初中北师大版4 利用轴对称进行设计学案

简单的轴对称及利用轴对称进行设计（基础）知识讲解

【学习目标】

1．理解轴对称变换，能按要求作出简单平面图形经轴对称后的图形；能利用轴对称变换，设计一些图案，解决简单的实际问题.

2. 探索等腰三角形的性质定理以及判定定理，能熟练运用它们进行推理和计算．

3. 会作线段的垂直平分线和角的平分线，探索线段垂直平分线和角平分线的性质定理与判定定理，能用它们解决几何计算与证明题.

4．积累探究图形性质的活动经验，发展空间观念，同时能运用轴对称的性质，解决简单的数学问题或实际问题，提高分析问题和解决问题的能力．

【要点梳理】

要点一、作轴对称图形和对称轴

1.做轴对称图形

   可以根据两个图形成轴对称的性质，先确定图形关键点关于已知直线的对称点，然后依顺序连接点即可得已知图形关系直线的对称图形.

要点诠释：已知一点和直线确定其对称点的作法如下：过这一点作已知直线的垂线，得垂线段，再以垂足为起点，在直线的另一旁截取一点，使这条线段的长与垂线段等长，截取的这点就是已知点关于直线的对称点.

2.对称轴的作法
    若两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．因此只要找到一对对应点，再作出连接它们的线段的垂直平分线就可以得到这两个图形的对称轴．轴对称图形的对称轴作法相同．

要点诠释：

在轴对称图形和成轴对称的两个图形中，对应线段、对应角相等.成轴对称的两个图形，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点一定在对称轴上.如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称.

要点二、等腰三角形的性质及判定

1.等腰三角形的性质

性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．

性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．

要点诠释：

（1）性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．

（2）性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．

（3）等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴，等边三角形有三条对称轴．

2.等腰三角形的判定

如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.

    要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.

要点三、线段垂直平分线性质定理及其逆定理

线段垂直平分线（也称中垂线）的性质定理是： 线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等；逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．

要点诠释：

    性质定理的前提条件是线段已经有了中垂线，从而可以得到线段相等；逆定理则是在结论中确定线段被垂直平分，一定要注意着两者的区别，在使用这两个定理时不要混淆了.

要点四、角平分线性质定理及其逆定理

角平分线性质定理是：角平分线上的任意一点，到角两边的距离相等；逆定理：在角的内部到角两边的距离相等的点在角平分线上.

要点诠释：

性质定理的前提条件是已经有角平分线了，即角被平分了；逆定理则是在结论中确定角被平分，一定要注意着两者的区别，在使用这两个定理时不要混淆了.

要点五、利用轴对称性质进行简单设计

欣赏现实生活中的轴对称图形，能利用轴对称进行一些图案设计，体验轴对称在现实生活中的广泛应用和丰富的文化价值，感受生活中的数学美.

【典型例题】

类型一、作轴对称图形及对称轴

1、已知如下图，求作△ABC关于对称轴l的轴对称图形△A′B′C′．

【思路点拨】分别作出点B与点C关于直线l的对称点，然后连接AB′，AC′，B′C′．即可得到△ABC关于对称轴l的轴对称图形△A′B′C′．

【答案与解析】

解：

【总结升华】作一个图形的对称图形就是作各个顶点关于对称轴的对称点，把作对称图形的问题可以转化为作点的对称点的问题．

2、画出如图中的各图的对称轴．

【思路点拨】根据轴对称图形的性质，找到图形中的一组对应点，连接对称图形的两个对应点，作这个线段的垂直平分线就是这个图形的对称轴．

【答案与解析】

解：如图所示：

【总结升华】本题考查了对称轴的画法．解答此题要明确对称轴所具有的性质：对称轴是任意一对对应点所连线段的垂直平分线．

举一反三：

【变式】在下图中，画出△ABC关于直线MN的对称图形.

【答案】△为所求.

类型二、等腰三角形的性质与判定

3、（2020秋•广西期末）已知：如图所示，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度数．

【思路点拨】由题意，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°根据等腰三角形的性质可以求出底角，再根据三角形内角与外角的关系即可求出内角∠C．

【答案与解析】

解：在△ABC中，AB=AD=DC，

∵AB=AD，在三角形ABD中，

∠B=∠ADB=（180°﹣26°）×=77°，

又∵AD=DC，在三角形ADC中，

∴∠C==77°×=38.5°．

【总结升华】本题考查等腰三角形的性质及应用等腰三角形两底角相等，还考查了三角形的内角和定理及内角与外角的关系．利用三角形的内角求角的度数是一种常用的方法，要熟练掌握．

举一反三：

【变式】如图，已知AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．

求证：AC＝BF．

【答案】

 证明：延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG.

类型三、线段垂直平分线性质定理及其逆定理

4、如图，△ABC中，∠BAC=110°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，E、G分别为垂足．

（1）求∠DAF的度数；

（2）如果BC=10cm，求△DAF的周长．

【思路点拨】1）根据三角形内角和定理可求∠B+∠C；根据垂直平分线性质，DA=BD，FA=FC，则∠EAD=∠B，∠FAC=∠C，得出∠DAF=∠BAC﹣∠EAD﹣∠FAC=110°﹣（∠B+∠C）求出即可．

（2）由（1）中得出，AD=BD，AF=FC，即可得出△DAF的周长为BD+FC+DF=BC，即可得出答案．

【答案与解析】

解：（1）设∠B=x，∠C=y．

∵∠BAC+∠B+∠C=180°，

∴110°+∠B+∠C=180°，

∴x+y=70°．

∵AB、AC的垂直平分线分别交BA于E、交AC于G，

∴DA=BD，FA=FC，

∴∠EAD=∠B，∠FAC=∠C．

∴∠DAF=∠BAC﹣（x+y）=110°﹣70°=40°．

（2）∵AB、AC的垂直平分线分别交BA于E、交AC于G，

∴DA=BD，FA=FC，

∴△DAF的周长为：AD+DF+AF=BD+DF+FC=BC=10（cm）．

【总结升华】此题考查了线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理以及等腰三角形的性质．注意掌握垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等定理的应用，注意数形结合思想与整体思想的应用.

举一反三

【变式】（2020•徐州）如图，在△ABC中，∠C=31°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，如果DE垂直平分BC，那么∠A=　  　°．

【答案】87．

解：∵在△ABC中，∠C=31°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，

∴∠DBE=∠ABC=（180°﹣31°﹣∠A）=（149°﹣∠A），

∵DE垂直平分BC，

∴BD=DC，

∴∠DBE=∠C，

∴∠DBE=∠ABC=（149°﹣∠A）=∠C=31°，

∴∠A=87°．

故答案为：87．

5、如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E．

求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．

【思路点拨】由于DE⊥AB，易得∠AED=90°=∠ACB，而AD平分∠BAC，易知∠DAE=∠DAC，又因为AD=AD，利用AAS可证△AED≌△ACD，那么AE=AC，而AD平分∠BAC，利用等腰三角形三线合一定理可知AD⊥CE，即得证．

【答案与解析】

证明：∵DE⊥AB，

∴∠AED=90°=∠ACB，

又∵AD平分∠BAC，

∴∠DAE=∠DAC，

∵AD=AD，

∴△AED≌△ACD，

∴AE=AC，

∵AD平分∠BAC，

∴AD⊥CE，

即直线AD是线段CE的垂直平分线．

【总结升华】本题考查了线段垂直平分的定义、全等三角形的判定和性质、等腰三角形三线合一定理，解题的关键是证明AE=AC．

举一反三

【变式】如图，已知△ABC，求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PA=PB，下列确定P点的方法正确的是（　　）

A．P是∠A与∠B两角平分线的交点

B．P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点

C．P为AC、AB两边上的高的交点

D．P为AC、AB两边的垂直平分线的交点

【答案】Ｂ；

类型四、角平分线性质定理及其逆定理

6、如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于O．

求证：点O到三边AB、BC、CA的距离相等．

【思路点拨】作OD、OE、OF分别垂直于三边AB、BC、CA，D、E、F为垂足，根据角平分线性质可得OD=OE，OF=OE，∴OD=OE=OF．

【答案与解析】

证明：作OD、OE、OF分别垂直于三边AB、BC、CA，D、E、F为垂足，

∵BM为△ABC的角平分线，

OD⊥AB，OE⊥BC，

∴OD=OE（角平分线上的点到这个角两边的距离相等）．

同理可证：OF=OE．

∴OD=OE=OF．

即点O到三边AB、BC、CA的距离相等．

【总结升华】此题主要考查角平分线的性质：角平分线上的点到这个角两边的距离相等．正确作出辅助线是解答本题的关键．

举一反三

【变式】如图：△ABC的两个外角平分线交于点P，则下列结论正确的是（　　）

①PA=PC  ②BP平分∠ABC  ③P到AB，BC的距离相等  ④BP平分∠APC．

A．①②　　　B．①④　　C．③②　　D．③④

【答案】Ｃ；

7、已知如图：AD、BE是△ABC的两条角平分线，相交于P点

求证：P点在∠C的平分线上．

【思路点拨】首先过点P作PM⊥AB，PN⊥BC，PQ⊥AC，垂足分别为M、N、Q，然后证明PQ=PN即可．

【答案与解析】

证明：如图，过点P作PM⊥AB，PN⊥BC，PQ⊥AC，垂足分别为M、N、Q，

∵P在∠BAC的平分线AD上，

∴PM=PQ，P在∠ABC的平分线BE上，

∴PM=PN，

∴PQ=PN，

∴点P在∠C的平分线上．

【总结升华】本题主要考查了角平分线上的点到角两边的距离相等的性质．用此性质证明它的逆定理成立．角平分线性质的逆定理：到角的两边距离相等的点在角的平分线上．正确作出辅助线是解答本题的关键．

类型五、利用轴对称性质进行设计

8、如图所示，请你用三种方法，把左边的小正方形分别平移到右边三个图形中，使各个图形成为轴对称图形，并分别画出其对称轴所在的位置．

【思路点拨】根据轴对称图形的性质，先找出对称轴，再思考如何画图．

【答案与解析】

解：如图所示．

．

【总结升华】本题考查了轴对称图形的性质及其作图的方法，做这些题时找对称轴及对称点是关键．