2021-2022学年福建省厦门市高一上学期期末考试数学试题含解析

2021-2022学年福建省厦门市高一上学期期末考试数学试题

一、单选题

1．若集合，则下列选项正确的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用元素与集合，集合与集合的关系判断.

【详解】因为集合是奇数集，

所以，，，A，

故选：C

2．已知命题，，则p的否定是（       ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】D

【分析】由否定的定义写出即可.

【详解】p的否定是，.

故选：D

3．下列选项正确的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据指数函数的性质一一判断可得；

【详解】解：对于A：在定义域上单调递减，所以，故A正确；

对于B：在定义域上单调递增，所以，故B错误；

对于C：因为，，所以，故C错误；

对于D：因为，，即，所以，故D错误；

故选：A

4．如图，一质点在半径为1的圆O上以点为起点，按顺时针方向做匀速圆周运动，角速度为，5s时到达点，则（       ）

A．-1 B． C． D．

【答案】C

【分析】由正弦、余弦函数的定义以及诱导公式得出.

【详解】设单位圆与轴正半轴的交点为，则，所以，，故.

故选：C

5．已知偶函数在上单调递增，且，则的解集是（       ）

A． B．或

C．或 D．或

【答案】B

【分析】由已知和偶函数的性质将不等式转化为，再由其单调性可得，解不等式可得答案

【详解】因为，则，

所以，

因为为偶函数，所以，

因为在上单调递增，

所以，解得或，

所以不等式的解集为或，

故选：B

6．心理学家有时用函数测定在时间t（单位：min）内能够记忆的量L，其中A表示需要记忆的量，k表示记忆率．假设一个学生需要记忆的量为200个单词，此时L表示在时间t内该生能够记忆的单词个数．已知该生在5min内能够记忆20个单词，则k的值约为（，）

A．0.021 B．0.221 C．0.461 D．0.661

【答案】A

【分析】由题意得出，再取对数得出k的值.

【详解】由题意可知，所以，解得

故选：A

7．C，S分别表示一个扇形的周长和面积，下列能作为有序数对取值的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设扇形半径为，弧长为，则，，根据选项代入数据一一检验即可．

【详解】设扇形半径为，弧长为，

则，

当，有，则无解，故A错；

当，有得，故B正确；

当，有，则无解，故C错；

当，有，则无解，故D错；

故选：B

8．已知函数恰有2个零点，则实数a的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由在区间上单调递减，分类讨论，，三种情况，根据零点个数求出实数a的取值范围.

【详解】函数在区间上单调递减，且方程的两根为.

若时，由解得或，满足题意.

若时，，，当时，，即函数在区间上只有一个零点，因为函数恰有2个零点，所以且.

当时，，，此时函数有两个零点，满足题意.

综上，

故选：D

二、多选题

9．已知，则的值可能是（       ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【分析】由倍角公式确定同号，进由求解即可.

【详解】，则同号，由于，所以

故选：AD

10．已知，关于x的不等式的解集可能是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【分析】分，，，，，利用一元二次不等式的解法求解.

【详解】当时，不等式等价于，解得；

当时，不等式的解集是；

当时，不等式等价于，解得或；

当时，不等式等价于，解得；

当时，不等式等价于，解得或.

故选：BCD

11．已知a，，则的必要不充分条件可以是（       ）

A． B． C． D．

【答案】CD

【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可；

【详解】解：对于A：由，即，即，所以或，故充分性不成立，由，若时，则，故必要性不成立，故A错误；

对于B：由，可得，由推得出，故充分性成立，故B错误；

对于C：由可得，所以或，故充分性不成立，反之当时，可得，所以，故必要性成立，故C正确；

对于D：由得不到，如，满足但，即充分性不成立，反之当时可得故必要性成立，即是的必要不充分条件，故D正确；

故选：CD

12．函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，该结论可以推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数．（       ）

A．若，则函数为奇函数

B．若，则

C．函数的图象必有对称中心

D．，

【答案】ACD

【分析】中心对称函数的性质，利用函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．对于AB选项，利用表达式可以直接进行判断.选项C，直接利用定义判断,求出对称中心点.选项D，不等式恒成立问题，根据的函数性质证明即可.

【详解】对于选项A，记．

因为，所以为奇函数，故选项A正确；

对于选项B，由选项A可知，从而，

所以，故选项B错误；

对于选项C，记．若为奇函数，则，

，即，

所以，即．

上式化简得，．

则必有，解得，

因此当时，的图象必关于点对称，故选项C正确；

对于选项D，由选项C可知，．

当时，是减函数，，所以

，

故选项D正确．

故选：ACD．

三、填空题

13．写出一个在区间上单调递增的幂函数：______．

【答案】x（答案不唯一）

【分析】由幂函数的性质求解即可

【详解】因为幂函数在区间上单调递增，

所以幂函数可以是，

故答案为：（答案不唯一）

14．函数的定义域为______．

【答案】

【分析】由对数的真数大于零、二次根式的被开方数非负，分式的分母不为零，列不等式组可求得答案

【详解】由题意得

，解得，

所以函数的定义域为，

故答案为：

15．1881年英国数学家约翰·维恩发明了Venn图，用来直观表示集合之间的关系．全集，集合，的关系如图所示，其中区域Ⅰ，Ⅱ构成M，区域Ⅱ，Ⅲ构成N．若区域Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ表示的集合均不是空集，则实数a的取值范围是______．

【答案】

【分析】由，又区域Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ表示的集合均不是空集，则或解不等式组即可．

【详解】由，又区域Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ表示的集合均不是空集，

则或解得

故答案为：

四、双空题

16．在国际气象界，二十四节气被誉为“中国的第五大发明”．一个回归年定义为从某年春分到次年春分所经历的时间，也指太阳直射点回归运动的一个周期．某科技小组以某年春分为初始时间，统计了连续400天太阳直射点的纬度平均值（太阳直射北半球时取正值，直射南半球时取负值）．设第x天时太阳直射点的纬度平均值为y，该小组通过对数据的整理和分析，得到y与x近似满足，则一个回归年对应的天数约为______（精确到0.01）；已知某年的春分日是星期六，则4个回归年后的春分日应该是星期______．（）

【答案】     365.25     四

【分析】（1）利用周期公式求出一个回归年对应的天数；

（2）先计算出4个回归年经过的天数，再根据周期即可求解.

【详解】因为周期，所以一个回归年对应的天数约为365.25；

一个回归年对应的天数约为365.25，则4个回归年经过的天数为.

因为，且该年的春分日是星期六，所以4个回归年后的春分日应该是星期四.

故答案为：365.25；四.

五、解答题

17．已知，，求，实数a的取值范围．

【答案】

【分析】由题意利用指数函数、对数函数、幂函数的单调性，求出实数的取值范围．

【详解】解：因为，所以，所以．

因为，所以，所以．

又因为，所以．因为，所以．

又因为，所以．综上，实数a的取值范围是．

18．在①；②函数为偶函数：③0是函数的零点这三个条件中选一个条件补充在下面问题中，并解答下面的问题．

问题：已知函数，，且______．

(1)求函数的解析式；

(2)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

【答案】(1)

(2)单调递增，证明见解析

【分析】（1）若选条件①，根据及指数对数恒等式求出的值，即可求出函数解析式；若选条件②，根据，即可得到，从而求出的值，即可求出函数解析式；若选条件③，直接代入即可得到方程，求出的值，即可求出函数解析式；

（2）利用定义法证明函数的单调性，按照设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可；

【详解】(1)解：若选条件①．因为，

所以，即．

解得．所以．

若选条件②．函数的定义域为R．因为为偶函数，

所以，，即，

，化简得，．

所以，即．所以．

若选条件③．由题意知，，

即，解得．所以．

(2)解：函数在区间上单调递增．

证明如下：，，且，

则．

因为，，，所以，即．

又因为，所以，即．

所以，即．

所以在区间上单调递增．

19．已知函数．

(1)若，，求；

(2)将函数的图象先向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象．求函数的单调递增区间．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由平方关系求出，再由求解即可；

（2）由伸缩变换和平移变换得出的解析式，再由正弦函数的性质得出函数的单调递增区间．

【详解】(1)依题意，．

因为，所以，所以．

从而．

(2)将函数的图象先向左平移个单位长度，得到函数的图象．

再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的，得到函数的图象．

令，的单调递增区间是．

所以，，解得，．

所以函数的单调递增区间为．

20．在密闭培养环境中，某类细菌的繁殖在初期会较快，随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度又会减慢．在一次实验中，检测到这类细菌在培养皿中的数量（单位：百万个）与培养时间（单位：小时）的关系为：

根据表格中的数据画出散点图如下：

为了描述从第小时开始细菌数量随时间变化的关系，现有以下三种模型供选择：

①，②，③．

(1)选出你认为最符合实际的函数模型，并说明理由；

(2)利用和这两组数据求出你选择的函数模型的解析式，并预测从第小时开始，至少再经过多少个小时，细菌数量达到百万个．

【答案】(1)，理由见解析；

(2)，至少再经过小时，细菌数量达到百万个．

【分析】（1）分析可知，所选函数必须满足三个条件：（ⅰ）定义域包含；（ⅱ）增函数；（ⅲ）随着自变量的增加，函数值的增长速度变小．对比三个函数模型可得结论；

（2）将所选的两点坐标代入函数解析式，求出参数值，可得出函数模型的解析式，再由，解该不等式即可得出结论.

【详解】(1)解：依题意，所选函数必须满足三个条件：

（ⅰ）定义域包含；

（ⅱ）增函数；

（ⅲ）随着自变量的增加，函数值的增长速度变小．

因为函数的定义域为，时无意义；

函数随着自变量的增加，函数值的增长速度变大．

函数可以同时符合上述条件，所以应该选择函数．

(2)解：依题意知，解得，所以．

令，解得．

所以，至少再经过小时，细菌数量达到百万个．

21．如图，点，，在函数的图象上．

(1)求函数的解析式；

(2)若函数图象上的两点，满足，，求四边形OMQN面积的最大值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由图可求出，从而求得，由图可知函数处取得最小值，从而可求出的值，再将点的坐标代入函数中可求出，进而可求出函数的解析式，

（2）由题意求得所以，，而四边形OMQN的面积为S，则，代入化简利用三角函数的性质可求得结果

【详解】(1)由图可知的周期T满足，得．

又因为，所以，解得．

又在处取得最小值，

即，得，

所以，，解得，．

因为，所以．由，

得，所以．

综上，．

(2)当时，，

所以．由知．

此时．

记四边形OMQN的面积为S，则．

又

．

因为，所以，所以当，

即时，取得最大值．

所以四边形OMQN面积的最大值是．

22．已知函数，．

(1)若，解不等式；

(2)若函数恰有三个零点，，，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）分当时，当时，讨论去掉绝对值，由一元二次不等式的求解方法可得答案；

（2）得出分段函数的解析式，根据二次函数的性质和根与系数的关系可求得答案.

【详解】(1)解：当时，原不等式可化为…①．

（ⅰ）当时，①式化为，解得，所以；

（ⅱ）当时，①式化为，解得，所以．

综上，原不等式的解集为．

(2)解：依题意，．

因为，且二次函数开口向上，

所以当时，函数有且仅有一个零点．

所以时，函数恰有两个零点．

所以解得．

不妨设，所以，是方程的两相异实根，

则，所以．

因为是方程的根，且，

由求根公式得．

因为函数在上单调递增，

所以，所以．所以．所以a的取值范围是．