初中数学沪科版九年级上册21.3 二次函数与一元二次方程教案

二次函数与一元二次方程

【教学目标】

（一）知识与技能：

1．理解二次函数y=ax2+bx+c与x轴有交点，则一元二次方程ax2+bx+c=0有实数根，若与x轴无交点，则方程无实数根。

2．知道抛物线与x轴三种位置关系，对应着一元二次方程的根的三种情况。

（二）过程与方法：

通过对一元二次方程根的不同情况下的分析，学生历经从函数解析式及函数图象角度探索与一元二次方程之间的关系，渗透了数形结合及转化的思想方法。

（三）情感、态度与价值观：

通过师生交流、生生交流，学生养成了乐于探究、勇于探索的良好学习习惯，同时学生从中也感受了合作成功带来的喜悦。

【教学重难点】

重点：如何让学生理解一元二次方程与二次函数之间的关系。

难点：让学生理解用图形法能求方程解的合理性及方法步骤。

【教学方法】

采用“主动探究、合作交流”的数学活动模式，真正为学生创设一个自主探究、合作交流的活动空间，让每个人获得有价值的数学。教学手段为了使学生的活动更加充分有效，增强教学直观性，利用多媒体来辅助教学。

【教学过程】

（一）复习

1．一元二次方程x2-2x-3=0的根为：_____________。

2．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=_____________。

当△﹥0方程根的情况是：_____________；当△=0时，方程_____________；当△﹤0时，方程_____________。

3．二次函数y=ax2+bx+c（a．b．c是常数，且a≠0）图像是一条_____________，它与x轴的交点有几种可能的情况？

活动方式：学生回答，复习巩固已学知识。

【设计意图】通过已学知识，为学生探索二次函数与一元二次方程的的关系做铺垫，从而引出课题。

（二）创设问题情境，引入新课

师：上学期我们学习了一元一次方程kx+b=0（k≠0）和一次函数y=kx+b（k≠0）后，讨论了它们之间的关系。当一次函数中的函数值y=0时，一次函数y=kx+b就转化成了一元一次方程kx+b=0，且一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx+b=0的解。

现在我们学习了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）和二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），它们之间是否也存在一定的关系呢？本节课我们将探索有关问题。

（三）活动探究

1．请学生简略画出以下函数的图象，回答问题。

二次函数：

（1）y=x2+2x

（2）y=x2-2x+1

（3）y=x2-2x+2

2．回答：

（1）每个图象与x轴有几个交点？

（2）一元二次方程x2+2x=0，x2-2x+1=0有几个根？解方程验证一下：一元二次方程x2-2x+2=0有根吗？

（3）二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系？

师：还请大家先讨论后解答。

3．答：

（1）二次函数y=x2+2x，y=x2-2x+1，y=x2-2x+2的图象与x轴分别有两个交点，一个交点，没有交点。

（2）一元二次方程x2+2x=0有两个根0，-2；方程x2-2x+1=0有两个相等的根1或一个根1；方程x2-2x+2=0没有实数根。

（3）从观察图象和讨论中可知，二次函数y=x2+2x的图象与x轴有两个交点，交点的坐标分别为(0，0)，(-2，0)，方程x2+2x=0有两个根0，-2。

二次函数y=x2-2x+1的图象与x轴有一个交点，交点坐标为(1，0)，方程x2-2x+1=0有两个相等的实数根（或一个根）1；二次函数y=x2-2x+2的图象与x轴没有交点，方程x2-2x+2=0没有实数根。

由此可知，二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标即为一元二次方程ax2+bx+c=0的根。

总结：二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点。当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值，即一元二次方程ax2+bx+c=0的根。

【设计意图】学生从图象角度出发，去探索函数值一定时，得出一元二次方程的根，即为两图象交点的横坐标，并发现交点的个数为方程根的个数。

（四）新知运用

1．判断下列函数图象与x轴是否有公共点，并说明理由。

（1）y=x2-x

（2）y=-x2+6x-9

（3）y=3x2+6x+11

2．在上元中学校运会上，初三（8）班运动员掷铅球，铅球的高y（m）与水平距离x（m）之间函数关系式为

y=-0.2x2+1.6x+1.8，则此运动员的成绩是____________m

【设计意图】学生通过例题解决，能较为熟练地掌握了用图象法解一元二次方程，对二次函数与一元二次方程的关系有了更为深刻的认识，让学生体会了转化及数形结合的数学思想方法。

（五）课堂小结

二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点。当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值，即一元二次方程ax2+bx+c=0的根。

【作业布置】

（一）课后练习。

（二）课后思考：

1．证明：抛物线y=x2-（2p-1）x+p2-p与x轴必有两个不同的交点。

2．（拓展练习）一元二次方程x2-4x+4=1的根与二次函数y=x2-4x+4的图象有什么关系？试把方程的根在图象上表示出来。

〖设计意图〗第一题通过作业的布置，及时反馈学生的学习效果，通过设置课后思考试题，不仅巩固本节课所学的知识，更拓展学生的思维空间。