南京市鼓楼区2019-2020学年九年级（上）期中数学试卷（含解析）

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1．平面内，⊙O的半径为3，OP＝2，则点P在（ ）
A．⊙O内B．⊙O上
C．⊙O外D．以上都有可能
2．某商品单价经过两次降价从100元降至81元，设平均每月降价百分率为x，则可列方程（ ）
A．100（1+x）2＝81B．100（1﹣x）2＝81
C．81（1+x）2＝100D．81（1﹣x）2＝100
3．一元二次方程x2+2x+4＝0的根的情况是（ ）
A．有一个实数根B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根D．没有实数根
4．解一元二次方程x2+4x﹣1＝0，配方正确的是（ ）
A．（x+2）2＝3B．（x﹣2）2＝3C．（x+2）2＝5D．（x﹣2）2＝5
5．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝110°，则∠BOD的度数是（ ）
A．70°B．120C．140°D．160°

6．如图①，若BC是Rt△ABC和Rt△DBC的公共斜边，则A、B、C、D在以BC为直径的圆上，则叫它们“四点共圆”．如图②，△ABC的三条高AD、BE、CF相交于点H，则图②中“四点共圆”的组数为（ ）
A．2B．3C．4D．6
二、填空题（共20分）
7．写出一个两根分别为0和2的一元二次方程 ．
8．若扇形的半径长为3，圆心角为60°，则该扇形的弧长为 ．
9．圆锥的底面半径为1，母线长为2，则它的侧面积为 ．（结果保留π）
10．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE＝1，CD＝4，则OC的长为 ．

11．若x＝m是方程x2+2x﹣2019＝0的一个根，则m（m+2）的值为 ．
12．如图，⊙O与四边形ABCD各边相切，若AB＝5，BC＝6，CD＝4，则AD的长为 ．
13．如图，⊙O半径为2，弦AB∥弦CD，AB＝2，CD＝2，则AB和CD之间的距离 ．

14．若关于x的方程x2﹣（k+3）x+3k＝0的两根之差为8，则k的值为 ．
15．如图，AB是⊙O的内接正方形一边，点C在弧AB上，且AC是⊙O的内接正六边形的一边，若将BC看作是⊙O的内接正n边形的一边，则n的值是 ．
16．若方程x2+mx+1＝0和x2+x+m＝0有公共根，则常数m的值是 ．
三、解答题（共88分）
17．解下列一元二次方程
（1）x（x+3）＝5（x+3）
（2）2x2+4x+1＝0
18．如图，AB是⊙O的直径，AC＝BC，AC、BC分别交⊙O于点D、E，连接DE，求证：DE∥AB．
19．一个直角三角形三边的长为一组连续自然数，求该直角三角形的三边长．
20．已知关于x的一元二次方程：kx2+（2k+1）x+k+2＝0．
（1）若该方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；
（2）若该方程的两根x1，x2满足＝﹣3，求k的值．
21．如图，AB是⊙O的直径，点C、F在⊙O上，CD⊥AB，垂足为D，CD的延长线交BF于点E，求证：∠BCE＝∠BFC．
22．如图，∠ABM＝90°，⊙O分别切AB、BM于点D、E．AC切⊙O于点F，交BM于点C（C与B不重合）．
（1）用直尺和圆规作出AC；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若⊙O半径为1，AD＝4，求AC的长．
23．学校打算用50m的篱笆围城一个矩形生物园ABCD，生物园的一面靠墙MN（墙MN可利用的长度为25m），面积是300m2．求这个生物园的边AB的长．
24．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在圆上，＝，过点C作CE⊥AD延长线于点E．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若BC＝3，AC＝4，求CE和AD的长．
25．如图，⊙O的半径为2，O到顶点A的距离为5，点B在⊙O上，点P是线段AB的中点，若B在⊙O上运动一周．
（1）点P的运动路径是一个圆；
（2）△ABC始终是一个等边三角形，直接写出PC长的取值范围．
26．已知⊙O半径为1，若点P在⊙O外且⊙O上存在点A、B使得∠APB＝60°，则称点P是⊙O的领域点．
（1）对以下情况，用三角板或量角器尝试画图，并判断点P是否是⊙O的领域点（在横线上填“是”或“不是”）．
（2）若点P是⊙O的领域点，则OP的取值范围是 ；
（3）如图，以圆心O为坐标原点建立平面直角坐标系xOy，设直线y＝﹣x+b（b＞0）与x轴、y轴分别相交于点M、N．
①若线段MN上有且只有一个点是⊙O的领域点，求b的值；
②若线段MN上存在⊙O的领域点，求b的取值范围．
27．解题时，最容易想到的方法未必是最简单的，你可以再想一想，尽量优化解法．
例题呈现
关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝1，x2＝﹣2（a、m、b均为常数，a≠0），则方程a（x+m+2）2+b＝0的解是 ．
解法探讨
（1）小明的思路如图所示，请你按照他的思路解决这个问题
（2）小红仔细观察两个方程，她把第二个方程中的“x+2”看做第一个方程中的“x”，则“x+2”的值为 ，从而更简单地解决了问题．
策略应用
（3）小明和小红认真思考后认为，利用方程结构的特点，无需计算“根的判别式”就能轻松解決以下问题，请用他们说的方法完成解答．
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．平面内，⊙O的半径为3，OP＝2，则点P在（ ）
A．⊙O内B．⊙O上
C．⊙O外D．以上都有可能
【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系；点与圆心的距离d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．
【解答】解：∵OP＜3，
∴点P在⊙O内部．
故选：A．
2．某商品单价经过两次降价从100元降至81元，设平均每月降价百分率为x，则可列方程（ ）
A．100（1+x）2＝81B．100（1﹣x）2＝81
C．81（1+x）2＝100D．81（1﹣x）2＝100
【分析】设平均每次降价的百分率为x，根据降价前及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，
根据题意得：100（1﹣x）2＝81．
故选：B．
3．一元二次方程x2+2x+4＝0的根的情况是（ ）
A．有一个实数根B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根D．没有实数根
【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△＝b2﹣4ac的值的符号就可以了．
【解答】解：∵a＝1，b＝2，c＝4，
∴△＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×4＝﹣12＜0，
∴方程没有实数根．
故选：D．
4．解一元二次方程x2+4x﹣1＝0，配方正确的是（ ）
A．（x+2）2＝3B．（x﹣2）2＝3C．（x+2）2＝5D．（x﹣2）2＝5
【分析】根据一元二次方程的配方法即可求出答案．
【解答】解：∵x2+4x﹣1＝0，
∴x2+4x+4＝5，
∴（x+2）2＝5，
故选：C．
5．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝110°，则∠BOD的度数是（ ）
A．70°B．120C．140°D．160°
【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A，再根据圆周角定理解答即可．
【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝110°，
∴∠A＝180°﹣∠BCD＝70°，
由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝140°，
故选：C．
6．如图①，若BC是Rt△ABC和Rt△DBC的公共斜边，则A、B、C、D在以BC为直径的圆上，则叫它们“四点共圆”．如图②，△ABC的三条高AD、BE、CF相交于点H，则图②中“四点共圆”的组数为（ ）
A．2B．3C．4D．6
【分析】根据两个直角三角形公共斜边时，四个顶点共圆，结合图形求解可得．
【解答】解：如图，
以AH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、F、H、E），
以BH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（B、F、H、D），
以CH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（C、D、H、E），
以AB为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、E、D、B），
以BC为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（B、F、E、C），
以AC为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、F、D、C），
共6组．
故选：D．
二．填空题（共10小题）
7．写出一个两根分别为0和2的一元二次方程 x（x﹣2）＝0 ．
【分析】根据以x1 x2为根的一元二次方程为（x﹣x1）（x﹣x2）＝0写出即可．
【解答】解：两根分别为0和2的一元二次方程是（x﹣0）（x﹣2）＝0，即x（x﹣2）＝0．
故答案为：x（x﹣2）＝0．
8．若扇形的半径长为3，圆心角为60°，则该扇形的弧长为 π ．
【分析】根据弧长的公式列式计算即可．
【解答】解：∵一个扇形的半径长为3，且圆心角为60°，
∴此扇形的弧长为＝π．
故答案为：π．
9．圆锥的底面半径为1，母线长为2，则它的侧面积为 2π ．（结果保留π）
【分析】圆锥侧面积＝圆周率×底面圆的半径×母线长，依此列式计算即可．
【解答】解：∵圆锥的底面半径为1，母线长为2，
∴它的侧面积为π×1×2＝2π．
故答案为：2π．
10．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE＝1，CD＝4，则OC的长为 ．
【分析】先利用垂径定理得到CE＝DE＝CD＝2，设OC＝r，根据勾股定理得（r﹣1）2+22＝r2，然后解方程即可．
【解答】解：∵弦CD⊥AB于点E，
∴CE＝DE＝CD＝2，
设OC＝r，则OE＝OA﹣AE＝r﹣1，
在Rt△COE中，（r﹣1）2+22＝r2，解得r＝，
即OC的长为．
故答案为．
11．若x＝m是方程x2+2x﹣2019＝0的一个根，则m（m+2）的值为 2019 ．
【分析】把x＝m代入方程求出m2+2m＝2019，把m（m+2）m（m+2）代入求出即可．
【解答】解：根据题意，将x＝m代入方程，得：m2+2m﹣2019＝0，
则m2+2m＝2019，
∴m（m+2）＝m2+2m＝2019．
故答案为：2019．
12．如图，⊙O与四边形ABCD各边相切，若AB＝5，BC＝6，CD＝4，则AD的长为 3 ．
【分析】根据切线长定理可得AD+BC＝AB+CD，即可求AD的长度．
【解答】解：
∵⊙O与四边形ABCD各边相切，
∴AD+BC＝AB+CD，
∵AB＝5，BC＝6，CD＝4，
∴AD＝3，
故答案为：3．
13．如图，⊙O半径为2，弦AB∥弦CD，AB＝2，CD＝2，则AB和CD之间的距离 ﹣或+ ．
【分析】分两种情况进行讨论：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可．
【解答】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1所示，
∵AB＝2，CD＝2，
∴AF＝1，CE＝，
∵OA＝OC＝2，
∴EO＝＝＝，OF＝＝，
∴EF＝OF﹣OE＝﹣；
②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图2所示，
∵AB＝2，CD＝2，
∴AE＝1，CF＝，
∵OA＝OC＝2，
同法可得EO＝，OF＝，
∴EF＝OF+OE＝+；
综上所述：AB和CD之间的距离为﹣或+．
故答案为：﹣或+．
14．若关于x的方程x2﹣（k+3）x+3k＝0的两根之差为8，则k的值为 11或﹣5 ．
【分析】由根与系数的关系可知：x1+x2＝k+3，x1•x2＝3k；又知两根之差为8，即|x1﹣x2|＝8，根据（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2，建立等量关系求k．
【解答】解：由根与系数的关系可知：x1+x2＝k+3，x1•x2＝3k．
由已知两根之差为8，得|x1﹣x2|＝8，即（x1﹣x2）2＝64．
则（x1+x2）2﹣4x1x2＝64，
（k+3）2﹣4×3k＝64，
解得k＝11或﹣5．
故答案为：11或﹣5．
15．如图，AB是⊙O的内接正方形一边，点C在弧AB上，且AC是⊙O的内接正六边形的一边，若将BC看作是⊙O的内接正n边形的一边，则n的值是 12 ．
【分析】根据中心角的度数＝360°÷边数，列式计算分别求出∠AOB，∠BOC的度数，则∠AOC＝30°，则边数n＝360°÷中心角．
【解答】解：连接OC，
∵AB是⊙O内接正方形的一边，
∴∠AOB＝360°÷4＝90°，
∵BC是⊙O内接正六边形的一边，
∴∠BOC＝360°÷6＝60°，
∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°，
∴n＝360°÷30°＝12；
故答案为：12；
16．若方程x2+mx+1＝0和x2+x+m＝0有公共根，则常数m的值是 1或﹣2 ．
【分析】先设公共根为t，则t2+mt+1＝0，t2+t+m＝0，把两方程相减得到（m﹣1）t＝m﹣1，如果m＝1，那么两个方程均为x2+x+1＝0，符合题意；如果m≠1，解方程求出t的值，再根据方程解的定义得出1+m+1＝0，解得m的值即可．
【解答】解：设方程x2+mx+1＝0和x2+x+m＝0的公共根为t，
则t2+mt+1＝0①，
t2+t+m＝0②，
①﹣②得（m﹣1）t＝m﹣1，
如果m＝1，那么两个方程均为x2+x+1＝0，符合题意；
如果m≠1，那么t＝1，
把t＝1代入①，得1+m+1＝0，解得m＝﹣2．
故常数m的值为1或﹣2．
故答案为：1或﹣2．
三．解答题（共11小题）
17．解下列一元二次方程
（1）x（x+3）＝5（x+3）
（2）2x2+4x+1＝0
【分析】（1）利用因式分解法求解可得；
（2）利用公式法求解可得．
【解答】解：（1）∵x（x+3）﹣5（x+3）＝0，
∴（x+3）（x﹣5）＝0，
则x+3＝0或x﹣5＝0，
解得x＝﹣3或x＝5；
（2）∵a＝2，b＝4，c＝1，
∴△＝42﹣4×2×1＝8＞0，
则x＝＝．
18．如图，AB是⊙O的直径，AC＝BC，AC、BC分别交⊙O于点D、E，连接DE，求证：DE∥AB．
【分析】根据圆周角定理和内接四边形解答即可
【解答】证明
∵AC＝BC，
∴∠A＝∠B，
∵四边形ABCD是内接于⊙O，
∴∠CDE＝∠B，
∴∠CDE＝∠A，
∴DE∥AB．
19．一个直角三角形三边的长为一组连续自然数，求该直角三角形的三边长．
【分析】三个连续自然数，依次大1，设中间一个为x，则其余两个为x﹣1，x+1，再根据勾股定理即可求解．
【解答】解：设中间一个为x，
则其余两个为x﹣1，x+1，
由勾股定理得（x+1）2＝（x﹣1）2+x2，
即x（x﹣4）＝0，
∴x1＝0，x2＝4，
当x＝0时，x﹣1＝﹣1＜0，
∵x﹣1表示三角形的边长，不能为负数，
∴x＝0舍去，
当x＝4，x﹣1＝4﹣1＝3，x+1＝4+1＝5，
∴它的三边长为3，4，5．
20．已知关于x的一元二次方程：kx2+（2k+1）x+k+2＝0．
（1）若该方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；
（2）若该方程的两根x1，x2满足＝﹣3，求k的值．
【分析】（1）由x的一元二次方程kx2+（2k+1）x+k+2＝0的两个实数根是x1和x2，可得k≠0且△＞0即可求出k的取值范围，
（2）根据根与系数的关系及＝﹣3，即可求出k的值．
【解答】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴k≠0且△＝（2k+1）2﹣4k（k+2）＞0，
解得：k＜且k≠0，
∴k的取值范围：k＜且k≠0．
（2）∵一元二次方程kx2+（2k+1）x+k+2＝0的两个实数根是x1和x2，
∴x1+x2＝﹣，x1x2＝，
∵＝﹣3，
∴＝﹣3，
∴＝﹣3，
解得：k＝﹣5．
故k的值是﹣5．
21．如图，AB是⊙O的直径，点C、F在⊙O上，CD⊥AB，垂足为D，CD的延长线交BF于点E，求证：∠BCE＝∠BFC．
【分析】连接AC，利用圆周角定理得出∠CAB＝∠CFB，进而利用同角的余角相等解答即可．
【解答】证明：连接AC，
∵∠CAB与∠CFB所对弧为，
∴∠CAB＝∠CFB，
∵∠CAB+∠CBA＝90°，
∠BCE+∠CBA＝90°
∴∠BCE＝∠CAB＝∠CFB．
22．如图，∠ABM＝90°，⊙O分别切AB、BM于点D、E．AC切⊙O于点F，交BM于点C（C与B不重合）．
（1）用直尺和圆规作出AC；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若⊙O半径为1，AD＝4，求AC的长．
【分析】（1）以A为圆心，AD为半径画弧交⊙O于F，作直线AF交BM于点C，直线AC即为所求．
（2）设CF＝CE＝x，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【解答】解：（1）如图，直线AC即为所求．
（2）连接OE，OD．
∵⊙O是△ABC的内切圆，D，E，F是切点，
∴∠OEB＝∠ODB＝∠B＝90°，
∴四边形OEBD是矩形，
∵OE＝OD＝1，
∴四边形OEBD是正方形，
∴BD＝BE＝1，
∵AF＝AD＝4，设CF＝CE＝x，
在Rt△ABC中，∵AC2＝AB2+BC2，
∴（4+x）2＝52+（1+x）2，
∴x＝，
∴AC＝AF+CF＝4+＝．
23．学校打算用50m的篱笆围城一个矩形生物园ABCD，生物园的一面靠墙MN（墙MN可利用的长度为25m），面积是300m2．求这个生物园的边AB的长．
【分析】可设宽为xm，则长为（50﹣2x）m，根据等量关系：面积是300m2．列出方程求解即可．
【解答】解：设宽为xm，则长为（50﹣2x）m．
由题意，得 x•（50﹣2x）＝300，
解得 x1＝10，x2＝15．
∵50﹣2x≤25，
∴x≥12.5，
∴x＝15．
答：生物园的边AB的长15m．
24．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在圆上，＝，过点C作CE⊥AD延长线于点E．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若BC＝3，AC＝4，求CE和AD的长．
【分析】（1）连接OC，OA＝OC，则∠OCA＝∠OAC，再由已知条件，可得∠OCE＝90°；
（2）由CE是⊙O的切线，得∠DCE＝∠CAE＝∠CAB，从而求得△CDE∽△ABC，△ACE∽△ABC，根据相似三角形对应边成比例即可求得．
【解答】解：（1）连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，
∵＝
∴DC＝BC，
∴∠BAC＝∠CAD，
∴∠OCA＝∠CAD，
∴OC∥AE，
∵∠E＝90°
∴OC⊥CE，
∴CE是⊙O的切线；
（2）∵CE是⊙O的切线，
∴∠DCE＝∠CAE＝∠CAB，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠E，
∴△CDE∽△ABC，△ACE∽△ABC，
∴＝＝，＝
∵BC＝3，AC＝4，
∴AB＝5，CD＝3，
∴＝，＝，＝
∴CE＝，ED＝，AE＝，
∴AD＝AE﹣ED＝．
25．如图，⊙O的半径为2，O到顶点A的距离为5，点B在⊙O上，点P是线段AB的中点，若B在⊙O上运动一周．
（1）点P的运动路径是一个圆；
（2）△ABC始终是一个等边三角形，直接写出PC长的取值范围．
【分析】（1）连接OA、OB，取OA的中点H，连接OB，HP，则HP是△ABO的中位线，得出HP＝OB＝1，即P点到H点的距离固定为1，即可得出结论；
（2）由等边三角形的性质和直角三角形的性质分别求出PC的最小值和最大值即可．
【解答】（1）解：连接OA、OB，取OA的中点H，连接OB，HP，如图1所示：
则HP是△ABO的中位线，
∴HP＝OB＝1，
∴P点到H点的距离固定为1，
∴B在⊙O上运动一周，点P运动的路径是以点H为圆心，半径为1的一个圆；
（2）解：连接AO并延长AO交⊙O于点M、N，如图2所示：
∵△ABC是等边三角形，点P是线段AB的中点，
∴PC⊥AB，PA＝PB＝AB＝BC，
∴PC＝PA＝AB，
当点B运动到点M位置时，点P运动到点P'位置，PC最短，
∵AM＝OA﹣OM＝5﹣2＝3，
∴AP'＝AM＝，
∴PC＝；
当点B运动到点N位置时，点P运动到点P''位置，PC最长，
∵AN＝OA+ON＝5+2＝7，
∴AP''＝AN＝，
∴PC＝；
∴PC长的取值范围是≤PC≤．
26．已知⊙O半径为1，若点P在⊙O外且⊙O上存在点A、B使得∠APB＝60°，则称点P是⊙O的领域点．
（1）对以下情况，用三角板或量角器尝试画图，并判断点P是否是⊙O的领域点（在横线上填“是”或“不是”）．
（2）若点P是⊙O的领域点，则OP的取值范围是 1＜OP≤2 ；
（3）如图，以圆心O为坐标原点建立平面直角坐标系xOy，设直线y＝﹣x+b（b＞0）与x轴、y轴分别相交于点M、N．
①若线段MN上有且只有一个点是⊙O的领域点，求b的值；
②若线段MN上存在⊙O的领域点，求b的取值范围．
【分析】（1）根据点P是⊙O的领域点的定义即可判断．
（2）如图1中，由题可知：若点P刚好是⊙O的领域点，则点P到⊙O的两条切线PA与PB之间的夹角为60°，求出OP的长即可．
（3）①如图2中，当点O到直线y＝﹣x+b的距离OP＝2时，线段MN上有且只有一个点是⊙O的领域点，求出b的值即可．
②当直线与⊙O相切时，设切点为E，求出b的值即可判断．
【解答】解：（1）观察图形可知图①②中，点P是⊙O的领域点，图③中点P不是⊙O的领域点．
故答案为是，是，不是．
（2）由题可知：若点P刚好是⊙O的领域点，则点P到⊙O的两条切线PA与PB之间的夹角为60°，如图1，
∵PA、PB与⊙O分别相切于点A、B，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∠APO＝∠BPO＝∠APB＝30°．
∴OP＝2OA．
设⊙O的半径为r，则点P刚好是⊙O的领域点时OP＝2r．
所以若点P是⊙O的领域点，则需点满足1＜OP≤2．
（3）①如图2中，当点O到直线y＝﹣x+b的距离OP＝2时，线段MN上有且只有一个点是⊙O的领域点，
∵M（b，0），N（0，b），
∴OM＝ON，
∵OP⊥MN，
∴PM＝PN，
∴OP＝PM＝PN＝2，
∴OM＝ON＝2，
∴b＝2，
∴当线段MN上有且只有一个点是⊙O的领域点时 b＝2．
②当直线与⊙O相切时，设切点为E，
∵OE＝EN′＝EM′＝1，
∴ON′＝OM′＝，
观察图象可知，当线段MN上存在⊙O的领域点，b的取值范围为＜b．
27．解题时，最容易想到的方法未必是最简单的，你可以再想一想，尽量优化解法．
例题呈现
关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝1，x2＝﹣2（a、m、b均为常数，a≠0），则方程a（x+m+2）2+b＝0的解是 x1＝﹣1，x2＝﹣4 ．
解法探讨
（1）小明的思路如图所示，请你按照他的思路解决这个问题
（2）小红仔细观察两个方程，她把第二个方程中的“x+2”看做第一个方程中的“x”，则“x+2”的值为 1或﹣2 ，从而更简单地解决了问题．
策略应用
（3）小明和小红认真思考后认为，利用方程结构的特点，无需计算“根的判别式”就能轻松解決以下问题，请用他们说的方法完成解答．
【分析】（1）把x1＝1，x2＝﹣2分别代入原方程求得m＝，于是得到原方程为：a（x）+b＝0，求得﹣，将m＝和﹣＝代入第2个方程得于是得到结论；
（2）把第二个方程中的“x+2”看做第一个方程中的“x”，即可得到结论；
（3）根据原方程的结构特点得到x＝1，即原方程可化成m（x﹣1）2＝0的形式，根据二次项系数和常数项相等于是得到结论．
【解答】解：（1）把x1＝1，x2＝﹣2分别代入原方程得，，
解得：m＝，
∴原方程为：a（x）+b＝0，
∴﹣，
将m＝和﹣＝代入第2个方程得，（x+）2＝，
解得：x1＝﹣1，x2＝﹣4；
故答案为：x1＝﹣1，x2＝﹣4；
（2）把第二个方程中的“x+2”看做第一个方程中的“x”，
则x+2”的值为1或﹣2；
故答案为：1或﹣2；
（3）∵（a2﹣2b2）x2+（2b2﹣2c2）x+2c2﹣a2＝0有两个相等的实数根，
∴观察原方程可得x＝1，
即原方程可化成m（x﹣1）2＝0的形式，
由方程的结构特点可得，展开得：mx2﹣2mx+m＝0，
∴二次项系数和常数项相等，即a2﹣2b2＝2c2﹣a2，
∴a2＝b2+c2，
∴△ABC是直角三角形，且∠A＝90°．
（1）思路引导
要证点P运动的路径是一个圆，只要证点P到定点M的距离等于定长r，由图中的定点、定长
可以发现M，r．
①当OP＝1.2时，
点P ⊙O的领域点
②当OP＝2时，
点P ⊙O的领域点
③当OP＝3时，
点P ⊙O的领域点
小明的思路
第1步把1，﹣2代入到第1个方程中求出m的值；
第2步把m的值代入到第1个方程中求出的值；
第3步解第2个方程．
已知方程（a2﹣2b2）x2+（2b2﹣2c2）x+2c2﹣a2＝0有两个相等的实数根，其中常数a、b、c是△ABC三边的长，判断△ABC的形状．
（1）思路引导
要证点P运动的路径是一个圆，只要证点P到定点M的距离等于定长r，由图中的定点、定长
可以发现M，r．
①当OP＝1.2时，
点P 是 ⊙O的领域点
②当OP＝2时，
点P 是 ⊙O的领域点
③当OP＝3时，
点P 不是 ⊙O的领域点
小明的思路
第1步把1，﹣2代入到第1个方程中求出m的值；
第2步把m的值代入到第1个方程中求出的值；
第3步解第2个方程．
已知方程（a2﹣2b2）x2+（2b2﹣2c2）x+2c2﹣a2＝0有两个相等的实数根，其中常数a、b、c是△ABC三边的长，判断△ABC的形状．