2022中考数学专题复习+相似模型总结+

这是一份2022中考数学专题复习+相似模型总结+，共13页。试卷主要包含了“斜A型”“母子型”，“射影定理”，“双垂直”型，“旋转“模型等内容，欢迎下载使用。
相似模型总结（1）相似模型总结1.“A字型”，“X型或8字型或Z型”，“蝶型”   A字型                  X型或8字型或Z型                 蝶型 2.“斜A型”“母子型”   斜A型                       母子型3.“射影定理”      4.“一线三等角”“套等腰相似模型”     左边² =左段•全段      右边² =右段•全段      腰² =左段•右段      左边•右边=腰•全段  5.“双垂直”型       6.圆内蝶型                                     7.三平行模型      8.“燕尾型”                                 9.“半角”模型   10.“旋转“模型   11.“知二求二”模型            12.辅助线      13.二次相似   14.动态问题     【题型1】A型、X型、蝶型【例1】如图，在□ABCD中，E为BC的中点，连接AE，AC，分别交BD于M，N，则BM:DN=             ．     【变式1.1】如图，AB∥CD，线段BC，AD相交于点F，点E是线段AF上一点且满足∠BEF=∠C，其中AF=6，DF=3，CF=2，则AE=_________．   【变式1.2】如图，直线∥，若AF:FB=2:3，BC:CD=2:1，则CE:AE=_________．            【变式1.3】如图，P为□ABCD的对角线AC上一点，过P的直线与AD，BC，CD的延长线、AB的延长线分别交于点E，F，G，H．求证：PE•PG=PF•PH.     【变式1.4】如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，F是BC延长线上一点，DF交CE于点G，且EG:GC=2:1，CF=1，则BC=_________．    【题型2】斜A型【例2】如图，在△ABC中，EF∥DC，∠AFE=∠B，AE=6，ED=3，AF=8，则AC=        ，        ．          【变式2.1】如图，D是△ABC的边AC上一点，∠CBD的平分线交AC于点E，AE=AB.求证：AE2=AD•AC.     【变式2.2】如图，在△ABC中，∠BAC=90°，D是BC中点，AE⊥AD交CB的延长线于点E，则下列结论正确的是(    )
A.△AED∽△ACB   B.△AEB∽△ACD  
C.△BAE∽△ACE   D.△AEC∽△DAC    【变式2.3】如图，在中，，为边上的中线，于，求证：.    【变式2.4】在中，是的平分线，的垂直平分线交，的延长线于，求证：.     【变式2.5】如图，在中，，于，为的中点，、的延长线交于点，求证：.    【题型3】射影定理【例3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，BD=2，AD=8，则CD=____，AC=_____，BC=____．       【变式3.1】如图，在正方形ABCD中，E是AB中点，F是AD上一点，且AF=AD；EG⊥CG于点G，则下列式子中不成立的是(    )
A.EF•EC=EG•FC         B.EC2=CG•GF
C.AE2+AF2=FG•FC        D.EG2=GF•GC  【变式3.2】如图，点A的坐标为（﹣4，0），直线与坐标轴交于点B、C，连接AC，如果∠ACD=90°，则的值为　      　．   【变式3.3】如图1，在△ABC中，D、E、F分别为三边的中点，G点在边AB上，△BDG与四边形ACDG的周长相等，设BC＝a、AC＝b、AB＝c．（1）求线段BG的长；（2）求证：DG平分∠EDF；（3）连接CG，如图2，若△BDG与△DFG相似，求证：BG⊥CG．  【变式3.4】如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE平分∠BAC交⊙O于点E，交BC于点D，过点E作直线∥BC．（1）判断直线与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若∠ABC的平分线BF交AD于点F，求证：BE＝EF；（3）在（2）的条件下，若DE＝4，DF＝3，求AF的长．     【变式3.5】如图，在菱形ABCD中，AC与BD交于点O，E是BD上一点，EF∥AB，∠EAB＝∠EBA，过点B作DA的垂线，交DA的延长线于点G．（1）∠DEF和∠AEF是否相等？若相等，请证明；若不相等，请说明理由；（2）找出图中与△AGB相似的三角形，并证明；（3）BF的延长线交CD的延长线于点H，交AC于点M．求证：BM2＝MF•MH．      【变式3.6】如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）求证：△PCF是等腰三角形；（3）若tan∠ABC＝，BE＝，求线段PC的长．      【题型4】“一线三等角”“一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形。这个角可以是直角，也可以是锐角或者钝角。对于“一线三等角”，有的地区叫“K型图”，也有的地区叫“M型图”，在这里我们统一称为“一线三等角”。（1）一线三直角△ADB∽△CEA（2）锐角型一线三等角△ADB∽△CEA∽△CAB（3）钝角型一线三等角△ADB∽△CEA∽△CAB 【例1】如图，若AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，ED=1，BD=4，则AB=_______．            【变式1.1】如图，D是等边△ABC边AB上的一点，且AD：DB=1：2，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E，F分别在AC和BC上，则CE：CF=（B）A.      B.      C.      D.   【变式1.2】如何∠BAC=120°,∠DAE=∠ADE=60°，找出图中相似三角形并加以证明    【变式1.3】如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形.（1）当AC、CD、DB满足怎样的关系时，△ACP∽△PDB？（2）当△ACP∽△PDB时，求∠APB的度数.。   【变式1.4】如图，M为线段AB上一点，AE与BD交于点C，∠DME=∠A=∠B=，且DM交AE于点F，ME交BD于点G．（1）写出图中的三对相似三角形；（2）连接FG，当AM=MB时，求证：△MFG∽△BMG．    【变式1.5】如图，在△ABC中，AB=AC，点P，D分别是BC，AC边上的点，且∠APD=∠B．（1）求证：AC﹒CD=CP﹒BP；（2）若AB=10，BC=12，当PD∥AB时，求BP的长．【答案】（1）证明略；（2）BP=；  【变式1.6】已知：如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，点D是BC边上的一个动点(不与B，C点重合)，∠ADE＝45°．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）设BD＝x，AE＝y，求y关于x的函数关系式；（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．    【变式1.7】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-x+m分别交x轴、y轴于点A、B，已知点C（2,0）。（1）当直线AB经过点C时，点O到直线AB的距离是__________；（2）设点P为线段OB的中点，联结PA、PC，若∠CPA=∠ABO，则m的值是            。     【题型5】“三平行”模型【例5】如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB=1，CD=3，那么EF的长是（　　） A.      B.      C.      D.    【变式5.1】如图，在Rt△ABD中，过点D作CD⊥BD，垂足为D，连接BC交AD于点E，过点E作EF⊥BD于点F，若AB=15，CD=10，则BF:FD=_____________．    【变式5.2】如图所示，AB∥CD，AD，BC交于点E，过E作EF∥AB交BD于点F．则下列结论：①△EFD∽△ABD；②；③；④．其中正确的有___________．      【变式5.3】如图在RT△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，点P为斜边AC上一点，过点P分别做直角边AB和BC的垂线PM和PN，当四边形MBNP为正方形时，此正方形的边长为            .      【变式5.4】如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，正方形EFGH的四个顶点都在△ABC的边上．求证：．    【题型6】“燕尾”型【例6】如图，BD、CE是△ABC的两条高，AM是∠BAC的平分线，交BC于M，交DE于N，求证：（1）；（2）∠EDB=∠ECB.   【题型7】“半角”模型【例7】如图，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为2，若△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF，AG与边BC的交点分别为D，E（点D不与点B重合，点E不与点C重合）．①请写出图中所有的相似三角形                               ；②若BD=，则CE=              .   【题型8】“知二求二”模型【例8】如图，在△ABC中，BD:DC=5:3，E为AD的中点，连接BE并延长，交AC于点F．过点D作DG∥AC交BF于点G，则BE:EF=(    )
A.     B.     C.     D.   【变式8.1】如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E在AC边上，且AE:EC=1:2，BE交AD于点P，过点D作DF∥BE，交AC于点F，则AP:PD等于(    )A.1:1      B.1:2     C.2:3       D.4:3       【变式8.2】如图，在△ABC中，AE=CE，BC=CD．求证：ED=3EF．       【变式8.3】如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，AD，BE交于点F．求证：．     【变式8.4】如图，直线l与△ABC三边所在直线分别交于点E，F，D，且BF:AF=2:3，EF:FD=5:4，求AD:CD的值．     【变式8.5】如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E在AD上，且AE=3ED，连接BE并延长，交AC于点F，则的值为________．         【题型9】辅助线【例9】在△ABC中，AB=AC，点D在AB上，点E在AC的延长线上，DE交BC于F，求证：.     【变式9.1】如图，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，求证：BC2=2CD•AC.