初中数学北师大版八年级下册1 等腰三角形学案设计

【巩固练习】

一.选择题

1. （2020•曲靖一模）等腰三角形中一个外角等于100°，则另两个内角的度数分别为（　　）

A．40°，40°    B．80°，20°

C．50°，50°     D．50°，50°或80°，20°

2. 用反证法证明命题：如果AB⊥CD，AB⊥EF，那么CD∥EF，证明的第一个步骤是（　　）

   A. 假设CD∥EF ;

B. 假设AB∥EF

C. 假设CD和EF不平行

D. 假设AB和EF不平行

3. 将两个全等的且有一个角为30°的直角三角形拼成如图所示形状，两条长直角边在同一条直线上，则图中等腰三角形的个数是（      ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　A. 4个 　　　B. 3个 　　　C. 2个　　　 D. 1个

4. 已知实数x，y满足|x−4|+(y−8)2＝0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（　　）

A．20或16 B．20         C．16 D．以上答案均不对

5. 如图，D是AB边上的中点，将沿过D的直线折叠，使点A落在BC上F处，若，则度数是（     ）              

A．60°       B．70°       C．80°     D．不确定  

6.（2020•永州模拟）在直角坐标系中，已知A（1，1），在x轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有（　　）

A．1个     B．2个      C．3个      D．4个

二.填空题

7．如图，△ABC中，D为AC边上一点，AD＝BD＝BC，若∠A＝40°，则∠CBD＝_____°．
　

8.（2020•嘉峪关模拟）等腰三角形的两边长分别是2和5，那么它的周长是　    　．

9.用反证法证明“如果同位角不相等，那么这两条直线不平行“的第一步应假设_________.

10. 等腰三角形的一个角是70°，则它的顶角的度数是            .

11.如图，AD是△ABC的边BC上的高，由下列条件中的某一个就能推出△ABC是等腰三角形的是　_________　．（把所有正确答案的序号都填写在横线上）

①∠BAD=∠ACD；②∠BAD=∠CAD；③AB+BD=AC+CD；④AB﹣BD=AC﹣CD．

12. 如图，△ABC的周长为32，且AB=AC，AD⊥BC于D，△ACD的周长为24，那么AD的长为            .

三.解答题

13．已知：如图，ΔABC中，AB＝AC，D是AB上一点，延长CA至E，使AE＝AD．

试确定ED与BC的位置关系，并证明你的结论．

14.（2020春•安岳县期末）等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分成了21和27两个部分，求等腰三角形的底边和腰长．

15. 用反证法证明：等腰三角形的底角是锐角．

【答案与解析】

一.选择题

1. 【答案】D；

   【解析】解：∵外角等于100°，

∴这个内角为80°，

当这个80°角为顶角时，则底角为=50°，此时另两个内角的度数分别为50°，50°；

当这个80°角为底角时，则另一个底角为80°，顶角为20°，此时可得另两个内角的度数分别为80°，20°；

故选D．

2. 【答案】C；

【解析】用反证法证明CD∥EF时，应先假设CD与EF不平行．故选C．

3. 【答案】B；

4. 【答案】B；

【解析】根据题意得
,

解得

.
（1）若4是腰长，则三角形的三边长为：4、4、8，
不能组成三角形；
（2）若4是底边长，则三角形的三边长为：4、8、8，
能组成三角形，周长为4+8+8=20．
故选B．

5. 【答案】C；

   【解析】AD＝DF＝BD，∠B＝∠BFD＝50°，＝180°－50°－50°＝80°.

6. 【答案】D；

   【解析】解：如图，

∵以点O为圆心，以OA为半径画弧，交x轴于点B、C；

以点A为圆心，以AO为半径画弧，交x轴于一点D（点O除外），

∴以OA为腰的等腰三角形有3个；

作OA的垂直平分线，交x轴于一点，

∴以OA为底的等腰三角形有1个，

综上所述，符合条件的点P共有4个，

故选：D．

二.填空题

7. 【答案】20；

   【解析】∠A＝∠ABD＝40°，∠BDC＝∠C＝80°，所以∠CBD＝20°.

8. 【答案】12；

   【解析】解：①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、5，

∵2+2=4＜5，

∴不能组成三角形，

②2是底边长时，三角形的三边分别为2、5、5，

能组成三角形，

周长=2+5+5=12，

综上所述，它的周长是12．

故答案为：12．

9. 【答案】两直线平行；

【解析】根据已知条件和反证法的特点进行证明，即可求出答案.

10.【答案】70°或40°；　

   【解析】解：（1）当70°角为顶角，顶角度数即为70°；

（2）当70°为底角时，顶角=180°-2×70°=40°．

故答案为：70°或40°.

11.【答案】②③④；

【解析】：②当∠BAD=∠CAD时，

∵AD是∠BAC的平分线，且AD是BC边上的高；

则△ABD≌△ACD，

∴△BAC是等腰三角形；

③延长DB至E，使BE=AB；延长DC至F，使CF=AC；连接AE、AF；

∵AB+BD=CD+AC，

∴DE=DF，又AD⊥BC；

∴△AEF是等腰三角形；

∴∠E=∠F；

∵AB=BE，

∴∠ABC=2∠E；

同理，得∠ACB=2∠F；

∴∠ABC=∠ACB，即AB=AC，△ABC是等腰三角形；

④△ABC中，AD⊥BC，根据勾股定理，得：

AB2﹣BD2=AC2﹣CD2，

即（AB+BD）（AB﹣BD）=（AC+CD）（AC﹣CD）；

∵AB﹣BD=AC﹣CD，

∴AB+BD=AC+CD；

∴两式相加得，

2AB=2AC；

∴AB=AC，

∴△ABC是等腰三角形

故填②③④．

12.【答案】8；

   【解析】解：∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=DC．
∵AB+AC+BC=32，
即AB+BD+CD+AC=32，
∴AC+DC=16
∴AC+DC+AD=24
∴AD=8．
故填8．

三.解答题

13.【解析】

证明：ED⊥BC；延长ED，交BC边于H，

     ∵AB＝AC，AE＝AD．

     ∴设∠B＝∠C＝，则∠EAD＝2，

     ∴∠ADE＝

     即∠BDH＝90°－

∴∠B＋∠BDH＝＋90°－＝90°，

∴∠BHD＝90°，ED⊥BC.

14.【解析】

解：设等腰三角形的腰长为x，底边长为y，

则有或，

解得：或，

此时两种情况都符合三角形三边关系定理，

答：等腰三角形的腰长为14，底边长为20；或腰长为18，底边长为12．

15.【解析】

证明：假设等腰三角形的底角不是锐角，则它们大于或者等于90°；

      根据等腰三角形的两个底角相等，则两个底角的和大于或者等于180°；

      则该三角形的三个内角的和一定大于180°，这与三角形的内角和定理相矛盾；

      所以假设错误，原命题正确；

      即等腰三角形的底角是锐角．