初中数学北师大版七年级上册第二章 有理数及其运算2.3 绝对值导学案及答案

绝对值与相反数（基础）

【学习目标】

1．借助数轴理解绝对值和相反数的概念；

2．知道|a|的绝对值的含义以及互为相反数的两个数在数轴上的位置关系；

3．会求一个数的绝对值和相反数，并会用绝对值比较两个负有理数的大小；

4．通过应用绝对值解决实际问题，体会绝对值的意义和作用．

【要点梳理】

要点一、相反数

1．定义：如果两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数．特别地，0的相反数是0．

要点诠释：

（1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同．
（2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉．

（3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数．

（4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可．

2．性质：

（1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）．

（2）互为相反数的两数和为0．

要点二、多重符号的化简

多重符号的化简，由数字前面“-”号的个数来确定，若有偶数个时，化简结果为正，如-{-[-(-4)]}=4 ；若有奇数个时，化简结果为负，如-{+[-(-4)]}=-4 ．

要点诠释：
　（1）在一个数的前面添上一个“＋”，仍然与原数相同，如＋5＝5，＋（－5）＝－5．
　（2）在一个数的前面添上一个“－”，就成为原数的相反数．如－（－3）就是－3的相反数，因此，－（－3）＝3．

要点三、绝对值

1．定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，例如+2的绝对值等于2，记作|+2|=2；-3的绝对值等于3，记作|-3|=3．

要点诠释：

（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有：

（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小．

（3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的．

2．性质：

（1）0除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数．

（2）互为相反数的两个数（0除外）的绝对值相等.

（3）绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0．

要点四、有理数的大小比较

1．数轴法：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小． 如：a与b在数轴上的位置如图所示，则a＜b．

2．法则比较法：

两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下：

要点诠释：

利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小：

（3）判定两数的大小．

3． 作差法：设a、b为任意数，若a-b＞0，则a＞b；若a-b＝0，则a＝b；若a-b＜0，a＜b；反之成立．

4． 求商法：设a、b为任意正数，若，则；若，则；若，则；反之也成立．若a、b为任意负数，则与上述结论相反．

5． 倒数比较法：如果两个数都大于零，那么倒数大的反而小．

【典型例题】

类型一、相反数的概念

1．（2020•益阳）的相反数是（　　）

A．2016   B．﹣2016    C．    D．

【思路点拨】解决这类问题的关键是抓住互为相反数的特征“只有符号不同”，所以只要将原数的符号变为相反的符号，即可求出其相反数．

【答案】C

【解析】解：∵﹣与只有符号不同，

∴﹣的相反数是．

故选：C．

【总结升华】求一个数的相反数，只改变这个数的符号，其他部分都不变．

举一反三：

【变式】（2020•天水）若a与1互为相反数，则|a+1|等于（　　）

A.-1       B.0        C.1        D.2 

【答案】B

类型二、多重符号的化简

2．（2020秋•本溪校级月考）化简：

（1）﹣{+[﹣（+3）]}；                  

（2）﹣{﹣[﹣（﹣|﹣3|）]}．

【答案与解析】

解：（1）原式=﹣{+[﹣3]}=﹣{﹣3}=3；

（2）原式=﹣{﹣[﹣（﹣3）]}=﹣{﹣[+3]}=﹣{﹣3}=3．

【总结升华】运用多重符号化简的规律解决这类问题较为简单．即数一下数字前面有多少个负号．若有偶数个，则结果为正；若有奇数个，则结果为负．

类型三、绝对值的概念

3．求下列各数的绝对值．

    ，-0.3，0，

【思路点拨】，-0.3，0，在数轴上位置距原点有多少个单位长度，这个数字就是各数的绝对值．还可以用绝对值法则来求解．

【答案与解析】

方法1：因为到原点距离是个单位长度，所以．

因为-0.3到原点距离是0.3个单位长度，所以|-0.3|＝0.3．

因为0到原点距离为0个单位长度，所以|0|＝0．

因为到原点的距离是个单位长度，所以．

方法2：因为，所以．

因为-0.3＜0，所以|-0.3|＝-(-0.3)＝0.3．

因为0的绝对值是它本身，所以|0|＝0

因为，所以

【总结升华】求一个数的绝对值有两种方法：一种是利用绝对值的几何意义求解(如方法1)，一种是利用绝对值的代数意义求解(如方法2)，后种方法的具体做法为：首先判断这个数是正数、负数还是零．再根据绝对值的意义，确定去掉绝对值符号的结果是它本身，是它的相反数，还是零．从而求出该数的绝对值．

类型四、比较大小

4．比较下列有理数大小：

(1)-1和0；                        (2)-2和|-3| ；

(3)和 ；              （4）______

【答案】

(1)0大于负数，即-1＜0；

 (2)先化简|-3|＝3，负数小于正数，所以-2＜3，即-2＜|-3|；

(3)先化简，，，即．

(4)先化简，，这是两个负数比较大小：因为，，而，所以，即＜

【解析】(2)、(3)、（4）先化简，再运用有理数大小比较法则．

【总结升华】在比较两个负数的大小时，可按下列步骤进行：先求两个负数的绝对值，再比较两个绝对值的大小，最后根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断．

举一反三：

【变式】比大小：

   ______ ；    -|-3.2|______-(+3.2)；   0.0001______－1000；

   ______－1.384； －π______－3.14．

【答案】＞；=；＞；＞；＜

类型五、绝对值非负性的应用

5.已知|2-m|+|n-3|＝0，试求m-2n的值．

【思路点拨】由｜a｜≥0即绝对值的非负性可知，｜2-m｜≥0，｜n-3｜≥0，而它们的和为0．所以｜2-m｜＝0，|n-3|＝0．因此，2-m＝0，n-3＝0，所以m＝2，n＝3． 　　

【答案】

解：因为|2-m|+|n-3|＝0

且|2-m|≥0，|n-3|≥0

所以|2-m|＝0，|n-3|＝0

即2-m＝0，n-3＝0

所以m＝2，n＝3

故m-2n＝2-2×3＝-4．

【解析】由｜a｜≥0即绝对值的非负性可知，｜2-m｜≥0，｜n-3｜≥0，而它们的和为0．所以｜2-m｜＝0，|n-3|＝0．因此，2-m＝0，n-3＝0，所以m＝2，n＝3．

【总结升华】若几个数的绝对值的和为0，则每个数都等于0，即|a|+|b|+…+|m|＝0时，则a＝b＝…＝m＝0．

类型六、绝对值的实际应用 

6．正式足球比赛对所用足球的质量有严格的规定，下面是6个足球的质量检测结果，用正数记超过规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克数．检测结果(单位：克)：-25，+10，-20，+30，+15，-40．裁判员应该选择哪个足球用于这场比赛呢?请说明理由．

【答案】 因为｜+10｜＜｜+15｜＜｜-20｜＜｜-25｜＜｜+30｜＜｜-40｜，所以检测结果为+10的足球的质量好一些．所以裁判员应该选第二个足球用于这场比赛．

【解析】根据实际问题可知，哪个足球的质量偏离规定质量越小，则足球的质量越好．这个偏差可以用绝对值表示，即绝对值越小偏差也就越小，反之绝对值越大偏差也就越大．

【总结升华】绝对值越小，越接近标准．

【变式】某企业生产瓶装食用调和油，根据质量要求，净含量(不含包装)可以有0.002L的误差．现抽查6瓶食用调和油，超过规定净含量的升数记作正数，不足规定净含量的升数记作负数．检查结果如下表：

请用绝对值知识说明：
　　(1)哪几瓶是合乎要求的(即在误差范围内的)?
　　(2)哪一瓶净含量最接近规定的净含量？

【答案】(1)绝对值不超过0.002的有4瓶，分别是检查结果为+0.0018，-0.0015，+0.0012，+0.0010的这四瓶
　　 　 (2)第6瓶净含量与规定的净含量相差最少，最接近规定的净含量．