2022天津和平区高三下学期一模考试数学试题含答案

天津市和平区2021-2022高三年级第一次模拟考试

数学试题

一､选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 全集，集合，则（）

A.  B.  C.  D.

2. 已知命题，则命题的否定为（）

A.  B.

C.  D.

3. 下列函数中，图像为下图的是（）

A.  B.

C.  D.

4. 为普及冬奥知识，某校在各班选拔部分学生进行冬奥知识竞赛．根据参赛学生的成绩，得到如图所示的频率分布直方图．若要对40%成绩较高的学生进行奖励，则获奖学生的最低成绩可能为（）

A.

B.

C.

D. 95

5. 已知，记，则的大小关系是（）

A.  B.

C D.

6. 中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖脐．如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知平面，四边形为正方形，，，若鳖牖的体积为l，则阳马的外接球的表面积等于（　　）．

A.  B.  C.  D.

7. 设函数，其中，，若，，则在上的单调减区间是（）

A.  B.  C.  D.

8. 已知双曲线的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为（）

A.  B.

C.  D.

9. 已知函数，若函数恰有三个零点，则实数的取值范围为　　

A.  B.  C.  D.

二､填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案写在题中横线上）

10. 若复数满足，则模为_______，虚部为_______．

11. 在的展开式中，的系数是___________.

12. 已知圆的圆心在直线上，且与直线：相切于点.则圆的标准方程为________.

13. 为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取“合1检测法”，即将个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的；若为阳性，则还要对本组的每个人再做检测.若有100人，已知其中2人感染病毒，采用“10合一检测法”，若2名患者在同一组，则总检测次数为__________次；若两名感染患者在同一组的概率为，定义随机变量为总检测次数，则数学期望为__________.

14. 已知，则的最小值为__________．

15. 在中，，，，，则______，延长交于点，点在边上，则的最小值为______.

三､解答题（本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16. 已知的内角的对边分别为，满足.

（1）求角的大小；

（2）若，求的值.

17. 平行四边形所在的平面与直角梯形所在的平面垂直，∥，，且为的中点.

（1）求证：；

（2）求点到平面距离；

（3）若直线上存在点，使得直线所成角的余弦值为，求直线与平面成角的大小.

18. 已知椭圆C：1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，点P（﹣1，）在椭圆C上，且|PF2|．

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点F2直线l与椭圆C交于A，B两点，M为线段AB的中点，若椭圆C上存在点N，满足3（O为坐标原点），求直线l的方程．

19. 已知等差数列各项均不为零，为其前项和，点在函数的图像上.

（1）求的通项公式；

（2）若数列满足，求的前项和；

（3）若数列满足，求前项和的最大值、最小值.

20. 设函数，其中.

（1）时，求曲线在点处的切线方程；

（2）讨论函数极值点的个数，并说明理由；

（3）若成立，求的取值范围.

【1题答案】

【答案】A

【2题答案】

【答案】D

【3题答案】

【答案】B

【4题答案】

【答案】C

【5题答案】

【答案】A

【6题答案】

【答案】A

【7题答案】

【答案】C

【8题答案】

【答案】D

【9题答案】

【答案】B

【10题答案】

【答案】    ①. 1    ②.

【11题答案】

【答案】112

【12题答案】

【答案】

【13题答案】

【答案】    ①. 20    ②.

【14题答案】

【答案】

【15题答案】

【答案】    ①.     ②.

16【答案】（1）

（2）

【小问1详解】

解：，

，即，

，

，

；

【小问2详解】

解：由，可得，

，

17【小问1详解】

中，，

由余弦定理得，，

，，

平面平面，平面平面＝，平面，

平面，.

【小问2详解】

以A为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系.

则，

则，，

设平面的法向量为，

则，即，取，

∴点到平面的距离；

【小问3详解】

，，，，

设点坐标，，

∵E、H、F三点共线，∴，

，∴，

∴，

解得，

，

设平面的法向量为，

则，即，令，则，

设直线与平面成的角为，

，

∴直线与平面成的角为.

【18题答案】

【答案】（1）．（2）xy﹣1＝0或xy﹣1＝0．

【详解】解：（1）因为点在椭圆上，且．

所以，①

，解得，②

又因为③

由①②③组成方程组，解得，，

所以椭圆的方程为：．

（2）由（1）可知，

设直线的方程为，，，，，

联立直线与椭圆的方程得，

得，则，

所以线段中点，，

所以，，

所以点的坐标为，，

将点坐标代入椭圆的方程，

解得，，

所以直线的方程为：或．

19【答案】（1）

（2）

（3）最大值为，最小值为

【小问1详解】

因为点在函数的图像上，

所以，

又数列是等差数列，所以，

即所以，

；

【小问2详解】

解法1：，

==，

解法2：， ①

， ②   ①-② 得

，

；

【小问3详解】

记的前n项和为，

则=

，

当n为奇数时随着n的增大而减小，可得，

当n为偶数时随着n的增大而增大，可得，

所以的最大值为，最小值为.

20【答案】（1）

（2）当时，函数有一个极值点；

当时，函数无极值点；

当时，函数有两个极值点.

（3）

【小问1详解】

当时，

，所以切点为，

，

所以曲线在点处的切线的斜率为，

所以曲线在点处的切线的斜率切线方程为

，即

【小问2详解】

由题意知函数的定义域为，

，

令，

（i）当时，，函数在单调递增，无极值点

（ii）当时，，

①当时，，

所以函数在单调递增，无极值点；

②当时，，

设方程两根，

此时

时，，函数单调递增；

时，，函数单调递减.

函数有两个极值点；

③当时，，

设方程两根

此时

时，，函数单调递增；

时，，函数单调递减.

函数有一个极值点；

综上所述：

当时，函数有一个极值点；

当时，函数无极值点；

当时，函数有两个极值点.

小问3详解】

由成立等价于即可.

①当时，函数在上单调递增，

时，，符合题意；

②当时，由，得，

函数在上单调递增，

又时，，符合题意；

③当时，由，得

时，单调递减,

时，时，不合题意；

④当时，设，

，时，在上单调递增.

当时，，即，

可得，

当时，，此时，不合题意.

综上，的取值范围是.