扬州2018-2019学年第二学期初二数学期中试卷（含答案）

这是一份扬州2018-2019学年第二学期初二数学期中试卷（含答案），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
扬州梅岭中学2018-2019学年第二学期初二数学期中试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.）
1.在等腰直角三角形、等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有（）
A. 3个 B. 4个 C. 个 D. 个
2.若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范为是（ ）
A. x≥－2 B. x＞－2 C. x≥2 D. x≤2
3.已知点都在反比例函数的图象上，则与的大小关系为( )
A. B. C. D. 无法确定
4.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝25°，以点C为旋转中心顺时针旋转后得到△A′B′C，且点A在边A′B′上，则旋转角的度数为（　　）

A. 65° B. 60° C. 50° D. 40°
5.如图，在平行四边形ABCD中，BM是∠ABC的平分线，交CD于点M，且DM＝2，平行四边形ABCD的周长是14，则BC的长等于（　　）

A 2 B. 2.5 C. 3 D. 3.5
6.把分式中的x、y都扩大到原来的4倍，则分式的值（ ）
A. 扩大到原来的8倍 B. 扩大到原来的4倍
C. 缩小到原来的 D. 不变
7.如图，将矩形ABCD的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，EH=12厘米，EF=16厘米，则边AD的长是（　　）

A. 12厘米 B. 16厘米 C. 20厘米 D. 28厘米
8.如图，正方形ABCD与矩形EFGH在直线同侧，边AD，EH在直线上，且AD=5 cm,EH=4 cm, EF=3 cm.保持正方形ABCD不动，将矩形EFGH沿直线左右移动，连接BF、CG，则BF+CG的最小值为（ ）

A. 4 B. C. D. 5
二、填空题（本大题共10小题，每题3分，共30分.）
9.化简：= .
10.若点A（a，b）在反比例函数y＝图象上，则代数式ab﹣4的值为_____．
11.关于x的方程+1＝有增根，则a的值为_____．
12.菱形ABCD中，对角线AC=5，BD=6，则菱形ABCD的面积为_____________.
13.如图，在平面直角坐标系中，点A是函数图象上点，过点A与y轴垂直的直线交y轴于点B，点C、D在x轴上，且BC∥AD．若四边形ABCD的面积为3，则k值为___________．

14.反比例函数y=﹣，当y的值小于﹣3时，x的取值范围是________．
15.如图，在△ABC中，AB＝6，D、E分别是AB、AC的中点，点F在DE上，且DF＝3FE，当AF⊥BF时，BC的长是_____．

16.在平行四边形中，对角线与相交于点.要使四边形是正方形，还需添加一组条件.下面给出了五组条件：①，且；②， 且；③，且；④，且；⑤，且.其中正确的是________（填写序号）.
17.如图，将正方形 ABCD 绕点 A 按逆时针方向旋转到正方形AB ' C ' D ' ，旋转角为 a（ 0°＜a＜ 180° ） ，连接 B ' D 、 C ' D ，若 B ' D = C ' D ，则 Ða =____．

18.如图，在以为原点的直角坐标系中，矩形的两边、分别在轴、轴的正半轴上，反比例函数与相交于点，与相交于点，若，且的面积是9,则的值是_____．

三、解答题（本大题共10题，共96分，解答时在答题卷上写出证明过程或演算步骤．）
19.计算：(1)； (2)
20.解方程：；
21.先化简，再求值:，其中m=.
22.小明用12元买软面笔记本，小丽用21元买硬面笔记本．已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵1.2元，小明和小丽能买到相同数量的笔记本吗？
23.如图，在中，，为边上的中线，∥，且,连接.
（1）求证：四边形为菱形；
（2）连接，若平分，，求的长.

24.已知实数a，b，c在数轴上的位置如图，且，化简

25.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于第一、三象限内的、两点，与轴交于点，点在轴负半轴上，，且四边形是平行四边形，点的纵坐标为.
（1）求该反比例函数和一次函数的表达式；
（2）连接，求的面积；
（3）直接写出关于的不等式的解集.

26.心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指数y随时间x（分钟）的变化规律如下图所示（其中AB、BC分别为线段，CD为双曲线的一部分）：
（1）求出线段AB，曲线CD的解析式，并写出自变量的取值范围；
（2）开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？
（3）一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生注意力指数最低达到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？

27.如图，在正方形中，点是边上的一动点，点是上一点，且，、相交于点.
（1）求证：；
（2）求的度数
（3）若，求的值.

28.如图，矩形的顶点、分别在、轴的正半轴上，点在反比例函数的第一象限内的图像上，，，动点在轴的上方，且满足.

（1）若点在这个反比例函数的图像上，求点的坐标；
（2）连接、，求的最小值；
（3）若点是平面内一点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形，则请你直接写出满足条件的所有点的坐标.




一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.）
1.在等腰直角三角形、等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有（）
A. 3个 B. 4个 C. 个 D. 个
【答案】A
【解析】
分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念结合各图形的特点求解即可．
详解：①等腰三角形，是轴对称图形，不是中心对称图形；
②等边三角形，是轴对称图形，不是中心对称图形；
③平行四边形，不是轴对称图形，是中心对称图形；
④矩形，既是轴对称图形，又是中心对称图形；
⑤菱形，既是轴对称图形，又是中心对称图形；
⑥正方形，既是轴对称图形，又是中心对称图形．
综上所述：④⑤⑥符合题意．
故选A．
点睛：本题考查了中心对称图形和轴对称图形的知识，注意掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2.若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范为是（ ）
A. x≥－2 B. x＞－2 C. x≥2 D. x≤2
【答案】C
【解析】
试题分析：根据二次根式的意义，x-2≥0,解得x≥2.
故选C.
考点：二次根式的意义.

3.已知点都在反比例函数的图象上，则与的大小关系为( )
A. B. C. D. 无法确定
【答案】B
【解析】
分析：根据反比例函数的系数k的取值范围，判断出函数的图像，由图像的性质可得解.
详解：∵反比例函数
∴函数的图像在一三象限，在每一个象限，y随x增大而减小
∵-3＜-1
∴y1＜y2.
故选B.
点睛：此题主要考查了反比例函数的图像与性质，关键是利用反比例函数的系数k确定函数的图像与性质.
4.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝25°，以点C为旋转中心顺时针旋转后得到△A′B′C，且点A在边A′B′上，则旋转角的度数为（　　）

A. 65° B. 60° C. 50° D. 40°
【答案】C
【解析】
【分析】
先利用互余计算出∠BAC＝65°，再利用旋转的性质得CA＝CA′，∠A′＝∠A′AC＝65°，∠ACA′等于旋转角，根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠ACA′的度数即可．
【详解】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝25°，
∴∠BAC＝65°，
∵以点C为旋转中心顺时针旋转后得到△A′B′C，且点A在边A′B′上，
∴CA＝CA′，∠A′＝∠BAC＝65°，∠ACA′等于旋转角，
∴∠CAA′＝∠A′＝65°，
∴∠ACA′＝180°﹣65°﹣65°＝50°，
即旋转角的度数为50°．
故选C．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
5.如图，在平行四边形ABCD中，BM是∠ABC的平分线，交CD于点M，且DM＝2，平行四边形ABCD的周长是14，则BC的长等于（　　）

A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 3.5
【答案】B
【解析】
分析：由平行四边形的性质可得AB∥DC，易得∠CMB=∠ABM，再结合角平分线定义可得∠ABM=∠CBM，则有∠CMB=∠ABM=∠CBM；接下来利用等角对等边的性质可得BC=MC，然后结合已知平行四边形的周长进行计算，即可求出DM的长.
详解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠CMB=∠ABM.
∵BM平分∠ABC，
∴∠ABM=∠CBM，
∵∠ABM=∠CBM，∠CMB=∠ABM，
∴∠CMB=∠ABM=∠CBM，
∴MC=BC.
∵ABCD的周长是14，
∴BC+CM+DM=7，
∵DM=2，
∴BC=(7-2) ÷2=2.5.
故选B.
点睛：本题重点考查了角平分线的性质及平行四边形的性质等知识，属于基础题，确定出MC=BC是解题的关键，也是解答此题的难点.同时，本题还考查了等角对等边的性质，希望学生熟练掌握.
6.把分式中的x、y都扩大到原来的4倍，则分式的值（ ）
A. 扩大到原来的8倍 B. 扩大到原来的4倍
C. 缩小到原来的 D. 不变
【答案】D
【解析】
试题解析：根据题意得：，
即和原式的值相等，
故选D．
考点：分式的基本性质．
7.如图，将矩形ABCD的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，EH=12厘米，EF=16厘米，则边AD的长是（　　）

A. 12厘米 B. 16厘米 C. 20厘米 D. 28厘米
【答案】C
【解析】
【详解】∵∠1=∠2，∠3=∠4，

∴∠2+∠3=90°，
∴∠HEF=90°，
同理四边形EFGH的其它内角都是90°，
∴四边形EFGH是矩形．
∴EH=FG（矩形的对边相等）；
又∵∠1+∠4=90°，∠4+∠5=90°，
∴∠1=∠5（等量代换），
同理∠5=∠7=∠8，
∴∠1=∠8，
∴Rt△AHE≌Rt△CFG，
∴AH=CF=FN，
又∵HD=HN，
∴AD=HF，
在Rt△HEF中，EH=12cm，EF=16cm，根据勾股定理得HF=，
∴HF=20cm，
∴AD=20cm，故选C
8.如图，正方形ABCD与矩形EFGH在直线的同侧，边AD，EH在直线上，且AD=5 cm,EH=4 cm, EF=3 cm.保持正方形ABCD不动，将矩形EFGH沿直线左右移动，连接BF、CG，则BF+CG的最小值为（ ）

A. 4 B. C. D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】
作点C关于FG的对称点P，连接GP，以FG，PG为邻边作平行四边形PGFQ，则BF＋CG＝BF＋QF，当B，F，Q三点共线时，BF＋CG的最小值为BQ的长，过点Q作QN⊥AB于N，依据勾股定理即可得到在Rt△BNQ中，BQ＝，即可得出BF＋CG的最小值为．
【详解】解：如图所示，作点C关于FG对称点P，连接GP，
以FG，PG为邻边作平行四边形PGFQ，则FQ＝PG＝CG，FG＝QP＝4，
∴BF＋CG＝BF＋QF，
∴当B，F，Q三点共线时，BF＋CG的最小值为BQ的长，
过点Q作QN⊥AB于N，
由题可得BN＝2（5−3）＝4，NQ＝5−4＝1，
∴Rt△BNQ中，BQ＝，
∴BF＋CG的最小值为，
故选B.

【点睛】本题主要考查了正方形、矩形的性质以及最短距离问题，解决问题的关键是构造平行四边形；凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
二、填空题（本大题共10小题，每题3分，共30分.）
9.化简：= .
【答案】２
【解析】
【分析】
根据算术平方根的定义，求数a的算术平方根，也就是求一个正数x，使得x2=a，则x就是a的算术平方根， 特别地，规定0的算术平方根是0.
【详解】∵22=4，∴=2.
【点睛】本题考查求算术平方根，熟记定义是关键.
10.若点A（a，b）在反比例函数y＝的图象上，则代数式ab﹣4的值为_____．
【答案】-2
【解析】
【分析】
由点A在反比例函数图象上，可得出ab=2，将其代入代数式ab-4中即可得出结论．
【详解】∵点A（a，b）在反比例函数y=的图象上，
∴b=，即ab=2，
∴ab-4=2-4=-2．
故答案为-2．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点坐标特征，解题的关键是找出ab=2．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，由点在反比例函数图象上可以得出点的横纵坐标之积为定值，将其代入代数式即可．
11.关于x的方程+1＝有增根，则a的值为_____．
【答案】2
【解析】
方程两边都乘(x−2)，得
x+x−2=a，即a=2x−2.
分式方程的增根是x=2，
∵原方程增根为x=2，
∴把x=2代入整式方程，得a=2，
故答案为2.
点睛：本题考查了分式方程的增根，增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．把增根代入化为整式方程的方程即可求出a的值．
12.菱形ABCD中，对角线AC=5，BD=6，则菱形ABCD的面积为_____________.
【答案】15.
【解析】
【分析】
由菱形ABCD的对角线AC=5，BD=6，根据菱形的面积等于其对角线积的一半，即可求得菱形ABCD的面积．
【详解】∵菱形ABCD的对角线AC=5，BD=6，
∴菱形ABCD的面积为：AC•BD=×5×6=15．
故答案为15．
13.如图，在平面直角坐标系中，点A是函数图象上的点，过点A与y轴垂直的直线交y轴于点B，点C、D在x轴上，且BC∥AD．若四边形ABCD的面积为3，则k值为___________．

【答案】3
【解析】
试题分析：根据已知条件得到四边形ABCD是平行四边形，于是得到四边形AEOB的面积=AB·OE，由于S平行四边形ABCD=AB·CD=3，得到四边形AEOB的面积=3，即可得到|k|=3，再由k＜0，求得k=﹣3．

考点：反比例函数系数k的几何意义
14.反比例函数y=﹣，当y的值小于﹣3时，x的取值范围是________．
【答案】0＜x＜1
【解析】
试题解析：∵反比例函数y=-中，k=-3＜0，
∴此函数图象的两个分支分别位于第二四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大．
∵当y=-3时，x=1，
∵0＜x＜1．
故答案为0＜x＜1．
15.如图，在△ABC中，AB＝6，D、E分别是AB、AC的中点，点F在DE上，且DF＝3FE，当AF⊥BF时，BC的长是_____．

【答案】8
【解析】
分析：根据直角三角形的性质得到，根据，得到，根据三角形中位线定理解答即可.
详解：，点D是AB的中点，
，
，
，
、E分别是AB，AC的中点，
，
故答案为：8．
点睛：本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键.
16.在平行四边形中，对角线与相交于点.要使四边形是正方形，还需添加一组条件.下面给出了五组条件：①，且；②， 且；③，且；④，且；⑤，且.其中正确的是________（填写序号）.
【答案】①②③⑤
【解析】
分析：由矩形、菱形、正方形的判定方法对各个选项进行判断即可．
详解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AD，∴四边形ABCD是菱形．
又∵AC=BD，∴四边形ABCD是矩形，∴平行四边形ABCD是正方形，①正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，AB⊥AD，∴四边形ABCD是矩形．
又∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，∴平行四边形ABCD是正方形，②正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AD，∴四边形ABCD是菱形．
又∵AB⊥AD，∴四边形ABCD是正方形，③正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BD，AB⊥BD，∴平行四边形ABCD不可能是正方形，④错误；
∵四边形ABCD是平行四边形，OB=OC，∴AC=BD，∴四边形ABCD是矩形，又OB⊥OC，即对角线互相垂直，∴平行四边形ABCD是正方形，⑤正确．
故答案为①②③⑤．
点睛：本题考查了矩形、菱形、正方形的判定；熟记特殊四边形的判定是解决问题的关键．
17.如图，将正方形 ABCD 绕点 A 按逆时针方向旋转到正方形AB ' C ' D ' ，旋转角为 a（ 0°＜a＜ 180° ） ，连接 B ' D 、 C ' D ，若 B ' D = C ' D ，则 Ða =____．

【答案】60°
【解析】
【分析】
作DH⊥B′C′于H，交AD′于G，如图，根据旋转的性质得AD′＝AD，∠DAD′＝α，再根据等腰三角形的性质由B'D＝C'D得到B′H＝C′H，则AG＝DG′，从而在Rt△ADG′中可计算出∠ADG＝30°，于是得到∠DAG＝60°，从而得到α的度数．
【详解】解：作DH⊥B′C′于H，交AD′于G，如图，
∵正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转到正方形AB'C'D'，旋转角为α，
∴AD′＝AD，∠DAD′＝α，
∵B'D＝C'D，
∴B′H＝C′H，
∵四边形AB'C'D'为正方形，
∴AG＝DG′，
在Rt△ADG′中，AG＝
∴∠ADG＝30°，
∴∠DAG＝60°，
即α＝60°．
故答案为60°．

【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．
18.如图，在以为原点的直角坐标系中，矩形的两边、分别在轴、轴的正半轴上，反比例函数与相交于点，与相交于点，若，且的面积是9,则的值是_____．

【答案】
【解析】
【分析】
根据所给的三角形面积等于长方形面积减去三个直角三角形的面积，然后即可求出B的横纵坐标的积即是反比例函数的比例系数．
【详解】解：∵四边形OCBA是矩形，
∴AB＝OC，OA＝BC，
设B点的坐标为（a，b），
∵BD＝3AD，
∴D（，b），
∵点D，E在反比例函数的图象上，
∴，∴E(a,)，
∵
，
∴，
∴ab+k=24，
∵，
∴，
故答案为.
【点睛】此题考查了反比例函数系数k的几何意义，利用了：①过某个点，这个点的坐标应适合这个函数解析式；②所给的面积应整理为和反比例函数上的点的坐标有关的形式.
三、解答题（本大题共10题，共96分，解答时在答题卷上写出证明过程或演算步骤．）
19.计算：(1)； (2)
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
分别根据二次根式的性质进行计算、化简即可.
【详解】(1)原式==；
(2)原式=.
【点睛】本题主要考查二次根式的计算，掌握二次根式的性质和运算法则是解题关键.
20.解方程：；
【答案】
【解析】
【分析】
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】去分母得：x2+4x+4−4=x2−4，
移项合并得：4x=−4，
解得：x=−1，
经检验x=−1是分式方程的解
21.先化简，再求值:，其中m=.
【答案】
【解析】
【分析】
先算括号内减法，再把除法变成乘法，化简约分代入求值即可
【详解】解：原式=，
把代入，原式=.
【点睛】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的性质和运算法则是解题关键.
22.小明用12元买软面笔记本，小丽用21元买硬面笔记本．已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵1.2元，小明和小丽能买到相同数量的笔记本吗？
【答案】不能买到相同的两种笔记本．
【解析】
试题分析：假设能买到相同数量的软面本和硬面本，设软面本每本x元，则硬面本（x+1.2）元，根据题意可得方程：，解分式方程后可以算出答案．，
试题解析：假设能买到相同数量的软面本和硬面本，
设软面本每本x元，则硬面本（x+1.2）元，
根据题意可得方程：，
解得：x=1.6，
经检验：x=1.6是原分式方程的解，
12÷1.6=7.5，
∵7.5不是整数．
∴不能买到相同的两种笔记本．
考点：分式方程的应用．
23.如图，在中，，为边上的中线，∥，且,连接.
（1）求证：四边形为菱形；
（2）连接，若平分，，求的长.

【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
分析：（1）由中线的定义和已知可得到AE=CD，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得到四边形ADCE为平行四边形，由∠BAC=90°，AD为BC边上的中线，得到AD=BC=CD．即可得到四边形ADCE为菱形．
（2）连接BE与AD相交于点O．由角平分线的性质和平行线的性质可得到AB=AE，由BD=BC=AE，得到AB=BD，由等腰三角形三线合一的性质得到∠BOD=90°．由AD∥CE，得到∠BEC=∠BOD=90°．在△BEC中，由勾股定理即可得出结论．
详解：（1）∵AD为BC边上的中线，∴BD=CD=BC．
∵AE=BC，∴AE=CD．
∵AE∥BC，∴四边形ADCE为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．
∵∠BAC=90°，AD为BC边上的中线，∴AD=BC=CD，
∴四边形ADCE为菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）
（2）连接BE与AD相交于点O．
∵若BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE ．
∵AE∥BC，∴∠AEB=∠CBE，∴∠ABE=∠AEB，∴AB=AE．
∵BD=BC=AE，∴AB=BD，∴∠BOD=90°．
∵四边形ADCE为菱形，AE=2，∴AD=DC=CE=AE=2，BC=4．
∵AD∥CE，∴∠BEC=∠BOD=90°，∴．

点睛：本题考查了菱形的判定与性质以及勾股定理．解题的关键是证明ADCE是菱形．
24.已知实数a，b，c在数轴上的位置如图，且，化简

【答案】-2a+b+2c
【解析】
【分析】
根据数轴上点的位置判断出实数a，b，c的符号，然后利用二次根式与绝对值的性质求解即可求得答案．
【详解】由题意得：c