苏科版中考数学冲刺专项第7讲.第二轮复习之中考中圆的热门考点 教师版

这是一份苏科版中考数学冲刺专项第7讲.第二轮复习之中考中圆的热门考点 教师版，共12页。
`  每年北京中考第20题中都会对圆的基本性质的进行考察，此题第⑴主要考察切线的证明，第⑵主要考察相似和解直角三角形与圆的结合． 【例1】         如图，已知，以为直径，为圆心的半圆交于点，点为的中点，连接交于点，为的角平分线，且，垂足为点．⑴ 求证：是半圆的切线；⑵ 若，，求的长．【解析】⑴证明：连接，     ∵是直径  ∴     有∵于  ∴     ∵  ∴      ∵是的角平分线     ∴       又 ∵为的中点     ∴      ∵于     ∵，即     又∵是直径，∴是半圆的切线 ．（2）∵，．由（1）知，，∴．在中，于，平分，∴，∴．由∽，得．∴，∴． 【例2】         已知：如图，直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过点C作CD⊥PA，垂足为点D．   （1）求证：CD与⊙O相切；   （2）若tan∠ACD=，⊙O的直径为10，求AB的长．     （2013丰台二模）【解析】（1）连结OC.                        ∵ 点C在⊙O上，OA=OC，∴                     ∵ ，∴ ，有.∵ AC平分∠PAE，∴                    ∴                  ∴ ∵ 点C在⊙O上，OC为⊙O的半径，∴ CD为⊙O的切线.                     （2）过点O作OG⊥AB于G.∵,,∴四边形OCDG是矩形.∴OG=CD, GD=OC.      ---------3分∵ ⊙O的直径为10，∴OA=OC=5.∴DG=5.∵tan∠ACD，设AD=x, CD=2x ,则OG=2x.∴ AG=DG-AD=5- x .                         在中，由勾股定理知∴        解得.          ∴   .  辅助圆是平面几何的一种重要解题工具，巧妙地添加辅助圆，能够使得那些看似与圆无关的题目通过建立沟通条件和结论的联系，利用圆的性质或其它几何性质，从而通过简捷的方法把复杂的问题转化为较为简单的问题．中考中只能利用圆的定义来构造辅助圆，常见的有两种类型：一是多条等线段共端点，而是两个直角三角形共斜边． 【例3】    已知四边形，，且，，且．求的值．【解析】       以为圆心，以为半径作圆．延长交于点，连接 ∵，∴∵，∴∴ 在和中，∴， ∴∵是直径，∴在中，，，由勾股定理得∴   【例4】    如图，四边形是正方形，是上一点，交的外角平分线于，求证：．        【解析】       连接∵四边形是正方形，∴，∵是外角平分线，∴，∴，∵，∴四点共圆，∴，∴，∴． 近年来，北京中考中对圆的考察，从分值和难度上都有相当程度的提升，其中近三年中考最后一题都是将圆放在平面直角坐标系中考察，主要考察对直线与圆各种位置关系的了解与掌握． 【例5】 如图，在平面直角坐标系中，的外接圆与轴交于点，，求的长．  【解析】       连接.∵,∴AB为直径∵，∴． ∵，∴ ． 在中，，  ∴．过点作于，∴ ．∵，∴，∴． 在中，由勾股定理得．在中，，∴．∴．   【例6】 如图1，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点，且与轴交于另一点．⑴ 求抛物线的解析式；⑵ 若点在抛物线上，且与面积相等，求点的坐标；⑶ 如图2，为外接圆上的中点，直线交轴于点，，当绕点旋转时，交直线于点，交轴负半轴于点．请你探究：的值是否发生变化？若不变，求出其值；若变化，求出变化范围． 【解析】（1）由直线AC的解析式可得：，；        代入抛物线的解析式中可得：，解得；         故抛物线的解析式为：；        （2）易知，按题意本题分两种情况讨论：        （I）当Q在直线AC上方的抛物线上时，和同底，若它们的面积相等，则、到直线的距离相等，即∥；        由于抛物线的对称轴为，故； （II）当在直线下方的抛物线上时，设直线交轴于点，则的面积为：，的面积为：；        若两个三角形的面积相等，则有，即；         易知直线的解析式为：，联立抛物线的解析式得：        ，解得 或；        故；         综上所述，存在两个符合条件的点：或；（3）如图，设的外接圆圆心为，连接，作，交轴于点，则；        由于是的中点，由垂径定理知平行于轴，得：        ，；        则∽；         ∴也是等腰三角形，即；        ∴；        ∵；        ∴；        又∵，；        ∴≌；         得；        故；         ∴的值不变，恒为4．     【例7】         在平面直角坐标系中，对于任意两点与的“非常距离”，给出如下定义：    若，则点与点的“非常距离”为；    若，则点与点的“非常距离”为.    例如：点，点，因为，所以点与点的“非常距离”为，也就是图1中线段与线段长度的较大值（点为垂直于轴的直线与垂直于轴的直线的交点）．    （1）已知点，为轴上的一个动点，         ①若点与点的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点的坐标；         ②直接写出点与点的“非常距离”的最小值；    （2）已知是直线上的一个动点，         ①如图2，点的坐标是（0，1），求点与点的“非常距离”的最小值及相应的点的坐标；         ②如图3，是以原点为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点与点的“非常距离”的最小值及相应的点和点的坐标．                                                                                                                                                                                       (2012北京) 【解析】⑴ ①或②⑵ ①设坐标∴当　　此时　　∴距离为　　此时.　　②　　∴　∴最小值1．【分析】从第二题第一问的作图中可以发现，过C点向x、y轴作垂线，当CP和CQ长度相等的时候“非常距离”最短，理由是，如果向下或向上移动C点到达C’点，其与点D的“非常距离”都会增大．故而C、D为正方形相对的两个顶点时有最小的非常距离．   
训练1.     如图，在△ABC中，AC=BC，D是BC上的一点，且满足∠BAD＝∠C，以AD为直径 的⊙O与AB、AC分别相交于点E、F.  （1）求证：直线BC是⊙O的切线； （2）连接EF，若tan∠AEF＝，AD＝4，求BD的长.（2013朝阳二模）【解析】（1）证明：在△ABC中， ∵AC=BC，∴∠ CAB = ∠B.∵∠ CAB +∠B+∠C＝180º，∴2∠B+∠C＝180º.∴＝90º. ∵∠BAD＝∠C，∴＝90º.∴∠ADB＝90º.∴AD⊥BC.∵AD为⊙O直径的，∴直线BC是⊙O的切线.（2）解：如图，连接DF，∵AD是⊙O的直径，∴∠AFD = 90º. ∵∠ADC＝90º，∴∠ADF+∠FDC＝∠CD+∠FDC＝90º.∴∠ADF＝∠C. ∵∠ADF＝∠AEF，tan∠AEF＝，∴tan∠C＝tan∠ADF＝.在Rt△ACD中，设AD＝4x，则CD＝3x.∴∴BC＝5x，BD＝2x.∵AD＝4，∴x＝1.∴BD＝2. 训练2.     已知，是的平分线．将一个直角的直角顶点在射线上 移动，点不与点重合．如图，当直角的两边分别与射线、交于点、              时，请判断与的数量关系，并证明你的结论；            【解析】       与的数量关系是相等  ． 常规证法：过点作，，垂足分别为点．∵，易得，∴，而，∴．∵是的平分线，∴，又∵，∴．∴．         辅助圆证法：∵，∴四点共圆，        ∵平分，∴，∴．训练3.     已知：如图，在直角坐标系中，经过坐标原点，分别与轴正半轴、 轴正半轴交于点、．设的内切圆的直径为，              求的值．（朝阳初三期末） 【解析】       设的内切圆与、、分别切于点、、，且半径为．∵，，，∴．∴，，．∴．                                 解得．∴．
题型一  圆中的计算 巩固练习【练习1】   如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交    AC于点D，过点D作⊙O 的切线交BC于点E．    （1）求证：点E为BC中点；    （2）若tanEDC=，AD=，求DE的长．【解析】 (1)连结OD，     ∵AB为直径，∴∠ADB=90°，又∠ABC=90°，     ∴BC是⊙O切线              ∵DE是⊙O切线     ∴BE=DE，     ∴∠EBD=∠EDB，     ∵∠ADB=90°，∴∠EBD+∠C=90°，∠EDB+∠CDE=90°，∴∠C=∠EDC，     ∴DE=CE，     ∴BE=CE.                 (2) ∵∠ABC=90°，∠ADB=90°，      ∴∠C=∠ABD=∠EDC，      Rt△ABD中，DB=，       Rt△BDC中，BC=，       又点E为BC中点，∴=3    题型二  辅助圆  巩固练习【练习2】   如图，正方形的中心为，面积为，为正方形内一点，且      ，，求的长．       【解析】 连接，∵是正方形，∴，，∵，∴四点共圆，∴．在中，，∴，设，则，解得，∴，∴． 题型三  坐标系中圆  巩固练习【练习3】   如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB=AC，∠ABC=2∠BAC，弦BE交AC于点D，连接AE，若，点C坐标是（a，0），点F坐标是（0，b）．⑴请你写出圆心O的坐标（     ，    ）；（用含a，b的代数式表示）⑵求线段BD的长．（通州初三期末）【解析】       ⑴   ⑵ ∵，∴∵，∴∴∵，，∴∽，∴， ∴，∴，   ∵点坐标是（，0），设的长为∴∵∴∽即   ∴解之得：∴的长为