2021-2022学年江苏省高邮市临泽中学高二上学期8月月考数学试题含答案

江苏省高邮市临泽中学2021-2022学年高二上学期8月月考

数学试题

参考公式：如果台体的上、下底面的面积分别为，，高是，则

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知直线经过点，且与直线垂直，则的方程为（    ）

A． B． C． D．

2．若直线与直线平行，则它们之间的距离为（    ）

A． B． C． D．

3．已知一组数据，，，，，的方差是，那么另一组数据，，，，，的方差是（    ）

A、     B、     C、     D、

4．如图所示，若直线，，的斜率分别为，，，则（    ）

A． B．

C． D．

5．中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘微的有关工作，提出“幂势既同，则积不容异”。“幂”是截面积，“势”是几何体的高，即：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等，上述原理称为“祖暅原理”。一个上底面边长为1，下底面边长为2，侧棱长为的正六棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为（    ）

A、    B、    C、    D、21

6．若直线与直线的交点位于第二象限，则直线的倾斜角的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

7．在棱长均相等的直三棱柱中，已知是棱的中点，是棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为（    ）

A、     B、1     C、     D、

8．已知点，，动点P在直线上，则的最小值是（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。

9．欧拉公式（其中为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里占有非常重要的地位。被誉为数学中的“天桥”。依据欧拉公式，下列选项正确的是（    ）

A、  B、为纯虚数   C、的共轭复数为

D、已知复数，，则复数，在复平面内的对应点关于虚轴对称

10．当0＜k＜时，直线l1：kx－y－k＋1＝0与直线l2：ky－x－2k＝0的交点可能是（    ）

A．(2，3) B．(1，2)

C． D．

11．某校对200名考生的数学竞赛成绩进行统计，分成，，，，五组，得到如图所示频率直方图，则根据频率直方图，下列说法正确的是（    ）

A、

B、估计该校学生数学竞赛成绩的平均数在内

C、该校学生数学竞赛成绩的中位数大于80

D、该校学生数学竞赛成绩不低于80分的有90人

12．已知菱形的边长为2，，现将沿折起形成四面体．设，则下列选项正确的是（    ）

A．当时，二而角的大小为

B、当时，平面平面

C、无论为何值，直线与都不垂直

D、存在两个不同的值，使得四面体的体积为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。请把答案直接填写在答题卡相应位置上。

13．已知实数m，n满足，则直线必过定点________________．

14．一个圆锥的侧面展开图是半径为2，圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为   ▲   ．

15．直线与轴的交点是，若该直线绕点逆时针旋转得到直线，则直线的斜率是_______________．

16．在中，，，，D、E在边所在直线上，且满足，．则   ▲   ．

四、解答题：本题共6小题，共70分。请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分10分）设直线的方程为.

（1）若在两坐标轴上的截距相等，求的值；

（2）若不经过第三象限，求的取值范围.

18．（本小题满分12分）如图，在三棱柱中，侧面是矩形，侧面是菱形，M、N分别是、的中点，

（1）求证：平面；

（2）求证：；

（3）若，是边长为4的正三角形，求三棱锥的体积．

19．（本小题满分12分）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答该题．

已知的内角A，B，C所对的边分别是，，，满足______．

（1）求角A；

（2）若，且外接圆的直径为2，求的面积．

20．（本小题满分12分）已知直线方程为.

（1）证明：直线恒过定点；

（2）为何值时，点到直线的距离最大，最大值为多少?

（3）若直线分别与轴，轴的负半轴交于两点，求面积的最小值及此时直线的方程.

21．（本小题满分12分）如图，在中，已知，，

（1）求的长度；

（2）若点D是上一点且满足，点E是边上上一点且满足．

①当时，求；

②是否存在非零实数，，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

22．（本小题满分12分）当时，将，，……称为一组连续正整数

（1）是否存在这样的三角形，其三边为一组连续正整数，且最大角是最小角的两倍？若存在，求出所有符合条件的三角形，若不存在，请说明理由；

（2）若一个凸四边形的四条边依次为连续正整数5，6，7，8，求该四边形面积的最大值．

临泽高中2021-2022学年高二上学期8月月考

数学试卷答案与评分标准

一、单项选择题

1、C 2、A 3、C 4、A 5、C 6、D 7、C 8、C

二、多项选择题

9、ABD    10、CD    11、AB    12、ABD

三、填空题

13、、2x 15、买16、V2i

四、解答题

17、解析：（1）分截距都为，与截距都不为两种情况讨论可得；

（2）直线不经过第三象限则斜率小于等于，纵截距大于等于，即可得到不等式组，解得即可；

【详解】

（1）当截距都不为，则斜率时，即，符合题意；

当截距都为，即纵截距时，即，符合题意；

故或

（2）因为，即，

若不经过第三象限，则，解得，

故实数的取值范围为.

……10分

18、解析：（1）连接，由N是菱形的对角线的交点，知：点N为的中点且M是的中点，由三角形的中位线定理知：                                          ……………………………………1分

矩形的对边，得：

，平面，平面，故平面 ……3分

（注：线面平行的判定定理的使用中缺条件扣1分）

（2）由菱形的对角线互相垂直，得：，，平面，平面，，故平面，平面，

故有             ………………7分

（3）由侧面是矩形，知。又由，，平面，平面，得：平面，即平面

                ………………9分

由是边长为4的正三角形，知：  ………………10分

故    ………………12分

（注：线面垂直的判定定理的使用缺条件扣1分）

或者：

19、解析：（1）选①，则由正弦定理知：，即，

                …………………2分

由辅助角公式，整理得：       …………………4分

由，故，即角     …………………6分

（注：选②或③都得到，得分步骤同选①）

（2）由，平方知：      …………………8分

由正弦定理知：，

由余弦定理知：    …………………10分

从而有，解得：，故的面积

                …………………12分

20、解析：（1）由直线方程整理可得：，

由得：，直线恒过定点；

（2）由（1）知：直线恒过定点，

则当与直线垂直时，点到直线距离最大，

又所在直线方程为：，即，

当与直线垂直时，，解得：；

则最大值；

（3）由题意知：直线斜率存在且不为零，

令得：，即；

令得：，即；

又位于轴的负半轴，，解得：；

，

令，则，，

，

，，

则当，即时，，，

此时直线的方程为：.

…12分

21、解析：（1）在中，由余弦定理知：，即的长度为。     …………………3分

（2）由（1）知：，故是以A为直角的直角三角形。

①选择，作为平面内一组基底，则由，

知：，，  …………………5分

从而压：

     …………………7分

②假设存在非零实数，，使得，即。

选择，作为平面内一组基底，则，

，        …………………9分

故由，

               …………………11分

两边同时除以，得：        …………………12分

方法二：（2）（坐标法）以A为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，则，，

①当时，则，，从而由，。

               …………………5分

知：         …………………7分

②假设存在非零实数，，使得，即。由，知：

，，…………………9分

从而由，得：，即， …………………11分

两边同时除以，得：。       …………………12分

（注：选择，作为平面内一组基底解决的，参照给分）

22、解析：（1）不妨设的三个内角A，B，C的对边分别为，，，则由大边对大角，知：。记，则，从而由正弦定理知：，

               …………………2分

即      …………………4分

在中，由余弦定值知：

故有：，即，解得：，

综上，符合条件的三角形有且只有一个，其三边分别为4，5，6  …………………6分

（2）记四边形的四条边分别为，，，，

记，，在中，

在中，

从而有：        …………………8分

，

               …………………10分

平方相加得：，

化简得：，

当且仅当时，有最大值为       …………………12分