初中数学沪科版九年级上册22.4 图形的位似变换教学设计及反思

中考数学中的折叠问题专题复习

一、教学目标

1、基础知识目标：

使学生进一步巩固掌握折叠图形的性质，会利用其性质进行有关的计算和证明。

2、能力训练目标：

提升学生的空间想象能力、抽象思维能力、逻辑推理能力及综合运用数学知识解决问题的能力。

3、情感态度与价值观要求：

鼓励学生积极参与数学学习活动，对数学证明有好奇心和求知欲。

二、教学重点、难点

重点：会利用折叠图形的性质进行有关的计算和证明。

难点：综合运用所学数学知识进行有关的计算和证明。

三、教学方法

讲、练、测相结合的教学方法，在老师的引导下，通过讲、练、测的有机结合，达到知识、技能、方法的全线突破。

四、教学程序及设想

1、巧设情景，设疑引入

观察与发现：小明将纸片ABC（AB>AC）沿过A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD,展开纸片；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF,展开纸片后得到AEF（如图1）。小明认为AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由。引出课题。

2、运用性质，折叠问题实质上就是轴对称变换归类探究。

归类一：折叠后求角的度数

典例解析：将矩形纸片ABCD折叠，使得D点与B重合，点C落在点C'处， 折痕为EF，如果∠ABE＝20°，则∠EFC'＝（    ）

     A. 125°       B. 80°      C. 75°     D. 无法确定

评析：本题只要抓住折叠的本质特征，折叠前后的两个图形全等，找出翻折前后的一些不变量，其次要注意利用矩形的性质，如矩形的每个角都是90°、对边互相平行等。

体验感悟：随后给学生一定的时间去感悟和体会这类题的解题思路和方法。

1、如图所示，把一张长方形纸条ABCD沿AF折叠，已知∠ADB=20°，那么，∠BAF为多少度时，才能使AB'∥BD？（∠BAF＝55°）

利用折叠的性质求角的度数，当条件中有某些角的度数时，综合题中的其他条件，找已知角和未知角的关系，从而求的未知角的度数。若条件中没有任何一个角的度数已知时，该怎样思考？

2、如图，四边形ABCD是一张矩形纸片，AD=2AB，沿过点D的折痕，将A角翻折，使A落在BC边上的A1处，则∠E A1B=       

（本题和上题的区别在于条件中没有任何一个角的度数是已知的，要把线段之间的关系转化角的度数，然后求得未知角的度数。在难度上有所加深，其目的在于培养学生综合运用所学数学知识解决问题的能力。）

利用折叠的性质，除了可以求角的度数之外，还可以求线段的长度引出。

归类二：求线段的长度

例2、如图在长方形ABCD中，AB=8,BC=10,经折叠，A点落在BC边的F点处，折痕DE与AB的交点是E，求EF的长。

解：

连接DF，设AE＝X

根据题意，AE＝EF＝X，DF＝AD＝BC＝10

所以根据勾股定理得CF＝6

所以BF＝10－6＝4

因为BE＝8－X

所以根据勾股定理得：

(8－X)2＋42＝X2

所以

64－16X＋16＝0

解得

X＝5

所以EF的长是5

（这道题基础性强，且有一定的综合性，有利于培养学生综合运用所学知识解决问题的能力。同时对应的练习题的设置，在上题的基础上综合性又有所提升，既巩固了基础知识又提升了学生综合运用数学知识解决问题的能力。同时又为综合运用做好了知识和技能的准备。）

本题把折叠问题转化成轴对称问题，对称点的连线被对称轴垂直平分，连结两对称点即可得到相等的线段利用勾股定理求出未知线段

体验感悟：

1、将矩形ABCD纸片沿EF折叠，使D点与BC边的中点D′重合，若BC = 8，CD = 9，则EF =        .

2、已知矩形纸片ABCD，AB=2，AD=1，将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合。

(1)如果折痕FG分别与AD、AB交与点F、G(如图1)，求DE的长；

(2)如果折痕FG分别与CD、AB交与点F、G(如图2)，△AED的外接圆与直线BC相切，求折痕FG的长。

（图①中FG是折痕，点A与点E重合，根据折叠的对称性,已知线段AF的长,可得到线段EF的长，从而将求线段的长转化到求Rt△DEF的一条直角边DE. 图②中，连结对应点A、E，则折痕FG垂直平分AE，取AD的中点M，连结MO，则MO=DE，且MO∥CD，又AE为Rt△AED的外接圆的直径，则O为圆心，延长MO交BC于N，则ON⊥BC，MN=AB,又Rt△AED的外接圆与直线BC相切，所以ON是Rt△AED的外接圆的半径，即ON=AE，根据勾股定理可求出DE=      ，OE=      . 通过Rt△FEO∽Rt△AED，求得FO=      ，从而求出EF的长。）

对称点的连线被对称轴垂直平分，连结两对称点既可以得到相等的线段，也可以构造直角三角形, 本题把折叠问题转化为轴对称问题，利用勾股定理和相似求出未知线段，最后把所求的线段转化到直角三角形中去处理。

归类三：综合运用

1、将边长OA=8，OC=10的矩形OABC放在平面直角坐标系中，顶点O为原点，顶点C、A分别在X轴和Y轴上。在OA、OC边上选取适当的点E、F，连接EF，将△EOF沿EF折叠，使点O落在AB边上的点D处。

图①                  图②                   图③

(1)如图①，当点F与点C重合时，OE的长度为        ；

(2)如图②，当点F与点C不重合时，过点D作DG∥y轴交EF于点，交于点。

求证：EO=DT；

(3)在(2)的条件下，设，写出与之间的函数关系式为      ，自变量的取值范围是       ；

(4)如图③，将矩形OABC变为平行四边形，放在平面直角坐标系中，且OC=10，OC边上的高等于8，点F与点C不重合，过点D作DG∥y轴交EF于点，交OC于点，求出这时的      坐标与之间的函数关系式（不求自变量的取值范围）。

(1)5

(2)证明：∵△EDF是由△EFO折叠得到的，∴∠1=∠2．

又∵DG∥y轴，∠1=∠3．

∴∠2=∠3．∴DE=DT．

∵DE=EO，∴EO=DT．    

(3)．    

(4)解：连接OT，

由折叠性质可得OT=DT．

∵DG=8，TG=y，∴OT=DT=8-y．

∵DG∥y轴，∴DG⊥x轴．

在Rt△OTG中，∵,∴．

∴．

根据轴对称的性质：折叠部分一定全等，折痕所在直线就是这两个全等形的对称轴，对称线段所在的夹角相等，在解题过程中要充分运用以上结论，借助辅助线构造直角三角形，结合相似形锐角三角函数解折叠题，可以使解题思路更加清晰，解题步骤更加简洁。

体验感悟：将平行四边形纸片ABCD，按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落在D′处，折痕为EF，

（1）求证：∠BAE=∠D′AF

（2）求证：△ABE≌△AD′F

（3）连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形，证明你的结论。

（通过写出分析过程，整理解题思路，根据分析过程，写出证明过程。整个解题过程可以简单概括为：读信息、定方法、找条件、理思路、写解题过程五步。使学生有章可循，从而避免学生手足无措，无处下手的现象发生。）

五、课堂小结

解决折叠问题，要认真审题，弄清那些是翻折部分，哪些是翻折后重叠部分，要抓住图形之间最本质的位置关系，从而进一步发现其中的数量关系，充分挖掘图形中的几何性质，将其中的基本的数量关系用方程的形式表达出来，并迅速求解。

六、板书设计

课后检测：

一、 折叠后求角度

1、把一张矩形纸片ABCD沿EF对折，使C、D点分别落在C1、D1的位置上， EC1交AD于G，已知∠EFG=58°，那么∠BEG= ＿＿ 。

2、把一张长方形纸片ABCD按如图方式折叠，EM、FM为折痕，折叠后的B点、C点落在B′M或B′M的延长线上，那么∠EMF的度数是（     ）。

 A  85°    B  90°     C  95°    D  100°

3、如图Rt △ABC中，∠B=90°，AB=3cm，AC=5cm，

将△ABC折叠，使点C与点A重合，得折痕DE，则△ABE的周长为＿＿  。

二、 折叠后求点的坐标

4、 如图，在直角坐标系中放入一边长OC为6的矩形纸片ABCO，将纸翻折后，使点B恰好落在x轴上，记为B′，折痕为CE，已知tan∠OB′C=34。

（1）求出B′点的坐标；

（2）求折痕CE所在直线的解析式。

（3）作B′G∥AB交CE于G，已知抛物线y=       通过G点，以O为圆心OG的长为半径的圆与抛物线是否还有除G点以外的交点？若有，请找出这个交点坐标。