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2021年甘肃省高考（理科）数学一诊试卷+答案解析
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这是一份2021年甘肃省高考（理科）数学一诊试卷+答案解析，共22页。试卷主要包含了选择题.，填空题.，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年甘肃省高考数学一诊试卷（理科）
一、选择题（共12小题）.
1．已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{﹣1，1，2}，则A∩B＝（ ）
A．{1，2} B．{﹣1，1，2}
C．{0，1，2} D．{﹣1，0，1，2，3}
2．若复数z满足（1+2i）z＝||，则z的共轭复数是（ ）
A．i B．i C．i D．i
3．抛物线y2＝﹣2px（p＞0）的准线经过椭圆＝1的右焦点，则p＝（ ）
A．2 B．4 C．8 D．12
4．甲、乙两名射击运动爱好者在相同条件下各射击10次，中靶环数情况如图所示．则甲、乙两人中靶环数的方差分别为（ ）
A．7，7 B．7，1.2 C．1.1，2.3 D．1.2，5.4
5．已知函数f（x）＝x（ex﹣e﹣x），则f（x）（ ）
A．是奇函数，且在（0，+∞）单调递减
B．是奇函数，且在（0，+∞）单调递增
C．是偶函数，且在（0，+∞）单调递减
D．是偶函数，且在（0，+∞）单调递增
6．已知m，n表示两条不同直线，α，β表示两个不同平面．设有四个命题：
p1：若m∥α，m⊥n，则n⊥α；
p2：若m∥α，n⊥α，则m⊥n；
p3：若m∥α，α⊥β，则m∥β；
p4：若m∥α，m∥β，则α∥β．
则下列复合命题中为真命题的是（ ）
A．p1∧p2 B．￢p1∧p4 C．p2∨p3 D．p3∨p4
7．由伦敦著名建筑事务所SteynStudio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线＝1（a＞0，b＞0）下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±2x
8．已知α是第四象限角，且sinα＝﹣，则cos（2α+）＝（ ）
A． B． C． D．
9．圆x2+y2＝4上任意一点M到直线3x+4y﹣15＝0的距离大于2的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，它与玉璧、玉圭、玉璋、玉璜、玉琥被称为“六器”，是古人用于祭祀神祇的一种礼器．《周礼》中载有“以玉作六器，以礼天地四方，以苍璧礼天，以黄琮礼地”等文．如图为齐家文化玉琮，该玉琮中方内空，形状对称，圆筒内径2.0cm，外径2.4cm，通高6.0cm，方高4.0cm，则其体积约为（ ）（单位：cm3）
A．23.04﹣3.92π B．34.56﹣3.92π
C．34.56﹣3.12π D．23.04﹣3.12π
11．在△ABC中，A＝120°，BC＝6，则△ABC的面积的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．3
12．若对任意的x∈（1，+∞），不等式eλx﹣≥0（λ＞0）恒成立，则λ的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共4小题）.
13．设a＝log2021，b＝，c＝log2022，则a，b，c的大小关系是 .（按照从大到小的顺序排列）
14．已知向量与向量夹角为60°，且||＝1，＝（3，4），要使2+λ与垂直，则λ＝ ．
15．（1﹣2x）5（1+x）4展开式中x3的系数为 ．
16．函数f（x）＝cos2x﹣sin2x，x∈R，有下列命题：
①y＝f（x）的表达式可改写为y＝2cos（2x+）；
②直线x＝是函数f（x）图象的一条对称轴；
③函数f（x）的图象可以由函数y＝2sin2x的图象向右平移个单位长度得到；
④满足f（x）≤的x的取值范围是{x|﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z}．
其中正确的命题序号是 .（注：把你认为正确的命题序号都填上）
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝an+1（n∈N*）．
（1）求Sn；
（2）设bn＝logSn，求使得++…+＞成立的最小正整数n．
18．2020年10月，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》，某地积极开展中小学健康促进行动，发挥以体育智、以体育心功能，决定在2021年体育中考中再增加一定的分数，规定：考生须参加立定跳远、掷实心球、一分钟跳绳三项测试，其中一分钟跳绳满分20分．学校为掌握九年级学生一分钟跳绳情况，随机抽取了100名学生测试，其成绩均在[165，215]间，并得到如图所示频率分布直方图，计分规则如表：
一分钟跳绳个数
[165，175）
[175，185）
[185，195）
[195，205）
[205，215]
得分
16
17
18
19
20
（1）补全频率分布直方图，并根据频率分布直方图估计样本中位数；
（2）若两人可组成一个小队，并且两人得分之和小于35分，则称该小队为“潜力队”，用频率估计概率，求从进行测试的100名学生中任意选取2人，恰好选到“潜力队”的概率．
19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为梯形，PA＝PD＝2，DC＝AD＝2AB＝4，AB⊥AD，AB∥CD，平面PAD⊥平面ABCD，E为棱PB上一点．
（1）在平面PAB内能否作一条直线与平面PAD垂直？若能，请画出直线并加以证明；若不能，请说明理由；
（2）若时，求直线AE与平面PBC所成角的正弦值．
20．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的焦距为4，且经过点P（2，3）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C上存在两点M，N，使得PM的斜率与PN的斜率之和为﹣1，直线MN是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由．
21．已知函数f（x）＝x2﹣（a+1）x+alnx．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）设函数g（x）＝2f（x）﹣（2a+x）lnx+2x﹣4a+2，若g（x）在[，+∞）上有两个零点，求实数a的取值范围．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑。按所涂题号进行评分不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分。[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在平面直角坐标系xOy中，已知点P的坐标为（0，2），直线C1的方程为：（其中t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为：ρcos2θ+4cosθ﹣ρ＝0．
（1）将直线C1的方程化为普通方程，曲线C2的方程化为直角坐标方程；
（2）若直线C1过点Q（，﹣1）且交曲线C2于A，B两点，设线段AB的中点为M，求|PM|．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|2x+a|，g（x）＝|x﹣b|．
（1）若a＝1，b＝3，解不等式f（x）+g（x）≥4；
（2）当a＞0，b＞0时，f（x）﹣2g（x）的最大值是3，证明：a2+4b2≥．
参考答案
一、选择题（共12小题）.
1．已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{﹣1，1，2}，则A∩B＝（ ）
A．{1，2} B．{﹣1，1，2} C．{0，1，2} D．{﹣1，0，1，2，3}
解：∵A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{﹣1，1，2}，
∴A∩B＝{1，2}．
故选：A．
2．若复数z满足（1+2i）z＝||，则z的共轭复数是（ ）
A．i B．i C．i D．i
解：由（1+2i）z＝||＝，
得z＝＝，
∴．
故选：C．
3．抛物线y2＝﹣2px（p＞0）的准线经过椭圆＝1的右焦点，则p＝（ ）
A．2 B．4 C．8 D．12
解：椭圆＝1的右焦点（2，0），
抛物线y2＝﹣2px（p＞0）的准线经过椭圆＝1的右焦点，
可得，解得p＝4．
故选：B．
4．甲、乙两名射击运动爱好者在相同条件下各射击10次，中靶环数情况如图所示．则甲、乙两人中靶环数的方差分别为（ ）
A．7，7 B．7，1.2 C．1.1，2.3 D．1.2，5.4
解：实线的数据为：2，4，6，8，7，7，8，9，9，10，
虚线的数据为：9，5，7，8，7，6，8，6，7，7，
所以实线数据的平均数为，
实线的方差为＝5.4，
同理可求出虚线的平均数为7，方差为1.2，
所以甲、乙两人中靶环数的方差分别为1.2，5.4．
故选：D．
5．已知函数f（x）＝x（ex﹣e﹣x），则f（x）（ ）
A．是奇函数，且在（0，+∞）单调递减
B．是奇函数，且在（0，+∞）单调递增
C．是偶函数，且在（0，+∞）单调递减
D．是偶函数，且在（0，+∞）单调递增
解：根据题意，函数f（x）＝x（ex﹣e﹣x），其定义域为R，
有f（﹣x）＝（﹣x）（e﹣x﹣ex）＝x（ex﹣e﹣x）＝f（x），则f（x）是偶函数，
在区间（0，+∞）上，设x1＞x2＞0，
则有＞1，＞＞1，＜＜1，
则有﹣＞﹣＞1，
故＝×＞1，即f（x1）＞f（x2），
故选：D．
6．已知m，n表示两条不同直线，α，β表示两个不同平面．设有四个命题：
p1：若m∥α，m⊥n，则n⊥α；
p2：若m∥α，n⊥α，则m⊥n；
p3：若m∥α，α⊥β，则m∥β；
p4：若m∥α，m∥β，则α∥β．
则下列复合命题中为真命题的是（ ）
A．p1∧p2 B．￢p1∧p4 C．p2∨p3 D．p3∨p4
解：m，n表示两条不同直线，α，β表示两个不同平面．
p1：若m∥α，m⊥n，则n⊥α也可能n∥α，也可能n与α相交，所以它是假命题．
p2：若m∥α，n⊥α，则m⊥n，正确、
p3：若m∥α，α⊥β，则m∥β也可能m⊂β，也可能m与β相交，所以它是假命题；
p4：若m∥α，m∥β，则α∥β，也可能α与β相交，所以它是假命题．
所以p2∨p3是真命题．
故选：C．
7．由伦敦著名建筑事务所SteynStudio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线＝1（a＞0，b＞0）下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±2x
解：双曲线＝1（a＞0，b＞0）下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，
可得：，解得a＝，c＝，b＝2，
所以双曲线的渐近线方程为：y＝±x＝±x．
故选：B．
8．已知α是第四象限角，且sinα＝﹣，则cos（2α+）＝（ ）
A． B． C． D．
解：∵α是第四象限角，且sinα＝﹣，
∴cosα＝，
∴cos2α＝1﹣2sin2α＝1﹣2×＝，
sin2α＝2sinαcosα＝2×（﹣）×＝﹣，
∴cos（2α+）＝（cos2α﹣sin2α）＝（+）＝．
故选：D．
9．圆x2+y2＝4上任意一点M到直线3x+4y﹣15＝0的距离大于2的概率为（ ）
A． B． C． D．
解：圆x2+y2＝4的圆心O（0，0）到直线3x+4y﹣15＝0的距离为d＝|OC|＝＝3，
如图所示：
上的点到直线3x+4y﹣15＝0的距离小于或等于2，
所以OD＝3﹣2＝1，OA＝2，所以∠AOD＝，∠AOB＝，
所以圆上任意一点M到直线3x+4y﹣15＝0的距离大于2的概率为
P＝1﹣＝．
故选：C．
10．玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，它与玉璧、玉圭、玉璋、玉璜、玉琥被称为“六器”，是古人用于祭祀神祇的一种礼器．《周礼》中载有“以玉作六器，以礼天地四方，以苍璧礼天，以黄琮礼地”等文．如图为齐家文化玉琮，该玉琮中方内空，形状对称，圆筒内径2.0cm，外径2.4cm，通高6.0cm，方高4.0cm，则其体积约为（ ）（单位：cm3）
A．23.04﹣3.92π B．34.56﹣3.92π
C．34.56﹣3.12π D．23.04﹣3.12π
解：由题意，该玉琮的体积V为底面边长为2.4cm，高为6cm的长方体的体积减去底面直径为2cm，高为2cm的圆柱的体积，
再加上底面直径为2.4cm，高为6cm的圆柱的体积．
则V＝2.42×6﹣π×（）2×6+π×（）2×2＝23.04﹣6π+2.88π＝23.04﹣3.12π（cm3）．
故选：D．
11．在△ABC中，A＝120°，BC＝6，则△ABC的面积的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．3
解：由题意，由余弦定理可得36＝b2+c2﹣2bccos120°，
∴b2+c2+bc＝36，
∵b2+c2≥2bc，
∴3bc≤36，可得bc≤12，当且仅当b＝c时等号成立，
∴S＝bcsin120°≤3，当且仅当b＝c时等号成立，即△ABC面积的最大值是3．
故选：D．
12．若对任意的x∈（1，+∞），不等式eλx﹣≥0（λ＞0）恒成立，则λ的最小值为（ ）
A． B． C． D．
解：由eλx﹣≥0，得，即λeλx≥lnx，
∴λxeλx≥xlnx（x＞1），于是λxeλx≥elnx•lnx，
设F（x）＝xex，可知F（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴原不等式等价于F（λx）≥F（lnx），
∴λx≥lnx，即，
令g（x）＝（x＞1），则g′（x）＝，
当x∈（1，e）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
当x∈（e，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减．
∴当x＝e时，g（x）取得最大值为，∴λ≥．
即λ的最小值为．
故选：A．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设a＝log2021，b＝，c＝log2022，则a，b，c的大小关系是 b＞a＞c .（按照从大到小的顺序排列）
解：∵a＝log2021＝log20212022∈（0，1），
b＝＞20210＝1，
c＝log2022＜log20221＝0，
∴b＞a＞c．
故答案为：b＞a＞c．
14．已知向量与向量夹角为60°，且||＝1，＝（3，4），要使2+λ与垂直，则λ＝ ﹣ ．
解：向量与向量夹角为60°，且||＝1，＝（3，4），∴||＝＝5，
∴•＝1×5×cos60°＝．
要使2+λ与垂直，则（2+λ）•＝2+λ•＝2+λ＝0，
求得λ＝﹣，
故答案为：﹣．
15．（1﹣2x）5（1+x）4展开式中x3的系数为 24 ．
解：（1﹣2x）5展开式的通项公式为Tk+1＝C（﹣2x）k，
（1+x）4展开式的通项公式为Tm+1＝Cxm，
则x3的系数为﹣2+4﹣8C＝4﹣60+160﹣80＝24，
故答案为：24．
16．函数f（x）＝cos2x﹣sin2x，x∈R，有下列命题：
①y＝f（x）的表达式可改写为y＝2cos（2x+）；
②直线x＝是函数f（x）图象的一条对称轴；
③函数f（x）的图象可以由函数y＝2sin2x的图象向右平移个单位长度得到；
④满足f（x）≤的x的取值范围是{x|﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z}．
其中正确的命题序号是 ①④ .（注：把你认为正确的命题序号都填上）
解：函数f（x）＝cos2x﹣sin2x＝2（cos2x﹣sin2x）＝2cos（2x+），x∈R，故①正确；
当x＝时，2x+＝，cos（2x+）＝0，故x＝不是f（x）的对称轴，故②错误；
由函数y＝2sin2x的图像向右平移个单位得到函数：
y＝2sin2（x﹣）＝2sin（2x﹣）≠2cos（2x+），故③错误；
由f（x）≤，即cos（2x+）≤，解得+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，
所以，+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，故④正确．
故答案为：①④．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝an+1（n∈N*）．
（1）求Sn；
（2）设bn＝logSn，求使得++…+＞成立的最小正整数n．
解：（1）∵Sn＝an+1＝（Sn+1﹣Sn），
∴Sn+1＝3Sn，又S1＝a1＝1，
∴数列{Sn}是以首项为1，公比为3的等比数列，
∴Sn＝3n﹣1；
（2）∵bn＝logSn＝＝2n﹣2，
＝＝（﹣），
∴++…+＝[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]＝＞，
∴n＞99，
故使得++…+＞成立的最小正整数n＝100．
18．2020年10月，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》，某地积极开展中小学健康促进行动，发挥以体育智、以体育心功能，决定在2021年体育中考中再增加一定的分数，规定：考生须参加立定跳远、掷实心球、一分钟跳绳三项测试，其中一分钟跳绳满分20分．学校为掌握九年级学生一分钟跳绳情况，随机抽取了100名学生测试，其成绩均在[165，215]间，并得到如图所示频率分布直方图，计分规则如表：
一分钟跳绳个数
[165，175）
[175，185）
[185，195）
[195，205）
[205，215]
得分
16
17
18
19
20
（1）补全频率分布直方图，并根据频率分布直方图估计样本中位数；
（2）若两人可组成一个小队，并且两人得分之和小于35分，则称该小队为“潜力队”，用频率估计概率，求从进行测试的100名学生中任意选取2人，恰好选到“潜力队”的概率．
解：（1）[195，205）的频率为1﹣10×（0.005+0.006+0.009+0.05）＝0.3，
∴频率/组距为0.03，
补全频率分布直方图如图所示，
∵（0.005+0.009）×10＝0.14＜0.5，
（0.005+0.009+0.05）×10＝0.64＞0.5，
∴样本的中位数落在[185，195），
设中位数为m，则0.14+（m﹣185）×0.05＝0.5，
解得m＝192.2，
故样本中位数为192.2．
（2）一分钟跳绳个数在[165，175）的可得16分，人数为100×0.005×10＝5人；
一分钟跳绳个数在[175，185）的可得17分，人数为100×0.009×10＝9人；
一分钟跳绳个数在[185，195）的可得18分，人数为100×0.05×10＝50人，
∴“潜力队”的两人组合有4种情况，得分之和分别为32，33，34，34，
∴恰好选到“潜力队”的概率P＝＝．
19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为梯形，PA＝PD＝2，DC＝AD＝2AB＝4，AB⊥AD，AB∥CD，平面PAD⊥平面ABCD，E为棱PB上一点．
（1）在平面PAB内能否作一条直线与平面PAD垂直？若能，请画出直线并加以证明；若不能，请说明理由；
（2）若时，求直线AE与平面PBC所成角的正弦值．
解：（1）过E作EF∥AB交棱PA于F，EF为所求作的直线．
因为平面PAD⊥平面ABCD，且AB⊥AD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊂平面ABCD，
所以AB⊥平面PAD，又因为EF∥AB，
所以EF⊥平面PAD；
（2）取AD的中点O，BC的中点M，连结OM，则OM⊥平面PAD，
以O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则A（2，0，0），B（2，2，0），C（﹣2，4，0），P（0，0，2），
所以，
设平面PBC的法向量为，
则，
令x＝1，则y＝2，z＝3，所以，
因为，所以，所以，
设AE与平面PBC所成的角为θ，则，
故直线AE与平面PBC所成角的正弦值．
20．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的焦距为4，且经过点P（2，3）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C上存在两点M，N，使得PM的斜率与PN的斜率之和为﹣1，直线MN是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由．
解：（1）由题意可知，焦点为（±2，0），
故2a＝+＝8，
所以a2＝16，b2＝12，
所以椭圆的方程为+＝1．
（2）当直线MN的斜率存在时，设方程为y＝kx+m，
代入椭圆的方程，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣48＝0，（*），
设点M（x1，y1），N（x2，y2），
则x1+x2＝﹣，x1x2＝①，
设直线PM的斜率与直线PN的斜率分别为k1，k2，
根据y1＝kx1+m，y2＝kx2+m，
则k1+k2＝+＝﹣1，
所以（1+2k）x1x2+（m﹣2k﹣5）（x1+x2）+16﹣4m＝0，
将①代入，整理化简得16k2+10km﹣24k+m2﹣3m＝0，
即（2k+m﹣3）（8k+m）＝0，
因为P（2，3）不在直线MN上，所以2k+m﹣3≠0，
所以m＝﹣8k，
要使（*）方程判别式大于0，需k∈（﹣，），
于是直线MN的方程为y＝k（x﹣8），k∈（﹣，），
所以直线过定点（8，0），
当直线MN的斜率不存在时，可得M（x1，y1），N（x1，﹣y1），
则由k1+k2＝+＝﹣1，解得x1＝8，不合题意，
综上所述，直线MN过定点（8，0）．
21．已知函数f（x）＝x2﹣（a+1）x+alnx．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）设函数g（x）＝2f（x）﹣（2a+x）lnx+2x﹣4a+2，若g（x）在[，+∞）上有两个零点，求实数a的取值范围．
解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），
f′（x）＝x﹣（a+1）+＝＝，
①当a≤0时，令f′（x）＜0，得到0＜x＜1；令f′（x）＞0，得到x＞1，
此时f（x）在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数；
②当0＜a＜1时，令f′（x）＜0，得到a＜x＜1；令f′（x）＞0，得到0＜x＜a或x＞1，
此时f（x）在（a，1）上为减函数，在（0，a）和（1，+∞）上为增函数；
③当a＝1时，显然f′（x）≥0恒成立，此时f（x）在（0，+∞）上为增函数；
④当a＞1时，令f′（x）＜0，得到1＜x＜a，令f′（x）＞0，得到0＜x＜1或x＞a，
此时f（x）在（1，a）上为减函数，在（0，1）和（a，+∞）上为增函数；
综上：当a≤0时，f（x）在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数；
当0＜a＜1时，f（x）在（a，1）上为减函数，在（0，a）和（1，+∞）上为增函数；
当a＝1时，f（x）在（0，+∞）上为增函数；
当a＞1时，f（x）在（1，a）上为减函数，在（0，1）和（a，+∞）上为增函数．
（2）g（x）＝2f（x）﹣（2a+x）lnx+2x﹣4a+2＝x2﹣2ax﹣xlnx﹣4a+2，
g（x）在x∈[，+∞）上有两个零点，
即关于x的方程2a＝在x∈[，+∞）上有两个不相等的实数根．
令函数h（x）＝，x∈[，+∞）．
则h′（x）＝．
令函数p（x）＝x2+3x﹣2lnx﹣4，x∈[，+∞）．
则p′（x）＝在x∈[，+∞）上有p'（x）≥0．
故p（x）在x∈[，+∞）上单调递增．
∵p（1）＝0，∴x∈[，1）时，有p（x）＜0，即h'（x）＜0，∴h（x）单调递减；
当x∈（1，+∞）时，有p（x）＞0，即h'（x）＞0，∴h（x）单调递增．
∵h（）＝+，h（1）＝1，h（4）＝3﹣ln2＞h（），
∴a的取值范围是（，+]．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑。按所涂题号进行评分不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分。[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在平面直角坐标系xOy中，已知点P的坐标为（0，2），直线C1的方程为：（其中t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为：ρcos2θ+4cosθ﹣ρ＝0．
（1）将直线C1的方程化为普通方程，曲线C2的方程化为直角坐标方程；
（2）若直线C1过点Q（，﹣1）且交曲线C2于A，B两点，设线段AB的中点为M，求|PM|．
解：（1）直线C1的方程为：（其中t为参数）消去参数转换为普通方程为xsinα﹣ycosα+2cosα＝0；
曲线C2的极坐标方程为：ρcos2θ+4cosθ﹣ρ＝0，根据转换为直角坐标方程为．
（2）直线C1过点Q（，﹣1），所以把点的坐标代入xsinα﹣ycosα+2cosα＝0；得到，
所以，
所以直线的参数方程为（t为参数），
代入，
得到，
则，
根据参数的几何意义：|PM|＝．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|2x+a|，g（x）＝|x﹣b|．
（1）若a＝1，b＝3，解不等式f（x）+g（x）≥4；
（2）当a＞0，b＞0时，f（x）﹣2g（x）的最大值是3，证明：a2+4b2≥．
【解答】（1）解：当a＝1，b＝3时，f（x）+g（x）＝|2x+1|+|x﹣3|＝，
当x≤﹣时，由2﹣3x≥4，解得x≤﹣；
当﹣＜x≤3时，x+4≥4，解得0≤x≤3；
当x＞3时，由3x﹣2≥4，解得x＞3，
所以不等式f（x）+g（x）≥4的解集为（﹣∞，﹣]∪[0，+∞）．
（2）证明：当a＞0，b＞0时，由不等式的基本性质，
得f（x）﹣2g（x）＝|2x+a|﹣|2x﹣2b|≤|2x+a﹣2x+2b|＝a+2b，
所以a+2b＝3，
因为≤，即3≤，所以a2+4b2≥．
另解：根据柯西不等式，得（12+12）[a2+（2b）2]≥（a+2b）2＝9，
即a2+4b2≥，当且仅当a＝2b，即a＝，b＝时取得等号．
2021年甘肃省高考数学一诊试卷（理科）
一、选择题（共12小题）.
1．已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{﹣1，1，2}，则A∩B＝（ ）
A．{1，2} B．{﹣1，1，2}
C．{0，1，2} D．{﹣1，0，1，2，3}
2．若复数z满足（1+2i）z＝||，则z的共轭复数是（ ）
A．i B．i C．i D．i
3．抛物线y2＝﹣2px（p＞0）的准线经过椭圆＝1的右焦点，则p＝（ ）
A．2 B．4 C．8 D．12
4．甲、乙两名射击运动爱好者在相同条件下各射击10次，中靶环数情况如图所示．则甲、乙两人中靶环数的方差分别为（ ）
A．7，7 B．7，1.2 C．1.1，2.3 D．1.2，5.4
5．已知函数f（x）＝x（ex﹣e﹣x），则f（x）（ ）
A．是奇函数，且在（0，+∞）单调递减
B．是奇函数，且在（0，+∞）单调递增
C．是偶函数，且在（0，+∞）单调递减
D．是偶函数，且在（0，+∞）单调递增
6．已知m，n表示两条不同直线，α，β表示两个不同平面．设有四个命题：
p1：若m∥α，m⊥n，则n⊥α；
p2：若m∥α，n⊥α，则m⊥n；
p3：若m∥α，α⊥β，则m∥β；
p4：若m∥α，m∥β，则α∥β．
则下列复合命题中为真命题的是（ ）
A．p1∧p2 B．￢p1∧p4 C．p2∨p3 D．p3∨p4
7．由伦敦著名建筑事务所SteynStudio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线＝1（a＞0，b＞0）下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±2x
8．已知α是第四象限角，且sinα＝﹣，则cos（2α+）＝（ ）
A． B． C． D．
9．圆x2+y2＝4上任意一点M到直线3x+4y﹣15＝0的距离大于2的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，它与玉璧、玉圭、玉璋、玉璜、玉琥被称为“六器”，是古人用于祭祀神祇的一种礼器．《周礼》中载有“以玉作六器，以礼天地四方，以苍璧礼天，以黄琮礼地”等文．如图为齐家文化玉琮，该玉琮中方内空，形状对称，圆筒内径2.0cm，外径2.4cm，通高6.0cm，方高4.0cm，则其体积约为（ ）（单位：cm3）
A．23.04﹣3.92π B．34.56﹣3.92π
C．34.56﹣3.12π D．23.04﹣3.12π
11．在△ABC中，A＝120°，BC＝6，则△ABC的面积的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．3
12．若对任意的x∈（1，+∞），不等式eλx﹣≥0（λ＞0）恒成立，则λ的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共4小题）.
13．设a＝log2021，b＝，c＝log2022，则a，b，c的大小关系是 .（按照从大到小的顺序排列）
14．已知向量与向量夹角为60°，且||＝1，＝（3，4），要使2+λ与垂直，则λ＝ ．
15．（1﹣2x）5（1+x）4展开式中x3的系数为 ．
16．函数f（x）＝cos2x﹣sin2x，x∈R，有下列命题：
①y＝f（x）的表达式可改写为y＝2cos（2x+）；
②直线x＝是函数f（x）图象的一条对称轴；
③函数f（x）的图象可以由函数y＝2sin2x的图象向右平移个单位长度得到；
④满足f（x）≤的x的取值范围是{x|﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z}．
其中正确的命题序号是 .（注：把你认为正确的命题序号都填上）
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝an+1（n∈N*）．
（1）求Sn；
（2）设bn＝logSn，求使得++…+＞成立的最小正整数n．
18．2020年10月，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》，某地积极开展中小学健康促进行动，发挥以体育智、以体育心功能，决定在2021年体育中考中再增加一定的分数，规定：考生须参加立定跳远、掷实心球、一分钟跳绳三项测试，其中一分钟跳绳满分20分．学校为掌握九年级学生一分钟跳绳情况，随机抽取了100名学生测试，其成绩均在[165，215]间，并得到如图所示频率分布直方图，计分规则如表：
一分钟跳绳个数
[165，175）
[175，185）
[185，195）
[195，205）
[205，215]
得分
16
17
18
19
20
（1）补全频率分布直方图，并根据频率分布直方图估计样本中位数；
（2）若两人可组成一个小队，并且两人得分之和小于35分，则称该小队为“潜力队”，用频率估计概率，求从进行测试的100名学生中任意选取2人，恰好选到“潜力队”的概率．
19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为梯形，PA＝PD＝2，DC＝AD＝2AB＝4，AB⊥AD，AB∥CD，平面PAD⊥平面ABCD，E为棱PB上一点．
（1）在平面PAB内能否作一条直线与平面PAD垂直？若能，请画出直线并加以证明；若不能，请说明理由；
（2）若时，求直线AE与平面PBC所成角的正弦值．
20．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的焦距为4，且经过点P（2，3）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C上存在两点M，N，使得PM的斜率与PN的斜率之和为﹣1，直线MN是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由．
21．已知函数f（x）＝x2﹣（a+1）x+alnx．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）设函数g（x）＝2f（x）﹣（2a+x）lnx+2x﹣4a+2，若g（x）在[，+∞）上有两个零点，求实数a的取值范围．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑。按所涂题号进行评分不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分。[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在平面直角坐标系xOy中，已知点P的坐标为（0，2），直线C1的方程为：（其中t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为：ρcos2θ+4cosθ﹣ρ＝0．
（1）将直线C1的方程化为普通方程，曲线C2的方程化为直角坐标方程；
（2）若直线C1过点Q（，﹣1）且交曲线C2于A，B两点，设线段AB的中点为M，求|PM|．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|2x+a|，g（x）＝|x﹣b|．
（1）若a＝1，b＝3，解不等式f（x）+g（x）≥4；
（2）当a＞0，b＞0时，f（x）﹣2g（x）的最大值是3，证明：a2+4b2≥．
参考答案
一、选择题（共12小题）.
1．已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{﹣1，1，2}，则A∩B＝（ ）
A．{1，2} B．{﹣1，1，2} C．{0，1，2} D．{﹣1，0，1，2，3}
解：∵A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{﹣1，1，2}，
∴A∩B＝{1，2}．
故选：A．
2．若复数z满足（1+2i）z＝||，则z的共轭复数是（ ）
A．i B．i C．i D．i
解：由（1+2i）z＝||＝，
得z＝＝，
∴．
故选：C．
3．抛物线y2＝﹣2px（p＞0）的准线经过椭圆＝1的右焦点，则p＝（ ）
A．2 B．4 C．8 D．12
解：椭圆＝1的右焦点（2，0），
抛物线y2＝﹣2px（p＞0）的准线经过椭圆＝1的右焦点，
可得，解得p＝4．
故选：B．
4．甲、乙两名射击运动爱好者在相同条件下各射击10次，中靶环数情况如图所示．则甲、乙两人中靶环数的方差分别为（ ）
A．7，7 B．7，1.2 C．1.1，2.3 D．1.2，5.4
解：实线的数据为：2，4，6，8，7，7，8，9，9，10，
虚线的数据为：9，5，7，8，7，6，8，6，7，7，
所以实线数据的平均数为，
实线的方差为＝5.4，
同理可求出虚线的平均数为7，方差为1.2，
所以甲、乙两人中靶环数的方差分别为1.2，5.4．
故选：D．
5．已知函数f（x）＝x（ex﹣e﹣x），则f（x）（ ）
A．是奇函数，且在（0，+∞）单调递减
B．是奇函数，且在（0，+∞）单调递增
C．是偶函数，且在（0，+∞）单调递减
D．是偶函数，且在（0，+∞）单调递增
解：根据题意，函数f（x）＝x（ex﹣e﹣x），其定义域为R，
有f（﹣x）＝（﹣x）（e﹣x﹣ex）＝x（ex﹣e﹣x）＝f（x），则f（x）是偶函数，
在区间（0，+∞）上，设x1＞x2＞0，
则有＞1，＞＞1，＜＜1，
则有﹣＞﹣＞1，
故＝×＞1，即f（x1）＞f（x2），
故选：D．
6．已知m，n表示两条不同直线，α，β表示两个不同平面．设有四个命题：
p1：若m∥α，m⊥n，则n⊥α；
p2：若m∥α，n⊥α，则m⊥n；
p3：若m∥α，α⊥β，则m∥β；
p4：若m∥α，m∥β，则α∥β．
则下列复合命题中为真命题的是（ ）
A．p1∧p2 B．￢p1∧p4 C．p2∨p3 D．p3∨p4
解：m，n表示两条不同直线，α，β表示两个不同平面．
p1：若m∥α，m⊥n，则n⊥α也可能n∥α，也可能n与α相交，所以它是假命题．
p2：若m∥α，n⊥α，则m⊥n，正确、
p3：若m∥α，α⊥β，则m∥β也可能m⊂β，也可能m与β相交，所以它是假命题；
p4：若m∥α，m∥β，则α∥β，也可能α与β相交，所以它是假命题．
所以p2∨p3是真命题．
故选：C．
7．由伦敦著名建筑事务所SteynStudio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线＝1（a＞0，b＞0）下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±2x
解：双曲线＝1（a＞0，b＞0）下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，
可得：，解得a＝，c＝，b＝2，
所以双曲线的渐近线方程为：y＝±x＝±x．
故选：B．
8．已知α是第四象限角，且sinα＝﹣，则cos（2α+）＝（ ）
A． B． C． D．
解：∵α是第四象限角，且sinα＝﹣，
∴cosα＝，
∴cos2α＝1﹣2sin2α＝1﹣2×＝，
sin2α＝2sinαcosα＝2×（﹣）×＝﹣，
∴cos（2α+）＝（cos2α﹣sin2α）＝（+）＝．
故选：D．
9．圆x2+y2＝4上任意一点M到直线3x+4y﹣15＝0的距离大于2的概率为（ ）
A． B． C． D．
解：圆x2+y2＝4的圆心O（0，0）到直线3x+4y﹣15＝0的距离为d＝|OC|＝＝3，
如图所示：
上的点到直线3x+4y﹣15＝0的距离小于或等于2，
所以OD＝3﹣2＝1，OA＝2，所以∠AOD＝，∠AOB＝，
所以圆上任意一点M到直线3x+4y﹣15＝0的距离大于2的概率为
P＝1﹣＝．
故选：C．
10．玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，它与玉璧、玉圭、玉璋、玉璜、玉琥被称为“六器”，是古人用于祭祀神祇的一种礼器．《周礼》中载有“以玉作六器，以礼天地四方，以苍璧礼天，以黄琮礼地”等文．如图为齐家文化玉琮，该玉琮中方内空，形状对称，圆筒内径2.0cm，外径2.4cm，通高6.0cm，方高4.0cm，则其体积约为（ ）（单位：cm3）
A．23.04﹣3.92π B．34.56﹣3.92π
C．34.56﹣3.12π D．23.04﹣3.12π
解：由题意，该玉琮的体积V为底面边长为2.4cm，高为6cm的长方体的体积减去底面直径为2cm，高为2cm的圆柱的体积，
再加上底面直径为2.4cm，高为6cm的圆柱的体积．
则V＝2.42×6﹣π×（）2×6+π×（）2×2＝23.04﹣6π+2.88π＝23.04﹣3.12π（cm3）．
故选：D．
11．在△ABC中，A＝120°，BC＝6，则△ABC的面积的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．3
解：由题意，由余弦定理可得36＝b2+c2﹣2bccos120°，
∴b2+c2+bc＝36，
∵b2+c2≥2bc，
∴3bc≤36，可得bc≤12，当且仅当b＝c时等号成立，
∴S＝bcsin120°≤3，当且仅当b＝c时等号成立，即△ABC面积的最大值是3．
故选：D．
12．若对任意的x∈（1，+∞），不等式eλx﹣≥0（λ＞0）恒成立，则λ的最小值为（ ）
A． B． C． D．
解：由eλx﹣≥0，得，即λeλx≥lnx，
∴λxeλx≥xlnx（x＞1），于是λxeλx≥elnx•lnx，
设F（x）＝xex，可知F（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴原不等式等价于F（λx）≥F（lnx），
∴λx≥lnx，即，
令g（x）＝（x＞1），则g′（x）＝，
当x∈（1，e）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
当x∈（e，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减．
∴当x＝e时，g（x）取得最大值为，∴λ≥．
即λ的最小值为．
故选：A．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设a＝log2021，b＝，c＝log2022，则a，b，c的大小关系是 b＞a＞c .（按照从大到小的顺序排列）
解：∵a＝log2021＝log20212022∈（0，1），
b＝＞20210＝1，
c＝log2022＜log20221＝0，
∴b＞a＞c．
故答案为：b＞a＞c．
14．已知向量与向量夹角为60°，且||＝1，＝（3，4），要使2+λ与垂直，则λ＝ ﹣ ．
解：向量与向量夹角为60°，且||＝1，＝（3，4），∴||＝＝5，
∴•＝1×5×cos60°＝．
要使2+λ与垂直，则（2+λ）•＝2+λ•＝2+λ＝0，
求得λ＝﹣，
故答案为：﹣．
15．（1﹣2x）5（1+x）4展开式中x3的系数为 24 ．
解：（1﹣2x）5展开式的通项公式为Tk+1＝C（﹣2x）k，
（1+x）4展开式的通项公式为Tm+1＝Cxm，
则x3的系数为﹣2+4﹣8C＝4﹣60+160﹣80＝24，
故答案为：24．
16．函数f（x）＝cos2x﹣sin2x，x∈R，有下列命题：
①y＝f（x）的表达式可改写为y＝2cos（2x+）；
②直线x＝是函数f（x）图象的一条对称轴；
③函数f（x）的图象可以由函数y＝2sin2x的图象向右平移个单位长度得到；
④满足f（x）≤的x的取值范围是{x|﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z}．
其中正确的命题序号是 ①④ .（注：把你认为正确的命题序号都填上）
解：函数f（x）＝cos2x﹣sin2x＝2（cos2x﹣sin2x）＝2cos（2x+），x∈R，故①正确；
当x＝时，2x+＝，cos（2x+）＝0，故x＝不是f（x）的对称轴，故②错误；
由函数y＝2sin2x的图像向右平移个单位得到函数：
y＝2sin2（x﹣）＝2sin（2x﹣）≠2cos（2x+），故③错误；
由f（x）≤，即cos（2x+）≤，解得+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，
所以，+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，故④正确．
故答案为：①④．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝an+1（n∈N*）．
（1）求Sn；
（2）设bn＝logSn，求使得++…+＞成立的最小正整数n．
解：（1）∵Sn＝an+1＝（Sn+1﹣Sn），
∴Sn+1＝3Sn，又S1＝a1＝1，
∴数列{Sn}是以首项为1，公比为3的等比数列，
∴Sn＝3n﹣1；
（2）∵bn＝logSn＝＝2n﹣2，
＝＝（﹣），
∴++…+＝[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]＝＞，
∴n＞99，
故使得++…+＞成立的最小正整数n＝100．
18．2020年10月，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》，某地积极开展中小学健康促进行动，发挥以体育智、以体育心功能，决定在2021年体育中考中再增加一定的分数，规定：考生须参加立定跳远、掷实心球、一分钟跳绳三项测试，其中一分钟跳绳满分20分．学校为掌握九年级学生一分钟跳绳情况，随机抽取了100名学生测试，其成绩均在[165，215]间，并得到如图所示频率分布直方图，计分规则如表：
一分钟跳绳个数
[165，175）
[175，185）
[185，195）
[195，205）
[205，215]
得分
16
17
18
19
20
（1）补全频率分布直方图，并根据频率分布直方图估计样本中位数；
（2）若两人可组成一个小队，并且两人得分之和小于35分，则称该小队为“潜力队”，用频率估计概率，求从进行测试的100名学生中任意选取2人，恰好选到“潜力队”的概率．
解：（1）[195，205）的频率为1﹣10×（0.005+0.006+0.009+0.05）＝0.3，
∴频率/组距为0.03，
补全频率分布直方图如图所示，
∵（0.005+0.009）×10＝0.14＜0.5，
（0.005+0.009+0.05）×10＝0.64＞0.5，
∴样本的中位数落在[185，195），
设中位数为m，则0.14+（m﹣185）×0.05＝0.5，
解得m＝192.2，
故样本中位数为192.2．
（2）一分钟跳绳个数在[165，175）的可得16分，人数为100×0.005×10＝5人；
一分钟跳绳个数在[175，185）的可得17分，人数为100×0.009×10＝9人；
一分钟跳绳个数在[185，195）的可得18分，人数为100×0.05×10＝50人，
∴“潜力队”的两人组合有4种情况，得分之和分别为32，33，34，34，
∴恰好选到“潜力队”的概率P＝＝．
19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为梯形，PA＝PD＝2，DC＝AD＝2AB＝4，AB⊥AD，AB∥CD，平面PAD⊥平面ABCD，E为棱PB上一点．
（1）在平面PAB内能否作一条直线与平面PAD垂直？若能，请画出直线并加以证明；若不能，请说明理由；
（2）若时，求直线AE与平面PBC所成角的正弦值．
解：（1）过E作EF∥AB交棱PA于F，EF为所求作的直线．
因为平面PAD⊥平面ABCD，且AB⊥AD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊂平面ABCD，
所以AB⊥平面PAD，又因为EF∥AB，
所以EF⊥平面PAD；
（2）取AD的中点O，BC的中点M，连结OM，则OM⊥平面PAD，
以O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则A（2，0，0），B（2，2，0），C（﹣2，4，0），P（0，0，2），
所以，
设平面PBC的法向量为，
则，
令x＝1，则y＝2，z＝3，所以，
因为，所以，所以，
设AE与平面PBC所成的角为θ，则，
故直线AE与平面PBC所成角的正弦值．
20．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的焦距为4，且经过点P（2，3）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C上存在两点M，N，使得PM的斜率与PN的斜率之和为﹣1，直线MN是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由．
解：（1）由题意可知，焦点为（±2，0），
故2a＝+＝8，
所以a2＝16，b2＝12，
所以椭圆的方程为+＝1．
（2）当直线MN的斜率存在时，设方程为y＝kx+m，
代入椭圆的方程，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣48＝0，（*），
设点M（x1，y1），N（x2，y2），
则x1+x2＝﹣，x1x2＝①，
设直线PM的斜率与直线PN的斜率分别为k1，k2，
根据y1＝kx1+m，y2＝kx2+m，
则k1+k2＝+＝﹣1，
所以（1+2k）x1x2+（m﹣2k﹣5）（x1+x2）+16﹣4m＝0，
将①代入，整理化简得16k2+10km﹣24k+m2﹣3m＝0，
即（2k+m﹣3）（8k+m）＝0，
因为P（2，3）不在直线MN上，所以2k+m﹣3≠0，
所以m＝﹣8k，
要使（*）方程判别式大于0，需k∈（﹣，），
于是直线MN的方程为y＝k（x﹣8），k∈（﹣，），
所以直线过定点（8，0），
当直线MN的斜率不存在时，可得M（x1，y1），N（x1，﹣y1），
则由k1+k2＝+＝﹣1，解得x1＝8，不合题意，
综上所述，直线MN过定点（8，0）．
21．已知函数f（x）＝x2﹣（a+1）x+alnx．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）设函数g（x）＝2f（x）﹣（2a+x）lnx+2x﹣4a+2，若g（x）在[，+∞）上有两个零点，求实数a的取值范围．
解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），
f′（x）＝x﹣（a+1）+＝＝，
①当a≤0时，令f′（x）＜0，得到0＜x＜1；令f′（x）＞0，得到x＞1，
此时f（x）在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数；
②当0＜a＜1时，令f′（x）＜0，得到a＜x＜1；令f′（x）＞0，得到0＜x＜a或x＞1，
此时f（x）在（a，1）上为减函数，在（0，a）和（1，+∞）上为增函数；
③当a＝1时，显然f′（x）≥0恒成立，此时f（x）在（0，+∞）上为增函数；
④当a＞1时，令f′（x）＜0，得到1＜x＜a，令f′（x）＞0，得到0＜x＜1或x＞a，
此时f（x）在（1，a）上为减函数，在（0，1）和（a，+∞）上为增函数；
综上：当a≤0时，f（x）在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数；
当0＜a＜1时，f（x）在（a，1）上为减函数，在（0，a）和（1，+∞）上为增函数；
当a＝1时，f（x）在（0，+∞）上为增函数；
当a＞1时，f（x）在（1，a）上为减函数，在（0，1）和（a，+∞）上为增函数．
（2）g（x）＝2f（x）﹣（2a+x）lnx+2x﹣4a+2＝x2﹣2ax﹣xlnx﹣4a+2，
g（x）在x∈[，+∞）上有两个零点，
即关于x的方程2a＝在x∈[，+∞）上有两个不相等的实数根．
令函数h（x）＝，x∈[，+∞）．
则h′（x）＝．
令函数p（x）＝x2+3x﹣2lnx﹣4，x∈[，+∞）．
则p′（x）＝在x∈[，+∞）上有p'（x）≥0．
故p（x）在x∈[，+∞）上单调递增．
∵p（1）＝0，∴x∈[，1）时，有p（x）＜0，即h'（x）＜0，∴h（x）单调递减；
当x∈（1，+∞）时，有p（x）＞0，即h'（x）＞0，∴h（x）单调递增．
∵h（）＝+，h（1）＝1，h（4）＝3﹣ln2＞h（），
∴a的取值范围是（，+]．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑。按所涂题号进行评分不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分。[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在平面直角坐标系xOy中，已知点P的坐标为（0，2），直线C1的方程为：（其中t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为：ρcos2θ+4cosθ﹣ρ＝0．
（1）将直线C1的方程化为普通方程，曲线C2的方程化为直角坐标方程；
（2）若直线C1过点Q（，﹣1）且交曲线C2于A，B两点，设线段AB的中点为M，求|PM|．
解：（1）直线C1的方程为：（其中t为参数）消去参数转换为普通方程为xsinα﹣ycosα+2cosα＝0；
曲线C2的极坐标方程为：ρcos2θ+4cosθ﹣ρ＝0，根据转换为直角坐标方程为．
（2）直线C1过点Q（，﹣1），所以把点的坐标代入xsinα﹣ycosα+2cosα＝0；得到，
所以，
所以直线的参数方程为（t为参数），
代入，
得到，
则，
根据参数的几何意义：|PM|＝．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|2x+a|，g（x）＝|x﹣b|．
（1）若a＝1，b＝3，解不等式f（x）+g（x）≥4；
（2）当a＞0，b＞0时，f（x）﹣2g（x）的最大值是3，证明：a2+4b2≥．
【解答】（1）解：当a＝1，b＝3时，f（x）+g（x）＝|2x+1|+|x﹣3|＝，
当x≤﹣时，由2﹣3x≥4，解得x≤﹣；
当﹣＜x≤3时，x+4≥4，解得0≤x≤3；
当x＞3时，由3x﹣2≥4，解得x＞3，
所以不等式f（x）+g（x）≥4的解集为（﹣∞，﹣]∪[0，+∞）．
（2）证明：当a＞0，b＞0时，由不等式的基本性质，
得f（x）﹣2g（x）＝|2x+a|﹣|2x﹣2b|≤|2x+a﹣2x+2b|＝a+2b，
所以a+2b＝3，
因为≤，即3≤，所以a2+4b2≥．
另解：根据柯西不等式，得（12+12）[a2+（2b）2]≥（a+2b）2＝9，
即a2+4b2≥，当且仅当a＝2b，即a＝，b＝时取得等号．
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