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    第15讲 用字母表示数及整式(基础)学案
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    初中数学北师大版七年级上册第三章 整式及其加减3.3 整式学案

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    这是一份初中数学北师大版七年级上册第三章 整式及其加减3.3 整式学案,文件包含用字母表示数及整式基础知识讲解doc、用字母表示数及整式基础巩固练习doc等2份学案配套教学资源,其中学案共8页, 欢迎下载使用。

    用字母表示数及整式(基础)知识讲解

    【学习目标】

    1.知道字母能表示什么;能用字母写出简单问题中的数量关系;

    2. 能按要求列出代数式,会求代数式的值;

    3.会识别单项式系数与次数、多项式的项与系数;

    4.理解并掌握单项式、多项式、整式等概念,弄清它们之间的区别与联系

    【要点梳理】

    要点一、字母表示数

    用字母表示数之后,有些数量之间的关系用含有字母的式子表示,看上去更加简明,更具有普遍意义了.举例:如果用a、b表示任意两个有理数,那么加法交换律可以用字母表示为:a+b=b+a.乘法交换律可以用字母表示为:ab=ba.

    要点二、代数式

    1.代数式的定义:诸如:16n ,2a+3b ,34 ,等式子,它们都是用运算符号把数和字母连接而成的,像这样的式子叫做代数式,单独的一个数或一个字母也是代数式.

    要点诠释:

    带等号或不等号的式子不是代数式,如等都不是代数式.

    2.列代数式:

    在解决实际问题时,常常先把问题中与数量有关的词语用代数式表示出来,即列出代数式,使问题变得简洁,更具一般性.

    要点诠释:代数式的书写规范:

    (1)字母与数字或字母与字母相乘时,通常把乘号写成“· 或省略不写;

    (2)除法运算一般以分数的形式表示;

    (3)字母与数字相乘时,通常把数字写在字母的前面;

    (4)字母前面的数字是分数的,如果既能写成带分数又能写成假分数,一般写成假分数的形式;

    (5)如果字母前面的数字是1,通常省略不写

    3.代数式的值:一般地,用具体数值代替代数式中的字母,按照代数式中的运算关系计算得出的结果,叫做代数式的值

    要点三、整式

    1.单项式

    (1)单项式的定义:,-1,它们都是数与字母的积,像这样的式子叫单项式,单独的一个数或一个字母也是单项式.

    要点诠释:单项式一定是代数式,但若分母中含有字母的代数式,如就不是单项式,因为它无法写成数字与字母的乘积

    (2)单项式的系数单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数.

    要点诠释:

    确定单项式的系数时,最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式,再确定其系数.

    圆周率π是常数,单项式中出现π时,应看作系数.

    当一个单项式的系数是1或-1时,1通常省略不写.

    单项式的系数是带分数时,通常写成假分数,如:写成

    (3)单项式的次数:一个单项式中,所有字母的指数和叫做这个单项式的次数.

    要点诠释:没有写指数的字母,实际上其指数是1,计算时不能将其遗漏.

    2.多项式

    (1)多项式的定义:几个单项式的和叫做多项式.

    要点诠释:几个是指两个或两个以上

    (2)多项式的项:在多项式中,每个单项式叫做多项式的项,不含字母的项叫做常数项.

    要点诠释:

    多项式的每一项包括它前面的符号.

    一个多项式含有几项,就叫几项式,如:是一个三项式.

    (3)多项式的次数:一个多项式中,次数最高的项的次数,叫做这个多项式的次数.

    要点诠释:

    多项式的次数不是所有项的次数之和,而是多项式中次数最高的单项式的次数

    一个多项式中的最高次项有时不止一个,在确定最高次项时,都应写出

    (4)升幂排列与降幂排列:把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母降幂排列;若按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母升幂排列

    如:多项式2x3y2-xy3+x2y4-5x4-6是六次五项式,x的降幂排列为

    -5x4+2x3y2+x2y4-xy3-6,在这里只考虑x的指数,而不考虑其它字母;按y的升幂排列为-6-5x4+2x3y2-xy3+x2y4

    要点诠释:

    重新排列多项式时,每一项一定要连同它的正负号一起移动;

    含有两个或两个以上字母的多项式,常常按照其中某一个字母的升幂排列或降幂排列

    3.整式:单项式与多项式统称为整式.

    要点诠释:

    1)单项式、多项式、整式与代数式这四者之间的关系:单项式、多项式必是整式,整式必是代数式,但反过来就不一定成立.

    (2)分母中含有字母的式子一定不是整式,但是代数式.

    【典型例题】

    类型一、字母表示数 

    1填空:

    (1)如果a表示一个有理数,那么它的相反数是     

    (2)一个正方形的边长是a cm,把这个正方形的边长增加1cm后所得到的正方形的周长是        

    (3)某城市5年前人均收入为n元,预计今年收入是五年前的2倍多500元,那么今年人均收入将达________元.

    思路点拨(1)求一个数的相反数,只要在它的前面添上-号即可;

    (2)正方形的周长等于边长的4倍;(3)注意等词语对应的数学语言

    【答案】1-a; (2)(4a+4)cm(或4(a+1)cm);  (3)(2n+500).

    解析

    解:(1)如果a表示一个有理数,那么它的相反数是a;

    (2)这个正方形的边长增加1cm后所得到的正方形的边长为(a+1) cm,所以周长为4(a+1)cm,也即(4a+4)cm;

    (3)某城市5年前人均收入为n元,预计今年收入是五年前的2倍多500元,那么今年人均收入将达(2n+500)元.

    【总结升华】和、差形式的代数式要在单位前把代数式括起来.

    类型二、代数式

    2(2020春•定州市校级月考)下列式子中,不属于代数式的是(  )

    A.a+3    B.mn2    C.    D.xy

    思路点拨代数式是由运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连接而成的式子.单独的一个数或者一个字母也是代数式.带有“)”)”“=””等符号的不是代数式,分别进行各选项的判断即可.

    【答案】D.

    解析

    解:A、是代数式,故本选项错误;

    B、是代数式,故本选项错误;

    C、是代数式,故本选项错误;

    D、不是代数式,故本选项正确;

    故选D.

    【总结升华】本题考查了代数式的知识,注意将代数式与等式及不等式区分开来.

     

    举一反三:

    【变式1】

    (1)x的平方的3倍与5的差,用代数式表示为             .

    (2) 操作电脑时,甲4小时打x个字,乙3小时打y个字,甲乙两人每小时共打        个字.

    答案(1)  (2)(

    变式2

    2020吉林)购买1个单价为a元的面包和3瓶单价为b元的饮料,所需钱数为(  )

      A.(a+b)元 B 3a+b)元 C 3a+b)元 D a+3b)元

    【答案】D

    类型三、整式

    3指出下列代数式中的单项式,并写出各单项式的系数和次数.

        a-3

    【答案与解析

    解:是单项式,其中

         的系数是,次数是3

    的系数是-1,次数是1

    的系数是,次数是4

    的系数是,次数是4

    为非零常数,只有数字因式,系数是它本身,次数为0

    的系数仍按科学记数法表示为-3×108,次数是3

    只含有字母因数,系数是l,次数为字母指数之和为3

    【总结升华】1)要区分数字因数、字母因数;(2)不能见了指数就相加,如中,的指数4不能相加,次数为4;(3)有分数线的,分子、分母的数字都是系数;(4是常数,不能看作字母.

    举一反三:

    【变式1单项式3x2y3的系数是  

    【答案】3

    【变式2】(泰州)下列结论正确的是(  )

        A.没有加减运算的代数式叫做单项式.

        B.单项式的系数是3,次数是2

    C.单项式m既没有系数,也没有次数.

    D.单项式的系数是-1,次数是4

    【答案】D

    4. 2020三亚期末)说出下列各式是几次几项式,最高次项是什么?最高次项的系数是什么?常数项是多少?

    17x23x3yy3+6x3y2+1

    210x+y30.5

    【答案与解析

    解:(17x23x3yy3+6x3y2+1

    是四次六项式,最高次项是3x3y

    最高次项的系数是3

    常数项是1

    210x+y30.5

    是三次三项式,最高次项是y3

    最高次项的系数是1

    常数项是0.5

    【总结升华】确定多项式的次数时,分两步:(1)先求多项式中每一项的次数;(2)取这些次数中的最大的数即为多项式的次数.

    举一反三:

    【变式】下列代数式中,哪些是多项式,并说出相应多项式是几次几项式?

    , ,abc a+1

    【答案】

    解:多项式有:a+1其中,

    是一次二项式;是二次二项式;a+1是一次二项式;是一次二项式;是二次三项式.

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