心，半径为1作⊙A．M为BC边上的一动点，过点M作⊙A的一条切线，切点为N，则MN的最小值是　　．

【分析】作AD⊥BC于D，过D作⊙A的一条切线，切点为E，连接AE，由等边三角形的性质和勾股定理得出AD＝＝2，由切线的性质得出AE⊥DE，由勾股定理求出DE＝＝，当点M与D重合时，N与E重合，此时MN最小＝．
【解答】解：作AD⊥BC于D，过D作⊙A的一条切线，切点为E，连接AE，如图所示：
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴BC＝AB＝4，BD＝CD＝BC＝2，
∴AD＝＝＝2，
∵DE是⊙A的一条切线，
∴AE⊥DE，AE＝1，
∴DE＝＝＝，
当点M与D重合时，N与E重合，
此时MN最小＝，
故答案为：．

三．解答题（共11小题）
17．解方程：
（1）x2﹣2x﹣1＝0；
（2）3（x+2）2＝x2﹣4．
【分析】（1）根据公式法，可得方程的解；
（2）根据因式分解法，可得方程的解．
【解答】解：（1）a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1，
△＝b2﹣4ac＝4﹣×1×（﹣1）＝8，
x＝＝＝1，
x1＝1+，x2＝1﹣；
（2）因式分解，得
（x+2）[3（x+2）﹣（x﹣2）]＝0，
于是，得
x+2＝0或2x+8＝0，
解得x＝﹣2，x＝﹣4．
18．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为M．若MD＝2，AB＝8，求CM的长．

【分析】连接OA，根据垂径定理得到AM＝BM，设⊙O的半径为r，则OA＝OC＝BO＝r，根据勾股定理列方程即可得到结论．
【解答】解：连接OA，
∵CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，
∴AM＝BM，
∵AB＝8，
∴AM＝4，
设⊙O的半径为r，则OA＝OC＝BO＝r，
∵MD＝2，
∴OM＝r﹣2，
∵AM2+OM2＝AO2，
即42+（r﹣2）2＝r2，
解得：r＝5，
∴CM＝2r﹣2＝8．

19．某地计划对矩形广场进行扩建改造．如图，将一块面积为1000m2的原广场，向其四周扩充一条宽度相等的人行道，要求扩充后的矩形广场长60m、宽30m．试求扩充的人行道的宽度．

【分析】设扩充的人行道的宽度为x米，由此可表示出原广场的长和宽，根据原广场的面积为1000m2，由此可列方程．
【解答】解：设扩充的人行道的宽度为x米，
依题意得：（60﹣2x）（30﹣2x）＝1000．
整理得到：x2﹣45x+200＝0，
解得x1＝40（舍去），x2＝5，
答：扩充的人行道的宽度5米．
20．如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，且∠BAC＝16°，＝．求四边形ABCD各内角的度数．

【分析】连结BC，根据圆周角定理得∠ACB＝90°，则利用互余可计算出∠B＝74°，再根据圆内接四边形的性质计算出∠D＝180°﹣∠B＝106°，接着根据圆周角定理和三角形内角和定理，由＝得到∠DAC＝∠DCA＝37°，然后计算∠DAB＝∠DAC+∠BAC＝53°，∠DCB＝∠DCA+∠ACB＝127°．
【解答】解：连结BC，如图，
∵AB是半圆的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BAC＝16°，
∴∠B＝74°，
∵四边形ABCD是圆O的内接四边形，
∴∠D＝180°﹣∠B＝106°，
∵＝，
∴∠DAC＝∠DCA＝（180°﹣106°）＝37°，
∴∠DAB＝∠DAC+∠BAC＝55°，∠DCB＝∠DCA+∠ACB＝127°，
即四边形ABCD各内角的度数为53°，74°，127°，106°．
21．某市射击队打算从君君、标标两名运动员中选拔一人参加省射击比赛，射击队对两人的射击技能进行了测评．在相同的条件下，两人各打靶5次，成绩统计如下：

（1）填写下表：

平均数（环）
中位数（环）
方差（环2）
君君
　8　
8
0.4
标标
8
　9　
　2.8　
（2）根据以上信息，若选派一名队员参赛，你认为应选哪名队员，并说明理由．
（3）如果标标再射击1次，命中8环，那么他射击成绩的方差会　变小　．（填“变大”“变小”或“不变”）
【分析】（1）根据平方数、中位数、方差的定义求解即可；
（2）根据甲和乙的方差，然后进行比较，即可得出答案；
（3）根据方差公式进行求解即可．
【解答】解：（1）填写下表：

平均数（环）
中位数（环）
方差（环2）
君君
8
8
0.4
标标
8
9
2.8
故答案为：8，9，2.8；
（2）选君君，理由：∵两人的平均值相等，君君的方差较小，成绩更稳定，
∴选君君；
（3）如果标标再射击1次，命中8环，那么标标的射击成绩的方差变小．
故答案为：变小．
22．已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2＝0．
（1）若方程有一个根是2，求m的值；
（2）求证：不论m取为何值，方程总有实数根．
【分析】（1）将x＝2代入原方程可求出m的值；
（2）分m＝0及m≠0两种情况考虑：当m＝0时，通过解方程可求出方程的解；当m≠0，根据方程的系数结合根的判别式，可得出△＝（m+2）2≥0，进而可得出当m≠0时，方程有实数根．综上即可证出结论．
【解答】解：（1）将x＝2代入原方程，得：4m﹣2（m+2）+2＝0，
解得：m＝1．
故m的值为1；
（2）证明：当m＝0时，原方程为一次方程，此时x＝1；
当m≠0时，△＝（m+2）2﹣4×2m＝（m﹣2）2≥0，
∴当m≠0时，方程有实数根．
综上所述：不论m为何值，方程总有实数根．
23．（1）在图①中，已知⊙O1，点P在⊙O1上，过点P作⊙O1的切线l1；
（2）在图②中，已知⊙O2，点Q在⊙O2外，过点Q作⊙O2的切线l2．
（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法）

【分析】（1）过P点作O1P的切线得到直线l1；
（2）连接QO2，作QO2的垂直平分线得到中点O，然后以O点为圆心，OQ为半径作圆交⊙O2于A、B，则直线QA、QB满足条件．
【解答】解：（1）如图①，l1为所作；

（2）如图②，l2为所作

24．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿AC以1cm/s的速度向点C移动，同时点Q从C点出发沿CB以2cm/s的速度向点B移动．当Q运动到B点时，P，Q停止运动，设点P运动的时间为ts．
（1）t为何值时，△PCQ的面积等于5cm2？
（2）点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．

【分析】（1）设点P、Q同时出发，t秒钟后，AP＝tcm，PC＝（6﹣t）cm，CQ＝2tcm，此时△PCQ的面积为：×2t（6﹣t），令该式等于5，由此等量关系列出方程求出符合题意的值；
（2）△ABC的面积的一半等于×AC×BC＝12cm2，令×2t（6﹣t）＝12，判断该方程是否有解，若有解则存在，否则不存在．
【解答】解：（1）设ts后，可使△PCQ的面积为8cm2．
由题意得，AP＝tcm，PC＝（6﹣t）cm，CQ＝2tcm，
则×2t（6﹣t）＝5．
整理，得t2﹣6t+5＝0，解得t1＝1，t2＝5（舍）．
所以P、Q同时出发，1s后可使△PCQ的面积为5cm2．
（2）由题意得：
S△ABC＝×AC•BC＝×6×8＝24，
即：×2x×（6﹣x）＝×24，
整理的：t2﹣6t+12＝0，
△＝62﹣4×12＝﹣12＜0，该方程无实数解，
所以，不存在使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半的时刻．
25．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB＝90°，点E在BC的延长线上，且∠CED＝∠CAB．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）若AC∥DE，当AB＝8，DC＝4时，求AC的长．

【分析】（1）先判断出BD是圆O的直径，再判断出BD⊥DE，即可得出结论；
（2）先判断出AC⊥BD，进而求出BC＝AB＝8，再用勾股定理求出BD，最后判断出△CFD∽△BCD，即可得出结论．
【解答】解：（1）如图，
连接BD，∵∠BAD＝90°，
∴点O必在BD上，即：BD是直径，
∴∠BCD＝90°，
∴∠DEC+∠CDE＝90°，
∵∠DEC＝∠BAC，
∴∠BAC+∠CDE＝90°，
∵∠BAC＝∠BDC，
∴∠BDC+∠CDE＝90°，
∴∠BDE＝90°，即：BD⊥DE，
∵点D在⊙O上，
∴DE是⊙O的切线；

（2）∵DE∥AC，
∵∠BDE＝90°，
∴∠BFC＝90°，
∴CB＝AB＝8，AF＝CF＝AC，
在Rt△BCD中，BD＝＝4
同理：△CFD∽△BCD，
∴＝，
∴＝，
∴CF＝，
∴AC＝2AF＝．

26．某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件，为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件．
（1）填表：

每月的销售量（件）
每件商品销售利润（元）
降价前
60
80
降价后
　60+5x　
　80﹣x　
（2）要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品实际售价应定为多少元？
【分析】（1）根据如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件即可得到答案；
（2）设要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价x元，由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可．
【解答】解：（1）

每月的销售量（件）
每件商品销售利润（元）
降价前
60
80
降价后
60+5x
80﹣x
（2）设要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价x元，由题意，得（360﹣x﹣280）（5x+60）＝7200，解得：x1＝8，x2＝60∵有利于减少库存，
∴x＝60．
答：要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价60元．
27．概念认识
平面内，M为图形T上任意一点，N为⊙O上任意一点，将M、N两点间距离的最小值称为图形T到⊙O的“最近距离”，记作d（T﹣⊙O）．例如图①，在直线l上有A、B、O三点，以AB为一边作等边△ABC，以点O为圆心作圆，与l交于D、E两点，若将△ABC记为图形T，则B、D两点间的距离称为图形T到⊙O的“最近距离”．
数学理解
（1）在直线l上有A、B两点，以点A为圆心，3为半径作⊙A，将点B记为图形T，若d（T﹣⊙A）＝1，则AB＝　2或4　．
（2）如图②，在平面直角坐标系中，以O（0，0）为圆心，半径为2作圆．
①将点C（4，3）记为图形T，则d（T﹣⊙O）＝　3　．
②将一次函数y＝kx+2的图记为图形T，若d（T﹣⊙O）＞0，求k的取值范围．
推广运用
（3）在平面直角坐标系中，P的坐标为（t，0），⊙P的半径为2，D、E两点的坐标分别为（﹣8，8）、（﹣8，﹣8），将∠DOE记为图形T，若d（T﹣⊙P）＝1，则t＝　﹣3或3　．

【分析】（1）根据图形T到⊙O的“最近距离”的定义即可解决问题．
（2）①如图2中，连接OC交⊙O于E．求出EC的长即可．
②如图，设直线y＝kx+2与⊙O相切于E，K．连接OK，OE．求出直线DE，直线DK的解析式即可解决问题．
（3）分两种情形：①如图3﹣1中，当点P在∠DOE内部时，作PM⊥OD于M，交⊙P于K．②如图3﹣2中，当点P在∠DOE的外侧时，分别求解即可．
【解答】解：（1）如图1中，

∵d（T﹣⊙A）＝1，
∴CB＝CB′＝1，
∵AC＝3，
∴AB′＝2，AB＝4．
故答案为2或4．

（2）①如图2中，连接OC交⊙O于E．

∵C（4，3），
∴OC＝＝5，
∵OE＝2，
∴EC＝3，
∴d（T﹣⊙O）＝3．
故答案为3．

②如图，设直线y＝kx+2与⊙O相切于E，K．连接OK，OE．

∵OE⊥DE，OK⊥DK，OD＝2，OE＝OK＝2，
∴DK＝＝＝2，DE＝＝＝2，
∴DE＝OE＝DK＝OK，
∴四边形DEOK是菱形，
∵∠DKO＝∠DEO＝90°，
∴四边形DEOK是正方形，
∴∠ODE＝∠ODK＝45°，
∴直线DE的解析式为y＝﹣x+2，直线DK的解析式为y＝x+2，
∵d（T﹣⊙O）＞0，
∴观察图象可知满足条件的k的值为﹣1＜k＜1且k≠0．

（3）如图3﹣1中，当点P在∠DOE内部时，作PM⊥OD于M，交⊙P于K．

∵D（﹣8，8），
∴∠DOP＝45°，
∵d（T﹣⊙P）＝1，
∴PM＝OM＝3，OP＝3，
∴t＝﹣3．

如图3﹣2中，当点P在∠DOE的外侧时，由题意可知OM＝1，OP＝1+2＝3，t＝3．

综上所述，满足条件的t的值为﹣3或3．