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初中数学北师大版七年级上册第三章 整式及其加减3.3 整式学案
展开用字母表示数及整式(基础)知识讲解
【学习目标】
1.知道字母能表示什么;能用字母写出简单问题中的数量关系;
2. 能按要求列出代数式,会求代数式的值;
3.会识别单项式系数与次数、多项式的项与系数;
4.理解并掌握单项式、多项式、整式等概念,弄清它们之间的区别与联系.
【要点梳理】
要点一、字母表示数
用字母表示数之后,有些数量之间的关系用含有字母的式子表示,看上去更加简明,更具有普遍意义了.举例:如果用a、b表示任意两个有理数,那么加法交换律可以用字母表示为:a+b=b+a.乘法交换律可以用字母表示为:ab=ba.
要点二、代数式
1.代数式的定义:诸如:16n ,2a+3b ,34 ,,等式子,它们都是用运算符号把数和字母连接而成的,像这样的式子叫做代数式,单独的一个数或一个字母也是代数式.
要点诠释:
带等号或不等号的式子不是代数式,如,,等都不是代数式.
2.列代数式:
在解决实际问题时,常常先把问题中与数量有关的词语用代数式表示出来,即列出代数式,使问题变得简洁,更具一般性.
要点诠释:代数式的书写规范:
(1)字母与数字或字母与字母相乘时,通常把乘号写成“· ”或省略不写;
(2)除法运算一般以分数的形式表示;
(3)字母与数字相乘时,通常把数字写在字母的前面;
(4)字母前面的数字是分数的,如果既能写成带分数又能写成假分数,一般写成假分数的形式;
(5)如果字母前面的数字是1,通常省略不写.
3.代数式的值:一般地,用具体数值代替代数式中的字母,按照代数式中的运算关系计算得出的结果,叫做代数式的值.
要点三、整式
1.单项式
(1)单项式的定义:如,,-1,它们都是数与字母的积,像这样的式子叫单项式,单独的一个数或一个字母也是单项式.
要点诠释:单项式一定是代数式,但若分母中含有字母的代数式,如就不是单项式,因为它无法写成数字与字母的乘积.
(2)单项式的系数:单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数.
要点诠释:
①确定单项式的系数时,最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式,再确定其系数.
②圆周率π是常数,单项式中出现π时,应看作系数.
③当一个单项式的系数是1或-1时,“1”通常省略不写.
④单项式的系数是带分数时,通常写成假分数,如:写成.
(3)单项式的次数:一个单项式中,所有字母的指数和叫做这个单项式的次数.
要点诠释:没有写指数的字母,实际上其指数是1,计算时不能将其遗漏.
2.多项式
(1)多项式的定义:几个单项式的和叫做多项式.
要点诠释:“几个”是指两个或两个以上.
(2)多项式的项:在多项式中,每个单项式叫做多项式的项,不含字母的项叫做常数项.
要点诠释:
①多项式的每一项包括它前面的符号.
②一个多项式含有几项,就叫几项式,如:是一个三项式.
(3)多项式的次数:一个多项式中,次数最高的项的次数,叫做这个多项式的次数.
要点诠释:
①多项式的次数不是所有项的次数之和,而是多项式中次数最高的单项式的次数.
②一个多项式中的最高次项有时不止一个,在确定最高次项时,都应写出.
(4)升幂排列与降幂排列:把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母降幂排列;若按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母升幂排列.
如:多项式2x3y2-xy3+x2y4-5x4-6是六次五项式,按x的降幂排列为
-5x4+2x3y2+x2y4-xy3-6,在这里只考虑x的指数,而不考虑其它字母;按y的升幂排列为-6-5x4+2x3y2-xy3+x2y4.
要点诠释:
①重新排列多项式时,每一项一定要连同它的正负号一起移动;
②含有两个或两个以上字母的多项式,常常按照其中某一个字母的升幂排列或降幂排列.
3.整式:单项式与多项式统称为整式.
要点诠释:
(1)单项式、多项式、整式与代数式这四者之间的关系:单项式、多项式必是整式,整式必是代数式,但反过来就不一定成立.
(2)分母中含有字母的式子一定不是整式,但是代数式.
【典型例题】
类型一、字母表示数
1.填空:
(1)如果a表示一个有理数,那么它的相反数是 ;
(2)一个正方形的边长是a cm,把这个正方形的边长增加1cm后所得到的正方形的周长是 ;
(3)某城市5年前人均收入为n元,预计今年收入是五年前的2倍多500元,那么今年人均收入将达________元.
【思路点拨】(1)求一个数的相反数,只要在它的前面添上“-”号即可;
(2)正方形的周长等于边长的4倍;(3)注意“多”、“少”、“倍”等词语对应的数学语言.
【答案】(1)-a; (2)(4a+4)cm(或4(a+1)cm); (3)(2n+500).
【解析】
解:(1)如果a表示一个有理数,那么它的相反数是﹣a;
(2)这个正方形的边长增加1cm后所得到的正方形的边长为(a+1) cm,所以周长为4(a+1)cm,也即(4a+4)cm;
(3)某城市5年前人均收入为n元,预计今年收入是五年前的2倍多500元,那么今年人均收入将达(2n+500)元.
【总结升华】和、差形式的代数式要在单位前把代数式括起来.
类型二、代数式
2.(2020春•定州市校级月考)下列式子中,不属于代数式的是( )
A.a+3 B.mn2 C. D.x>y
【思路点拨】代数式是由运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连接而成的式子.单独的一个数或者一个字母也是代数式.带有“<(≤)”、“>(≥)”、“=”、“≠”等符号的不是代数式,分别进行各选项的判断即可.
【答案】D.
【解析】
解:A、是代数式,故本选项错误;
B、是代数式,故本选项错误;
C、是代数式,故本选项错误;
D、不是代数式,故本选项正确;
故选D.
【总结升华】本题考查了代数式的知识,注意将代数式与等式及不等式区分开来.
举一反三:
【变式1】
(1)x的平方的3倍与5的差,用代数式表示为 .
(2) 操作电脑时,甲4小时打x个字,乙3小时打y个字,甲乙两人每小时共打 个字.
【答案】(1) (2)()
【变式2】
(2020•吉林)购买1个单价为a元的面包和3瓶单价为b元的饮料,所需钱数为( )
A.(a+b)元 B. 3(a+b)元 C. (3a+b)元 D. (a+3b)元
【答案】D.
类型三、整式
3.指出下列代数式中的单项式,并写出各单项式的系数和次数.
,,,,,a-3,,,
【答案与解析】
解:,,,,,,是单项式,其中
的系数是,次数是3;
的系数是-1,次数是1;
的系数是,次数是4;
的系数是,次数是4;
为非零常数,只有数字因式,系数是它本身,次数为0;
的系数仍按科学记数法表示为-3×108,次数是3;
只含有字母因数,系数是l,次数为字母指数之和为3.
【总结升华】(1)要区分数字因数、字母因数;(2)不能见了指数就相加,如中,的指数4不能相加,次数为4;(3)有分数线的,分子、分母的数字都是系数;(4)是常数,不能看作字母.
举一反三:
【变式1】单项式3x2y3的系数是 .
【答案】3.
【变式2】(泰州)下列结论正确的是( ).
A.没有加减运算的代数式叫做单项式.
B.单项式的系数是3,次数是2.
C.单项式m既没有系数,也没有次数.
D.单项式的系数是-1,次数是4.
【答案】D
4. (2020秋•三亚期末)说出下列各式是几次几项式,最高次项是什么?最高次项的系数是什么?常数项是多少?
(1)7x2﹣3x3y﹣y3+6x﹣3y2+1
(2)10x+y3﹣0.5.
【答案与解析】
解:(1)7x2﹣3x3y﹣y3+6x﹣3y2+1
是四次六项式,最高次项是﹣3x3y,
最高次项的系数是﹣3,
常数项是1;
(2)10x+y3﹣0.5,
是三次三项式,最高次项是y3,
最高次项的系数是1,
常数项是﹣0.5.
【总结升华】确定多项式的次数时,分两步:(1)先求多项式中每一项的次数;(2)取这些次数中的最大的数即为多项式的次数.
举一反三:
【变式】下列代数式中,哪些是多项式,并说出相应多项式是几次几项式?
, ,,abc, , ,a+1, , , .
【答案】
解:多项式有:,,a+1,,.其中,
是一次二项式;是二次二项式;a+1是一次二项式;是一次二项式;是二次三项式.
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