常州市新北区2018-2019学年八年级第二学期期中考试数学试题（含答案）

这是一份常州市新北区2018-2019学年八年级第二学期期中考试数学试题（含答案），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，作图题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2018～2019学年度第二学期期中质量调研
一、选择题（每小题2分，共20分）
1. 下列图案中，不是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2.“学习强国”英语“Learningpower”中，字母“n”出现的频率是（ ）
A. B. C. 2 D. 1
3.下列调查中不适合普查而适合抽样调查的是（　　）
①了解市面上一次性筷子的卫生情况  ②了解我校九年级学生身高情况
③了解一批导弹的杀伤范围        ④了解全世界网迷少年的性格情况．
A. B. C. D.
4.一次跳远比赛中，成绩在4.05米以上的有8人，频率为0.4，则参加比赛的共有（　　）
A. 40人 B. 30人 C. 20人 D. 10人
5.下列事件是必然事件的是（　　）
A. 乘坐公共汽车恰好有空座 B. 同位角相等
C. 打开手机就有未接电话 D. 三角形内角和等于180°
6.下列说法中，不正确是（　　）
A. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B. 对角线互相平分且垂直的四边形是菱形
C. 一组对边平行另外一组对边相等的四边形是平行四边形
D. 有一组邻边相等矩形是正方形
7.如图，在▱ABCD中，∠ODA=90°，AC=10cm，BD=6cm，则AD的长为（　　）

A. 4cm B. 5cm C. 6cm D. 8cm
8.如图，矩形纸片中，＝6 cm，＝8 cm，现将其沿对折，使得点落在边AD上的点处，折痕与边交于点，则的长为（ ）

A. 1 cm B. 2 cm C. 4 cm D. 6 cm
9.如图，在△ABC中，D是AB上一点，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为点E，F是BC的中点，若BD＝16，则EF的长为（　　）

A 32 B. 16 C. 8 D. 4
10.如图，四边形是正方形，直线，，分别通过、、三点，且．若与之间的距离是，与之间的距离是，则正方形的面积是（ ）．

A. B. C. D.
二、填空题（每小题2分，共20分）
11.“抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上”是______事件（从“必然”、“随机”、“不可能”中选一个）．
12.把64个数据分成8组，从第1组到第4组的频数分别是6，9，12，14，第5组到第7组的频率和是0.25，那么第8组的频数是______．
13.每年5月11日是由世界卫生组织确定的世界防治肥胖日，某校为了解全校2000名学生的体重情况，随机抽测了200名学生的体重，根据体质指数（BMI）标准，体重超标的有15名学生，则估计全校体重超标学生的人数为______名．
14.一只不透明的袋子中有1个白球、1个红球和2个黄球，这些球除颜色不同外其它都相同．搅均后从中任意摸出1个球，摸出白球可能性______摸出黄球可能性．（填“等于”或“小于”或“大于”）．
15.在▱ABCD中，∠A+∠C=220°，则∠B=______°．
16.菱形的对角线＝6 cm，＝8 cm，则菱形的面积是____cm2．
17.如图，已知矩形ABCD，P、R分别是BC和DC上的点，E、F分别是PA，PR的中点．如果DR=3，AD=4，则EF的长为______．

18.一块矩形场地，长为101米，宽为70米，从中留出如图所示的宽为1米的小道，其余部分种草，则草坪的面积为______m2．

19.如图，将正方形ABCD沿BE对折，使点A落在对角线BD上的A′处，连接A′C，则∠BA′C=________度．

20.如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的边OC落在x轴的正半轴上，且点B (6,2)，直线y=2x+1以每秒1个单位长度的速度沿y轴向下平移，经过______秒该直线可将平行四边形OABC分成面积相等的两部分.

三、作图题
21.正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1），△ABC的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题：
（1）作出△ABC绕点A逆时针旋转90°的△AB1C1．
（2）作出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B2C2．
（3）请直接写出以A1、B2、C2为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标________.

四、解答题（共52分）
22.某校随机抽取部分学生，就“学习习惯”进行调查，将“对自己做错的题目进行整理、分析、改正”（选项为：很少、有时、常常、总是）的调查数据进行了整理，绘制成部分统计图如下：

请根据图中信息，解答下列问题
（1）该调查的样本容量为______，a=______%，b=______%，“常常”对应扇形的圆心角为______°
（2）请你补全条形统计图；
（3）若该校共有3200名学生，请你估计其中“总是”对错题进行整理、分析、改正的学生有多少名？
23.如图，▱ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，且BE=DF，EF与AC相交于点P，求证：PA=PC．

24.如图，菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，∠BAE=30°，AD=4cm．
（1）求菱形ABCD的各角的度数；
（2）求AE长．

25.如图，点B、E分别在AC、DF上，AF分别交BD、CE于点M、N，∠A=∠F，∠1=∠2．
（1）求证：四边形BCED是平行四边形；
（2）已知DE=2，连接BN，若BN平分∠DBC，求CN的长．

26.我们定义：如图，在△中，把绕点按顺时针方向旋转得到，把绕点按逆时针方向旋转得到，连接，当时，我们称△是△的“旋补三角形”，△边上的中线叫做的“旋补中线”，点叫做“旋补中心”．
⑴ 特例感知：在如图、如图中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”.
① 如图，当为等边三角形时，与的数量关系为＝ ；
② 如图，当，时，则长为 .
⑵ 精确作图：如图，已知在四边形内部存在点，使得是的“旋补三角形”（点D的对应点为点A，点C的对应点为点B），请用直尺和圆规作出点（要求：保留作图痕迹，不写作法和证明）
⑶ 猜想论证：在如图中，当△为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明.



一、选择题（每小题2分，共20分）
1. 下列图案中，不是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
试题分析：中心对称图形旋转180度与它本身重合，B是旋转120度与它本身重合，所以不是中心对称图形，故选B．
考点：中心对称图形的识别
2.“学习强国”的英语“Learningpower”中，字母“n”出现的频率是（ ）
A. B. C. 2 D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】
找出字母“n”出现的次数，进而求出字母“n”出现的频率.
【详解】这句话中,13个字母“n”出现了2次,
所以字母“n”出现的频率是.
故选:A.
【点睛】考查概率计算，明确概率的意义是解题的关键，概率等于所求情况数与总情况数的比.
3.下列调查中不适合普查而适合抽样调查的是（　　）
①了解市面上一次性筷子的卫生情况  ②了解我校九年级学生身高情况
③了解一批导弹的杀伤范围        ④了解全世界网迷少年的性格情况．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】①了解市面上一次性筷子的卫生情况是抽样调查，
②了解我校九年级学生身高情况是全面调查，
③了解一批导弹的杀伤范围是抽样调查，
④了解世界网迷少年的性格情况是抽样调查.
故选D
4.一次跳远比赛中，成绩在4.05米以上的有8人，频率为0.4，则参加比赛的共有（　　）
A. 40人 B. 30人 C. 20人 D. 10人
【答案】C
【解析】
【分析】
根据频率、频数的关系：频率=频数÷数据总和，可得数据总和=频数÷频率．
【详解】∵成绩在4.05米以上的频数是8，频率是0.4，
∴参加比赛的运动员=8÷0.4=20.
故选C.
【点睛】考查频数与频率，掌握数据总和=频数÷频率是解题的关键.
5.下列事件是必然事件的是（　　）
A. 乘坐公共汽车恰好有空座 B. 同位角相等
C. 打开手机就有未接电话 D. 三角形内角和等于180°
【答案】D
【解析】
A．乘坐公共汽车恰好有空座，是随机事件；B．同位角相等，是随机事件；C．打开手机就有未接电话，是随机事件；D．三角形内角和等于180°，是必然事件，
故选D．
6.下列说法中，不正确的是（　　）
A. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B. 对角线互相平分且垂直的四边形是菱形
C. 一组对边平行另外一组对边相等的四边形是平行四边形
D. 有一组邻边相等的矩形是正方形
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平行四边形、菱形和正方形的判定方法进行分析可得.
【详解】A. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形，正确；
B. 对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，正确；
C. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形有可能是等腰梯形，故错误；
D. 有一组邻边相等的矩形是正方形，正确.
故选C.
7.如图，在▱ABCD中，∠ODA=90°，AC=10cm，BD=6cm，则AD的长为（　　）

A. 4cm B. 5cm C. 6cm D. 8cm
【答案】A
【解析】
【分析】
由平行四边形ABCD，根据平行四边形的对角线互相平分，可得OA=OC，OB=OD，又由∠ODA=90°，根据勾股定理，即可求得BC的长．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC=10cm，BD=6cm
∴OA=OC=AC=5cm，OB=OD=BD=3cm，
∵∠ODA=90°，
∴AD=4cm，
∴BC=AD=4cm，
故选A．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分，解题时还要注意勾股定理的应用．
8.如图，矩形纸片中，＝6 cm，＝8 cm，现将其沿对折，使得点落在边AD上的点处，折痕与边交于点，则的长为（ ）

A. 1 cm B. 2 cm C. 4 cm D. 6 cm
【答案】B
【解析】
【分析】
根据翻折变换的性质可以证明四边形ABEB1为正方形，得到BE=AB，根据EC=BC-BE计算得到答案．
【详解】∵
∴四边形ABEB1为矩形,又AB=AB1，
∴四边形ABEB1为正方形，
∴BE=AB=6，
∴EC=BC−BE=2，
故选B.
【点睛】考查翻折变换（折叠问题），矩形的性质，正方形的判定等，掌握翻折变换的性质是解题的关键.
9.如图，在△ABC中，D是AB上一点，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为点E，F是BC的中点，若BD＝16，则EF的长为（　　）

A. 32 B. 16 C. 8 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质和中位线的性质求解即可．
【详解】∵AD＝AC
∴是等腰三角形
∵AE⊥CD
∴
∴E是CD的中点
∵F是BC的中点
∴EF是△BCD的中位线
∴
故答案为：C．
【点睛】本题考查了三角形的线段长问题，掌握等腰三角形的性质和中位线的性质是解题的关键．
10.如图，四边形是正方形，直线，，分别通过、、三点，且．若与之间的距离是，与之间的距离是，则正方形的面积是（ ）．

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
过作于，作于，则∠AED=∠DFC=90°，
∴∠EAD+∠EDA=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠ADC=90°，
∴∠EDA+∠CDF=90°，
∴∠EAD=∠FDC，
∴≌，
又∵，，
∴，
在中，
，
∴，
故选．

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质以及正方形面积的求解方法，熟练掌握相关性质并能正确添加辅助线是解题的关键．
二、填空题（每小题2分，共20分）
11.“抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上”是______事件（从“必然”、“随机”、“不可能”中选一个）．
【答案】随机．
【解析】
解：“抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上”是 随机事件，故答案为随机．
12.把64个数据分成8组，从第1组到第4组的频数分别是6，9，12，14，第5组到第7组的频率和是0.25，那么第8组的频数是______．
【答案】7
【解析】
【分析】
利用频率与频数的关系得出第5组到第7组的频数，进而得出第8组的频数．
【详解】∵把容量是64的样本分成8组，从第1组到第4组的频数分别是6，9，12，14，第5组到第7组的频率是0.25，
∴第8组的频数是：64−6−9−12−14−64×0.25=7.
故答案为7.
【点睛】考查频数与频率，掌握频率与频数之间的关系式是解题的关键.
13.每年5月11日是由世界卫生组织确定的世界防治肥胖日，某校为了解全校2000名学生的体重情况，随机抽测了200名学生的体重，根据体质指数（BMI）标准，体重超标的有15名学生，则估计全校体重超标学生的人数为______名．
【答案】150
【解析】
【分析】
用全校学生人数乘以样本中体重超标人数占比即可，
【详解】估计全校体重超标学生的人数为:名．
故答案为150.
【点睛】考查样本估计总体，明确总体，样本之间的关系是解题的关键.
14.一只不透明的袋子中有1个白球、1个红球和2个黄球，这些球除颜色不同外其它都相同．搅均后从中任意摸出1个球，摸出白球可能性______摸出黄球可能性．（填“等于”或“小于”或“大于”）．
【答案】小于　
【解析】
【分析】
先分别求出摸出各种颜色球的概率，再进行比较即可得出答案．
【详解】解：∵袋子中有1个白球、1个红球和2个黄球，共有4个球，
∴摸到白球的概率是，摸到红球的概率是，摸到黄球的概率是=，
∴摸出白球可能性＜摸出黄球的可能性；
故答案为小于．
【点睛】本题主要考查了可能性的大小，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比．
15.在▱ABCD中，∠A+∠C=220°，则∠B=______°．
【答案】70
【解析】
分析】
由平行四边形的性质得出∠A=∠C，∠A+∠B=180°，再由已知条件求出∠A，即可得出∠B．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C,∠A+∠B=180°，
∵∠A+∠C=220°，
∴∠A=110°，
∴∠B=70°．
故答案为70．
【点睛】考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的对角相等，邻角互补是解题的关键．
16.菱形的对角线＝6 cm，＝8 cm，则菱形的面积是____cm2．
【答案】24
【解析】
【分析】
由菱形ABCD的对角线AC=6cm，BD=8cm，根据菱形的面积等于其对角线积的一半，即可求得菱形ABCD的面积．
【详解】∵菱形ABCD的对角线AC=6cm，BD=8cm，
∴菱形ABCD的面积为：
故答案为24.
【点睛】考查菱形的性质，掌握菱形的面积公式是解题的关键.
17.如图，已知矩形ABCD，P、R分别是BC和DC上的点，E、F分别是PA，PR的中点．如果DR=3，AD=4，则EF的长为______．

【答案】2.5
【解析】
试题分析：根据勾股定理求AR；再运用中位线定理求EF．
试题解析：∵四边形ABCD是矩形，
∴△ADR是直角三角形
∵DR=3，AD=4
∴AR=
∵E、F分别是PA，PR的中点
∴EF=AR=×5=2．5．
考点：1．三角形中位线定理；2．矩形的性质．
18.一块矩形场地，长为101米，宽为70米，从中留出如图所示的宽为1米的小道，其余部分种草，则草坪的面积为______m2．

【答案】6900．
【解析】
【分析】
直接利用平移的性质，将小道平移到矩形场地周围进而得出答案．
【详解】解：由题意可得：
草坪的面积为：（101﹣1）×（70﹣1）=6900（m2）．
故答案为6900．
【点睛】本题考查生活中的平移现象．
19.如图，将正方形ABCD沿BE对折，使点A落在对角线BD上的A′处，连接A′C，则∠BA′C=________度．

【答案】67.5．
【解析】
【分析】
由四边形ABCD是正方形，可得AB=BC，∠CBD=45°，又由折叠的性质可得：A′B=AB，根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得∠BA′C的度数．
【详解】解：因为四边形ABCD是正方形，
所以AB=BC，∠CBD=45°，
根据折叠的性质可得：A′B=AB，
所以A′B=BC，
所以∠BA′C=∠BCA′==67.5°．
故答案为：67.5．
【点睛】此题考查了折叠的性质与正方形的性质．此题难度不大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．
20.如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的边OC落在x轴的正半轴上，且点B (6,2)，直线y=2x+1以每秒1个单位长度的速度沿y轴向下平移，经过______秒该直线可将平行四边形OABC分成面积相等的两部分.

【答案】6
【解析】
试题解析：连接AC、BO，交于点D，当y=2x+1经过D点时，该直线可将□OABC的面积平分；

∵四边形AOCB是平行四边形，
∴BD=OD，
∵B（6，2），点C（4，0），
∴D（3，1），
设DE的解析式为y=kx+b，
∵平行于y=2x+1，
∴k=2，
∵过D（3，1），
∴DE的解析式为y=2x-5，
∴直线y=2x+1要向下平移6个单位，
∴时间为6秒，
故答案为6．
三、作图题
21.正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1），△ABC的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题：
（1）作出△ABC绕点A逆时针旋转90°的△AB1C1．
（2）作出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B2C2．
（3）请直接写出以A1、B2、C2为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标________.

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）点D的坐标为（5，3）或（﹣1，1）或（3，﹣1）
【解析】
分析：(1)根据旋转的性质作图；(2)根据中心对称的性质作图；(3)作出以A1，B2，C2为顶点的平行四边形，根据所作的图形求点D的坐标.
详解：(1)如图，△AB1C1为所作；
(2)如图，△A1B2C2为所作；
(3)点D的坐标为(5，3)或(﹣1，1)或(3，﹣1)．

点睛：在直角坐标系中，已知平行四边形的三个点的坐标，确定第四个点的坐标时，可分别过每一个点作另两个点的连线的平行线，三条平行线的三个交点即是平行四边形的第四个点，根据图形或者平行四边形的性质确定第四个点的坐标.
四、解答题（共52分）
22.某校随机抽取部分学生，就“学习习惯”进行调查，将“对自己做错的题目进行整理、分析、改正”（选项为：很少、有时、常常、总是）的调查数据进行了整理，绘制成部分统计图如下：

请根据图中信息，解答下列问题
（1）该调查的样本容量为______，a=______%，b=______%，“常常”对应扇形的圆心角为______°
（2）请你补全条形统计图；
（3）若该校共有3200名学生，请你估计其中“总是”对错题进行整理、分析、改正的学生有多少名？
【答案】（1）200、12、36
（2）60(名)
（3）1152(名)
【解析】
【分析】
（1）由统计图中的信息可知，选择“有时”的人数为44人，占被调查人数的22%，由此即可求出样本容量，进而结合统计图中的信息即可求得a和b的值及扇形统计图中“常常”这一选项所对应的圆心角的度数；
（2）根据（1）中所得样本容量结合选择“常常”的占被调查人数的30%计算出选择“常常”的人数即可补全条形统计图；
（3）由全校有3200人结合（1）中所得b的值进行计算即可.
【详解】（1）由题意可得，该调查样本容量为：44÷22%=200（名），
a=24÷200×100%=12%，b=72÷20×100%=36%，
在扇形统计图中，“常常”对应扇形的圆心角为：．
（2）由（1）中所得样本容量为200，选择“常常”的占被调查人数的30%可得：
选择“常常”的人数为：名，
由此补全条形统计图如下图所示：

（3）由（1）可知，在被调查的学生中，选择“总是”的学生占总数的36%，而全校共有3200人，
∴“总是”对错题进行整理、分析、改正的学生人数为：3200×36%=1152（人）.
【点睛】熟悉“条形统计图和扇形统计图中各数据间的关系”是解答本题的关键.
23.如图，▱ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，且BE=DF，EF与AC相交于点P，求证：PA=PC．

【答案】证明见解析.
【解析】
分析：
由已知易得AB=CD，AB∥CD，结合BE=DF可得AE=CF，∠AEP=∠CFP，结合∠APE=∠CPF易证△AEP≌△CFP，由此可得PA＝PC．
详解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠AEP＝∠CFP，
∵BE＝DF，
∴AB－BE＝CD－DF，即AE＝CF，
在△AEP和△CFP中， ，
∴△AEP≌△CFP，
∴PA＝PC．
点睛：熟悉“平行四边形的性质”和“全等三角形的性质和判定”是解答本题的关键.
24.如图，菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，∠BAE=30°，AD=4cm．
（1）求菱形ABCD的各角的度数；
（2）求AE的长．

【答案】⑴菱形各角的度数为60°、120°、60°、120°；⑵AE的长为cm
【解析】
分析】
（1）由AE⊥BC，得∠AEB＝90°,根据三角形的内角和即可求出∠B＝60°，
根据菱形的对角相等，邻角互补即可求解.
（2）根据菱形的四条边相等得到AB＝AD＝4，因为∠BAE＝30°，所以BE=2cm，利用勾股定理即可求出AE的长．
【详解】⑴ ∵AE⊥BC
∴∠AEB＝90°
∵∠BAE＝30°
∴∠B＝60°
∵菱形ABCD
∴∠D＝∠B＝60°，AB∥CD
∴∠BAD＝∠C＝120°
答：菱形各角的度数为60°、120°、60°、120°
⑵ ∵菱形ABCD
∴AB＝AD＝4
∵∠BAE＝30°
∴BE＝2
∴AE＝
答：AE的长为cm
【点睛】考查菱形的性质,勾股定理等，掌握菱形的四条边相等是解题的关键.
25.如图，点B、E分别在AC、DF上，AF分别交BD、CE于点M、N，∠A=∠F，∠1=∠2．
（1）求证：四边形BCED是平行四边形；
（2）已知DE=2，连接BN，若BN平分∠DBC，求CN的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）CN=2．
【解析】
试题分析：（1）由已知角相等，利用对顶角相等，等量代换得到同位角相等，进而得出DB与EC平行，再由内错角相等两直线平行得到DE与BC平行，即可得证；
（2）由角平分线得到一对角相等，再由两直线平行内错角相等，等量代换得到一对角相等，再利用等角对等边得到CN=BC，再由平行四边形对边相等即可确定出所求．
（1）证明：∵∠A=∠F，
∴DE∥BC，
∵∠1=∠2，且∠1=∠DMF，
∴∠DMF=∠2，
∴DB∥EC，
则四边形BCED为平行四边形；
（2）解：∵BN平分∠DBC，
∴∠DBN=∠CBN，
∵EC∥DB，
∴∠CNB=∠DBN，
∴∠CNB=∠CBN，
∴CN=BC=DE=2．
点睛：此题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．
26.我们定义：如图，在△中，把绕点按顺时针方向旋转得到，把绕点按逆时针方向旋转得到，连接，当时，我们称△是△的“旋补三角形”，△边上的中线叫做的“旋补中线”，点叫做“旋补中心”．
⑴ 特例感知：在如图、如图中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”.
① 如图，当为等边三角形时，与的数量关系为＝ ；
② 如图，当，时，则长为 .
⑵ 精确作图：如图，已知在四边形内部存在点，使得是的“旋补三角形”（点D的对应点为点A，点C的对应点为点B），请用直尺和圆规作出点（要求：保留作图痕迹，不写作法和证明）
⑶ 猜想论证：在如图中，当△为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明.

【答案】⑴ ① ② 4；⑵ 作图见解析；⑶ ；见解析.
【解析】
【分析】
（1）①首先证明△ADB′是含有30°是直角三角形，可得,即可解决问题；
②首先证明△BAC≌△B′AC′，根据直角三角形斜边中线定理即可解决问题；
（2）作线段AD、BC的垂直平分线，交点即为点P.
（3）结论：．如图1中，延长AD到M，使得AD=DM，连接E′M，C′M，首先证明四边形AC′MB′是平行四边形，再证明△BAC≌△AB′M，即可解决问题；
【详解】⑴ ①如图2,当△ABC为等边三角形时,AD与BC的数量关系为；

理由：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=AB′=AC′，
∵DB′=DC′，
∴AD⊥B′C′，
∵
∴
∴
∴
故答案为: .
②如图3,当，BC=8时，则AD长为4.

理由：∵
∴
∵AB=AB′,AC=AC′，
∴△BAC≌△B′AC′，
∴BC=B′C′，
∵B′D=DC′，
∴
故答案为:4.
⑵如图所示：（作线段AD、BC的垂直平分线，交点即为点P）
∴点P即为所求.

⑶
证明：理由：如图1中,延长AD到M,使得AD=DM,连接E′M,C′M

∵B′D=DC′，AD=DM，
∴四边形AC′MB′是平行四边形，
∴AC′=B′M=AC，
∵
∴∠BAC=∠MB′A,
∵AB=AB′，
∴△BAC≌△AB′M，
∴BC=AM，
∴
【点睛】属于几何变换综合题，考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质等，综合性比较强.