2021-2022学年新疆生产建设兵团第二师八一中学高二第一学期期中考试数学试题含答案

新疆生产建设兵团第二师八一中学2021-2022学年高二第一学期期中考试数学试卷

一．选择题（共14小题14*5=70）

1．已知圆O1：（x﹣1）2+（y+2）2＝9，圆O2：x2+y2+4x+2y﹣11＝0，则这两个圆的位置关系为（　　）

A．外离 B．外切 

C．相交 D．内含

2．已知两点P（﹣2，0），Q（0，4），则以PQ为直径的圆的标准方程是（　　）

A．（x+1）2+（y﹣2）2＝5 B．（x+1）2+（y+2）2＝5 

C．（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5 D．（x+1）2+（y﹣2）2＝20

3．已知直线l1：（a﹣1）x+2y+1＝0与直线l2：3x+ay﹣1＝0平行，则a等于（　　）

A．3或﹣2 B．﹣2 

C．3 D．2

4．若直线x+ay+1＝0与直线（a﹣1）x+2y+1＝0垂直，则a＝（　　）

A．或0 B． 

C．﹣1或2 D．﹣1

5．两条平行直线3x+4y﹣10＝0与ax+8y+11＝0之间的距离为（　　）

A． B． 

C． D．

6．经过直线2x﹣y﹣4＝0和4x﹣y﹣5＝0的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程为（　　）

A．2x+2y+5＝0 B．2x+2y+5＝0或6x+y＝0 

C．6x+y＝0 D．2x﹣2y﹣7＝0或6x+y＝0

7．已知m，n表示两条不同直线，α，β，γ表示三个不同平面，下列说法正确的是（　　）

A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n 

C．若α⊥β，α⊥γ，则β∥γ D．若α⊥β，m⊥β，则m∥α

8．已知圆锥的母线长是2，高是，则该圆锥的表面积是（　　）

A． B． 

C． D．

9．已知一个三棱柱的高为3，如图是其底面用斜二测画法画出的水平放置的直观图，其中O'A'＝O'B'＝O'C'＝1，则此三棱柱的体积为（　　）

A．2 B．4 

C．6 D．12

10．长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝，AD＝1，AA1＝，则异面直线AD1与A1C1所成角余弦值为（　　）

A． B． 

C． D．

11．某四棱锥的三视图如图所示，其中正视图为正方形，俯视图是腰长为2厘米的等腰直角三角形，则该几何体的体积是（　　）

A． B． 

C． D．

12．在四棱锥P﹣ABCD中，底面是边长为4的正方形，且PA＝2，，则四棱锥P﹣ABCD外接球的表面积为（　　）

A．4π B．8π 

C．36π D．144π

13．已知一个圆锥的母线长为2，侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的外接球的体积为（　　）

A．36π B．48π 

C．36 D．24

14．若直线y＝k（x﹣2）+4与曲线有两个交点，则实数k的取值范围是（　　）

A． B． 

C． D．

二．填空题（共4小题4*5=20）

15．过2x+y+8＝0和x+y+3＝0的交点，且与直线2x+3y﹣10＝0垂直的直线方程是 　           　．

16．圆x2﹣2x+y2﹣4y﹣4＝0与圆x2﹣8x+y2﹣6y+24＝0的公共弦长为 　                　．

17．已知点A（2，﹣1），B（3，m），若，则直线AB的倾斜角的取值范围为 　             　．

18．在平面直角坐标系中，已知A（1，0）和B（4，0），动点P（x，y）满足|PA|＝2|PB|，则的取值范围为　                　．

三．解答题（共5小题5*12=60）

19．根据下列条件，求直线的方程：

（1）求经过点A（﹣5，2），且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程；

（2）求过A（2，1），B（m，3）两点的直线l的方程．

20．（1）求过点A（3，﹣1），B（﹣1，5），C（1，3）点的圆的方程，并写出圆心坐标和半径；

（2）求圆心在直线2x﹣y﹣3＝0上，且过点（5，2）和（3，﹣2）的圆的方程，并写出圆心坐标和半径．

21．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝2，且E是BC中点．

（Ⅰ）求证：A1B∥平面AEC1；

（Ⅱ）求证：B1C⊥平面AEC1；

（Ⅲ）求三棱锥C1﹣ABC的体积．

22．已知四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB＝90°，PA⊥平面ABCD，且PA＝AD＝DC＝AB＝1，M是棱PB上的动点．

（Ⅰ）求证：PA⊥CD；

（Ⅱ）求证：平面PAD⊥平面PCD；

（Ⅲ）是否存在点M使得PD∥平面ACM，若存在请求的值，若不存在请说明理由：

23．已知圆C的圆心C在直线x﹣y﹣1＝0上，并且与y轴相切于（0，3）．

（1）求圆C的标准方程．

（2）过点P（8，1）作圆C的切线，求切线方程．

（3）设直线ax﹣y+1＝0与圆C交于不同的两点A，B，是否存在实数a，使得过点P（2，0）的直线垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．

答案

1C 2A 3C 4B 5B 6B 7B 8B 9C 10D 11B 12C 13A 14C

15 　3x﹣2y+19＝0　．

16 　

17 　[0，]∪[，π）　

18　

19解：（1）当直线不过原点时，设所求直线方程为，

将（﹣5，2）代入所设方程，解得，

所以直线方程为x+2y+1＝0；

当直线过原点时，设直线方程为y＝kx，

则﹣5k＝2，解得，

所以直线方程为，即2x+5y＝0，

故所求直线方程为2x+5y＝0或x+2y+1＝0；

（2）①当m＝2时，直线l的方程为x＝2；

②当m≠2时，则直线l的方程为，即2x﹣（m﹣2）y+m﹣6＝0，

因为m＝2时，代入方程2x﹣（m﹣2）y+m﹣6＝0，即为x＝2，

所以直线l的方程为2x﹣（m﹣2）y+m﹣6＝0．

20解：（1）AB的中点坐标为（1，2），，

则AB的中垂线方程为y﹣2＝，即2x﹣3y+4＝0，

AC的中点坐标为（2，1），，

则AC的中垂线方程为y﹣1＝，即x﹣2y＝0．

联立，解得，则圆心坐标为（﹣8，﹣4），半径为．

∴所求圆的方程为（x+8）2+（y+4）2＝130，圆心坐标为（﹣8，﹣4），半径为；

（2）∵圆心在直线2x﹣y﹣3＝0上，∴设圆心坐标为C（a，2a﹣3），

由设A（5，2），B（3，﹣2），由|CA|＝|CB|，

得，

解得：a＝2，则圆心C（2，1），半径r＝|CA|＝．

∴所求圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝10．

21 （Ⅰ）证明：如图，连接A1C交AC1于点O，连接EO，

∵ACC1A1为正方形，∴O为中点

∴EO∥A1B，EO⊂平面AEC1，A1B⊄平面AEC1，

∴A1B∥平面AEC1

（Ⅱ）证明：∵AB＝AC，E是BC的中点，

∴AE⊥BC

∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面ABC⊥平面BB1C1C，

∴AE⊥平面BB1C1C，B1C⊂平面BB1C1C，

∴B1C⊥AE

在矩形BB1C1C中，

，

∵，

∴，

∴B1C⊥EC1，

又AE∩EC1＝E，

B1C⊥平面AEC1．

（Ⅲ）解：因为∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝2，则AA1＝CC1＝2，

．

22 （Ⅰ）证明：因为PA⊥底面ABCD，

CD⊂面ABCD，

所以PA⊥CD．

（Ⅱ）因为底面为直角梯形，∠DAB＝90°，

所以AB⊥AD，

因为PA⊥底面ABCD，

AB⊂面ABCD，

所以PA⊥AB，

又PA∩AD＝A，

所以AB⊥面PAD，

因为AB∥DC，

所以DC⊥面OAD，

又DC⊂面PCD，

所以平面PAD⊥平面PCD．

（Ⅲ）存在．理由如下：

连接AM，AC，连接BD交AC于E，

因为PD∥面ACM，

PD⊂面PBD，

面PBD∩面ACM＝ME，

所以PD∥DE，

所以＝．

23解：（1）设圆心坐标为（m，3），由题意，m﹣3﹣1＝0，

解得m＝4，则r＝4，

∴圆C的方程为（x﹣4）2+（y﹣3）2＝16；

（2）设存在符号条件的实数a，

由于过点P（2，0）的直线l垂直平分弦AB，故圆心C（4，3）必在直线l上，

∴直线l的斜率kPC＝，

又，∴a＝﹣，

联立，得（1+a2）x2﹣（4a+8）x+4＝0，

由△＝（4a+8）2﹣16（1+a2）＞0，解得a＞﹣．

∵a＝﹣＞，

∴存在实数a＝，使得过点P（2，0）的直线垂直平分弦AB；

（3）当切线斜率不存在时，切线方程为x＝8；

当切线的斜率存在时，设切线方程为y﹣1＝k（x﹣8），

即kx﹣y﹣8k+1＝0，

由题意，，解得k＝，则切线方程为3x﹣4y﹣20＝0．

∴切线方程为：x＝8或3x﹣4y﹣20＝0．