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粤教版 (2019)必修 第二册第三章 万有引力定律第三节 万有引力定律的应用学案
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这是一份粤教版 (2019)必修 第二册第三章 万有引力定律第三节 万有引力定律的应用学案，共11页。学案主要包含了万有引力定律，宇宙速度等内容，欢迎下载使用。
二、万有引力定律
1．公式：F＝eq \f(Gm1m2,R2)，其中G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，叫引力常量．
2．适用条件：只适用于质点间的相互作用．
3．理解
(1)两质量分布均匀的球体间的相互作用，也可用本定律来计算，其中r为两球心间的距离．
(2)一个质量分布均匀的球体和球外一个质点间的万有引力的计算也适用。
三、宇宙速度
1．三个宇宙速度
2．第一宇宙速度的理解：人造卫星的______环绕速度，也是人造卫星的______发射速度．
3．第一宇宙速度的计算方法
(1)环绕法：由____________得v＝eq \r(\f(GM,R)).
(2)拱桥法：由____________得v＝eq \r(gR).
命题点一 开普勒三定律的应用
1．行星绕太阳的运动通常按______轨道处理．
2．开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动．
3．开普勒第三定律eq \f(a3,T2)＝k中，k值只与中心天体的______有关，不同的中心天体k值不同．但该定律只能用在同一中心天体的两星体之间．
例1、飞船沿半径为R的圆周绕地球运动，其周期为T。如果飞船要返回地面，可在轨道上某点A处，将速率降低到适当数值，从而使飞船沿着以地心为焦点的椭圆轨道运动，椭圆和地球表面在B点相切，如图所示。如果地球半径为R0，求飞船由A点运动到B点所需要的时间。
解析 由题图可知，飞船由A点到B点所需要的时间刚好是沿图中整个椭圆运动周期的一半，椭圆轨道的半长轴为eq \f(R＋R0,2)，设飞船沿椭圆轨道运动的周期为T′
根据开普勒第三定律有eq \f(R3,T2)＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(R＋R0,2)))3,T′2)
解得T′＝Teq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(R＋R0,2R)))3)＝eq \f(R＋R0T,2R) eq \r(\f(R＋R0,2R))
所以飞船由A点到B点所需要的时间为t＝eq \f(T′,2)＝eq \f(R＋R0T,4R) eq \r(\f(R＋R0,2R))
1-1、二十四节气中的“春分”与“秋分”时，太阳均直射赤道，“春分”为太阳直射点从南回归线回到赤道，“秋分”则为太阳直射点从北回归线回到赤道。2022年3月20日为“春分”，9月23日为“秋分”，可以推算从“春分”到“秋分”为187天，而从“秋分”到次年“春分”则为179天。设以上两个时间段内地球公转的轨迹长度相等，如图所示，关于上述自然现象，下列说法正确的是( )
A．从“春分”到“秋分”，地球离太阳远
B．从“秋分”到“春分”，地球离太阳远
C．夏天地球离太阳近
D．冬天地球离太阳远
1-2、“墨子”号是由中国自主研制的世界上第一颗空间量子科学实验卫星，标志着中国量子通信技术方面走在了世界前列；其运行轨道为如图所示的绕地球运动的椭圆轨道，地球位于椭圆的一个焦点上。轨道上标记了墨子卫星经过相等时间间隔eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(Δt＝\f(T,14)，T为轨道周期))的位置。则下列说法正确的是( )
A．面积S1>S2
B．卫星在轨道A点的速度小于B点的速度
C．T2＝Ca3，其中C为常数，a为椭圆半长轴
D．T2＝C′ b3，其中C′ 为常数，b为椭圆半短轴
1-3、(2021·全国乙卷)科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，给出1994年到2002年间S2的位置如图所示。科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约为1000 AU(太阳到地球的距离为1 AU)的椭圆，银河系中心可能存在超大质量黑洞。这项研究工作获得了2020年诺贝尔物理学奖。若认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为M，可以推测出该黑洞质量约为( )
A．4×104M B．4×106M
C．4×108M D．4×1010M
命题点二 万有引力定律的应用
1．地球表面的重力与万有引力
地面上的物体所受地球的吸引力产生两个效果，其中一个分力提供了物体绕地轴做圆周运动的______，另一个分力等于______．
2．地球表面附近(脱离地面)的重力与万有引力
物体在地球表面附近(脱离地面)时，物体所受的重力等于地球表面处的万有引力，即mg＝eq \f(GMm,R2)，R为地球半径，g为地球表面附近的重力加速度，此处也有GM＝gR2.
3．距地面一定高度处的重力与万有引力
R为地球半径，g′为该高度处的重力加速度，物体在距地面一定高度h处时，________
例2、如图所示，阴影区域是质量为M、半径为R的球体挖去一个小球后的剩余部分。所挖去的小球的球心O′和大球体球心间的距离是 eq \f(R,2) ，求球体剩余部分对球体外离球心O距离为2R、质量为m的质点P的引力。
解题思路:
解析 完整的大球对球外质点P的引力为F1＝G eq \f(Mm,（2R）2) ＝ eq \f(GMm,4R2) .
半径为 eq \f(R,2) 的小球的质量为M′＝ eq \f(4,3) π eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(R,2))) eq \s\up12(3) ·ρ＝ eq \f(4,3) π eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(R,2))) eq \s\up12(3) · eq \f(M,\f(4,3)πR3) ＝ eq \f(1,8) M
补上的小球对质点P的引力为F2＝G eq \f(M′m,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)R))\s\up12(2)) ＝ eq \f(GMm,50R2)
故所求力F＝F1－F2＝ eq \f(23GMm,100R2)
规律总结：万有引力的“两点理解”和“两个推论”
思路1：用万有引力定律计算质点间的万有引力
思路2：填补法
运用“填补法”解题的关键是紧扣万有引力定律的适用条件，先填补后运算．
两个推论：
推论Ⅰ：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为______，.
推论Ⅱ：如图所示，在匀质球体（M）内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M′)对它的引力，即F＝______
2-1、有一质量为M、半径为R、密度均匀的球体，现从M中挖去半径为eq \f(1,2)R的球体。
（1）在距离球心O为2R的地方有一质量为m的质点。如图1所示，球体的剩余部分对m的万有引力F1为多少？
（2）在M挖去部分的中心有一质量为m的质点。如图2所示，球体的剩余部分对m的万有引力F2为多少？
2-2、奋斗者号是中国研发的万米载人潜水器。2020年11月10日，“奋斗者号”在马里亚纳海沟成功坐底，坐底深度10909米，刷新中国载人深潜的纪录。假设地球是一个密度均匀的球体，用h表示深潜器与海面的距离，F表示它所受的地球引力，能够描述F随h变化关系的图像是( )
2-3、已知质量分布匀速的球壳对壳内物体的万有引力为零，假设地球是质量分布均匀的球体，如图若在地球内挖一球形内切空腔，有一小球自切点A自由释放，则小球在球形空腔内将做（ ）
A．匀速直线运动
B．加速度越来越大的直线运动
C．匀加速直线运动
D．加速度越来越小的直线运动
命题点三 天体质量和密度的估算
例3、(2018·全国Ⅱ)2018年2月，我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T＝5.19 ms，假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67×10－11 N·m2/kg2。以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为( )
A．5×109 kg/m3 B．5×1012 kg/m3 C．5×1015 kg/m3 D．5×1018 kg/m3
解析 设脉冲星质量为M，密度为ρ，星体表面一物块质量为m，根据天体运动规律知 eq \f(GMm,R2)≥m eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T))) eq \s\up20(2)R，ρ＝ eq \f(M,V)＝ eq \f(M,\f(4,3)πR3)，联立可得ρ≥ eq \f(3π,GT2)≈5×1015 kg/m3，答案 C。
规律总结：计算中心天体的质量、密度时的两点区别：
1．天体半径R和卫星的轨道半径r
2．自转周期和公转周期
3-1、假设地球可视为质量均匀分布的球体。已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g；地球自转的周期为T，引力常量为G。地球的密度为( )
A． eq \f(3π（g0－g）,GT2g0) B． eq \f(3πg0,GT2（g0－g）)
C． eq \f(3π,GT2) D． eq \f(3πg0,GT2g)
3-2、科幻大片《星际穿越》是基于知名理论物理学家基普·索恩的黑洞理论，加入人物和相关情节改编而成的。电影中的黑洞花费三十名研究人员将近一年的时间，用数千台计算机精确模拟才得以实现，让我们看到了迄今最真实的黑洞模样。若某黑洞的半径R约为45 km，质量M和半径R的关系满足eq \f(M,R)＝eq \f(c2,2G)(其中c＝3×108 m/s，G为引力常量)，则该黑洞表面的重力加速度大约为( )
A．108 m/s2 B．1010 m/s2
C．1012 m/s2 D．1014 m/s2
3-3、“墨子号”卫星的轨道高度约为500 km，在轨道上绕地球做匀速圆周运动，经过时间t(t小于其运动周期)，运动的弧长为s，与地球中心连线扫过的角度为β(弧度)，引力常量为G，则下列关于“墨子号”的说法正确的是( )
A．线速度大于第一宇宙速度
B．质量为eq \f(s3,Gt2β)
C．环绕周期为eq \f(2πt,β)
D．向心加速度小于地球同步卫星的向心加速度
3-4、(2021·山东省烟台市高一期末)嫦娥五号探测器完成月球表面采样后，进入环月等待阶段，在该阶段进行若干次变轨，每次变轨后在半径更大的轨道上绕月球做匀速圆周运动，其加速度a与轨道半径平方的倒数 eq \f(1,r2)的关系图像如图所示，其中b为纵坐标的最大值，图线的斜率为k，引力常量为G，下列说法正确的是( )
A．月球的半径为 eq \f(k,b)
B．月球的质量为 eq \f(G,k)
C．月球的第一宇宙速度为 eq \r(4,kb)
D．嫦娥五号环绕月球运行的最小周期为 eq \r(\f(4π2k,b2))
3-5、(2021·江苏省苏州市外国语学校5月测试)2020年诺贝尔物理学奖授予黑洞的理论研究和天文观测的三位科学家。他们发现某明亮恒星绕银河系中心O处的黑洞做圆周运动，利用多普勒效应测得该恒星做圆周运动的速度为v，用三角视差法测得地球到银河系中心的距离为L，明亮恒星的运动轨迹对地球的最大张角为θ，如图所示。已知引力常量为G，黑洞的半径与质量的关系为Rs＝ eq \f(2GM,c2)，其中c为真空中的光速。求：
(1)恒星绕银河系中心黑洞运动的周期T；
(2)银河系中心黑洞的质量M；
(3)银河系中心黑洞的平均密度ρ。
命题点四 卫星运行参量的比较与计算
例4、2020年 6月23日，我国北斗三号全球卫星导航系统最后一颗组网卫星在西昌卫星发射中心点火升空，该卫星A最终将在地球同步轨道运行。另一颗相同质量的卫星B也绕地球做圆周运动，A的轨道半径是B的3倍。下列说法正确的有（ ）
A．由可知，A的速度是B的倍
B．由可知，A的向心加速度是B的3倍
C．由可知，A的向心力是B的
D．由可知，A的周期是B的倍
解析 A.卫星绕地球做圆周运动，万有引力提供向心力，。因为在不同轨道上g是不一样的，故不能根据得出A、B速度的关系，卫星的运行线速度，代入数据可得，故A错误；
因为在不同轨道上两卫星的角速度不一样，故不能根据得出两卫星加速度的关系，卫星的运行加速度，代入数据可得，故B错误；
根据，两颗人造卫星质量相等，可得，故C正确；
两卫星均绕地球做圆周运动，根据开普勒第三定律，可得，故D错。答案 C。
规律总结：利用万有引力定律解决卫星运动的技巧
1．一个模型：简化为质点的匀速圆周运动模型．
2．两组公式
（1）Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)＝ ______________________ （2）eq \f(GMm,R2)=mg(g为天体表面的重力加速度)
3．a、v、ω、T均与卫星的______无关，只由轨道______和中心天体的______共同决定。
4-1、（多选）在“嫦娥五号”任务中，轨道器和返回器的组合体（简称“甲”）与上升器（简称“乙”）要在环月轨道上实现对接，以使将月壤样品从上升器转移到返回器中，再由返回器带回地球。对接之前，甲、乙分别在各自的轨道上做匀速圆周运动，且甲的轨道半径比乙小，如图所示，为了实现对接，处在低轨的甲要抬高轨道。下列说法正确的是（ ）
A. 在甲抬高轨道之前，甲的线速度小于乙
B. 甲可以通过增大速度来抬高轨道
C. 在甲抬高轨道的过程中，月球对甲的万有引力逐渐增大
D. 返回地球后，月壤样品的重量比在月球表面时大
4-2、2020年11月24日4点30分，嫦娥五号探测器成功发射升空。若嫦娥五号在距月球表面高度分别为、的轨道I、Ⅱ上运行，均可视为匀速圆周运动，则在轨道I、Ⅱ上运行时，嫦娥五号与月球中心连线扫过相同面积所用的时间之比为（月球看成半径为R、质量均匀分布的球体）（ ）
A. B. C. D.
4-3、我国已掌握“高速半弹道跳跃式再入返回技术”，为实现“嫦娥”飞船月地返回任务奠定基础。如图虚线为大气层边界，返回器与服务舱分离后，从a点无动力滑入大气层，然后从c点“跳”出，再从e点“跃”入，实现多次减速，可避免损坏返回器。d点为轨迹的最高点，离地心的距离为r，返回器在d点时的速度大小为v，地球质量为M，引力常量为G。则返回器( )
A．在b点处于失重状态
B．在a、c、e点时的速率相等
C．在d点时的加速度大小为eq \f(GM,r2)
D．在d点时的速度大小v＞ eq \r(\f(GM,r))
4-4、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动，忽略行星自转影响.根据下表，火星和地球相比( )
A.火星表面的重力加速度较大
B.火星的公转周期较大
C.火星的第一宇宙速度较大
D.火星做圆周运动的加速度较大
4-5、(2020·山东等级考)我国将在今年择机执行“天问1号”火星探测任务。质量为m的着陆器在着陆火星前，会在火星表面附近经历一个时长为t0、速度由v0减速到零的过程。已知火星的质量约为地球的0.1倍，半径约为地球的0.5倍，地球表面的重力加速度大小为g，忽略火星大气阻力。若该减速过程可视为一个竖直向下的匀减速直线运动，此过程中着陆器受到的制动力大小约为( )
A．0.4mg－meq \f(v0,t0) B．0.4mg＋meq \f(v0,t0) C．0.2mg－meq \f(v0,t0) D．0.2mg＋meq \f(v0,t0)定律
内容
图示或公式
开普勒第一定律
(轨道定律)
所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上
开普勒第二定律
(面积定律)
对任意一个行星来说，它与太阳的连线在______的时间内扫过的______相等
开普勒第三定律
(周期定律)
所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等
eq \f(a3,T2)＝k，k是一个与行星无关的常量
第一宇宙速度(环绕速度)
v1＝____km/s，是人造卫星在地面附近绕地球做________
运动的线速度
第二宇宙速度(脱离速度)
v2＝____ km/s，使物体挣脱______引力束缚的____发射速度
第三宇宙速度(逃逸速度)
v3＝____km/s，使物体挣脱______引力束缚的____发射速度
使用方法
已知量
利用公式
备注
质量
的计算
环绕法
r、T、w、v
Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)＝
只能得到中心天体的质量
表面g法
g、R
mg＝eq \f(GMm,R2)
密度
的计算
环绕法
r、T、R...
Geq \f(Mm,r2)=meq \f(4π2,T2)r ，M＝ρ·eq \f(4,3)πR3
公转周期
表面g法
g、R
eq \f(GMm,R2) =mg ，M＝ρ·eq \f(4,3)πR3
行星
半径/m
质量/kg
轨道半径/m
地球
6.4×106
6.0×1024
1.5×1011
火星
3.4×106
6.4×1023
2.3×1011
二、万有引力定律
1．公式：F＝eq \f(Gm1m2,R2)，其中G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，叫引力常量．
2．适用条件：只适用于质点间的相互作用．
3．理解
(1)两质量分布均匀的球体间的相互作用，也可用本定律来计算，其中r为两球心间的距离．
(2)一个质量分布均匀的球体和球外一个质点间的万有引力的计算也适用。
三、宇宙速度
1．三个宇宙速度
2．第一宇宙速度的理解：人造卫星的______环绕速度，也是人造卫星的______发射速度．
3．第一宇宙速度的计算方法
(1)环绕法：由____________得v＝eq \r(\f(GM,R)).
(2)拱桥法：由____________得v＝eq \r(gR).
命题点一 开普勒三定律的应用
1．行星绕太阳的运动通常按______轨道处理．
2．开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动．
3．开普勒第三定律eq \f(a3,T2)＝k中，k值只与中心天体的______有关，不同的中心天体k值不同．但该定律只能用在同一中心天体的两星体之间．
例1、飞船沿半径为R的圆周绕地球运动，其周期为T。如果飞船要返回地面，可在轨道上某点A处，将速率降低到适当数值，从而使飞船沿着以地心为焦点的椭圆轨道运动，椭圆和地球表面在B点相切，如图所示。如果地球半径为R0，求飞船由A点运动到B点所需要的时间。
解析 由题图可知，飞船由A点到B点所需要的时间刚好是沿图中整个椭圆运动周期的一半，椭圆轨道的半长轴为eq \f(R＋R0,2)，设飞船沿椭圆轨道运动的周期为T′
根据开普勒第三定律有eq \f(R3,T2)＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(R＋R0,2)))3,T′2)
解得T′＝Teq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(R＋R0,2R)))3)＝eq \f(R＋R0T,2R) eq \r(\f(R＋R0,2R))
所以飞船由A点到B点所需要的时间为t＝eq \f(T′,2)＝eq \f(R＋R0T,4R) eq \r(\f(R＋R0,2R))
1-1、二十四节气中的“春分”与“秋分”时，太阳均直射赤道，“春分”为太阳直射点从南回归线回到赤道，“秋分”则为太阳直射点从北回归线回到赤道。2022年3月20日为“春分”，9月23日为“秋分”，可以推算从“春分”到“秋分”为187天，而从“秋分”到次年“春分”则为179天。设以上两个时间段内地球公转的轨迹长度相等，如图所示，关于上述自然现象，下列说法正确的是( )
A．从“春分”到“秋分”，地球离太阳远
B．从“秋分”到“春分”，地球离太阳远
C．夏天地球离太阳近
D．冬天地球离太阳远
1-2、“墨子”号是由中国自主研制的世界上第一颗空间量子科学实验卫星，标志着中国量子通信技术方面走在了世界前列；其运行轨道为如图所示的绕地球运动的椭圆轨道，地球位于椭圆的一个焦点上。轨道上标记了墨子卫星经过相等时间间隔eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(Δt＝\f(T,14)，T为轨道周期))的位置。则下列说法正确的是( )
A．面积S1>S2
B．卫星在轨道A点的速度小于B点的速度
C．T2＝Ca3，其中C为常数，a为椭圆半长轴
D．T2＝C′ b3，其中C′ 为常数，b为椭圆半短轴
1-3、(2021·全国乙卷)科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，给出1994年到2002年间S2的位置如图所示。科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约为1000 AU(太阳到地球的距离为1 AU)的椭圆，银河系中心可能存在超大质量黑洞。这项研究工作获得了2020年诺贝尔物理学奖。若认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为M，可以推测出该黑洞质量约为( )
A．4×104M B．4×106M
C．4×108M D．4×1010M
命题点二 万有引力定律的应用
1．地球表面的重力与万有引力
地面上的物体所受地球的吸引力产生两个效果，其中一个分力提供了物体绕地轴做圆周运动的______，另一个分力等于______．
2．地球表面附近(脱离地面)的重力与万有引力
物体在地球表面附近(脱离地面)时，物体所受的重力等于地球表面处的万有引力，即mg＝eq \f(GMm,R2)，R为地球半径，g为地球表面附近的重力加速度，此处也有GM＝gR2.
3．距地面一定高度处的重力与万有引力
R为地球半径，g′为该高度处的重力加速度，物体在距地面一定高度h处时，________
例2、如图所示，阴影区域是质量为M、半径为R的球体挖去一个小球后的剩余部分。所挖去的小球的球心O′和大球体球心间的距离是 eq \f(R,2) ，求球体剩余部分对球体外离球心O距离为2R、质量为m的质点P的引力。
解题思路:
解析 完整的大球对球外质点P的引力为F1＝G eq \f(Mm,（2R）2) ＝ eq \f(GMm,4R2) .
半径为 eq \f(R,2) 的小球的质量为M′＝ eq \f(4,3) π eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(R,2))) eq \s\up12(3) ·ρ＝ eq \f(4,3) π eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(R,2))) eq \s\up12(3) · eq \f(M,\f(4,3)πR3) ＝ eq \f(1,8) M
补上的小球对质点P的引力为F2＝G eq \f(M′m,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)R))\s\up12(2)) ＝ eq \f(GMm,50R2)
故所求力F＝F1－F2＝ eq \f(23GMm,100R2)
规律总结：万有引力的“两点理解”和“两个推论”
思路1：用万有引力定律计算质点间的万有引力
思路2：填补法
运用“填补法”解题的关键是紧扣万有引力定律的适用条件，先填补后运算．
两个推论：
推论Ⅰ：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为______，.
推论Ⅱ：如图所示，在匀质球体（M）内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M′)对它的引力，即F＝______
2-1、有一质量为M、半径为R、密度均匀的球体，现从M中挖去半径为eq \f(1,2)R的球体。
（1）在距离球心O为2R的地方有一质量为m的质点。如图1所示，球体的剩余部分对m的万有引力F1为多少？
（2）在M挖去部分的中心有一质量为m的质点。如图2所示，球体的剩余部分对m的万有引力F2为多少？
2-2、奋斗者号是中国研发的万米载人潜水器。2020年11月10日，“奋斗者号”在马里亚纳海沟成功坐底，坐底深度10909米，刷新中国载人深潜的纪录。假设地球是一个密度均匀的球体，用h表示深潜器与海面的距离，F表示它所受的地球引力，能够描述F随h变化关系的图像是( )
2-3、已知质量分布匀速的球壳对壳内物体的万有引力为零，假设地球是质量分布均匀的球体，如图若在地球内挖一球形内切空腔，有一小球自切点A自由释放，则小球在球形空腔内将做（ ）
A．匀速直线运动
B．加速度越来越大的直线运动
C．匀加速直线运动
D．加速度越来越小的直线运动
命题点三 天体质量和密度的估算
例3、(2018·全国Ⅱ)2018年2月，我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T＝5.19 ms，假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67×10－11 N·m2/kg2。以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为( )
A．5×109 kg/m3 B．5×1012 kg/m3 C．5×1015 kg/m3 D．5×1018 kg/m3
解析 设脉冲星质量为M，密度为ρ，星体表面一物块质量为m，根据天体运动规律知 eq \f(GMm,R2)≥m eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T))) eq \s\up20(2)R，ρ＝ eq \f(M,V)＝ eq \f(M,\f(4,3)πR3)，联立可得ρ≥ eq \f(3π,GT2)≈5×1015 kg/m3，答案 C。
规律总结：计算中心天体的质量、密度时的两点区别：
1．天体半径R和卫星的轨道半径r
2．自转周期和公转周期
3-1、假设地球可视为质量均匀分布的球体。已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g；地球自转的周期为T，引力常量为G。地球的密度为( )
A． eq \f(3π（g0－g）,GT2g0) B． eq \f(3πg0,GT2（g0－g）)
C． eq \f(3π,GT2) D． eq \f(3πg0,GT2g)
3-2、科幻大片《星际穿越》是基于知名理论物理学家基普·索恩的黑洞理论，加入人物和相关情节改编而成的。电影中的黑洞花费三十名研究人员将近一年的时间，用数千台计算机精确模拟才得以实现，让我们看到了迄今最真实的黑洞模样。若某黑洞的半径R约为45 km，质量M和半径R的关系满足eq \f(M,R)＝eq \f(c2,2G)(其中c＝3×108 m/s，G为引力常量)，则该黑洞表面的重力加速度大约为( )
A．108 m/s2 B．1010 m/s2
C．1012 m/s2 D．1014 m/s2
3-3、“墨子号”卫星的轨道高度约为500 km，在轨道上绕地球做匀速圆周运动，经过时间t(t小于其运动周期)，运动的弧长为s，与地球中心连线扫过的角度为β(弧度)，引力常量为G，则下列关于“墨子号”的说法正确的是( )
A．线速度大于第一宇宙速度
B．质量为eq \f(s3,Gt2β)
C．环绕周期为eq \f(2πt,β)
D．向心加速度小于地球同步卫星的向心加速度
3-4、(2021·山东省烟台市高一期末)嫦娥五号探测器完成月球表面采样后，进入环月等待阶段，在该阶段进行若干次变轨，每次变轨后在半径更大的轨道上绕月球做匀速圆周运动，其加速度a与轨道半径平方的倒数 eq \f(1,r2)的关系图像如图所示，其中b为纵坐标的最大值，图线的斜率为k，引力常量为G，下列说法正确的是( )
A．月球的半径为 eq \f(k,b)
B．月球的质量为 eq \f(G,k)
C．月球的第一宇宙速度为 eq \r(4,kb)
D．嫦娥五号环绕月球运行的最小周期为 eq \r(\f(4π2k,b2))
3-5、(2021·江苏省苏州市外国语学校5月测试)2020年诺贝尔物理学奖授予黑洞的理论研究和天文观测的三位科学家。他们发现某明亮恒星绕银河系中心O处的黑洞做圆周运动，利用多普勒效应测得该恒星做圆周运动的速度为v，用三角视差法测得地球到银河系中心的距离为L，明亮恒星的运动轨迹对地球的最大张角为θ，如图所示。已知引力常量为G，黑洞的半径与质量的关系为Rs＝ eq \f(2GM,c2)，其中c为真空中的光速。求：
(1)恒星绕银河系中心黑洞运动的周期T；
(2)银河系中心黑洞的质量M；
(3)银河系中心黑洞的平均密度ρ。
命题点四 卫星运行参量的比较与计算
例4、2020年 6月23日，我国北斗三号全球卫星导航系统最后一颗组网卫星在西昌卫星发射中心点火升空，该卫星A最终将在地球同步轨道运行。另一颗相同质量的卫星B也绕地球做圆周运动，A的轨道半径是B的3倍。下列说法正确的有（ ）
A．由可知，A的速度是B的倍
B．由可知，A的向心加速度是B的3倍
C．由可知，A的向心力是B的
D．由可知，A的周期是B的倍
解析 A.卫星绕地球做圆周运动，万有引力提供向心力，。因为在不同轨道上g是不一样的，故不能根据得出A、B速度的关系，卫星的运行线速度，代入数据可得，故A错误；
因为在不同轨道上两卫星的角速度不一样，故不能根据得出两卫星加速度的关系，卫星的运行加速度，代入数据可得，故B错误；
根据，两颗人造卫星质量相等，可得，故C正确；
两卫星均绕地球做圆周运动，根据开普勒第三定律，可得，故D错。答案 C。
规律总结：利用万有引力定律解决卫星运动的技巧
1．一个模型：简化为质点的匀速圆周运动模型．
2．两组公式
（1）Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)＝ ______________________ （2）eq \f(GMm,R2)=mg(g为天体表面的重力加速度)
3．a、v、ω、T均与卫星的______无关，只由轨道______和中心天体的______共同决定。
4-1、（多选）在“嫦娥五号”任务中，轨道器和返回器的组合体（简称“甲”）与上升器（简称“乙”）要在环月轨道上实现对接，以使将月壤样品从上升器转移到返回器中，再由返回器带回地球。对接之前，甲、乙分别在各自的轨道上做匀速圆周运动，且甲的轨道半径比乙小，如图所示，为了实现对接，处在低轨的甲要抬高轨道。下列说法正确的是（ ）
A. 在甲抬高轨道之前，甲的线速度小于乙
B. 甲可以通过增大速度来抬高轨道
C. 在甲抬高轨道的过程中，月球对甲的万有引力逐渐增大
D. 返回地球后，月壤样品的重量比在月球表面时大
4-2、2020年11月24日4点30分，嫦娥五号探测器成功发射升空。若嫦娥五号在距月球表面高度分别为、的轨道I、Ⅱ上运行，均可视为匀速圆周运动，则在轨道I、Ⅱ上运行时，嫦娥五号与月球中心连线扫过相同面积所用的时间之比为（月球看成半径为R、质量均匀分布的球体）（ ）
A. B. C. D.
4-3、我国已掌握“高速半弹道跳跃式再入返回技术”，为实现“嫦娥”飞船月地返回任务奠定基础。如图虚线为大气层边界，返回器与服务舱分离后，从a点无动力滑入大气层，然后从c点“跳”出，再从e点“跃”入，实现多次减速，可避免损坏返回器。d点为轨迹的最高点，离地心的距离为r，返回器在d点时的速度大小为v，地球质量为M，引力常量为G。则返回器( )
A．在b点处于失重状态
B．在a、c、e点时的速率相等
C．在d点时的加速度大小为eq \f(GM,r2)
D．在d点时的速度大小v＞ eq \r(\f(GM,r))
4-4、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动，忽略行星自转影响.根据下表，火星和地球相比( )
A.火星表面的重力加速度较大
B.火星的公转周期较大
C.火星的第一宇宙速度较大
D.火星做圆周运动的加速度较大
4-5、(2020·山东等级考)我国将在今年择机执行“天问1号”火星探测任务。质量为m的着陆器在着陆火星前，会在火星表面附近经历一个时长为t0、速度由v0减速到零的过程。已知火星的质量约为地球的0.1倍，半径约为地球的0.5倍，地球表面的重力加速度大小为g，忽略火星大气阻力。若该减速过程可视为一个竖直向下的匀减速直线运动，此过程中着陆器受到的制动力大小约为( )
A．0.4mg－meq \f(v0,t0) B．0.4mg＋meq \f(v0,t0) C．0.2mg－meq \f(v0,t0) D．0.2mg＋meq \f(v0,t0)定律
内容
图示或公式
开普勒第一定律
(轨道定律)
所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上
开普勒第二定律
(面积定律)
对任意一个行星来说，它与太阳的连线在______的时间内扫过的______相等
开普勒第三定律
(周期定律)
所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等
eq \f(a3,T2)＝k，k是一个与行星无关的常量
第一宇宙速度(环绕速度)
v1＝____km/s，是人造卫星在地面附近绕地球做________
运动的线速度
第二宇宙速度(脱离速度)
v2＝____ km/s，使物体挣脱______引力束缚的____发射速度
第三宇宙速度(逃逸速度)
v3＝____km/s，使物体挣脱______引力束缚的____发射速度
使用方法
已知量
利用公式
备注
质量
的计算
环绕法
r、T、w、v
Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)＝
只能得到中心天体的质量
表面g法
g、R
mg＝eq \f(GMm,R2)
密度
的计算
环绕法
r、T、R...
Geq \f(Mm,r2)=meq \f(4π2,T2)r ，M＝ρ·eq \f(4,3)πR3
公转周期
表面g法
g、R
eq \f(GMm,R2) =mg ，M＝ρ·eq \f(4,3)πR3
行星
半径/m
质量/kg
轨道半径/m
地球
6.4×106
6.0×1024
1.5×1011
火星
3.4×106
6.4×1023
2.3×1011
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